CC BY
21
2011 Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(14)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 519.7
КОНСТРУКЦИЯ МАКСИМАЛЬНОГО КЛОНА ТОЧЕЧНЫХ ФУНКЦИЙ НА ПОЛУРЕШЁТКЕ ИНТЕРВАЛОВ
Н. Г. Парватов
Национальный исследовательский Томский государственный университет, г. Томск,
Россия
E-mail: parvatov@mail.tsu.ru
В связи с задачей описания клонов точечных и минимальных точечных функций на верхней полурешётке предлагается конструкция максимальных по включению таких клонов на полурешётке интервалов решётки.
Ключевые слова: клон, верхняя полурешётка, полурешётка интервалов, решётка интервалов, точечная функция, минимальная точечная функция.
1. Формулировка результата
Пусть множество L, упорядоченное отношением ^, является верхней полурешёт-кой, но не решёткой [1, 2]. Это означает, что в множестве L для любых двух элементов а и b имеется точная верхняя грань a + b, а точной нижней грани a ■ b может не существовать. Полурешётка называется точечной, если всякий её элемент является суммой некоторых минимальных элементов полурешётки.
Основным объектом изучения являются функции f : Ln ^ L при n = 1, 2,..., множество которых обозначается через Pl. Функция f из Pl, зависящая от n переменных, называется монотонной, если она сохраняет упорядочение ^, то есть если для любых наборов а и b из Ln выполняется импликация
а ^ b ^ f (а) ^ f (b)
где наборы в Ln сравниваются покомпонентно. Функция f называется точечной, если для любого набора а из Ln выполняется равенство
f (а) = Е f (x).
X
Здесь суммирование выполняется в полурешётке L по всем (для монотонной функции f достаточно — по некоторым) наборам x из L^, таким, что x ^ а, где L0 —множество минимальных элементов полурешётки L. Точечная функция, очевидно, монотонна. Точечная функция, сохраняющая множество L0, называется минимальной точечной. Как видно, точечная функция f : Ln ^ L однозначно определяется своим ограничением f1 : L^ ^ L. Принято называть f точечным расширением функции f1 и обе эти функции обозначать одинаково.
Классы всех точечных и минимальных точечных функций обозначаются через Tl и min Tl соответственно. Эти классы вместе с некоторыми другими классами полу-решёточных функций введены в [3] для описания асинхронных управляющих систем,
обладающих заданным динамическим поведением, то есть отвечающих заданными изменениями выходных состояний на заданные изменения входных. Основные классы функций на полурешётке изучались в [4-7]], в том числе в [6, 7] рассматривались проблемы полноты. В работе [4] сформулирована задача описания клонов (замкнутых классов с селекторами) в множествах точечных и минимальных точечных функций, показано, что всякий клон точечных (минимальных точечных) функций можно расширить до некоторого максимального по включению такого клона и множество последних конечно. В данной работе построены примеры максимальных таких клонов на полурешётке интервалов, введённой впервые в [4] и определяемой ниже.
Пусть множество Е является решёткой с упорядочением и операциями V и Л для взятия точных верхних и нижних граней [1, 2]. Интервалом решётки Е будем называть пару [а, Ь] её элементов а и Ь, таких, что а Ь. Интервал [а, а] будем отождествлять с элементом а. Обозначим через т(Е, =^) множество всех интервалов и определим для них упорядочение и операции V и Л покомпонентно:
[а, Ь] [с, ^ ^ (а с & Ь ^), [а, Ь] V [с, ^] = [а V с, Ь V ^], [а, Ь] Л [с, ^] = [а Л с, Ь Л ^],
где а, Ь, с, ^ — элементы из Е, такие, что а Ь и с ^. Множество т(Е, =^) становится таким образом решёткой. Оно является также верхней полурешёткой с упорядочением ^, операцией + для взятия точной верхней грани и частичной операцией • для взятия точной нижней грани, определёнными так:
[а, Ь] ^ [с, ^] ^ (а с & d Ь), [а, Ь] + [с, ^] = [а Л с, Ь V ^], [а, Ь] • [с, ^] = [а V с, Ь Л ^],
где а, Ь, с, d — элементы из Е, такие, что а Ь и с d, а также а V с Ь Л d в последнем случае. Построенные алгебраические системы (Ь, =^) и (Ь, ^), где Ь = т(Е, =^), называются соответственно решёткой и полурешёткой интервалов решётки (Е, =^).
Пусть Пь — множество всех предикатов р : Ьп ^ {И, Л} при п = 1, 2,... Для любого множества или набора У предикатов из Пь будем обозначать через ро1ь(У) клон всех функций из Рь, сохраняющих все предикаты из У. Имеет место
Теорема 1. Пусть (Ь, =^) —решётка и (Ь, ^) — полурешётка интервалов решётки (Е, =^). Клоны ро1ь(^, ^) и ро1ь(^, ^, Е) являются максимальными по включению среди клонов, являющихся подмножествами классов Ть и шт Ть соответственно.
Доказательству теоремы 1 предпошлём несколько вспомогательных утверждений — лемму 1 и следствия 1 и 2.
2. Вспомогательные утверждения
В соответствии со сказанным множество Ь = т(Е, =^) интервалов решётки (Е, =^) будем рассматривать как полурешётку с упорядочением ^ и одновременно как решётку с упорядочением =^. Для любого интервала а = [а^а2] из Ь положим 1 а = а1 и г а = а2. Положим также 1 а = (1 а1,..., 1 ап) и г а = (г а1,..., г ап) для любого набора а = (а1,... , ап) из множества Ьп, которое, таким образом, можно рассматривать как решётку и полурешётку интервалов решётки Еп. Отметим, что в Ьп неравенство а ^ Ь равносильно паре соотношений 1Ь 1 а и г а г Ь, а неравенство а Ь — паре 1 а 1Ь и г а г Ь. Множество Еп является множеством минимальных элементов полурешёт-ки Ьп (упорядоченной отношением ^). При этом каждый набор а из Ьп представим суммой а = 1 а + г а наборов 1 х и 1 у из Еп. В частности, полурешётка Ьп точечная.
Лемма 1. Пусть (Ь, =^) —решётка, (Ь, ^) —полурешётка интервалов решётки (Е, =^) и д — функция из Рь от п переменных.
1. Если функция д принадлежит клону ро1ь(^, ^), то в множестве Ре найдутся функции д1 и дг от п переменных, такие, что
1) функции д1 и дг принадлежат клону ро1е(^);
2) дх(х) дг(х) для всех х из Еп;
3) д(х) = дх (1 х) + дг(г х) для всех х из Ьп;
4) дх(1 х) = 1 д(х) = 1 д(1 х) и дг(гх) = гд(х) = гд(гх) для любого набора х из Ьп
(в частности, функции дх и дг однозначно определяются функцией д).
2. Обратно, если для функций дх и дг из Ре от п переменных выполняются условия 1-3, то для них выполняется и условие 4 и функция д принадлежит клону ро1(^, ^).
3. Функция д из клона ро1(^, ^) принадлежит клону ро1ь(^, ^,Е) тогда и только тогда, когда функции дх и дг, определённые условиями 1-3, совпадают.
Доказательство. Докажем первое утверждение леммы. Пусть функция д принадлежит клону ро1ь(^, ^). Тогда для любого набора х из множества Ьп выполняются неравенства 1 х х г х, а в силу монотонности функции д относительно упорядочения выполняются также неравенства д(1 х) д(х) д(гх), из которых следует, что
д(х) ^ д(1 х) + д(г х). Из монотонности функций д и + относительно упорядочения ^
следует обратное неравенство (поскольку 1 х ^ х и г х ^ х)и тогда
д(х) = д(1 х) + д(г х).
Отсюда, учитывая неравенство д(1 х) д(гх), получаем
1 д(1 х) = 1 д(х) гд(х) = гд(гх).
Из доказанного видно, что функции дх и дг корректно определены четвёртым условием леммы, принадлежат клону Ре и для них выполняются второе и третье условия. Поскольку первое условие легко следует из монотонности функции д относительно упорядочения =^, первое утверждение леммы доказано.
Докажем второе утверждение. Из первых двух условий следует, что для любого набора х из Ьп
дх (1 х) ^ дх(г х) ^ дг(г х),
тогда из третьего условия
1 д(х) = дх(1 х) и гд(х) = дг(гх),
и, подставляя 1 х и г х вместо х, получаем
1 д(1 х) = дх(1 х) и гд(гх) = дг(гх);
тем самым установлено четвёртое условие. Монотонность функции д относительно упорядочения проверяется непосредственно: для любых наборов х и у из Ьп, таких, что х у, выполняется 1 х 1 у и г х г у, откуда с использованием первого и четвёртого условий получаем
1 д(х) = дх(1 х) ^ дх(1 у) = 1 д(у) и гд(х) = дг(гх) ^ дг(гу) = гд(у).
Таким образом, д(х) д(у) и функция д монотонна относительно упорядочения =^. Монотонность относительно упорядочения ^ устанавливается тем же способом с учётом того, что неравенство х ^ у равносильно паре соотношений 1 у 1 х и г х г у.
Докажем третье утверждение леммы. Для этого заметим, что в силу доказанного всякая функция д, принадлежащая клону ро1ь(^, ^), точечная, поскольку д(х) = д(1 х) + д(гх). Более того, она является точечным расширением функции дх + дг (где функции дх и дг определяются условием 4). Это следует из условия 3, в силу которого д(х) = дх(х) + дг(х) = (дх + дг)(х) для любого набора х из множества Еп минимальных элементов полурешётки Ьп. Функция д является минимальной точечной, т. е. принадлежит клону ро1е(^, ^,Е), в том и только в том случае, когда функция дх + дг принадлежит множеству Ре , т. е. принимает значения в множестве Е при любых значениях переменных. Это равносильно тому, что функции дх и дг совпадают. ■
Следствие 1. Пусть (Ь, =^) —решётка и (Ь, ^) —полурешётка интервалов решётки (Е, =^). Клон ро1ь(^, ^) состоит из всевозможных сумм функций из ро1ь(^, ^,Е) с одинаковым числом переменных. В частности, для любого натурального числа п множество п-местных функций клона ро1ь(^, ^) замкнуто сложением и является точечной полурешёткой с упорядочением ^.
Доказательство. В соответствии с леммой 1 функция д из клона ро1ь(^, ^) есть точечное расширение суммы дх + дг функций дх и дг из Ре и тогда в силу коммутативности сложения является суммой точечных расширений этих функций. Но точечные расширения этих функций являются минимальными точечными функциями из клона ро1ь(^, ^,Е) в силу той же леммы. Первое утверждение следствия доказано. Второе следует из доказанного. ■
Далее через ро1ЬЕ(^) обозначается множество всех функций f : Еп ^ Ь при п = 1, 2,..., сохраняющих упорядочение =^.
Следствие 2. Пусть (Ь, =^) —решётка и (Ь, ^) —полурешётка интервалов решётки (Е, =^). Тогда клон ро1(^, ^) состоит из всевозможных точечных расширений функций из класса ро1ь е(^0, а клон ро1е(^, ^, Е) —из всевозможных точечных расширений функций из клона ро1е(^).
Доказательство. В силу леммы 1 функция д из клона ро1ь(^, ^) является точечным расширением суммы дх + дг функций дх и дг из Ре , причём указанная сумма монотонна относительно упорядочения вслед за функциями дх, +, дг, то есть принадлежит классу ро1ь е(^). Для (минимальной точечной) функции д из клона ро1ь(^, ^, Е) функции дх и дг совпадают между собой и с их суммой, а потому сама функция д является точечным расширение функции дх + дг = дх = дг из клона ро1е(^).
Обратно, всякую функцию О из множества ро1ь е(^0 можно представить в виде суммы О = дх + дг двух функций дх = 1О и дг = г О, таких, что дх дг, монотонных относительно упорядочения вслед за О, что проверяется непосредственно, и совпадающих в случае функции О, принадлежащей клону ро1е(^). Тогда функция д, определённая в соответствии с третьим условием из леммы 1, принадлежит клону ро1ь(^, ^) и является точечным расширением функции О. Взяв функцию О из клона ро1е(^), получим совпадающие функции дх и дг из ро1е(^), точечным расширением которых является функция д. ■
3. Доказательство теоремы 1
Максимальность клона ро1ь(^, ^, Е) следует из того, что клон ро1е(^) — предпол-ный в Ре и минимальная точечная функция из шт Ть однозначно определяется своим ограничением из Ре. Приведём, однако, более общее рассуждение, охватывающее оба случая, присутствующих в формулировке теоремы.
Пусть K — клон po1l(^, ^) (или po1l(^, ^,E)) и его удаётся расширить до клона K1 С Tl (соответственно до клона K1 С min Tl), содержащего немонотонную относительно упорядочения функцию f из Tl, зависящую от n переменных. Для доказательства нужно получить противоречие.
Заметим, что немонотонную относительно упорядочения функцию в клоне K1 можно выбрать от одной переменной. Действительно, в рассматриваемой ситуации упорядочение нарушается функцией f на паре наборов A и B из Ln, для которых выполняется неравенство A B, в отличие от неравенства f (A) f (B). Такие наборы A и B можно выбрать уже в множестве En (в противном случае функция f является точечным расширением монотонной относительно упорядочения функции из po1l e(^), и тогда она сама сохраняет это упорядочение по следствию 2 вопреки её выбору). Более того, эти наборы можно выбрать отличающимися одной компонентой так, что A = (ai,..., ai-i, a, ai+i,..., an) и B = (ai,..., ai-i, b, ai+i,..., an) для некоторых элементов ai,..., ai-i, ai+i,... , an и a, b из E. Тогда немонотонной относительно упорядочения является одноместная функция s(x) = f (ai,... , ai-i, x, ai+i,... , an), принадлежащая клону K1 (вслед за функцией f и подставленными в неё константами ai,... , ai-i, ai+i,..., an из E). Монотонность функции s нарушается на элементах a и b из E, для которых выполняется неравенство a b и не выполняется неравенство s(a) s(b). Элементы а и b можно выбрать соседними в решётке E так, что в ней не существует элемента c со свойством a -< c -< b. Для дальнейшего важно, что такой выбор элементов а и b гарантирует отсутствие отличного от них элемента c в множестве E со свойством c ^ a + b. Невыполнение неравенства s(a) s(b) означает, что не выполняется некоторое из неравенств
ls(a) ls(b) или гs(a) гs(b). (1)
Пусть это будет первое. Обозначим через 0 и 1 соответственно наименьший и наибольший элементы решётки (E, =^). Рассмотрим одноместные минимальные точечные функции ti и t2 из min Tl, принимающие значения 0 и 1 на элементах из E в соответствии со следующими условиями: ti(x) = 1, если b x; t2(x) = 1, если ls(a) x. По следствию 2 функции ti и t2 принадлежат клону po1l(^, ^,E) и тогда клону K;. Рассмотрим функцию g(x) = ti(x) V t2(s(x)) из K'. Заметим, что g(a) = g(b) = 1, так как t2(s(a)) = 1 и ti(b) = 1. Вместе с тем
g(a + b) = [0,1] = 1 = g(a) + g(b)
так как ti(a + b) = [0,1] и t2(s(a + b)) ^ t2(s(a)) + t2(s(b)) = 0 + 1 = [0,1]. Таким образом, функция g не точечная. Получено противоречие.
Случай, когда не выполняется второе неравенство в (1), рассматривается аналогично. Теорема доказана.
4. Замечание
В работе [4] автора допущены следующие неточности: на с. 33 в выделенной формуле должно быть +K = + max(K, ^) (то есть max вместо min); в следствии 5 условие f-i(0) = ±f-i(1) следует пополнить требованием f-i(1) = 0 ив теореме 10 второе условие — требованием B* С f-i(1) U f-i(T), означающим, что функция xB не принимает значения T, когда функция f принимает значение 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Биркгоф Г. Теория решёток. М.: Наука, 1984. 568с.
2. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973. 400с.
3. Агибалов Г. П. Дискретные автоматы на полурешётках. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993. 227 с.
4. Парватов Н. Г. Точечные и сильно точечные функции на полурешётке // Прикладная дискретная математика. 2010. №3. С. 22-40.
5. Парватов Н. Г. Об инвариантах некоторых классов квазимонотонных функций на полу-решётке // Прикладная дискретная математика. 2009. №4. С. 21-28.
6. Парватов Н. Г. Функциональная полнота в замкнутых классах квазимонотонных и монотонных трёхзначных функций на полурешётке // Дискрет. анализ и исслед. опер. Сер. 1. 2003. Т. 10. № 1. С. 61-78.
7. Парватов Н. Г. Теорема о функциональной полноте в классе квазимонотонных функций на конечной полурешётке // Дискрет. анализ и исслед. опер. Сер. 1. 2006. Т. 13. №3. С. 62-82.
