О множестве расстояний Хэмминга между самодуальными бентфункциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дискретные функции

29

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/9/11

О МНОЖЕСТВЕ РАССТОЯНИЙ ХЭММИНГА МЕЖДУ САМОДУАЛЬНЫМИ БЕНТ-ФУНКЦИЯМИ1

А. В. Куценко

Получен полный спектр расстояний Хэмминга между самодуальными бент-функ-циями из класса Мэйорана — МакФарланда со следующим ограничением: перестановка, фигурирующая в данной конструкции, должна быть элементом полной линейной группы соответствующего порядка. На основании этого результата сделан вывод о минимальном расстоянии Хэмминга между рассмотренными функциями.

Ключевые слова: булева функция, бент-функция, преобразование Уолша — Адамара, самодуальная бент-функция, конструкция Мэйорана — МакФарланда.

Булевой функцией f называется любое отображение f : Z ^ Z2. Скалярным произведением (x,y) двух векторов x = (xi,x2,... ,xn) G Zn, y = (y\,y2,... ,yn) G Zn

n

называется число ф x^, где операция ф есть сложение по модулю 2. Преобразовани-

i=l

ем Уолша —Адамара булевой функции f от n переменных называется целочисленная

функция Wf : Zn ^ Z, заданная равенством Wf (y) = (—1)f(x)®(x>y). Булева функ-

xezr;

ция f от чётного числа переменных n называется бент-функцией, если |Wf (y)| = 2n/2 для каждого y G Zn [1]. Булева функция f называется дуальной к бент-функции f, если Wf (x) = (—1)-^(x)2n/2 для каждого x G Zn. Бент-функция f называется самодуальной (анти-самодуальной), если f = f (соответственно f = f ф 1). Расстояние Хэмминга между булевыми функциями f,g от n переменных — число двоичных векторов длины n, на которых эти функции принимают различные значения, обозначается как dist(f, g).

Известна следующая конструкция бент-функций: конструкция Мэйорана — МакФарланда (1973): пусть п — любая перестановка на Z/2, а h — произвольная булева функция от n/2 переменных. Тогда функция f (x,y) = (x,n(y)) ф h(y) является бент-функцией от n переменных [2]. Эта конструкция является достаточно богатой. В работе [3] найдены необходимые и достаточные условия самодуальности бент-функции, построенной с помощью конструкции Мэйорана — МакФарланда, в случае п G GL(n/2,Z2).

Сложной задачей является полная характеризация и описание класса самодуальных бент-функций. Этому вопросу посвящены несколько работ за рубежом (C. Carlet, L. E. Danielson, M. G. Parker, P. Sole, X. Hou, T. Feulner, L. Sok, A. Wassermann и др.). В частности, в работе [3] перечислены все самодуальные бент-функции от 2, 4, 6 переменных и все квадратичные самодуальные бент-функции от 8 переменных. В [4] приведена классификация всех квадратичных самодуальных бент-функций. Аффинную классификацию квадратичных и кубических самодуальных бент-функций от 8 переменных можно найти в [5].

В данной работе получен полный спектр расстояний Хэмминга между самодуальными бент-функциями из класса Мэйорана — МакФарланда со следующим ограничением: перестановка, фигурирующая в конструкции, должна быть элементом полной линейной группы соответствующего порядка.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-31-20635.

30

Прикладная дискретная математика. Приложение

Теорема 1. Пусть f, g — различные бент-функции от чётного числа переменных n ^ 4, построенные с помощью конструкции Мэйорана — МакФарланда при условии, что перестановка, фигурирующая в данной конструкции, является элементом GL(n/2,Z2). Если бент-функции f,g самодуальные, то

dist (f, g) Е {2n-1, 2n-1 (1 ± 1/2), 2n-1 (1 ± 1/22) ,..., 2n-1 (1 ± 1/2n/2-1) , 2n}.

Следствие 1. Пусть f, g — различные самодуальные бент-функции от чётного числа переменных n ^ 4, построенные с помощью конструкции Мэйорана — МакФар-ланда при условии, что перестановка, фигурирующая в данной конструкции, является элементом GL(n/2, Z2). Тогда

dist(f, g) ^ 2n-2. ЛИТЕРАТУРА

1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.

2. McFarland R. L. A family of difference sets in non-cyclic groups //J. Combin. Theory. Ser. A. 1973. V. 15. No. 1. P. 1-10.

3. Carlet C., Danielson L. E., Parker M. G., and Solé P. Self dual bent functions // Int. J. Inform. Coding Theory. 2010. No. 1. P. 384-399.

4. Hou X. Classification of self dual quadratic bent functions // Des. Codes Cryptogr. 2012. V. 63. P. 183-198.

5. Feulner T., SokL., Solé P., and Wassermann A. Towards the classification of self-dual bent functions in eight variables // Des. Codes Cryptogr. 2013. V. 68. P. 395-406.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X79/12

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЕКТОРНОЙ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ С МАКСИМАЛЬНОЙ КОМПОНЕНТНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ

ИММУННОСТЬЮ1

Д. П. Покрасенко

Исследуется максимальная компонентная алгебраическая иммунность и её связь с матрицами специального вида. Получены ограничения на значения п, т, при которых возможно существование векторной булевой функции ^ : ^ с максимальной компонентной алгебраической иммунностью.

Ключевые слова: векторная булева функция, компонентная алгебраическая иммунность.

Важным криптографическим свойством булевых функций является алгебраическая иммунность, она была введена в работе [1]. Алгебраической иммуностью Л1(/) булевой функции / : ^ 12 называется минимальное число такое, что существует булева функция д степени не тождественно равная нулю, для которой /д = 0 или (/ е 1)д = 0.

Данное понятие различными способами было обобщено на векторный случай. Одним из наиболее естественных обобщений является понятие компонентной алгебраической иммунности, введённое в [2]. Компонентной алгебраической иммунностью Л1СОтр (^) векторной булевой функции ^ : ^ 1™ называется минимальная алгебраическая иммунность компонентных функций Ь • ^ (Ь Е ЖТ", Ь = 0), т.е. Л1Сотр(^) = = ш1п(Л1(Ь • ^) : Ь Е 1™, Ь = 0}, где Ь • ^ = ь/ е... е Ьт/т.

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №15-31-20635.