Связь подпространств, на которых аффинны бент-функция и дуальная к ней Текст научной статьи по специальности «Математика»

Следствие. Пусть n, d — натуральные числа, такие, что n>2, d<2n—І, ||d ||2 >n/2. Тогда для любой функции F Є Fn выполняется неравенство

max {|А (F, trn (axd) + trn (ex)) | : a, в Є F2n} > 2n.

З а м е ч а н и е. Зафиксируем натуральное n. В качестве примера показателя d, удовлетворяющего условию следствия, можно привести число 2t — І, где t > n/2. Если требуется, чтобы моном xd задавал подстановку на F2n, то t необходимо выбрать взаимно простым с n. Таким условиям при n > 2 удовлетворяет t, равное n — І.

Теоретический и практический интерес представляют задачи количественной оценки для натурального n, d Є І, 2n — І и функции F Є Fn величины

max {IА (F, trn (axd) + trn (^x)) | : a, в Є F2n }

как для всех функций из Fn, так и для отдельных классов таких функций, например бент-функций [4]. Рассмотрим способ построения бент-функций с помощью координатных функций степенных преобразований поля F2n и продемонстрируем эффективность аппроксимации построенных функций приближениями из рассмотренных классов.

Теорема 2. Пусть натуральные числа n и s четны, n/2 нечетно и (n,s) = 2. Положим d = І + 2s и выберем натуральное число a таким, что ad = І (mod 2n — І). Пусть значения функции Fa,b Є Fn для любого элемента x Є F2n определены равенством Fa,b (x) = trn (bCTx) trn (ax) + trn (bxd), а элементы a, b Є F2n\ {0} таковы, что trn (ab-CT) = e. Тогда:

a) Fa,b является бент-функцдай;

b) max {IА (Fa,b (x) , trn (c1 xd') + trn (c2x)) | : c1, c2 Є F2n, d/ Є І, 2n — 2} ^ 2n-i.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов А. В. Использование приведенного представления булевых функций при построении их нелинейных аппроксимаций // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2007. №23. С. 31-35.

2. Кузьмин А. С., Марков В. Т., Нечаев А. А., Шишков А. Б. Приближение булевых функций мономиальными jj Дискретная математика. 2006. Т. 18. №1. С. 9-29.

3. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МНЦМО, 2004. 470 с.

4. Rathaus O. S. On “bent” functions jj J. Comb. Theory. 1976. Ser. A. V. 20. P. 300-305.

5. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1,2. М.: Мир, 1988. 818 с.

УДК 519.7

СВЯЗЬ ПОДПРОСТРАНСТВ, НА КОТОРЫХ АФФИННЫ БЕНТ-ФУНКЦИЯ И ДУАЛЬНАЯ К НЕЙ1

Н. А. Коломеец

Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в [1]. Ранее было установлено, что минимальное расстояние Хэмминга между бент-функциями от n переменных равно 2n/2 и бент-функции находятся на этом расстоянии тогда и только тогда, когда их значения отличаются на аффинном подпространстве и обе функции

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для молодых российских ученых (грант МК №1250.2009.1).

на нем аффинны. В данной работе для бент-функции и дуальной к ней устанавливается соответствие между подпространствами, на которых каждая из них аффинна.

Бент-функция — это булева функция от четного числа переменных, максимально удаленная от класса аффинных функций (функций вида aix фа2я2 ®... ® anxra® an+i). C бент-функцией f часто связывают дуальную функцию f, которая определяется из равенства

Wf (w) = 2n/2(-1)/(w), где Wf (w) = (—1)fкоэффициенты Уолша — Адамара.

(По альтернативному определению бент-функция — это такая функция, для которой все коэффициенты Уолша — Адамара по модулю равны 2n/2.)

Теорема 1. Не для всех бент-функций от n переменных, n ^ 14, существуют бент-функции на минимальном расстоянии 2n/2.

Эта теорема следует из результатов, полученных в [1, 2]. В работе A. Canteaut и др. рассматриваются нормальные и ненормальные бент-функции. Бент-функция от n переменных называется нормальной (слабо нормальной), если существует аффинное подпространство размерности n/2, на котором она постоянна (аффинна). В [2] доказывается существование не слабо нормальных бент-функций.

Пусть / — бент-функция от n переменных. Множество Lall(f) — множество всех аффинных подпространств размерности n/2, на которых функция / аффинна.

Чтобы понять, есть ли в распределении функций на минимальном расстоянии регулярные свойства, рассмотрим задачу построения бент-функций на минимальном расстоянии от / с условием, что получившиеся бент-функции обязательно должны отличаться от / в заданной точке я0. Определим множество LXíl(f) = {L G Lall(f) | я0 G L}. Тогда все функции с нужным свойством будут строиться с помощью множества LX0 (f). Чтобы рассмотреть это множество с другой стороны, сделаем следующее.

Определим функцию Ff : Lall(f) ^ Lall(f) следующим образом: если f|X0®L(x) = = (w0, я) ф с для некоторых векторов w0,x0, константы с и подпространства L, то справедливо Ff (я0 ф L) = w0 ф Lx.

Лемма 1. Функция Ff задана корректно.

Теорема 2. Функция Ff взаимнооднозначна, причем (Ff)-1 = Ff.

Таким образом, мы получаем, что множество LX0(f) состоит из элементов вида я0 ф L, таких, что функция f (я) ф (я0,я) на некотором сдвиге L± постоянна.

Но так как дуальная функция является бент-функцией, а бент-функции равноудалены ровно от половины аффинных функций, то встает вопрос: равны ли мощности LX0l(f) для различных я0? Как выяснилось, в общем случае это не так, хотя и существуют функции с одинаковыми мощностями LXl0(f). Например, все бент-функции от шести переменных обладают такой регулярностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коломеец Н. А., Павлов А. В. Свойства бент-функций, находящихся на минимальном расстоянии друг от друга // Прикладная дискретная математика. 2009. №4. C. 5-21.

2. Canteaut A., DaumM., Dobbertin H., Leander G. Finding nonnormal bent functions // Discr.

Appl. Math. 2006. V. 154. P. 202-218.

3. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V. 20. No. 3. P. 300-305.