Конструкция бент-функций по бент-функции, аффинной на нескольких сдвигах подпространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дискретные функции

41

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X710/16

КОНСТРУКЦИЯ БЕНТ-ФУНКЦИЙ ПО БЕНТ-ФУНКЦИИ, АФФИННОЙ НА НЕСКОЛЬКИХ СДВИГАХ ПОДПРОСТРАНСТВА1

Н. А. Коломеец

Предлагается конструкция бент-функций по имеющейся бент-функции, аффинной на нескольких смежных классах некоторого линейного подпространства размерности Конструкция обобщает метод построения бент-функций на минимальном возможном расстоянии от заданной бент-функции. Для £ = 2 и для квадратичной бент-функции приведён упрощённый вид конструкции. Получена точная верхняя оценка числа порождаемых функций и доказано, что при любом £ ^ 2 оценка достигается только для квадратичных бент-функций.

Ключевые слова: булевы функции, бент-функции, минимальное расстояние, аффинность.

Отображение вида f : РП ^ F2 называется булевой функцией от п переменных, функция Daf (х) = f(х) ф f (х ф а) —её производная по направлению а € Р^. Носитель функции f определяется как зирр^) = {х € РП : f(х) = 1}. Пусть (и,х) = и^х! ф ... ф ипхп, где и,х € Р^. Обозначим через характеристиче-

скую булеву функцию множества Б С РП. Бент-функцией называется булева функция, производные которой по всем ненулевым направлениям уравновешены (принимают значения 0 и 1 на одинаковом числе аргументов), это возможно только при чётном числе переменных. Бент-функции предложены О. Ротхаусом [1]. Они имеют приложения в алгебре, комбинаторике, теории кодирования, криптографии [2, 3]. Обозначим через В2к множество всех бент-функций от 2к переменных.

В работе исследуются свойства приведённой в следующей теореме конструкции, порождающей бент-функции путём изменения некоторой имеющейся бент-функции.

Теорема 1. Пусть f € В2к и для некоторого и € Р2к бент-функция f (х) ф (и,х) постоянна на каждом из 22к-2ь различных смежных классов а! ф Ь,... , а22к-2г ф Ь некоторого линейного подпространства Ь С размерности где 0 ^ £ ^ к. Тогда функция

f ф еь)и...и(а22к_24®ь) (1)

также является бент-функцией.

Замечание 1. Конструкция (1) при £ = к становится конструкцией, предложенной К. Карле [4] и порождающей все бент-функции на расстоянии 2к от f (это минимальное возможное расстояние Хэмминга между двумя бент-функциями) [5].

Замечание 2. В случае £ € {0,1} конструкция (1) тривиальна и даёт сходный результат для любой бент-функции f: при £ = 0 можно получить только функцию f ф 1, а при £ =1 порождается в точности семейство функций

У (х ф а) ф с : а € Р2к\{0}, с € Р2}.

Замечание 3. Требуемый для конструкции (1) набор смежных классов размерности £ всегда найдётся, если бент-функция представлена в виде линейного разветвления с индексом линейности не меньше £ [6] или принадлежит классу Мэйорана — МакФарланда [7]. Заметим также, что при разных £ конструкция порождает различные бент-функции.

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №15-07-01328.

42

Прикладная дискретная математика. Приложение

При t = 2 теорему 1 можно переформулировать следующим образом. Следствие 1. Пусть f G B2k и для произвольных u,v G , u = v, и c, d G F2

U = supp(c 0 Duf) П supp(d 0 Dv f).

Тогда при U С supp(1 0 DuDv f) функция f 0 Ind^ является бент-функцией.

Для квадратичной бент-функции f множество U = (a\ 0 L) U ... U (a22k-2t 0 L) всегда является аффинным подпространством. Заметим, что общий подход к получению бент-функций инверсией значений исходной бент-функции на аффинном подпространстве можно найти в [4]. Опишем функции, порождаемые конструкцией (1) из квадратичной бент-функции.

Теорема 2. Пусть квадратичная бент-функция f G B2& постоянна на некотором

смежном классе линейного подпространства L С F^ с базисом Ь1,... ,bt G F2k. Тогда t

для U = П supp(Dbif 0 d) при произвольных ci,... , ct G F2 функция f 0lnd^ является i= 1

бент-функцией, а U — аффинным подпространством F2k размерности 2k — t.

В силу замечания 1 конструкция (1) является обобщением конструкции бент-функ-ций на расстоянии 2k от заданной бент-функции. Обобщим также некоторые результаты, касающиеся бент-функций, располагающихся на минимально возможном расстоянии друг от друга.

Теорема 3. Для произвольной f G B2k конструкция (1) порождает не более чем

t—1 22k—2i _ 1

2* П -

1 1 nt—i 1 i=0 2 — 1

бент-функций (для фиксированного t). При t ^ 2 оценка достигается, если и только если f является квадратичной бент-функцией.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser.A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.

2. Логачев О. А., Сальников А. А., Смышляев С. В., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. 2-е изд. М.: МЦНМО, 2012. 584с.

3. Tokareva N. N. Bent Functions, Results and Applications to Cryptography. Acad. Press. Elsevier, 2015.

4. Carlet C. Two new classes of bent functions // LNCS. 1994. V. 765. P. 77-101.

5. КоломеецН.А. Верхняя оценка числа бент-функций на расстоянии 2k от произвольной бент-функции от 2k переменных // Прикладная дискретная математика. 2014. №3. С.28-39.

6. Ященко В. В. О критерии распространения для булевых функций и о бент-функциях // Проблемы передачи информации. 1997. Т. 33. №1. С. 75-86.

7. McFarland R. L. A family of difference sets in non-cyclic groups //J. Combin. Theory. Ser. A. 1973. V. 15. P. 1-10.