CC BY
18
Теорема 1.
1) Для любой бент-функции от 4 переменных существуют базисы ^е0^, е^,
/ (2) (2) (2) (2)\ ш ч
и ( е0 , е1 , е2 , е3 I векторного пространства (F 24)F , такие, что приведенное представление данной функции в первом базисе является, а во втором не является гипербент-функцией.
2) Для любого четного n > 4 существуют функции от n переменных, для каждой из которых можно найти два базиса векторного пространства (F2n )^ , таких, что приведенное представление функции в первом базисе является, а во втором не является гипербент-функцией.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузьмин А. С., Марков В. Т., Нечаев А. А., Шишков А. Б. Приближение булевых функций мономиальными // Дискретная математика. 2006. Т. 18. №1. С. 9-29.
2. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МНЦМО, 2004. 470 с.
3. Youssef A. M., Gong G. Hyper-bent functions // Proceedings of Advances in Cryptology, EUR0CRYPT’2001. Lect. Notes in Comp. Sci. New York: Springer Verlag, 2001. V. 2045. P. 406-419.
УДК 519.7
СВОЙСТВА БЕНТ-ФУНКЦИЙ, НАХОДЯЩИХСЯ НА МИНИМАЛЬНОМ РАССТОЯНИИ ДРУГ ОТ ДРУГА
Н. А. Коломеец, А. В. Павлов, А. А. Левин
Здесь и далее пусть n — четное натуральное число. Обозначим:
— En — множество двоичных векторов длинны n;
— Fn — множество всех булевых функций от n переменных;
— нелинейность — расстояние Хэмминга до класса аффинных функций;
— бент-функции — булевы функции от четного числа переменных, обладающие максимальной нелинейностью;
— Bn — множество всех бент-функций от n переменных;
— D(f,g) = {x е En 1 f(x) = g(x)}, где f,g е Fn;
— / аффинна на D, если для некоторых w0 е En, с е E и для любого x е D выпол-
няется f (x) = w0 ■ x ® с, где / е Fn, D С En;
— d(A) — минимальное расстояние между двумя функциями в классе A С Fn;
— U — многообразие в En, т. е. U = x0 ® L, где L — подпространство в En, x0 е En.
Имеет место нижняя оценка на расстояние между бент-функциями.
Теорема 1. Справедливо d(Bn) ^ 2n/2.
Следующая теорема дает критерий расположения функций на расстоянии 2n/2.
Теорема 2. Пусть f,g е Fn, / — бент-функция, |D(f,g)| = 2n/2. Тогда g — бент-функция тогда и только тогда, когда множество D(f, g) — линейное многообразие размерности n/2 и / на нем аффинна.
Следствие 1. Минимальное расстояние в классе бент-функций равно 2n/2.
Определим следующие множества.
— Lazz(f) — множество всевозможных подпространств в En размерности n/2, на которых f аффинна;
— Uazi(f) — множество всевозможных многообразий в En размерности n/2, на которых f аффинна.
По предыдущей теореме все бент-функции на минимальном расстоянии от заданной бент-функции описываются следующим образом.
Следствие 2. Пусть f G Bn. Тогда функция g G Bn находится на минимальном расстоянии от f тогда и только тогда, когда g представляется в следующем виде:
g(x) = f (x) ® /^(x), для некоторого U G Ualz(f ),
где /и (x) — индикатор множества U.
В связи с предложенным описанием бент-функций на минимальном расстоянии от заданной бент-функции рассмотрим индикаторы линейных многообразий:
Лемма 1. Пусть U — многообразие в En размерности n/2. Тогда индикатор U можно представить в следующем виде:
/и(x) = (ai ■ x 0 Cl) ■ ... ■ (an/2 ■ X 0 Cn/2)
для некоторых a G En и c G {0,1}.
Утверждение 1. Любая функция из В6 имеет непустое Lalz.
Утверждение 2. Любая функция из Bg степени не больше 3 имеет непустое Lazi.
Для доказательства этих утверждений использовались аффинно неэквивалентные бент-функции, приведенные в [2].
Утверждение 3. Любая функция из Bn, аффинно эквивалентная функции в виде линейного разветвления с индексом линейности n/2, имеет непустое Lazz. В частности, любая функция из класса Мэйорана — Мак-Фарланда имеет непустое Lazi.
Описание класса Bn в виде линейного разветвления можно найти в [1], класс Мэйорана — Мак-Фарланда в [3].
Утверждение 4. Существуют бент-функции от 8 переменных, имеющие непустое Lazi, которые не являются аффинно эквивалентными функциям в виде линейного разветвления с индексом линейности 4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МЦНМО, 2004. 470 с.
2. Токарева Н. Н. Бент-функции: результаты и приложения. Обзор работ // Прикладная дискретная математика. 2009. Т. 3. №1. C. 15-37.
3. McFarland R. L. A family of différence sets in non-cyclic groups // J. Combin. Theory. Ser. A. 1973. V. 15. No. 1. P. 1-10.
