Свойства бент-функций, находящихся на минимальном расстоянии друг от друга Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 1.

1) Для любой бент-функции от 4 переменных существуют базисы ^е0^, е^,

/ (2) (2) (2) (2)\ ш ч

и ( е0 , е1 , е2 , е3 I векторного пространства (F 24)F , такие, что приведенное представление данной функции в первом базисе является, а во втором не является гипербент-функцией.

2) Для любого четного n > 4 существуют функции от n переменных, для каждой из которых можно найти два базиса векторного пространства (F2n )^ , таких, что приведенное представление функции в первом базисе является, а во втором не является гипербент-функцией.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузьмин А. С., Марков В. Т., Нечаев А. А., Шишков А. Б. Приближение булевых функций мономиальными // Дискретная математика. 2006. Т. 18. №1. С. 9-29.

2. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МНЦМО, 2004. 470 с.

3. Youssef A. M., Gong G. Hyper-bent functions // Proceedings of Advances in Cryptology, EUR0CRYPT’2001. Lect. Notes in Comp. Sci. New York: Springer Verlag, 2001. V. 2045. P. 406-419.

УДК 519.7

СВОЙСТВА БЕНТ-ФУНКЦИЙ, НАХОДЯЩИХСЯ НА МИНИМАЛЬНОМ РАССТОЯНИИ ДРУГ ОТ ДРУГА

Н. А. Коломеец, А. В. Павлов, А. А. Левин

Здесь и далее пусть n — четное натуральное число. Обозначим:

— En — множество двоичных векторов длинны n;

— Fn — множество всех булевых функций от n переменных;

— нелинейность — расстояние Хэмминга до класса аффинных функций;

— бент-функции — булевы функции от четного числа переменных, обладающие максимальной нелинейностью;

— Bn — множество всех бент-функций от n переменных;

— D(f,g) = {x е En 1 f(x) = g(x)}, где f,g е Fn;

— / аффинна на D, если для некоторых w0 е En, с е E и для любого x е D выпол-

няется f (x) = w0 ■ x ® с, где / е Fn, D С En;

— d(A) — минимальное расстояние между двумя функциями в классе A С Fn;

— U — многообразие в En, т. е. U = x0 ® L, где L — подпространство в En, x0 е En.

Имеет место нижняя оценка на расстояние между бент-функциями.

Теорема 1. Справедливо d(Bn) ^ 2n/2.

Следующая теорема дает критерий расположения функций на расстоянии 2n/2.

Теорема 2. Пусть f,g е Fn, / — бент-функция, |D(f,g)| = 2n/2. Тогда g — бент-функция тогда и только тогда, когда множество D(f, g) — линейное многообразие размерности n/2 и / на нем аффинна.

Следствие 1. Минимальное расстояние в классе бент-функций равно 2n/2.

Определим следующие множества.

— Lazz(f) — множество всевозможных подпространств в En размерности n/2, на которых f аффинна;

— Uazi(f) — множество всевозможных многообразий в En размерности n/2, на которых f аффинна.

По предыдущей теореме все бент-функции на минимальном расстоянии от заданной бент-функции описываются следующим образом.

Следствие 2. Пусть f G Bn. Тогда функция g G Bn находится на минимальном расстоянии от f тогда и только тогда, когда g представляется в следующем виде:

g(x) = f (x) ® /^(x), для некоторого U G Ualz(f ),

где /и (x) — индикатор множества U.

В связи с предложенным описанием бент-функций на минимальном расстоянии от заданной бент-функции рассмотрим индикаторы линейных многообразий:

Лемма 1. Пусть U — многообразие в En размерности n/2. Тогда индикатор U можно представить в следующем виде:

/и(x) = (ai ■ x 0 Cl) ■ ... ■ (an/2 ■ X 0 Cn/2)

для некоторых a G En и c G {0,1}.

Утверждение 1. Любая функция из В6 имеет непустое Lalz.

Утверждение 2. Любая функция из Bg степени не больше 3 имеет непустое Lazi.

Для доказательства этих утверждений использовались аффинно неэквивалентные бент-функции, приведенные в [2].

Утверждение 3. Любая функция из Bn, аффинно эквивалентная функции в виде линейного разветвления с индексом линейности n/2, имеет непустое Lazz. В частности, любая функция из класса Мэйорана — Мак-Фарланда имеет непустое Lazi.

Описание класса Bn в виде линейного разветвления можно найти в [1], класс Мэйорана — Мак-Фарланда в [3].

Утверждение 4. Существуют бент-функции от 8 переменных, имеющие непустое Lazi, которые не являются аффинно эквивалентными функциям в виде линейного разветвления с индексом линейности 4.

ЛИТЕРАТУРА

1. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МЦНМО, 2004. 470 с.

2. Токарева Н. Н. Бент-функции: результаты и приложения. Обзор работ // Прикладная дискретная математика. 2009. Т. 3. №1. C. 15-37.

3. McFarland R. L. A family of différence sets in non-cyclic groups // J. Combin. Theory. Ser. A. 1973. V. 15. No. 1. P. 1-10.