CC BY
34
№ п/п Тип Функция
1 111111 100000000100001 (iter1)
2 2 2 1111 100001000100001 (iter1)
3 2 2 2 2 11 100001000100101 (iter2)
4 3 2 2 111 100001001001100 (iter1) 100001001100001 (iter3)
5 3 2 2 2 2 1 100001001100101 100001000010111
6 3 3 2 2 11 100001001110001 (iter1) 100001000110101 (iter2)
7 3 3 2 2 2 2 011001011100001 101101001100001
8 3 3 3 111 100001010110001 (iter2)
9 3 3 3 2 2 1 100001001100111 (iter2) 100001001110101 100001001100111
10 3 3 3 3 11 100001010110110 (iter2) 111001100100001 (iter1) 111000000110101 (iter1)
11 3 3 3 3 2 2 110011100100101 110101001100101 111001001100101 101101001100101
12 4 2 2 2 11 100001101100001 (iter3)
13 4 3 2 2 2 1 100001101100101 100001100100111
№ п/п Тип Функция
14 4 3 3 2 11 100001101100011
15 4 3 3 2 2 2 111011000100101
16 4 3 3 3 2 1 111100001110100 (iter3)
17 4 3 3 3 3 2 110011000110111
18 4 4 3 2 2 1 100001101100111
19 4 4 3 3 11 100001101101110 (iter2)
20 4 4 3 3 2 2 110001011110011
21 4 4 3 3 3 1 100001100111111
22 4 4 3 3 3 3 111011001110101
23 4 4 4 3 3 2 011101001110111
24 4 4 4 4 3 1 100001101111111
25 4 4 4 4 3 3 111001100010111 110101101100111
26 5 2 2 2 2 1 100001111100001
27 5 3 3 2 2 1 100001111100101
28 5 3 3 3 2 2 110001000111111
29 5 3 3 3 3 3 110101001111110
30 5 4 3 3 2 1 100001111111100
31 5 4 4 3 2 2 110111000111101
32 5 4 4 4 3 2 111101000111111
33 5 4 4 4 4 1 100001111111111
34 5 5 3 3 3 3 111001100111111
35 5 5 4 4 3 3 111001111111011
36 5 5 5 4 4 3 111101111111110
37 5 5 5 5 5 5 111111111111111
Поясним обозначения. Конструкция iterl означает, что к бент-функции от четырёх переменных добавляется слагаемое x5x6; iter2 — слагаемое XiX5 ® Xjx6, где i,j Е G {1, 2, 3, 4}; iter3 — слагаемое xix5 ® x5x6, где i G {1, 2, 3, 4}. Пример: АНФ функции, заданной вектором 100001101100011, имеет вид XiX2 Ф x2x3 ф x2x4 ф x2x6 Ф X3X4 ф x4x6 Ф ®x5x6. Данное исследование помогает выявить общие закономерности построения бент-функций от (n + 2) переменных с помощью бент-функций от n переменных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V. 20. No. 3. P. 300-305.
УДК 519.7
СЛАБОЦЕНТРАЛЬНЫЕ КЛОНЫ И ПРОБЛЕМА ПОЛНОТЫ В НИХ1
Н. Г. Парватов
Проблема полноты и критериальные системы. Пусть Е — конечное множество. Через Ре обозначается множество функций f : Еп ^ Е при всевозможных целых положительных п. Классы таких функций, замкнутые операциями суперпозции и
1 Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №П1010).
содержащие селекторные функции, называются клонами, а клоны, включающие множество А С РЕ, — А-клонами.
Будем интересоваться проблемой полноты в А-клоне (иначе — проблемой А-полно-ты в клоне) В, состоящей в описании всех его А-порождающих подмножеств, порождающих его с использованием операций суперпозиции, селекторов и функций из множества А. Инструментом решения этой проблемы является А-критериальная система. Так называется система S А-клонов, собственным образом содержащихся в клоне В, если всякий А-клон, собственным образом содержащийся в клоне В, можно расширить до некоторого клона из S. А-критериальная система S называется безызбыточ-ной, если она не содержит пары сравнимых по включению клонов и совпадает тогда с системой Б (А, В) всех максимальных А-клонов среди строго содержащихся в В, в остальных случаях лишь включённой в Б.
Обозначим через Пе множество предикатов р : Еп ^ {И,Л} при всевозможных натуральных п. Неинвариантный для клона В предикат р из Пе называется В-предельным [1], если всякий отличный от р предикат, полученный из него проектированием, отождествлением переменных, В-сужением (пересечением с инвариантным для В предикатом) или симметризацией (пересечением с перестановочно эквивалентным предикатом), уже инвариантен для клона В. Обозначим через Л(А, В) множество инвариантных для А В-предельных предикатов и через Л(А,В) —множество клонов В П ро1Е(р), где р € Л(А, В). В [1] доказана
Теорема 1. Система Л(А, В) является А-критериальной для клона В. Эта система конечная, если клон В обладает конечным А-порождающим подмножеством.
Заметим, что теорема 1 не исключает возможной избыточности системы Л(А,В).
Слабоцентральные клоны. Пусть с — некоторый элемент из множества Е. Предикат р из ПЕ назовём с-слабоцентральным, если в любом удовлетворяющем ему наборе замена любой компоненты значением с приводит к набору, также удовлетворяющему р. Для любого множества У с-слабоцентральных предикатов из ПЕ клон ро1Е(У) также называется с-слабоцентральным. Иными словами, произвольный клон является с-слабоцентральным, если он включает (наименьший по включению) клон ро1е(^Е), описываемый множеством ЖЕ всех с-слабоцентральных предикатов. (Интересно, что это множество замкнуто операциями проектирования, подстановки переменных, конъюнкции и даже дизъюнкции, но не содержит диагоналей, кроме тривиальных.) В двоичном случае такими наименьшими клонами ро1 е (^е) при различных с из множества Е = {0,1} являются клоны неразделённых либо разделённых булевых функций. Слабоцентральные клоны обладают рядом интересных свойств и допускают ряд равносильных определений.
Частным случаем слабоцентральных клонов являются определяемые ниже клоны сохранения с-системы множеств. Назовём с-системой систему е подмножеств множества Е, обладающую следующими свойствами:
1) наследственностью: если некоторое множество принадлежит системе е, то и всякая его часть принадлежит е;
2) слабой центральностью по с: если множество Н принадлежит системе е, то множество Н и {с} также принадлежит ей.
Обозначим через QE(е) клон функций из Ре , сохраняющих систему е, и через Фе(£) —клон функций, сохраняющих её по некоторой переменной. Несложно понять, что клоны QE(е) и Фе(£) являются с-слабоцентральными.
Введённые клоны имеют важные приложения, отметим следующие два.
Пример 1. Пусть Е — конечная верхняя полурешётка и е — система её подмножеств с нижней гранью. Тогда клон QE (е) совпадает с клоном квазимонотонных функций на полурешётке Е, введённых Г. П. Агибаловым [2], а клон Фе(е) совпадает с клоном слабосущественных квазимонотонных функций из [3].
Пример 2. Как клон сохранения некоторой с-системы можно определить любой (предполный по теореме Розенберга) клон функций из Ре , сохраняющих произвольный отличный от диагонали центральный вполне рефлексивный симметричный предикат.
Проблема полноты в слабоцентральном клоне. Из-за указанных приложений слабоцентральных клонов представляется важной проблема полноты в них.
Теорема 2. Пусть А и В — с-слабоцентральные клоны, такие, что А С В. Тогда множество Л(А, В) является безызбыточной А-критериальной системой для клона В; в частности, для произвольных предикатов р и д из Л(А, В) строгое включение В П ро1Е(р) С В П ро1Е(д) невозможно. Более того, для произвольных предикатов р и д из Л(А, В) равенство клонов В П ро1Е(р) = В П ро1Е(д) равносильно перестановочной эквивалентности этих предикатов.
Сформулированная теорема сводит задачу построения безызбыточной А-крите-риальной системы в клоне В для слабоцентральных клонов А и В к нахождению В-предельных предикатов из Л(А,В). Помимо этого, имеет место
Следствие 1. Слабоцентральный клон обладает безызбыточной критериальной системой.
Отметим также, что доказанная в [3] теорема легко обобщается как теорема о Фе(е)-полноте в клоне QE(е) для произвольной с-системы е.
ЛИТЕРАТУРА
1. Парватов Н. Г. О выделении максимальных подклонов // Прикладная дискретная математика. 2011. №1. С. 14-25.
2. Агибалов Г. П. Дискретные автоматы на полурешётках. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993. 227 с.
3. Парватов Н. Г. Теорема о функциональной полноте в классе квазимонотонных функций на конечной полурешётке // Дискр. анализ и исслед. опер. Сер. 1. 2006. Т. 13. №3. С. 62-82.
УДК 519.7
ОПИСАНИЕ КЛАССА ПОДСТАНОВОК, ПРЕДСТАВИМЫХ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ПОДСТАНОВОК С ФИКСИРОВАННЫМ ЧИСЛОМ МОБИЛЬНЫХ ТОЧЕК
А. Б. Пичкур
Пусть — группа подстановок степени N; О € ; Г(О) С {1,... , N} — множе-
ство мобильных точек подстановки О; 2 ^ д ^ N; Г^(д) = {О € 5^ : |Г(О)| = д} — множество всех подстановок степени N, имеющих ровно д мобильных точек.
В данной работе описано множество всех подстановок из Г^ (д) ■ Г^ (д). Данный результат имеет практические приложения в криптографии.
В научной литературе рассматривается схожая задача описания множества подстановок, принадлежащих произведению двух или более классов сопряженных элементов из 5^ (или из Ам — знакопеременной группы подстановок) [1-6].
Доказаны следующие результаты.
