CC BY
22
УДК 517.98
Проекции канонического вектора для плоскости
Лобачевского 1
© Л. И. Грошева
Для канонических представлений на плоскости Лобачевского вычислены проекции канонического вектора (дельта-функции, сосредоточенной в начальной точке) в пространства обобщенных функций, сосредоточенных на границе
Ключевые слова: канонические представления, граничные представления, плоскость Лобачевского, дельта-функции
В настоящей работе мы продолжаем изучение граничных представлений группы 6? = Эи (1,1) на плоскости Лобачевского Б. Мы находим проекции канонического вектора (термин из [1]) в пространства Е^(£)) обобщенных функций, сосредоточенных на абсолюте. В простейшем случае к = 0 это было сделано в [1].
Напомним некоторый материал из [2], [3]. Реализуем плоскость Лобачевского как единичный круг И : гг < 1 в €. Пусть 5 - единичная окружность гг = 1, пусть О = В и 5. Группа С = 8и(1,1) действует транзитивно на В и на 5 дробно линейно:
аг + Ъ ( а Ь \ _ ,т
г^ г-д = -——, д = -г , аа-ЬЬ=1. ог + а \ о а )
Подгруппа К, состоящая из диагональных матриц (максимальная компактная подгруппа), есть стационарная подгруппа точки 2 = 0, так что 2} = С/К. Введем на П "полярные координаты" р, гг, где
р = 1 — гг
и и = ега € 5, так что 2 = ггх, р = 1 — г2.
Представления Та, а Е С, группы (2 действуют в пространстве Х>(5) по формуле:
(Та(д)ср)(и) = <р(и • д)\Ьи + а\2<т.
Канонические представления Яд, А Е С, группы С действуют в пространстве Х>(£)) по формуле:
(Ял,т(0)/)(2) = А2 ' 9)\Ьг + а|"2А~4.
Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.
Они распространяются на пространство V (£>) обобщенных функций на С с носителем в в частности, на пространство £ (/)) обобщенных функций, сосредоточенных на 5.
Обозначим через £*(£)), к Е N = {0,1,2,...}, пространство обобщенных функций
с = </?о(и)ф) + <р\(и)8'[р) + ... + (рк(и)6{к)(р),
где 5(р) - дельта-функция Дирака на прямой, - функции из Х>(5). Обозначим £(£>) = и£*(/}). Представление Я\ сохраняет каждое £*(£)). При Л ^ (1/2) -I-ограничение Ь\ представления на £(£>) (граничное представление) есть прямая сумма представлений Т_а_1+тп, т Е М, так что £(£>) разлагается в прямую сумму инвариантных подпространств Ух,т, шЕМ, в которых Ь\ эквивалентно Т_А_1+т, причем £*(£>) = Ух,о + У\, 1 + ... + Ух,к-
Преобразование Фурье Гх,а : Т>(И) —>• Х^(5) определяется формулой
(^А)£Т/)(и) = [ \1 - гй\2(Трх~а f(z)dxdy, г = x-\-iy.
Оно сплетает Яд с Тст и может быть распространено на пространство £>'(£)) обобщенных функций на Б, в частности, на дельта-функции, сосредоточенные в точках из О. Дельта-функция с носителем в нуле называется каноническим вектором. Оператор 7гд)ГП:
(—1)т
ТГА,т = 2 “ 1 + т)_1 ^А’т ° -Л-1+т, (1)
является проектором (я* = 7Гл,т) пространства £>'(/}) + £(£>) на Уд^. Здесь
£л,т ~ оператор, отображающий Р(5) в £*(£)), см. [2], [3], множитель ]{а) дается формулой ^(сг) = 27гГ(—2а — 1)/Г2(—а). Следовательно, проектор на £*;(£>) есть оператор Нх,к = тгл,о +_тгл,1 + • • • + ялгк.
Определим на Т>(Б) билинейную форму (тесно связанную с формой Березина)
Ва(/,Л)=с(А) / |1 — гги\2Х/(г) /г(и;) с1хс1у(1и(1у,
JDxD
где с(А) = (—А — 1)/7г, г = х + 1у,ио = и + 1у. Она инвариантна относительно Я\ и распространяется на Х>'(1)).
Теорема 1 Проекция цх,к = Нх,к$о канонического вектора на £¿(1)) есть следующая обобщенная функция из £*(!)), инвариантная относительно К:
~ ^ (—Г2(А + 1 — 5) /вч. .
^ ~ ^ " «!(* — в)! ' Г(2Л + 1 - к - в) ’ ^)- * '
£е "скалярный квадрат " относительно указанной выше формы равен:
В (и \ = _1 — г(л + 1)Г(А + 2)
а (Мл, л, Мл, О ^ Г(2А + 1 — А;) ' ®
Доказательство. Преобразование Фурье от есть функция -0о на 5, тождественно равная единице. Функция Са,ш = £А,т(^о) вычислена в [2]:
_ ул, Г2(Л ~ 5 + 1)Г(2Л ~ 2т + 2) ( )
у а у Г2(А - т + 1)Г(2А — т — « + 2)
Умножая это на множитель, стоящий в (1) перед £д,т> получаем:
ГЛ ^ V 1 (-1)5 (2Л + 1 - 2т) Г2(А + 1 - в) ¿(а),* ,.ч
тгл,т(5о) = 2^ - • ТТТГГ«V------------------------------------------5 <?)• М
5=0 4 7
Формула (2) получается из (4) суммированием по т = 0,1,..., к. Для явного вычисления удобно применить индукцию по к.
Значение В\(Сл.пиСл.т) было вычислено в [2], оно равно:
, Г(2Л -2т + 1)Г(2А -2т + 2)Г(Л + 1)Г(Л + 2)
Г(2А — т + 2)Г4(А — т + 1)
Поэтому
о. 11 (2А + 1-2т)Г(А + 1)Г(А + 2)
ВлК,т(<5о),7ГА,т(<5о)) = “ ' ~Т-----------^-----------------------•
7Г т! I (/Л — т + 2)
Остается просуммировать это по ш = 0,1,..., А;, чтобы получить (3). Здесь тоже удобно применить индукцию по к. □
Литература
1. А. М. Вершик, И. М. Гельфанд, М. И. Граев. Представления группы SL(2,R), где R - кольцо функций. Успехи матем. наук, 1973, том 28, № 5, 83-128.
2. L. I. Grosheva. Boundary representations on the Lobachevsky plane. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2005, том 10, вып. 4, 357-365.
3. V. F. Molchanov, L. I. Grosheva. Canonical and boundary representations on the Lobachevsky plane. Acta Appl. Math., 2002, vol. 73, 59-77.
L. I. Grosheva. Projections of the canonical vector for the Lobachevsky plane For canonical representations on the Lobachevsky plane, we determine projections of the canonical vector (the delta function concentrated at the initial point) to spaces of distributions concentrated at the boundary
Keywords: canonical representations, boundary representations, Lobachevsky plane, delta functions
