О связности графа минимальных расстояний множества бентфункций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дискретные функции

33

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X78/12

О СВЯЗНОСТИ ГРАФА МИНИМАЛЬНЫХ РАССТОЯНИЙ МНОЖЕСТВА БЕНТ-ФУНКЦИЙ1

Н. А. Коломеец

Рассматривается связность графа ОВ2к минимальных расстояний множества бент-функций. Вершинами данного графа являются все бент-функции от 2к переменных, две вершины-функции соединены ребром, если они находятся на расстоянии 2к друг от друга. Доказано, что подграф ОВъи, порождённый множеством бент-функций, аффинно эквивалентных бент-функциям из класса Мэйорана — МакФарланда, является связным. Доказана связность графов ОВ2, ОВ4 и ОВ§.

Ключевые слова: булевы функции, бент-функции, минимальное расстояние.

Отображение f : РП ^ F2 называется булевой функцией от п переменных. Аффинной булевой функцией называется функция вида (а, ж) ф с, где а € Р^, с € Р2 и (а, ж) = а1^1 ф а2ж2 ф ... ф агажга. Расстоянием Хэмминга , д) между двумя булевыми функциями f и д от п переменных называется количество ж € Р^, таких, что f (ж) = д(ж). Бент-функцией называется булева функция от чётного числа переменных, находящаяся на максимально возможном расстоянии от множества всех аффинных функций. Обозначим через В2к множество всех бент-функций от 2к переменных. Бент-функции предложены О. Ротхаусом [1]. Они имеют большое число приложений в алгебре, комбинаторике, теории кодирования, криптографии [2].

Граф СВ2к = (V, Е) называется графом минимальных расстояний множества бент-функций, если V = В2к и (^ д) € Е тогда и только тогда, когда ^^^ д) = 2к. Заметим, что 2к является минимально возможным расстоянием между двумя бент-функциями от 2к переменных.

Напомним, что функции следующего вида являются бент-функциями и образуют класс Мэйорана — МакФарланда М2к [3]:

f (ж,У) = (ж,п(У)) ф ^(у),

где ж, у € Рк; п — подстановка на множестве Р!к; ^ — произвольная булева функция от к переменных.

Пусть множество М2к содержит все функции вида f (Аж ф Ь), где f € М2к; А — обратимая двоичная матрица размера 2к х 2к и Ь € . Другими словами, любая функция из М2к является бент-функцией, аффинно эквивалентной некоторой бент-функции из класса Мэйорана — МакФарланда. Заметим, что f ф £ лежит в М2к для любой f € М2к и любой аффинной функции £ от 2к переменных.

Обозначим через ОМ2к подграф графа СВ2к, порождённый множеством вершин М2к. Известно [4], что максимальная степень вершины в графах ОВ2к и ОМ2к равна 2к(21 + 1)(22 + 1)... (2к + 1), причём любая вершина максимальной степени является квадратичной бент-функцией.

В данной работе рассматривается связность графов СВ2к и СМ2к.

Утверждение 1. Степень любой вершины графа СМ2к не меньше, чем 22к+1 — 2к.

Теорема 1. Граф СМ2к является связным для любого к ^ 1.

Следствие 1. Граф СМ2к является рёберно 3-связным.

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №15-31-20635.

34

Прикладная дискретная математика. Приложение

Следствие 2. Графы GB2, GB4 и GBg являются связными.

Отметим, что в общем случае граф GB2k не является связным, поскольку он может содержать изолированные вершины. В частности, это справедливо при 2k ^ 14.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser.A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.

2. Tokareva N. N. Bent Functions: Results and Applications to Cryptography. Acad. Press. Elsevier, 2015.

3. McFarland R. L. A family of difference sets in non-cyclic groups //J. Combin. Theory. Ser. A. 1973. V. 15. P. 1-10.

4. КоломеецН.А. Верхняя оценка числа бент-функций на расстоянии 2k от произвольной бент-функции от 2k переменных // Прикладная дискретная математика. 2014. №3. С.28-39.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X78/13

О САМОДУАЛЬНЫХ БУЛЕВЫХ БЕНТ-ФУНКЦИЯХ1

А. В. Куценко

Получен критерий самодуальности (анти-самодуальности) булевой бент-функции, а именно доказано, что булева бент-функция / от чётного числа переменных является самодуальной (анти-самодуальной) тогда и только тогда, когда при каждом фиксированном у е КП для булевой функции ¿у(х) = /(х) ® /(у) ® х ■ у справедливо ^(¿у) = 2п-1 - 2п/2-1 (соответственно wt(Fy) = 2п-1 + 2п/2-1).

Ключевые слова: булева функция, бент-функция, самодуальная бент-функция.

Булевой функцией f называется любое отображение f : Fn ^ F2. Скалярным произведением x • y двух векторов x = (x\,x2,... ,xn) G Fn, y = (yi, y2,..., yn) G Fn

n

называется x • y = ф x^. Преобразованием Уолша — Адамара булевой функции f

i=1

от n переменных называется целочисленная функция Wf : Fn ^ Z, заданная равенством Wf (y) = (—1)f(x)+x^. Булева функция f от чётного числа переменных n

называется бент-функцией, если |Wf (y)| = 2n/2 для каждого y G Fn. Булева функция f называется дуальной к бент-функции f, если Wf (x) = (—1)f(x)2n/2 для каждого x G Fn. Бент-функция f называется самодуальной (анти-самодуальной), если f = f (соответственно f = f ф 1). Носителем булевой функции f от n переменных называется множество supp(f ) = {x G Fn : f (x) = 1}. Весом вектора x = (x1,x2,... ,xn) G Fn

n

называется число wt(x) = xi. Весом Хэмминга булевой функции f называется вес

i= i

её вектора значений wt(f) = |supp(f)|. Сложной задачей является полная характе-ризация и описание класса самодуальных бент-функций. Этому вопросу посвящены несколько работ за рубежом (C. Carlet, L. E. Danielson, M. G. Parker, P. Solé, X. Hou и др.). В частности, в работе [1] перечислены все самодуальные бент-функции от 2, 4 и 6 переменных и все квадратичные самодуальные бент-функции от 8 переменных; в [2] приведена классификация всех квадратичных самодуальных бент-функций.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект №15-31-20635).