CC BY
34
УДК 519.7
КЛАССИФИКАЦИЯ ГРАФОВ АНФ КВАДРАТИЧНЫХ БЕНТ-ФУНКЦИЙ ОТ ШЕСТИ ПЕРЕМЕННЫХ
Е. П. Корсакова
В математике часто возникает задача построения булевых функций, обладающих свойством нелинейности. Особенный интерес представляют функции, для которых эти свойства экстремальны. Такие булевы функции от четного числа переменных называются бент-функциями. Определим понятие бент-функции более строго. Преобразованием Уолша — Адамара булевой функции f от п переменных называется целочисленная функция Wf, заданная на множестве ЪП равенством Wf (и) = ^ (—1)<и,'и>®1(и).
и€Ъ 2
Бент-функцией называется булева функция от п переменных (п четно), такая, что модуль каждого коэффициента Уолша — Адамара этой функции равен 2п/2.
Несмотря на то, что масштабы исследования бент-функций велики, в настоящее время они изучены довольно плохо. Например, задача описания всех бент-функций от п переменных решена лишь при малых значениях п. При п ^ 10 класс бент-функций не описан, его мощность неизвестна.
Обратимся к вопросу классификации бент-функций степени 2 от 6 переменных. Известно [1], что все квадратичные бент-функции аффинно эквивалентны между собой. Введем для таких функций понятие более сильной эквивалентности, а именно графовой эквивалентности. Каждой функции сопоставим граф на шести вершинах. Вершины графа отождествим с переменными булевой функции, ребрами соединим те вершины, которые образуют слагаемое в квадратичной части алгебраической нормальной формы (АНФ) функции. Для каждого графа определим его тип — упорядоченный по убыванию набор степеней его вершин. Две функции назовем графово эквивалентными, если соответствующие им графы изоморфны. В данной работе решена задача графовой классификации всех квадратичных бент-функций от 6 переменных.
Все квадратичные бент-функции аффинно эквивалентны функции х^2 ф х3х4 ф фх5хб. Поэтому для нахождения графов использовались аффинные преобразования этой функции, заданные верхнетреугольными матрицами с 1 на диагонали, 0 или 1 над диагональю, а именно вида
/ 1 * * * * * \
0 1 * * * *
0 0 1 * * *
0 0 0 1 * * ’
0 0 0 0 1 *
000001
где на местах * стоят 0 или 1. Написана программа на С, которая, перебирая все возможные матрицы данного вида, определяет типы графов. В результате получено 37 типов и 50 графово неэквивалентных бент-функций. В таблице приведены все типы в левой колонке и соответствующие им бент-функции — в правой. Функция задана вектором лексикографически упорядоченных коэффициентов в квадратичной части АНФ (в скобках указан возможный способ её построения из бент-функции от четырёх переменных).
№ п/п Тип Функция
1 111111 100000000100001 (iter1)
2 2 2 1111 100001000100001 (iter1)
3 2 2 2 2 11 100001000100101 (iter2)
4 3 2 2 111 100001001001100 (iter1) 100001001100001 (iter3)
5 3 2 2 2 2 1 100001001100101 100001000010111
6 3 3 2 2 11 100001001110001 (iter1) 100001000110101 (iter2)
7 3 3 2 2 2 2 011001011100001 101101001100001
8 3 3 3 111 100001010110001 (iter2)
9 3 3 3 2 2 1 100001001100111 (iter2) 100001001110101 100001001100111
10 3 3 3 3 11 100001010110110 (iter2) 111001100100001 (iter1) 111000000110101 (iter1)
11 3 3 3 3 2 2 110011100100101 110101001100101 111001001100101 101101001100101
12 4 2 2 2 11 100001101100001 (iter3)
13 4 3 2 2 2 1 100001101100101 100001100100111
№ п/п Тип Функция
14 4 3 3 2 11 100001101100011
15 4 3 3 2 2 2 111011000100101
16 4 3 3 3 2 1 111100001110100 (iter3)
17 4 3 3 3 3 2 110011000110111
18 4 4 3 2 2 1 100001101100111
19 4 4 3 3 11 100001101101110 (iter2)
20 4 4 3 3 2 2 110001011110011
21 4 4 3 3 3 1 100001100111111
22 4 4 3 3 3 3 111011001110101
23 4 4 4 3 3 2 011101001110111
24 4 4 4 4 3 1 100001101111111
25 4 4 4 4 3 3 111001100010111 110101101100111
26 5 2 2 2 2 1 100001111100001
27 5 3 3 2 2 1 100001111100101
28 5 3 3 3 2 2 110001000111111
29 5 3 3 3 3 3 110101001111110
30 5 4 3 3 2 1 100001111111100
31 5 4 4 3 2 2 110111000111101
32 5 4 4 4 3 2 111101000111111
33 5 4 4 4 4 1 100001111111111
34 5 5 3 3 3 3 111001100111111
35 5 5 4 4 3 3 111001111111011
36 5 5 5 4 4 3 111101111111110
37 5 5 5 5 5 5 111111111111111
Поясним обозначения. Конструкция iterl означает, что к бент-функции от четырёх переменных добавляется слагаемое x5x6; iter2 — слагаемое XiX5 ® Xjx6, где i,j Е G {1, 2, 3, 4}; iter3 — слагаемое xix5 ® x5x6, где i G {1, 2, 3, 4}. Пример: АНФ функции, заданной вектором 100001101100011, имеет вид XiX2 Ф x2x3 ф x2x4 ф x2x6 ф X3X4 ф x4x6 Ф ®x5x6. Данное исследование помогает выявить общие закономерности построения бент-функций от (n + 2) переменных с помощью бент-функций от n переменных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V. 20. No. 3. P. 300-305.
УДК 519.7
СЛАБОЦЕНТРАЛЬНЫЕ КЛОНЫ И ПРОБЛЕМА ПОЛНОТЫ В НИХ1
Н. Г. Парватов
Проблема полноты и критериальные системы. Пусть Е — конечное множество. Через Ре обозначается множество функций f : Еп ^ Е при всевозможных целых положительных п. Классы таких функций, замкнутые операциями суперпозции и
1 Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №П1010).
