Научная статья на тему 'О расстоянии Хэмминга между двумя бент-функциями'

О расстоянии Хэмминга между двумя бент-функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
302
23
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ / БЕНТ-ФУНКЦИИ / РАССТОЯНИЕ ХЭММИНГА / BOOLEAN FUNCTIONS / BENT FUNCTIONS / HAMMING DISTANCE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Коломеец Николай Александрович

Рассматривается расстояние Хэмминга между двумя бент-функциями. С использованием конструкции бент-функций на минимальном расстоянии друг от друга получен ряд возможных значений расстояния. Найдены всевозможные значения расстояния между бент-функциями из класса Мэйорана МакФарланда.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On the hamming distance between two bent functions

This work is devoted to the Hamming distance between two bent functions. Using the construction of bent functions at the minimal distance, some possible values of the distance are obtained. All possible distances between two Maiorana Mc-Farland bent functions are described.

Текст научной работы на тему «О расстоянии Хэмминга между двумя бент-функциями»

Дискретные функции

27

В качестве обратной к / по модулю UT32(Z3) возьмём функцию, индуцированную /1 1 0\

полиномом p(x) = 0 1 2 x. Степень p1 равна 2, значит, m = 2 и обратная пере-

V0 0 V

становка к / получается как g(x) = p(x)(x 1/(p(x))) 2:

g : (1, 26, 6)(2,9, 22)(3,16,14)(4, 20,18,13,11, 27)(5,12, 7, 23, 21, 25)(8, 24,10,17,15,19).

Таким образом, при фиксированных нормальном ряде в группе и способе выбора представителей в факторах этого ряда определён класс ВКП-функций над группой. Функции класса задаются набором полиномов и получаются как произведение их координатных функций. Класс ВКП-функций над UTn(Zp) не совпадает с классом полиномиальных функций над UTn(Zp) (теорема 1). К ВКП-функциям применимы критерий биективности и формулы обращения дифференцируемых функций, которые в случае G = UTn(Zp) принимают вид теорем 2 и 3 соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Заец М. В. О классе вариационно-координатно-полиномиальных функций над примарным кольцом вычетов // Прикладная дискретная математика. 2014. №3. С. 12-27.

2. Карпов А. В. Обращение дифференцируемых перестановок над группой // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. C. 30-33.

3. Anashin V. S. Solvable groups with operators and commutative rings having transitive polynomials // Algebra. Logika. 1982. No.21(6). C.627-646.

4. Меньшов А. В. Асимптотические свойства рациональных множеств и систем уравнений в свободных абелевых группах и разрешимость регулярных уравнений в классе нильпо-тентных групп: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Омск, 2014.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X79/10

О РАССТОЯНИИ ХЭММИНГА МЕЖДУ ДВУМЯ БЕНТ-ФУНКЦИЯМИ1

Н. А. Коломеец

Рассматривается расстояние Хэмминга между двумя бент-функциями. С использованием конструкции бент-функций на минимальном расстоянии друг от друга получен ряд возможных значений расстояния. Найдены всевозможные значения расстояния между бент-функциями из класса Мэйорана — МакФарланда.

Ключевые слова: булевы функции, бент-функции, расстояние Хэмминга.

Булевой функцией от п переменных называется отображение вида / : К? ^ F2. Расстоянием Хэмминга ^б^/, д) между двумя булевыми функциями / и д от п переменных называется количество значений аргументов, на которых значения функций различаются. Функция вида (а,ж)фс, где а € КПП, с € К2 и (а, ж) = а^фа2ж2ф.. .фагажга, называется аффинной булевой функцией. Бент-функциями называются булевы функции от чётного числа переменных, находящиеся на максимально возможном расстоянии от множества всех аффинных функций. Они предложены О. Ротхаусом [1]. Бент-функции имеют приложения в алгебре, комбинаторике, теории кодирования, криптографии [2]. Обозначим через В2к множество всех бент-функций от 2к переменных.

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №15-07-01328.

28

Прикладная дискретная математика. Приложение

В данной работе рассматривается расстояние Хэмминга между двумя бент-функ-циями и носитель их суммы. Исследование возможных носителей связано с гипотезой

H. H. Токаревой [3] о том, что любую булеву функцию степени не больше k от 2k переменных можно представить в виде суммы двух бент-функций из B2k. Следующая лемма даёт общий критерий принадлежности функции на расстоянии |D| от бент-функции f к классу бент-функций.

Лемма 1. Пусть f Е B2k. Тогда f ф IndD Е B2k, где D С F^k, тогда и только тогда, когда для всех y Е F2k справедливо

(-l)/(x)®(x,y) Е {0, ±2k}.

x€D

Опишем всевозможные значения расстояния между бент-функциями из класса Мэйорана — МакФарланда M2k [4], который содержит функции вида

f (x,y) = (х,пШ ф Ч>(y),

где x,y Е Fk; п — подстановка на множестве Fk; tp — произвольная булева функция от k переменных.

Утверждение 1. Расстояние Хэмминга между двумя бент-функциями f,g Е M2k имеет вид (n + 2m)2k-1, где 0 ^ n ^ 2k, n =1 и 0 ^ m ^ 2k — n, причём для любой бент-функции из M2k существует бент-функция на данном расстоянии от неё. Носитель f фд представим в виде объединения аффинных подпространств размерностей k — 1 и k.

Особый интерес представляют расстояния в B2k в интервале от минимального возможного до удвоенного минимального, поскольку в [5] получены всевозможные носители суммы с точностью до аффинной эквивалентности. В [6] доказано, что между двумя бент-функциями достижимы расстояния вида 2k+1 — 24, где 1 ^ t ^ k.

С использованием конструкции бент-функций на минимальном возможном расстоянии 2k (см., например, [7]) получены следующие расстояния между двумя бент-функциями.

Теорема 1. Для всех d вида t2k — 24, где 1 ^ t ^ k и 2 ^ t ^ 2k — 2k-i+1 + 2, существуют бент-функции f,g Е B2k, такие, что dist(f,g) = d и dist(f ф 1,g) = 22k — d.

ЛИТЕРАТУРА

I. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser.A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.

2. Tokareva N. N. Bent Functions, Results and Applications to Cryptography. Acad. Press. Elsevier, 2015.

3. Tokareva N. N. On the number of bent functions from iterative constructions: lower bounds and hypothesis // Adv. Math. Commun. 2011. V. 5. No. 4. P. 609-621.

4. McFarland R. L. A family of difference sets in non-cyclic groups //J. Combin. Theory. Ser. A. 1973. V. 15. P. 1-10.

5. Kasami T. and Tokura N. On the weight structure of Reed — Muller codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1970. V. 16. No 6. P. 752-759.

6. Потапов В. Н. Спектр мощностей компонент корреляционно-иммунных функций, бент-функций, совершенных раскрасок и кодов // Проблемы передачи информации. 2012. Т. 48. №1. С. 54-63.

7. КоломеецН.А. Верхняя оценка числа бент-функций на расстоянии 2k от произвольной бент-функции от 2k переменных // Прикладная дискретная математика. 2014. №3. С.28-39.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.