Проекции циклического вектора для канонических представлений на плоскости Лобачевского Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Проекции циклического вектора для канонических представлений на плоскости Лобачевского 1

© Л. И. Грошева

Ключевые слова: канонические представления, граничные представления, плоскость Лобачевского, дельта-функции

Для канонических представлений, индуцированных характером максимальной компактной подгруппы, на плоскости Лобачевского вычислены проекции циклического (канонического) вектора (дельта-функции, сосредоточенной в начальной точке) в пространства обобщенных функций, сосредоточенных на границе

Мы обобщаем нашу работу [2]: для плоскости Лобачевского Д мы находим проекции циклического (канонического) вектора 80 в пространства обобщенных функций, сосредоточенных на абсолюте Б, для канонических представлений Я\,т, индуцированных произвольным характером шт максимальной компактной подгруппы.

Напомним некоторый материал из [1]. Реализуем плоскость Лобачевского как единичный круг Д : гг < 1 в С. Пусть Б - единичная окружность гг = 1, пусть Д = Д и Б. Группа О = Яи(1,1) действует транзитивно на Д и на Б дробно линейно (правое действие):

аг + Ь { а Ь \ _ ,-г

г I—> г • а = ----, а = Т _ , аа — ЬЬ =1.

Ьг + а \ Ь а ) ’

Круг Д есть однородное пространство О/К, где К - стационарная подгруппа точки г = 0, она состоит из диагональных матриц:

к = ( а 0 ^ , аа =1. (1)

ч 0 а /

Введем на О "полярные координаты" р,и, где

р = 1 — гг

и и = ега Є Б, так что г = ги, р =1 — г2. Пусть д,в обозначает меру д,а на Б.

хРабота поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/9191, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.

Мы будем использовать обозначения

Ц Е С, п Е Ъ,

а[п] = а(а +1)... (а + п — 1), а(т) = а(а — 1)... (а — т +1).

Пусть Л Е С, т Е Ъ. Мы рассматриваем представления группы О, индуцированные характером шт подгруппы К, который матрице (1) сопоставляет число а-2т. Соответствующие канонические представления Я\,т группы О действуют в пространстве ^(Д) по формуле:

(Ях,тШ)(г) = I(г • д)(Ьг + а)-2Л-4, 2т.

Обозначим через Е^(Д), £ Е N = {0,1, 2,... }, пространство обобщенных функций

с = ^0(и)5(р) + <р1(и)5'(р) + ... + ^e(u)5{e)(p), где 8(р) - дельта-функция Дирака на прямой, ^ - функции из Р(Б). Обозначим

Ер) = и£,(£). _

Канонические представления К\>т распространяются на пространство Т>' (Д) обобщенных функций на С с носителем в Д, в частности, на пространство Е (Д). Последнее пространство инвариантно относительно представления К\>т. Ограничение Ь\>т представления Ял,т на Е (Д) называется граничным представлением, порождаемым каноническим представлением. Представление Ь\>т сохраняет каждое Е^(Д), £ Е N.

Обозначим через Е0(Д) подпространство в Е , состоящих из обобщенных

функций, постоянных на границе (это означает, что функции ^ постоянны). Заметим, что при т = 0 обобщенные функции из Е0(Д) не будут инвариантными относительно подгруппы К, они являются собственными функциями для нее, собственным числом служит индуцирующий характер.

Приведем некоторые сведения об основной серии представлений группы О, тривиальных на ее центре ±Е. Представление Та, а Е С, группы О действует в пространстве Р(Б) по формуле:

(Та (д)^) = ^ • д)|Ь« + Ц2.

Оператор Ла на Р(Б), определенный формулой

(Ла<р)(в) = ( |1 — зй|-2ст-2^(и) <1и,

сплетает Та с Т-а-\, то есть Т-а-\(д)Ла = ЛаТа(д).

Возьмем базис фп(в) = вп, п Е Ъ, т ^(Б). Он состоит из собственных для Ла функций:

Ла фп ап(а')'Фп,>

у^,п —

п

где

а„,(а) = 2п (—1)п

Г(—2а - 1)

Г(—а + п)Г(—а — и)'

Для Л общего положения граничное представление Ь\,т есть прямая сум-

инвариантных подпространств У\^, Е М, в которых Ь\,т эквивалентно Т-л-1+^, причем Ее(Б) = УЛ,о + Ул,1 + ... + У\,£.

Определим преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническим

Первое из них сплетает Т-а-1 с Ял,т, а второе сплетает Ял,т с Та. Преобразование Фурье может быть распространено на пространство Р'(Б) обобщенных функций на Б, в частности, на дельта-функции, сосредоточенные в точках из Б. Дельта-функция 80 с носителем в нуле называется каноническим вектором. Она является собственным вектором для операторов Ял,т(к), к Е К, с собственным значением шт(к).

Преобразование Пуассона Р^ - мероморфная функция по о, которая имеет полюсы в точках о = Л — и, о = —Л — 1 + V, п,ь Е N. Для Л общего положения полюсы являются простыми. С точностью до множителя вычет в простом полюсе о = Л — и есть оператор : Р(Б) — Еи(Б), задаваемый формулой:

ма представлений Т-\-\+^, і Е N так что Е(Б) разлагается в прямую сумму

представлением. Преобразование Пуассона РЛ^ : Р(Б) — Сте(Б) и преобразование Фурье : Р(Б) —— Р (Б) определяются соответственно формулами

Оператор сплетает представление Т-\-\+и с представлением Ь\,т, рассмат-

риваемым на Еи(Б). Операторы W<nn ^ - это дифференциальные операторы на Б, определяемые с помощью производящей функции

Уа,т,и (р) = (1 — р)(т+п)/2 Б (а + 1 + т,а + 1 + п; 2а + 2; р)

ГО

к=0

где Б - гипергеометрическая функция Гаусса; мы полагаем

Оператор пЛ^:

( і) т+и

(т) о( 1) І \ 1 і —1 ґ(т) тті(т) /пч

ПЛ,и = 2 а-т( —А — 1 + и) ■ ^ О Бл,-Л-1+и, (2)

отображает пространство Р;(Б) + Е(Б) на Ул>и и является проектором (совпадает со своим квадратом). Следовательно, проектор на Ег(Б) есть оператор

н(т) = _(т) + _(т) + + _(т)

нЛ,г = ПЛ,0 + ПЛ,1 + • • • + ПЛ,£ .

Определим на ^(Б) билинейную форму (назовем ее формой Березина) БХт(/, к) = с(А,т) [ (1 — гт)2Л,2т f (т) к(г) йхйуйийь,

где г = х + іу, т = и + іь,

—А — 1 + т

с(А, т)

п

Эта билинейная форма инвариантна относительно Ял,т. Относительно нее пространства У\^ попарно ортогональны. Обозначим

Ь(Л,ш) = Вл,т (8(р),6(р)).

Мы имеем

) Г(Л + 2 — ш)г(2Л + 1)

Ь(Л, ш) = — п

Г(А + 1 + т)Г2(А +1 — т) ’

Теорема 1 Проекция ІЛПе = Н^)80 канонического вектора 80 на Ег(Б) есть следующая обобщенная функция:

г

і(т) = \^1 (—1)5 Г(А + 1 + т — в)Г(А + 1 — т — в) г(8)(р) (3)

ІЛ/ ^ п в!(і — в)! Г(2А + 1 — і — в) д (Р). (3)

Ее "скалярный квадрат " относительно формы Березина равен:

Р (п(т)п(т))= 1 Г(А + т + 1)Г(А — т +2) т

ВЛт(рЛ'‘ , > = — Пі!-Г(2А +1 — І) • (4)

Доказательство. Преобразование Фурье от 50 есть функция ф-т(в) = в т на Б. Эта функция - собственная для оператора с собственным числом

(о + 1 + ш) ^ (о + 1 — ш)^

(2о + 2Щ! .

Поэтому функция (Лт) = ^(л”и)(Ф-т) есть:

Л( т) = ^( .у (и\ (Л — и + 1 + ш)Ы(Л — и + 1 — ш)Ы Л (и-^(р)

{ли =|^( 1) (2Л — 2и + 2)1%! 6 (р).

Умножая это на множитель, стоящий в (2) перед получаем:

2Л +1 - 2и ^ (—1)s

”” ■ X

(т) 2Л + 1 — 2u

ПХ,и(60) = - - 2^

’ пт • ^

п ^ s!(u — s)!

-

X Г(Л +1+(^Г(Л+1Г т ~ 8> ■ (5)

!(2Л + 2 — и — в)

Формула (3) получается из (5) суммированием по и = 0,1,... ,£. Для явного вычисления применяем комбинаторное тождество:

i = иг. (6)

и=0

Значение Вх!т(((кПЦ)• Cvu) вычислено в [1], оно равно Ь(Л, т)

и! {(Л + т)(и)(Л — m)(u)}2

(2Л + 1 — и)(и)(2Л)(2и)

Поэтому

U ( (т)(£\ (т)/г\\ 2Л +1 — 2и Г(Л + т + 1)Г(Л — т + 2)

B>m(n>u («• пь~и №)) =-----------пи—------------Г(2Л + 2 — и)---------•

Суммируя это по т = 0,1, • • • ,£ с помощью (6), мы получаем (4). □

Литература

1. Л. И. Грошева. Граничные обобщенные функции для плоскости Лобачевского, постоянные на абсолюте. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2010, том 15, вып. 6, 1703-1707.

2. Л. И. Грошева. Проекции канонического вектора для плоскости Лобачевского. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2011, том 16, вып. 1, 96-98.

L. I. Grosheva. Projections of a cyclic vector for canonical representations on the Lobachevsky plane

For canonical representations induced by a character of a maximal compact subgroup on the Lobachevsky plane, we determine projections of a cyclic (canonical) vector (the delta function concentrated at the initial point) to spaces of distributions concentrated at the boundary

Keywords: canonical representations, boundary representations, Lobachevsky plane, delta functions