Обобщенные функции, сосредоточенные на Абсолюте пространства Лобачевского, инвариантные относительно вращений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ НА АБСОЛЮТЕ ПРОСТРАНСТВА ЛОБАЧЕВСКОГО, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 1

Л. И. Грошева

Рассмотрим пространство Лобачевского С = С/К, где С = ЗО0(п — 1,1), К = ЭО(п - 1), в модели Клейна: С есть единичный шар В в пространстве К""1. Граница этого шара (абсолют пространства Лобачевского) есть единичная сфера 5 в пространстве Кп“1. Пусть В = В и 5. В работе [2] мы изучали канонические представления Дл, А £ С, группы С на пространстве С. Каноническое представление Л\ порождает граничное представление Ь\ группы С, действующее в пространстве Е(В), обобщенных функций, сосредоточенных на 5. В настоящей статье мы рассматриваем пространство Е{В)к обобщенных функций из 'Е(В), инвариантных относительно К. Это пространство Т,(В)К имеет два естественных базиса: первый базис состоит из производных дельта-функции, сосредоточенной на <5, по радиальному направлению, второй базис получается ортогонализацией первого базиса относительно некоторой билинейной формы (формы Березина). Второй базис является также собственным для некоторого дифференциального оператора - образа элемента Казимира алгебры Ли д группы (7 в представлении Ял-

Эти два базиса выражаются друг через друга посредством верхних треугольных матриц с единичной диагональю. Мы находим явно эти матрицы, а также матрицы попарных скалярных произведений элементов этих базисов. Кроме того, мы пишем некоторые производящие функции.

Для плоскости Лобачевского аналогичные результаты были получены в [3].

Введем некоторые обозначения:

N = {0,1,2,...},

= а(а + 1)... (а + т — 1) = ^ ,

1 (а)

для многообразия М через Т>(М) обозначается пространство Шварца комплексных бесконечно дифференцируемых функций с обычной топологией и через Т>'(М) обозначается пространство обобщенных функций на М - линейных непрерывных функционалов на Т>(М).

Работа поддержана грантами: РФФИ 05-01-00074а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом № 1.2.02.

§ 1. Канонические представления на пространстве Лобачевского

Возьмем в пространстве Шп,п ^ 3, билинейную форму [х, у] = -Х1У1 - ... - Хп^хУп-1 + хпуп.

Группа £7 = 80о(п —1,1) есть связная подгруппа в группе всех линейных преобразований пространства К”, сохраняющих эту форму. Мы будем считать, что С действует в К” справа: х н-* хд, в соответствии с этим мы записываем векторы в виде строки.

Разобъем матрицы д е (7 на блоки соответственно разбиению п = (п — 1) + 1:

( а /3

9=и I

Обозначим через (и, у) стандартное скалярное произведение в М"-1:

(и, у) = игУ\ + . .. + Чп-гУп-х.

Пространство Лобачевского размерности п — 1 в модели Клейна есть единичный шар В: (и, и) < 1 в Кп_1. Группа С действует на В дробно-линейно:

иа + 7

и*и'9 = ^Тб'

Стационарная подгруппа К точки и = 0 изоморфна ЭО(п — 1). Указанное действие определено также на границе шара В - единичной сфере 5 : (и, и) — 1. Обозначим

р = 1 — {и, и).

Возьмем на В полярные координаты р,в : и — л/1 — р • 5, й Є 5. В этих координатах оператор Лапласа-Бельтрами Д на В имеет вид

А = 4(1 - р)р2|-^ + 2р{А -п-3р)^ + (1-1)

где А5 - оператор Лапласа-Бельтрами на Б.

Определим билинейную форму для функций на В:

(^,/)в= [ Р{и)/{и)ёщ (1.2)

где йи - евклидова мера на В: сій = сіщ ... <1ип-х-

Обозначим через Т>(В) пространство ограничений на В функций из пространства Т>(Шп~1) и через Т>’(В) пространство обобщенных функций из 2?'(Е”-1) с носителем из В.

Канонические представления Я\,Х Є С, группы Є действуют в пространстве Т>(В) по формуле

(И\(д)!)(и) = 1{и-д) {иР + 5)~х~п.

Скалярное произведение (1.2) инвариантно относительно пары (і?Л, Я-\~п), т.е.

<ДлЫ^/)в = (^Д_л_„(р-1)/)в.

Это позволяет распространить ґІ\ на Т>'(В).

Определим на Т>(В) оператор

(0\ЇЇ(и)= [ І1 — (и, f(v)dv.

ч ...... , к , -

интеграл абсолютно сходится при Яе Л > — 1 и распространяется по аналитичности на всю комплексную плоскость Л до мероморфной функции. Он сплетает і?Л и В—Х-п-

д_а-пЫ<2а = <2а#а (д)-Следовательно, билинейная форма

иЛ)\ = с(\)(С}\$,Ь)в (1.3)

инвариантна относительно Н.\. Здесь множитель с(А) дается формулой

Г(=Ш)

с(л) =

Г(2=п=Л)’

он выбирается из некоторых соображений, см. [2].

Пусть Ад - элемент Казимира в алгебре Ли д группы Є. Представление Яд сопоставляет ему дифференциальный оператор

Ад = А + 4(А + п)р{ 1 — р) ——Н (А + п) [А + 2 — (А + п + 1)р],

так что его радиальная часть (действующая на /•('-инвариантных функциях, т.е. на функциях, зависящих только от р) в силу (1.1) есть оператор

4(1 — р)р2 д 2 + 2р[2А ч + 4 — (2А + 2п + 3)р] ——Н (А + ті) [А + 2 — (А + п + 1)р].

§ 2. Представления группы (7, связанные с конусом

Мы используем компактную картину для представлений, связанных с конусом (представлений класса 1), см. [1]. Такое представление Та,а Є С, группы Є действует в пространстве Т>(Б) по формуле

{тЛд)^)^) = ч>{з • д){зр + 8)а.

Элемент Казимира Ад переходит в скалярный оператор:

Та (А0) = а(а + п - 2) • Е.

Билинейная форма

{'Ф,(р)з= / Ф(э)Ф)(1з,

Js

где о?з - евклидова мера на Б, инвариантна относительно пары (Та,Т2-п-сг), т.е.

(Та(д)ф,р)з = ('ф,Т2-п-<7{д~1)(р)з.

Определим оператор в Т>(Б):

(Аа(р) (в) = ! (1 - (в, г))2~п~а (р(г) (М. в

Он сплетает Та и Т2-п-а.

Функция фо на Б, равная тождественно единице, является собственной для оператора Аа\

Ааф0 = Ла)ф0, (2.1)

где

р (2=а — гг')

Ла) = 2-«тг^-У/2 ^ >. (2.2)

Представления Та неприводимы для всех сг, за исключением сг е Мист е 2-п-М.

§ 3. Граничные представления

Каноническое представление Яд порождает граничное представление Ь\, действующее на обобщенных функциях, сосредоточенных на Б. Это делается следующим образом.

Обозначим через Ет{В), шеМ, пространство обобщенных функций ( из Т>'(В), имеющих вид

с = <ро(з)й(р) + <Р1(3М'(р) + • • • + (Рт(8)5{т)(р), (3.1)

где 5(р) - дельта-функция Дирака на прямой, 6^(р) - ее производные, щ € Т>(Б).

__ ОО _ _

Положим Е(В) = У Ет(В). Представление Яд сохраняет пространство Е(В) и

т=0

фильтрацию Е о (В) С Е^Б) С ... . Ограничение представления Дд на пространство Е(£?) и есть представление Ь\.

Сопоставим обобщенной функции (3.1) столбец

(<Ро, ^1) • ■ ■) ^гп1 0,0,...).

Тогда Ь\ записывается верхней треугольной матрицей с диагональю Т2_п_д, Т4_„_д,

Тб-п-\, — _

Форму (/, Н)\ можно распространить на Е(В): она определяется естественным образом на Ек (В) для Г1еА > 2к — 1 и затем продолжается на всю плоскость А по аналитичности до мероморфной функции. В частности,

(ф5{р), ч>8{р))х = а(А, 0){А2-п-хФ, <р)8,

где а дается формулой (3.8) ниже.

Обозначим через Ь(А) последнее скалярное произведение для ф = (р = ф0. Мы имеем

г(А + "=2)Г(1=*)

Ь(А) = (5(р),6(р))х = 2а+п-4тг'1/2

Г(2^)Г(А + П- 2)’

где к обозначает объем единичной сферы в Шк.

Разложим представление Ь\ для общего случая: А ^ — (п — 4)/2 + N.

Сначала определим дифференциальные операторы и на Рас-

смотрим следующие степенные ряды по р\

/п ч//9 ^/а + п - 2 + / а + п-1 + 1 п А к . .

(1-р);/2^( --------^-----’-------2-----;<Т+2;Р) = (3-2)

' /г=0

(1 -р)-[>2г —-;<г + |;р) = (з.з)

' /с=0

где ^ - гипергеометрическая функция Гаусса, щ = 1(3 — п — /), I Е N. Положим

= и)к(сг, А3), 1¥;1к = ю*(а, Д5). (3.4)

Заметим, что И^о = = 1-

Определим следующие операторы £д^ '■ ^)(5') ~^к(В):

ЬА<Р) = Е(-1)‘ ттАй И'л-м.бМ ■ ^(р). (3.5)

6=0 ^ ''

Оператор ^ сплетает Т2-п-х+2к с Ьд

Имеют место следующие "соотношения ортогональности

и.

(£а,*0/0> &,*(<?))> = «(А, А;)(Л2_П_Л+А:'0,^)5, (3.6)

(£\,к(Ф) і \ = 0 ,кфг, (3.7)

где

а(Х к) ~ 2х~2к~1 (-1)* к’ тг(п_2)/2 г(~^ + 2/с)Г(^ - А + А:)

' — ( 1) Л.тг Г(-А/2)Г(Ш)Г(^_А + 2А;)- ^

"Старый базис" ір5^к\р) выражается через "новый базис" £д)т(</?) следующим образом:

^М<5(,=,(г>) = £ (-1)‘-г Єл,, • (3-9)

г=0

Пусть обозначает образ оператора £д^. Это пространство содержится в 'Ек(В), оно есть собственное пространство для оператора Дд с собственными значением (А — 2/с) (А + п — 2 — 2к).

Для рассматриваемого общего случая граничное представление Ь\ диагонали-зуемо, а именно, £(£?) распадается в прямую сумму подпространств УЛ;Ь к е М, ограничение представления Ь\ на эквивалентно Т2-п-\+2к•

§ 4. Пространство К-инвариантных обобщенных функций

Обозначим через Ет(В)К и Е(В)к подпространства в Ет(В) и Е(В), соответственно, состоящие из К-инвариантных обобщенных функций. Тогда коэффициенты <рі в (3.1) - постоянные функции.

В пространстве Е(В)к мы имеем два базиса: первый состоит из обобщенных функций

і(р),4'(р),...,і<*>(р),..., (4.1)

второй состоит из обобщенных функций

Са,0) Са,1> • ■ • і Са,кі ■ ■ ■ і (^-2)

где

Са ,к = €х,к(Фо)-

Элементы второго базиса являются собственными функциями оператора Дд:

АаСа,а: = (А ~ 2/г)(Л + п — 2 — 2к)(х^-

Пересечение Уд,А: П Т,(В)К одномерно, базисом в нем служит как раз £Л)Л.

Теорема 4.1 Базис (4.2) ортогонален относительно формы (1.3):

(Са,/о Сл,А:)а ~ @{Х,к),

(Са,ьСа,г)л = 0, кфт,

где

о(\ М-АШ 9-4 к]гЧ -1^ (-Л)^(З-П-Л)^

/(’)“() ( 4 (1?-а)|“1(2?-л + *)[*г

Теорема получается из (3.6), (3.7), (3.8), (2.1), (2.2).

Теорема 4.2 Элементы базисов (4.1) и (4.2) выражаются друг через друга следующим образом:

с* = В-1)4 (Ї)

= Е(-ч‘- С) {4А)

Доказательство. Нам нужно вычислить и И^^о). По (3.4), (3.2),

(3.3) мы имеем

/а+п-2ЛМ/£+п-1ЛМ (а + п_2)^

"'„.(Л) = «*М)* = 1 ^ = 2 (а + !)ИЫ *■

/^М/сг+пМ Га+ 1^1

^(*) = „;(„,о)*, = *> = 2-“ (;+|);и1 Л, (4.5)

Подставляя в формулы (3.5) и (3.9) значения сг = А — 2& и <т = 2 — п — Л + 2г, соответственно, и полагая (р = ф0, мы получаем (4.3) и (4.4). □

Заметим, что формулу (4.3) можно записать следующим образом

с* = - к, А + = - »;р) ^'(Р).

Теорема 4.3 Имеет место следующее разложение:

( й \ с-/ ч и/г ^/4 - п - Л , З-п-А , 4-п . П1 \ А

ехр(иТ)6(р) = ]Г - ^(--------------+ /с,--------+ к- — - А + 24; . Сл,*.

^ 5 = 0

Теорема вытекает из (4.5) с ст = 2 — п — Л + 2/с.

Теорема 4.4 Попарные скалярные произведения элементов базиса (4.1) даются следующей формулой:

(<5(га) (р), й(’'|(р))А = 6(А) • (—1)т+г 2~2г~2т (3~П^‘^[^1~—-• (4-6)

Доказательство аналогично доказательству подобной формулы из [3]. Оператор Ад действует на обобщенные функции 5^т\р) следующим образом:

Ах6^т>(р) = (Л — 2т) (Л + п — 2 — 2т)5^т\р)

+ т(Х + п — 2 — 2т) (Л + п — 1 — 2 т)5^т~1\р).

Поскольку оператор Ад симметричен относительно формы (1.3), мы получаем

для скалярных произведений (5^ (р), <5^(р))

Л соотношение:

— (гт — -г ^ (А \ — Ат — Ат — А -и 9гП ((гЛ Л(Г) =

= г (А + п - 2 - 2г)(А + п - 1 - 2г) (б^т\р), <^г~^(р))л —т(А + п — 2 — 2т) (Л + п — 1 — 2т) (5^т_1^(р), 5^г^(р))л.

Формула (4.6) есть решение этого конечно-разностного уравнения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. Я. Виленкин. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

2. Л. И. Грошева. Канонические и граничные представления на пространстве Лобачевского. Вестник Тамбовского унив. Сер. Ест. техн. науки, 2004, том 9, вып. 3, 306-311.

3. L. I. Grosheva. Boundary representations on the Lobachevsky plane. Вестник Тамбовского унив. Сер. Ест. техн. науки, 2005, том 10, вып. 4, 357-365.

зо