Граничные K-инвариантные обобщенные функции для комплексного гиперболического пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

с двумя операторами Лапласа-Бельтрами:

Д! = -(Д + Д), Д2 = -(Д-Д), А = N2 92

2х п L п д£дг]

Матрицам В3 и отвечают две инвариантные внешние формы

<3з = N~2d£ A dr} + N 2о?£ A dfj, Q4 = —г (^N~2d£ A dr] — N 2d£ A

с двумя скобками Пуассона:

О. V. Betina. A complex hyperboloid: invariant differential geometric structure. For a complex hyperboloid: metrics, exterior forms, Laplace-Beltrami operators, Poisson brackets invariant with respect to the group SL(2, C) are determined.

Keywords: homogeneous spaces, metrics, Laplace-Beltrami operators, Poisson brackets.

Поступила в редакцию 23 ноября 2009 r.

УДК 517.98

Граничные ^-инвариантные обобщенные функции для комплексного гиперболического

пространства 1

© Л. И. Грошева

Ключевые слова: канонические представления, граничные представления, комплексные гиперболические пространства, обобщенные функции.

Для канонических представлений на комплексных гиперболических пространствах дано описание обобщенных функций, сосредоточенных на границе и инвариантных относительно максимальной компактной подгруппы.

В настоящей работе мы обобщаем на комплексные гиперболические пространства (7/К, где С = БХДп — 1,1), К = и(п — 1), результаты нашей работы [1], в которой рассматривался случай п = 2 (плоскость Лобачевского). Мы существенно опираемся на работу [3]. Аналогичные результаты для вещественных гиперболических пространств (пространств Лобачевского) получены в [2].

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие На-

учного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.

Группа С? состоит из матриц д € БЦп, С), сохраняющих форму [ж, у] = -ххух - ... - хп-{уп_х + хпуп.

Разобьем матрицы д из С на блоки соответственно разбиению п — {п — 1) + 1:

а /3

9 = '

7 5

Группа С действует дробно-линейно на Сп_1 (правое действие):

га + 7

г г • д =

г/З + 5

Стационарная подгруппа К точки г = 0 состоит из блочно диагональных матриц. Пусть (г, ги) обозначает стандартное скалярное произведение в С"-1: (г, го) = + ... 4- гп-\Ъ)п-1. Обозначим

р = 1 - (г, г).

Однородное пространство (7/К есть единичный шар 2} : р > 0. Его граница 5 : р = 0 (сфера размерности 2п — 3) - тоже (г-орбита. Обозначим И = Б и 5.

Канонические представления А € С, группы действуют в V (£>) по формуле

(ДлЫ/) (г) = /(г-д)\гР + 6\-^~2п.

Они распространяются на пространство V (И) обобщенных функций на С71-1 с носителем в I), в частности, на пространство Е (£>) обобщенных функций, сосредоточенных на 5. Элементу Казимира, отвечающему алгебре Ли группы С*, представление Я\ сопоставляет дифференциальный оператор Дд. Его радиальная часть, действующая на ^-инвариантных функциях (на функциях, зависящих только от р), есть оператор

в?

(1 — р)р2 + [2 А + п + 2 — (2А + 2п + 1)р]р——Ь

+(А + ?т.) [А + 1 — (А + я.)р].

В подпространстве Т,(В)К в £(£>), состоящем из /^-инвариантных обобщенных функций, мы имеем два естественных базиса: первый состоит из производных дельта-функции 6(р):

к = 0,1,..., (1)

второй состоит из обобщенных функций

Са,*=£а,*(М * = 0,1,..., (2)

операторы £х,к определены в [3], 1ро - тождественная единица на й1. Элементы второго базиса с точностью до множителя характеризуются тем, что они являются собственными функциями оператора Дд:

ДаСа ,к = (А — А:) (А + п — 1 — к)(\^-

Мы будем использовать обозначения

аН — а(а + 1)... (а + т — 1), а^ = а(а — 1)... (а — т + 1).

Теорема 1 Элементы базисов (1) и (2) выражаются друг через друга с помощью треугольных матриц с единицами по главной диагонали, а именно,

"«г.-гУ *"-»■»■ <»

'■« - £(-■>•- С) <- ■«

т=0

Заметим, что формулу (3) можно записать следующим образом:

(х,т = Р (А + п — 1 — т, А + п — 1 — т; 2А + п — 2т; р) с^т^(р),

где .Р - гипергеометрическая функция Гаусса.

Из (4) получаем производящую функцию для 6^ (р):

ехр (и£) б(р) =

4 ш=0

х Р (2 — п — А + т, 2 — п — А + т; 2 — п — 2А + 2т; —и) ■ £л,т-Определим на Т>(Б) билинейную форму (форму Березина)

(/, К) = с(А) [ \1-(г,ъи)\2Х/(г)Ь(и))(1г(1'ш, (5)

JDxD

Вх

где дг - евклидова мера в С”-1,

с(А) =

7Г

1—гг

Г( А)

Г(1 -п -А)'

Эта билинейная форма инвариантна относительно Лд- Обозначим Ь( А) = Вх(6(р),6(р))

= (-1)

п—1„п—1 7Г

Г(А + п)Г(2А + п — 1)

Г(п — 1)Г(А + 1)Г2(А + тг — 1) '

Теорема 2 Базис (2) ортогонален относительно формы Березина. Скалярный квадрат равен

В\ (СА,т, Са,ш) = /5(А, /г),

т\ {А^(А + п — 2)^т^}

/3(Х,т) Ь(А) ^А + гг — 2)(2ш)(2А + гг — 1 — т)(т)

Теорема 3 Попарные скалярные произведения элементов базиса (1) даются следующей формулой:

Вл(Л“>(р),«<”,(р))=6< А)-сь»(А),

где

{(2-п-Л)М(2-п-Л)Н| с*т(А) = (-1) т (2 _ п - 2А)^+™] ' ^

Доказательство. Оператор Да действует на обобщенные функции <5^(р) следующим образом:

Ах6^\р) = (Л- к)(\ + п- 1-к)5^(р)

+ к(Х + п — 1 —

Поскольку оператор Дд симметричен относительно формы (5), мы получаем для чисел Скт = с*;т(А) соотношение:

(т — к)(2А — & — т + п — 1) с^т +

+ А:(Л + п — 1 — к)2 ск- 1)ТО - т(Л + п - 1 - т)2 ск,т-1 = 0.

Формула (6) есть решение этого конечно-разностного уравнения. □

Литература

1. L. I. Grosheva. Boundary representations on the Lobachevsky plane. Вести. Тамб. ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки, 2005, том 10, вып. 4, 357-365.

2. J1. И. Грошева. Обобщённые функции, сосредоточенные на абсолюте пространства Лобачевского, инвариантные относительно вращений. Вестн. Тамб. ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки, 2007, том 12, вып. 1, 23-30.

3. Л. И. Грошева. Канонические и граничные представления на комплексных гиперболических пространствах. Вестн. Тамб. ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. 6, 499-555.

L. I. Grosheva. Boundary К-invariant distributions for a complex hyperbolic space. For canonical representations on complex hyperbolic spaces, a description of distributions concentrated at the boundary and invariant with respect to a maximal compact subgroup is given.

Keywords: canonical representations, boundary representations, complex hyperbolic spaces, distributions.

Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.