Граничные обобщенные функции для плоскости Лобачевского, постоянные на Абсолюте Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

ГРАНИЧНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО, ПОСТОЯННЫЕ НА АБСОЛЮТЕ

© Л.И. Грошева

Ключевые слова: канонические представления; граничные представления; плоскость Лобачевского; обобщенные функции.

Для канонических представлений на плоскости Лобачевского, отвечающих характеру максимальной компактной подгруппы, дано описание обобщенных функций, сосредоточенных на границе и постоянных на ней.

В работе [5] мы изучили канонические и граничные представления группы С = ЯИ (1,1) на плоскости Лобачевского О . В работе [2] мы продолжили изучение граничных представлений, здесь мы исследовали пространство Хо(О) обобщенных функций, сосредоточенных на границе 5 плоскости О (абсолюте), которые инвариантны относительно максимальной компактной подгруппы К (так что они постоянны на границе). Результаты работы [2] были обобщены в [4] на комплексные гиперболические пространства.

Канонические представления в [5] получаются деформацией квазирегулярного представления и группы С на О, т. е. представления, индуцированного единичным представлением подгруппы К. Более общая задача состоит в изучении аналогичных деформаций представлений группы С в пространстве сечений линейных расслоений на О , или, что все равно, деформаций представлений группы С , индуцированных произвольными характерами подгруппы К . Такие канонические представления в сечениях тоже порождают граничные представления, действующие в обобщенных функциях, сосредоточенных на границе 5 плоскости О. В настоящей работе мы изучаем (аналогично [2]) пространство Хо(О) обобщенных функций, сосредоточенных на границе 5 и постоянных на границе. Отметим, что здесь обобщенные функции из Хо(О) уже не будут инвариантными относительно подгруппы К , они являются собственными функциями для нее, собственным числом служит индуцирующий характер.

Группа С состоит из матриц

9=(а а)- “-*=1-

Она действует на С дробно-линейно (правое действие):

аг + Ь

г • д =

Ьг + а

Стационарная подгруппа точки г = 0 есть максимальная компактная подгруппа К группы С , состоящая из диагональных матриц:

к =( 0 а) - аа = 1- (1)

г

1703

Обозначим

р = 1 — гг.

Однородное пространство С/К есть единичный круг О : р > 0. Его граница 5 : р = 0 (окружность) - тоже С -орбита. Обозначим О = О и Б .

Мы будем использовать обозначение

г \ п ,|г|,

Пусть Л € С, т € ^. Мы рассматриваем представления группы С, индуцированные характером подгруппы К, который матрице (1) сопоставляет число а-2т . Соответствующие канонические представления Ял,т группы С действуют в пространстве ^(О) по формуле:

(Я\,т(я)/)(г) = /(г ■ 9)(Ьг + а)-2л-4, 2т.

Как ив [5], канонические представления Ял,т порождают граничные представления. Разложение канонических и граничных представлений делается аналогично [5], см., например, [3].

Канонические представления Ял,т группы С распространяются на пространство V (О) обобщенных функций на С с носителем в О, в частности, на пространство Х (О) обобщенных функций, сосредоточенных на 5 .

Элементу Казимира Д0 , отвечающему алгебре Ли группы С , представление Я\т сопоставляет дифференциальный оператор Дл,т . Его радиальная часть, действующая на функциях, зависящих только от р, есть оператор

о ¿2 ^

Дл,т = р2(1 — р) ^р2 + [2Л + 4 — (2Л + 5)р] Р ¿р +

+ (Л + 1)(Л + 2)+ [т2 — (Л + 2)2]р.

В пространстве Х (О) рассмотрим подпространство Хо(О) , состоящее из обобщенных функций, постоянных на 5 . Оно состоит из линейных комбинаций дельта-функции ¿(р) и ее производных ¿(к) (р) .

В пространстве Хо(О) мы имеем два естественных базиса: первый состоит из производных дельта-функции:

¿(к)(р), к = 0,1,..., (2) второй состоит из обобщенных функций

слт)=¿(к)(р)+•••, к=0,1,..., (з)

где многоточие после ¿(к) (р) обозначает линейную комбинацию производных меньшего порядка. Элементы второго базиса характеризуются тем, что они являются собственными функциями оператора Дл,т :

Дл,т^\^ = (Л — к)(Л — к + 1)сл;к))

и тем, что коэффициент при старшей производной равен единице.

Мы будем использовать обозначения

г[п] = а(а + 1)... (а + п — 1) =

Г(а + п) Г(а)

,(т) = — 1)... („ — т + 1) = Г(Г<— + +*!)

1704

Теорема 1. Элементы базисов (2) и (3) выражаются друг через друга с помощью треугольных матриц с единицами по главной диагонали, а именно

слт)=в—ч‘ (к)(Л—к+1(+Лт—)'2'к Л+—2)к.+1—т>'"' (4)

5(к)(Р)_\^( і\k-rl к\ (-Л + г + т)[к г](-Л + г - т)[к г] . (т) 5 (Р) _ Г=0(-1) (-2Л + 2г)[к-г] ^л’г

Заметим, что формулу (4) можно записать следующим образом:

Слт) = ^ (Л — к + 1 + т, Л — к + 1 — т;2Л — 2к + 2; р) ¿(к)(р),

где ^ - гипергеометрическая функция Гаусса. Из (4) получаем производящую функцию для ¿(к) (р) :

ехр (“I)ад = *= к!х

х ^(—Л + к + т, —Л + к — т; —2Л + 2к; — и) (лт).

Определим на £>(О) билинейную форму (назовем ее формой Березина)

Вл,т(/,Ь) = с(А,ти (1 — гад)2л,2т /(ад) Л,(г) ^ж^у^и^-и, (5)

где г = ж + гу , ад = и + ¿V ,

, . —Л — 1 + т

с(Л, т) =------------.

п

Эта билинейная форма инвариантна относительно Лл,т . Обозначим

Ь(Л, т) = Вл,т (¿(р),ф)).

Мы имеем

Ь(Л,т) = —п Г(Л + 2 — m>Г(2Л + Ч

к

Г(Л + 1 + т)Г2(Л + 1 — т) ’ Теорема 2. Базис (3) ортогонален относительно формы Березина:

Ял.тКЛЇ.сЛЇ) _ /3(Л>т; к), Вл.т.(СІ:к),СІ”;)) _ о, к _ г,

где

т! {(Л + т)(к)(Л — т)(к) }2

в(Л, т; к) _ Ь(Л, т)

(2Л + 1 - к)(к)(2Л)(2к)

Теорема 3. Попарные скалярные произведения элементов базиса (2) даются следующей формулой:

Вл,т(¿(к)(р),^(г)(р)) = Ь(Л,т) ■ е(Л, т; к, г)),

где

в(Л,т; к,г» = (—1)*+' (~Л ~ + (m_)2Л>_:+,+ т)'к'(—Л — т)И . да

1705

Доказательство. Оператор Дл,т действует на обобщенные функции ¿(fc)(p) следующим образом:

Дл.т^р) = (А - k)(A - k + l)á(fc)(p) +

+ k(A — k + l + m)(A — k + l — m)á(fc-1)(p).

Поскольку оператор Дд>т симметричен относительно формы (5), мы получаем для чисел Ох = є(А, m; k, r)) соотношение:

(r — k)(2A — k — r + l) ekr +

+ k(A — k + l + m)(A — k + l — m) e^—i,r —

— r(A — r + l + m)(A — r + l — m)ek,r-1 = 0.

Формула (6) есть решение этого конечно-разностного уравнения. □

Рассмотрим производящую функцию от двух переменных u, v для матрицы (e(A, m; k,r))fcr :

ОО k r

u v

Ф^, m; u,v)= £ e(A,m; k,r)) ■ — ■ -y. (7)

k,r=0

Теорема 4. Функцию Ф^, m; u, v) можно выразить через гипеpгеометpическую функцию Гаусса, аргумент ее есть многочлен от u, v второй степени:

Ф^, m; u, v) = F (—A — m, —A + m; — 2A; —u — v — uv).

Доказательство. По (6), (7) и [1] 5.7(8) функция Ф^ш,; u, v) есть гипергео-метрическая функция двух переменных:

Ф^, m; u, v) = F3(—A — m, —A + m, —A + m, —A — m, — 2A; —u, —v).

Последняя функция сводится к гипергеометрической функции Гаусса — по [1] 5.10 (4). □

Из (6) и (7) следует

Вл,т(exp ^ud-)¿(p),exp ^vd-)^(p)) = b(A,m) ■ Ф(A,m;u, v).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.

2. Grosheva L.I. Boundary гергезепіайопз on the Lobachevsky plane // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2005. Т. 10. Вып. 4. С. 357-365.

3. Грошева Л.И. Канонические представления в сечениях линейных расслоений на плоскости Лобачевского // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып. 4. С. 436-438.

4. Грошева Л.И. Граничные K-инвариантные обобщенные функции для комплексного гиперболического пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 1. С. 363-366.

5. Molchanov V.F., Grosheva L.I. Canonical and boundary representations on the Lobachevsky plane // Acta Appl. Math. 2002. V. 73. P. 59-77.

1706

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-00325); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 1.1.2/1474); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственный контракт № 14.740.11.0349); темплана 1.5.07.

Поступила в редакцию 25 августа 2010 г.

Grosheva L.I. Boundary distributions on the Lobachevsky plane that are constant on the absolute. For canonical representations on the Lobachevsky plane, related to a character of a maximal compact subgroup, we give a description of distributions concentrated at the boundary and constant on it.

Key words: canonical representations; boundary representations; Lobachevsky plane; distributions.

1707