CC BY
34
Она позволяет с помощью (3) вычислить (2). Затем мы делаем аналитическое продолжение по а в точку а = (п-3)/4 и полагаем г = (п — 3)/2. □
1. А. А. Артемов. Разложение формы Березина на сфере. Вестн. Тамб. ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. 1, 7-8.
2. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Гипергео-метрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.
3. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.
A. A. Artemov. Decomposition of a Berezin function on the Lobachevsky space on mixed spherical functions. An expansion of a Berezin function on the Lobachevsky space on mixed spherical functions is given.
Keywords: canonical representations, hyperboloids, spherical functions, Plancherel formula.
УДК 517.98
Комплексный гиперболоид: инвариантная дифференциально-геометрическая структура 1
Ключевые слова: однородные пространства, метрики, операторы Лапласа-Бельтрами, скобки Пуассона.
Для комплексного гиперболоида найдены метрики, внешние формы, операторы Лап-ласа-Бельтрами, скобки Пуассона, инвариантные относительно группы SL(2,С).
Комплексный гиперболоид А” в С3 задается уравнением -х\+х\-\-х\ = 1. Он есть однородное пространство С/Н, где БЬ(2, С), Н - диагональная подгруппа. Они состоят соответственно из матриц
Гиперболоид X - простейший и ключевой пример пара-эрмитова пространства второй категории в смысле Канеюки. Такие пространства являются ком-плексификациями эрмитовых симметрических пространств. Для построения
1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие На-
учного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.
Литература
Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.
© О. В. Бетина
аб — /З7 = 1.
квантования на таких пространствах (в частности, полиномиального квантования), рассматриваемых как вещественные многообразия, надо знать некоторые инвариантные дифференциально-геометрические объекты, а именно, метрики, соответствующие им операторы Лапласа-Бельтрами, внешние формы и соответствующие им скобки Пуассона. В настоящей работе мы решаем эти задачи для комплексного гиперболоида X. Реализуем X как множество матриц
х—-( 1 “ Хз Х2~ Х1 \
~ 2 \ х2 + Х\ 1 + х3 )
с определителем равным нулю. Группа С действует на нем х н-» д~1хд. Это действие транзитивно. Подгруппа Н является стационарной подгруппой точки
1° = (0,0,1) = ( “ ° ).
Касательное пространство Ь к X в точке ж0 состоит из матриц
Подгруппа Н действует на Ь следующим образом: и н-> 5~2и, V (->■ 52у. Над К пространство Ь имеет размерность 4, с векторами ги = (щ, и2, у2). Действие
элемента Н € Н дается матрицей
ИеГ2 -1т Г2 0 0
1т Г2 11е<5~2 0 0
0 0 Яеб2 —1т 52
0 0 1т 62 Кеб2
Пространство билинейных форм на Ь, инвариантных относительно Н, имеет размерность 4, базисом служат следующие матрицы:
( 0 0 1 0 \ ( 0 0 0 1 \
0 0 0 -1 0 0 1 0
1 0 0 0 , в2 - 0 1 0 0
-1 0 0 ) V1 0 0 0
( 0 0 1 0 ^ / 0 0 0 1 \
0 0 0 -1 0 0 1 0
-1 0 0 0 в А — 0 -1 0 0
V 0 1 0 0 ) V -1 0 0 0 )
Введем на X орисферические координаты £,г] 6 С:
"14)’
В этих координатах матрицам В\ и В2 отвечают две инвариантные метрики <2! = ТУ"-2^ с1г] + (Щ, <Э2 = ~г ^~2с1£, ¿г) - N 2(1£
и = И1+Ш2, V = Vl+ІV2.
с двумя операторами Лапласа-Бельтрами:
Д! = -(Д + Д), Д2 = -(Д-Д), А = N2 92
2х п L п д£дг]
Матрицам В3 и отвечают две инвариантные внешние формы
<3з = N~2d£ A dr} + N 2о?£ A dfj, Q4 = —г (^N~2d£ A dr] — N 2d£ A drj'j
с двумя скобками Пуассона:
О. V. Betina. A complex hyperboloid: invariant differential geometric structure. For a complex hyperboloid: metrics, exterior forms, Laplace-Beltrami operators, Poisson brackets invariant with respect to the group SL(2, C) are determined.
Keywords: homogeneous spaces, metrics, Laplace-Beltrami operators, Poisson brackets.
Поступила в редакцию 23 ноября 2009 r.
УДК 517.98
Граничные ^-инвариантные обобщенные функции для комплексного гиперболического пространства 1
© Л. И. Грошева
Ключевые слова: канонические представления, граничные представления, комплексные гиперболические пространства, обобщенные функции.
Для канонических представлений на комплексных гиперболических пространствах дано описание обобщенных функций, сосредоточенных на границе и инвариантных относительно максимальной компактной подгруппы.
В настоящей работе мы обобщаем на комплексные гиперболические пространства (7/К, где С = ЭТДп — 1,1), К = и (гг — 1), результаты нашей работы [1], в которой рассматривался случай п = 2 (плоскость Лобачевского). Мы существенно опираемся на работу [3]. Аналогичные результаты для вещественных гиперболических пространств (пространств Лобачевского) получены в [2].
1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие На-
учного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.
