Гипотезы о числе бент-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

2) L о R = {w1 о w2 : w1 Е L и w2 Е R};

n СО

3) L+ = U L* , где L1 = L; Li+1 = L* 0 L для всех i ^ 1.

*=1

Рассмотрим семейство алгебр (2х , о, U, +, 0). В случае, когда n = 0, операция о совпадает с операцией конкатенации, а рассматриваемая алгебра является алгеброй регулярных языков.

Регулярные выражения в алгебре (2х , о, U, +, 0) определим следующим образом:

1) 0 является регулярным выражением и представляет язык L(0) = 0;

2) x является регулярным выражением и представляет язык L(x) = {x} для всех x Е U X*;

0^о+1

3) если R и Q — регулярные выражения, представляющие языки L(R) и L(Q) соот-

nn

ветственно, то выражения (RoQ), (R U Q), (R+) также являются регулярными,

о о n n

причем L(R О Q) = L(R) о L(Q), L(R U Q) = L(R) U L(Q), L(R+) = (L(R))+.

Графом с отмеченными дугами (вершинами) назовем четверку G = (Q, E, X, ^), где Q — конечное множество вершин; E С Q х Q — множество дуг; X — конечное множество отметок дуг; ^ : E ^ X (^ : Q ^ X) —функция отметок дуг (вершин). Отметкой пути будем называть последовательность отметок входящих в этот путь дуг (вершин).

Пусть I С Q — множество начальных вершин графа G с отмеченными дугами или с отмеченными вершинами, F С Q — множество финальных вершин. Отметки всех путей в графе G, начальные вершины которых принадлежат множеству I, а конечные — множеству F, назовем языком, допускаемым графом G, и обозначим L(G).

Теорема 1. Язык L С X* допустим в графе с отмеченными дугами (вершинами) тогда и только тогда, когда он описывается регулярным выражением любой алгебры

/ X * о о \

из семейства (2х , o, U, +, 0).

Эта теорема в некотором смысле аналогична широко известной теореме Клини для конечных автоматов. В случае, когда n = 0 и рассматриваются только графы с отмеченными дугами, теорема 1 совпадает с теоремой Клини. На основе доказательства теоремы разработаны методы анализа и синтеза языков, представимых в отмеченных графах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Капитонова Ю. В., Летичевский А. А. Математическая теория проектирования вычислительных систем. М.: Наука, 1988.

2. Anderson J. Automata Theory with Modern Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.

УДК 519.7

ГИПОТЕЗЫ О ЧИСЛЕ БЕНТ-ФУНКЦИЙ1

Н. Н. Токарева

Проблема определения числа всех бент-функций—булевых функций от четного числа переменных, максимально удаленных от множества аффинных функций, — яв-

1 Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проекты №09-01-00528, 10-01-00424, 11-01-00997) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0429).

ляется одной из фундаментальных в этой области. Известно, что разрыв между существующими нижней и верхней оценками этого числа огромен. В работе исследуется роль класса итеративных бент-функций в решении этой задачи и формулируется серия гипотез о числе бент-функций.

Бент-функция g от n переменных называется итеративной бент-функцией, если она получена из четырех бент-функций /0, /, /2, /3 от n — 2 переменных с помощью конструкции

g(00,x) = /ООг), g(01,x) = g(10,x) = f2(ж), g(ll,x) = Уз(ж).

При этом необходимым и достаточным условием того, чтобы определенная таким образом булева функция g была бент-функцией, является выполнение равенства /0 + /1 + /2 + /3 = 1, где / обозначает дуальную бент-функцию. Этот способ был предложен А. Канто и П. Шарпин в работе [1], см. также [2].

Пусть Bn и BIn обозначают соответственно множество всех бент-функций и множество всех итеративных бент-функций от n переменных. В [2, 3] показано, что

|Bn+21 ^ |BIn+21 ^ Y1 Y1 I (Bn + /') п (Bn + /'') |. Продолжим начатое исследо-

f 'esnf"евп

вание.

Пусть Xn — множество всех булевых функций от n переменных, которые можно представить в виде суммы двух бент-функций, т. е.

Xn = U (Bn + /).

f eßn

Кратностью покрытия булевой функции h назовем число бент-функций / от n переменных, таких, что h принадлежит множеству Bn + /. Обозначим кратность функции

через m(/). Несложно заметить, что m(/) = |Bn|2.

f exn

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Справедливо |BZn+2| = m(/)2.

f exn

Теорема 2. Выполняется |ВХо+2| ^ |Bra|4/|Xra |.

Таким образом, из задачи нахождения числа всех итеративных бент-функций от n переменных возникают следующие вопросы.

Открытые вопросы. Какие булевы функции от n переменных могут быть представлены в виде суммы двух бент-функций? Сколько различных таких представлений имеет булева функция? Как распределены числа m(/)?

Заметим, что поскольку степень каждой бент-функции от n переменных не выше n/2, то множество Xra также содержит только функции степени не выше n/2, т. е.

|Xra| ^ 21+°+( 2 )+"'+( = 22 + 2( n/2 ). Проверено, что при n = 2, 4, б множе-

ство Xra содержит все булевы функции степени не выше n/2. Сформулируем следующую сильную гипотезу.

Гипотеза 1. Каждая булева функция от n переменных степени не больше n/2 представима в виде суммы двух бент-функций от n переменных.

Если гипотеза І верна, то из нее практически сразу следует справедливость следующей гипотезы об асимптотике числа всех бент-функций.

Гипотеза 2. Число всех бент-функций от n переменных асимптотически равно

p.2n-c+^ По ) 1 1 ^ ^ п

2 V n /2 ), где c, d — некоторые константы, причем I ^ с ^ 2.

Гипотеза 2 означает, что число всех бент-функций скорее ближе к тривиальной верхней оценке их числа (в грубом приближении 22"), чем к нижней (около 22(n /2) + l°g(n-2)-l )

С другой стороны, возникают гипотезы, отражающие роль множества итеративных бент-функций в классе всех бент-функций. Проверено, что при малых n, равных 2, 4, 6, оценка теоремы 2 становится всё более точной.

Например, для последнего случая (n = 6) с привлечением методов Монте-Карло вычислено с малой погрешностью значение |BI8|, а именно показано, что с вероятностью 0,999 выполняется 287,36 < |BI8| < 287,38, тогда как по оценке теоремы 2 имеем |BXs| > I97 004 89I 33I 09I 000 000 000 000 « 287>35.

Гипотеза 3. Оценка теоремы 2 асимптотически точна, т. е. справедливо

log log |BIn+2| = 1

n+o loglog(|Bn|4/|Xn|) .

Сформулируем также следующую гипотезу, смысл которой неформально сводится к тому, что «поведение» класса всех бент-функций определяется лишь итеративными бент-функциями.

Гипотеза 4. Класс BIn является базовым классом в множестве Bn, т. е. выполняется

log log |BIn

lim -----------

n+o log log |Bn|

ЛИТЕРАТУРА

1. Canteaut A. and Charpin P. Decomposing Bent Functions // IEEE Trans. Inform. Theory. 2003. V. 49. P. 2004-2019.

2. Токарева Н. Н. Новая комбинаторная конструкция бент-функций // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2010. №3. С. 13-14.

3. Tokareva N. On the number of bent functions: lower bounds and hypotheses // Crypto Archive 2011, Report 083. http://eprint.iacr.org/2011/083.pdf.