О некоторых свойствах самодуальных бент-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X711/13

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ САМОДУАЛЬНЫХ БЕНТ-ФУНКЦИЙ1

А. В. Куценко

Найдены необходимые и достаточные условия самодуальности бент-функций, построенных с помощью итеративной конструкции В1 (Канто А., Шарпин П., 2003), позволяющей при выполнении определённых условий, используя четыре бент-функции от п переменных, построить бент-функцию от п + 2 переменных. Получено, что количество самодуальных бент-функций от п + 2 переменных, которые могут быть построены с помощью данной конструкции, оценивается снизу суммой числа бент-функций от п переменных и квадрата мощности множества самодуальных бент-функций от п переменных. Предложена итеративная конструкция самодуальных бент-функций. Доказано, что существуют самодуальные бент-функции всех возможных для бент-функций степеней. Доказано, что минимальное расстояние Хэмминга между самодуальными бент-функциями равно 2п/2. Доказано, что множества самодуальных и антисамодуальных бент-функций являются метрически регулярными.

Ключевые слова: булева функция, бент-функция, итеративная конструкция бент-функций, самодуальная бент-функция, метрически регулярное множество.

Булевой функцией f называется любое отображение f : ^ F2. Скалярным про-

изведением (ж,у) двух векторов ж = (жьж2,... , жп) € Рп,у = (уьу2,... , уп) € РП? на-

2

2 , у = (У 1, У2, . . . , уп) € Р 2 п

зывается значение ф ж^. Преобразованием Уолша — Адамара булевой функции f от

г=1

п переменных называется целочисленная функция Wf : РП ^ Ъ, заданная равенством Wf(у) = ^ (—1)/(х)®(х>у>. Булева функция f от чётного числа переменных п называется бент-функцией, если (у)| = 2п/2 для каждого у € ¥П [1]. Для множества бент-функций от п переменных используется обозначение Вп. Булева функция / называется дуальной к бент-функции f, если

Wf (ж) = (—1)/'(х)2п/2 для каждого ж € Рп. Бент-функция f называется самодуальной (антисамодуальной), если f = f (соответственно f = f ф 1). Множества самодуальных и антисамодуальных бент-функций от п переменных обозначаются через ББ+(п) и ББ-(п) соответственно. Расстояние Хэмминга между булевыми функциями ^ д от п переменных — число двоичных векторов длины п, на которых эти функции принимают различные значения, обозначается д). Степенью булевой функции называется максимальная из степеней мономов, входящих с ненулевыми коэффициентами в её алгебраическую нормальную форму (АНФ, полином Жегалкина).

Всюду далее предполагается, что п — чётное натуральное число.

В [2] исследованы ограничения бент-функций на подпространства коразмерности 2 и их сдвиги и установлена связь между максимальной нелинейностью получаемых подфункций и второй производной дуальной функции. На основании данного результата была предложена итеративная конструкция бент-функций от п + 2 переменных из четырёх бент-функций , /з от п переменных: f (а,Ь,х) = Д+2ь(ж), где а,Ь € Р2; ж € Рп. Известно [3], что функция f является бент-функций от п + 2 переменных в том и только в том случае, когда /з(ж) ф /1(ж) ф f2(x) ф Д(ж) = 1. Множество

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проекты №18-07-01394, 18-3100374).

Дискретные функции

45

бент-функций от 2k переменных, построенных с помощью данной конструкции, обозначается BI2fc. Для множества самодуальных бент-функций из BI2fc используется обозначение SB+X (2k).

Открытой проблемой является полная характеризация и описание класса самодуальных бент-функций. Этому вопросу посвящены несколько работ за рубежом (C. Carlet, L. E. Danielson, M.G.Parker, P. Sole, X. Hou, T. Feulner, L. Sok, A. Wassermann и др.). В частности, в [4] перечислены все самодуальные бент-функции от 2, 4, б переменных и все квадратичные самодуальные бент-функции от S переменных. В [5] приведена классификация всех квадратичных самодуальных бент-функций. Аффинную классификацию квадратичных и кубических самодуальных бент-функций от S переменных относительно преобразования, сохраняющего самодуальность, можно найти в [б]. В [Т] найден спектр расстояний Хэмминга между самодуальными бент-функциями из класса Мэйорана — МакФарланда.

В данной работе найдены необходимые и достаточные условия самодуальности функций из класса BI. На основании данного результата предложена итеративная конструкция самодуальных бент-функций и получена оценка на количество самодуальных бент-функций из класса BI. Доказано, что существуют самодуальные бент-функции всех возможных для бент-функций степеней. Найдено минимальное расстояние Хэм-минга между самодуальными бент-функциями. Доказано, что множества самодуальных и антисамодуальных бент-функций являются метрически регулярными.

Теорема 1. Пусть f G BIn+2. Тогда f является самодуальной бент-функций в том и только в том случае, когда существует такая пара функций g1,g2 G Bn и булева функция h от n переменных, что

f (00, x) = (gl e g2) h(x) e gl(x) = g2(x),

f (01, x) = (gl e g2) h(x) e g2(x) = g^Th(x),

f (10, x) = (gl e g2) h(x) e g2(x) e h(x) = gl(x),

f (11, x) = (gl e g2) h(x) e gl(x) e h(x) e 1 = g2 e h(x) e 1.

Можно показать, что функция h однозначно определяется парой функций g1,g2.

Следствие l. Бент-функции

fl (yl,y2, x) = (yl e У2 ) f (x) e 7(x)) e f (x) e У1У2,

f2 (Уl,У2, x) = (У1 e У2) (^(x) e ^(x)) e ^(x) e yi e У1У2, У1,У2 G F2, x G Fn, = 1, 2,

где f G Bn, ^ G SB+(n), ш G SB-(n), являются самодуальными бент-функциями от n + 2 переменных.

Заметим, что первая конструкция уже фигурировала в работе [4], но была получена другим способом — с помощью непрямой суммы бент-функций.

Следствие 2. Справедлива следующая оценка на количество итеративных самодуальных бент-функций:

|Bn-21 + |SB+(n - 2)|2 ^ |SB+I(n)| ^ |Bn-212.

Множество SB+(2) содержит только две функции: x1x2 и x1x2 e 1. В утверждениях 1, 2, 3 предполагается, что n ^ 4.

Утверждение 1. Для каждого d € {2, 3,... , n/2} существует самодуальная бент-функция от n переменных степени d.

Утверждение 2. Для любых различных u,v € F^ найдётся пара самодуальных бент-функций f, g € SB+(n), такая, что f (u) ф f (v) ф g(u) ф g(v) = 1.

Известно [8], что минимальное расстояние Хэмминга между бент-функциями равно 2n/2. Данное расстояние достижимо на множестве самодуальных бент-функций.

Утверждение 3. Справедливо

min dist (f, g) = 2n/2.

f,g€SB+(n),f=g

Пусть A С Fn — произвольное множество, y € F^ — произвольный двоичный вектор. Расстояние от вектора y до множества A определяется как dist(y,A) = = min dist (y, x). Радиусом покрытия множества A называется d(A) = max dist(y, A).

Множество двоичных векторов, находящихся на расстоянии d(A) от множества A С Fn, называется метрическим дополнением [9] множества A и обозначается A.

Если A = A, то множество A называется метрически регулярным.

Следующая теорема описывает метрическое дополнение множества самодуальных бент-функций.

Теорема 2. Пусть n ^ 4. Тогда

— метрическим дополнением множества самодуальных бент-функций от n переменных является множество антисамодуальных бент-функций от n переменных;

— метрическим дополнением множества антисамодуальных бент-функций от n переменных является множество самодуальных бент-функций от n переменных.

Следствие 3. Множества самодуальных и антисамодуальных бент-функций являются метрически регулярными.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.

2. Canteaut A. and Charpin P. Decomposing bent functions // IEEE Trans. Inf. Theory. 2003. V. 49. No. 8. P. 2004-2019.

3. Tokareva N. N On the number of bent functions from iterative constructions: lower bounds and hypotheses // Adv. Math. Commun. 2011. No. 4. P. 609-621.

4. Carlet C., Danielson L. E., Parker M. G., and Solé P. Self dual bent functions // Int. J. Inform. Coding Theory. 2010. No. 1. P. 384-399.

5. Hou X. Classification of self dual quadratic bent functions // Des. Codes Cryptogr. 2012. V. 63. P. 183-198.

6. Feulner T., SokL., Solé P., and Wassermann A. Towards the classification of self-dual bent functions in eight variables // Des. Codes Cryptogr. 2013. V. 68. P. 395-406.

7. Куценко А. В. Спектр расстояний Хэмминга между самодуальными бент-функциями из класса Мэйорана —МакФарланда // Дискретный анализ и исследование операций. 2018. Т. 25. №1. C. 98-119.

8. Коломеец Н. А., Павлов А. В. Свойства бент-функций, находящихся на минимальном расстоянии друг от друга // Прикладная дискретная математика. 2009. №4(6). С. 5-20.

9. Облаухов А. К. О метрическом дополнении подпространств булева куба // Дискретный анализ и исследование операций. 2016. Т. 23. №3. С. 93-106.