CC BY
23
2009 Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(6)
УДК 519.7
ОБ ИНВАРИАНТАХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ КВАЗИМОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ НА ПОЛУРЕШЁТКЕ1
Н. Г. Парватов Томский государственный университет, г. Томск, Россия E-mail: [email protected]
Рассматриваются классы квазимонотонных, монотонных, а также слабо существенных квазимонотонных и монотонных функций на конечной верхней полу-решётке. В системах инвариантных для этих классов предикатов находятся порождающие множества, порождающие эти системы с использованием диагоналей и с помощью операций конъюнкции предикатов, отождествления и перестановки переменных, введения и удаления фиктивных переменных. Рассматриваемые вопросы связаны с проблемами полноты, выразимости и конечной порождаемости для этих классов.
Ключевые слова: полурешётка, монотонная функция, квазимонотонная функция, мажоритарная функция.
Введение: полурешётки и неполная информация
При описании управляющих систем средствами дискретных функций с операциями суперпозиции возникают трудности, обусловленные явлением состязаний [1]. В монографии Г. П. Агибалова [2] для преодоления этих трудностей предложено считать изменяющиеся (то есть в различной степени определённые) состояния дискретной управляющей системы элементами верхней полурешётки, интерпретируя полурешёточное отношение порядка как отношение сравнения состояний по степени их неопределённо-сти и используя полурешёточное сложение для описания промежуточных состояний. При таком подходе функции состояний и выходов управляющей системы оказываются функциями на полурешётке, причём монотонными, ведь монотонность отражает очевидное свойство системы: её внутренние и выходные состояния уточняются (становятся более определёнными) при уточнении входного состояния. Среди монотонных функций выделяют функции, не допускающие дальнейшего монотонного уточнения. К синтезу таких функций, названных в работах Г. П. Агибалова минимальными точечными, сводятся задачи создания асинхронных дискретных управляющих систем. Представляют интерес также функции, в том числе и немонотонные, допускающие монотонное уточнение; такие функции называются квазимонотонными. Квазимоно-тонные функции удобно использовать для формулирования задачи синтеза дискретной управляющей системы с заданным динамическим поведением. Подобная задача может состоять в необходимости создания дискретной управляющей системы, функции состояний и выходов которой уточняют указанные заранее квазимонотонные функции. Отметим также, что идея рассматривать в разной степени неопределённые значения как элементы верхней полурешётки подмножеств лежит в основе понятия нечёткой информации, теория которой развита в работах Л. А. Шоломова (см., например, [3]).
1 Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
В связи со сказанным актуальны задачи синтеза функций в классах квазимонотонных, монотонных и минимальных точечных функций, возникающие на различных этапах проектирования асинхронных управляющих систем, а также проблемы полноты и выразимости функций в этих классах, рассматриваемые в [4, 5]. Точнее, в [4] получены критерии полноты в классах монотонных и квазимонотонных функций на трёхэлементной полурешётке непустых подмножеств двухэлементного множества, а также получен критерий выразимости минимальных точечных функций в классе монотонных функций на той же полурешётке. В [5] рассматривалась проблема полноты в классе квазимонотонных функций на произвольной полурешётке при суперпозиции со всеми так называемыми слабо существенными квазимонотонными функциями, допускающими, в соответствии с их определением, уточнение одноместными монотонными функциями.
В данной статье изучаются общие свойства замкнутых классов квазимонотонных и монотонных функций, а также классов слабо существенных квазимонотонных и монотонных функций на произвольной конечной верхней полурешётке. В том числе изучаются свойства предикатов, инвариантных для функций в этих классах. Рассматриваемые свойства связаны с вопросами конечной порождаемости этих классов и представляют интерес в связи с проблемами выразимости и полноты в них.
1. Верхняя полурешётка
Пусть в конечном множестве D, упорядоченном отношением ^, для любых элементов a и b имеется точная верхняя грань a + b, а точная нижняя грань a ■ b существует не для любых элементов a и b. Иными словами, множество D вместе с указанным упорядочением является верхней полурешёткой, но не решёткой.
Отношение порядка ^, определённое в полурешётке D, переносится на наборы в Dn естественным образом — покомпонентно, так, что выполнение неравенства a ^ b для наборов a = (ai,... , an) и b = (bi,... , bn) означает выполнение покомпонентных неравенств ai ^ bi при 1 ^ i ^ n. Таким образом, множество Dn становится полурешёткой с покомпонентыми сложением и умножением.
Упорядочение ^ переносится и на функции f : Dn ^ D, множество которых при всевозможных натуральных n обозначается через Pd . При этом неравенство f ^ g означает для функций f и g, что они зависят от одинакового числа переменных и для любого набора a значений их переменных выполняется неравенство f (a) ^ g (a). В этом случае функция f называется минорантой функции g.
Наибольший элемент верхней полурешётки будем обозначать через Т. Удобно верхнюю полурешётку D (это касается и любой другой верхней полурешётки) считать вложенной в решётку D U (±) с наименьшим элементом ±. Указанное вложение позволяет пользоваться произведениями ab для любых элементов a и b из D. В этом случае отсутствие произведения в полурешётке означает, что это произведение принимает значение ± в решётке.
2. Основные классы квазимонотонных функций
Функции из Pd , сохраняющие полурешёточное отношение порядка ^, называются монотонными, а их класс обозначается через Md . Функция из Pd , имеющая монотонную миноранту, называется квазимонот,онной. Среди монотонных минорант квазимонотонной функции f имеется наибольшая Mf, значение которой на любом наборе a из Dn (где n — число переменных функций f и Mf ) можно найти так:
Mf(a) = П f
при этом произведение вычисляется в полурешётке О по всем наборам а' ^ а из Оп.
Обозначим через ^(О) максимальное число элементов минимального по включению подмножества полурешётки О, не имеющего в ней нижней грани. Известный тест квазимонотонности из [2] утверждает, что функция f : Оп ^ О тогда и только тогда квазимонотонная, когда выполняется следующее свойство: если какие-то наборы (достаточно какие-то ^(О) наборов) имеют нижнюю грань в полурешётке Оп, то значения функции f на этих наборах имеют нижнюю грань в полурешётке О. В соответствии с этим класс квазимонотонных функций на полурешётке О, далее обозначаемый через QD, является классом сохранения системы предикатов
£г (Я1, . . . , Хг) = Зх(х ^ х1 Л ■ ■ ■ Л X ^ хг)
при всевозможных целых положительных г и даже является классом сохранения одного-единственного предиката £д(д).
Функция из Рд, имеющая монотонную миноранту, существенно зависящую не более чем от одной переменной, называется слабо существенной квазимонотонной функцией (на полурешётке О). Слабо существенные функции введены в [5], где при суперпозиции с ними решена проблема полноты в классе квазимонотонных функций. В соответствии с [5] функция f : Оп ^ О тогда и только тогда является слабо существенной квазимонотонной, когда для некоторого числа г, 1 ^ г ^ п, выполняется следующее свойство: если г-е компоненты каких-то наборов (достаточно каких-то ^(О) наборов) из Оп имеют нижнюю грань в полурешётке О, то и значения функции f на этих наборах также имеют нижнюю грань в О.
Используя сформулированный критерий, покажем для дальнейшего использования, что класс слабо существенных квазимонотонных функций на верхней полуре-шётке О является классом сохранения системы предикатов
£г,т = £г (х1, . . . , хг) V £г (хг+1, . . . , х2г) V ... V £г (х(т- 1)г+1, . . . , хтг)
при всевозможных целых положительных г и т, и даже классом сохранения предикатов £а(в),т при всевозможных целых положительных т. С этой целью условие сохранения п-местной функцией f предиката £г,т сформулируем следующим образом. Если заданы тг наборов из множества Оп, разбитых на т г-элементных групп, и на наборах каждой группы значения функции f не имеют нижней грани, то найдётся компонента, значения которой в каждой группе наборов не имеют нижней грани. Это условие выполняется для слабо существенной квазимонотонной функции. Обратно, при достаточно большом т (но не превосходящем числа |О|пг всевозможных г-элементных групп наборов из Оп) тг наборов можно выбрать так, чтобы среди их групп присутствовала каждая г-элементная группа наборов из Оп, на которых функция f не имеет нижней грани. В связи с этим сформулированное выше условие приводит к наличию у функции f, сохраняющей предикат £г,т, такой переменной, пусть с номером г, что если на каких-то г наборах функция не имеет нижней грани, то г-е компоненты этих наборов не имеют нижней грани. Равносильно, если г-е компоненты каких-то г наборов имеют нижнюю грань, то и значения функции на этих наборах имеют нижнюю грань. Если сказанное выполняется для г = ?(О), то оно выполняется при любом г; это следует из определения числа ^(О). Таким образом, желаемое свойство установлено.
Класс слабо существенных квазимонотонных функций станем обозначать через Фд.
Основная цель данной статьи состоит в выявлении некоторых общих свойств замкнутых классов квазимонотонных, монотонных и слабо существенных функций, а также систем инвариантов (то есть систем предикатов, сохраняемых функциями) этих классов. Результаты данной статьи иллюстрируют конструкции, введённые в [9] в связи с задачей выявления свойств, обеспечивающих конечную порождаемость замкнутого класса функций конечнозначной логики.
3. Клоны с мажоритарной функцией и их обобщения
Напомним некоторые необходимые для дальнейшего факты. При этом рассматриваемые здесь свойства выполняются для произвольного конечного множества D, не обязательно являющегося полурешёткой.
Мажоритарной называется функция m(xi,... , xn), зависящая от n ^ 3 переменных и удовлетворяющая при любом i = 1 , . . . , n соотношению
/V» - TYl ( 'Т rf' rŸ‘ ■ rŸ‘ rŸ‘ i
i
где переменная xi находится на i-м месте под знаком функции m, переменная x — на остальных местах. Клоны с мажоритарной функцией конечно порождены [6].
Обратимся к вопросу о строении алгебры инвариантных предикатов клона, содержащего мажоритарную функцию. (Напомним, что клоном называют замкнутый суперпозицией класс функций, содержащий тождественную одноместную функцию.) Как известно [7], для любого множества K функций из Pd множество inv_D (K) предикатов p : Dn ^ {И,Л}, сохраняемых функциями из K, замкнуто операциями конъюнкции, проектирования, отождествления и перестановки переменных, введения и удаления фиктивных переменных и включает все диагонали. (Диагоналями называются тождественно истинные и тождественно ложные предикаты, а также предикаты, выражающиеся формулами вида xi = xj Л ... Л x& = x¿, где {i, j,... , k,/} = {1,... , n} для натуральных n.) Множества предикатов, включающие диагонали и замкнутые операциями конъюнкции, отождествления и перестановки переменных, введения и удаления фиктивных переменных, назовём и-классами. Для любого множества A предикатов p : Dn ^ {И,Л} обозначим через [A]a и-класс, порождённый множеством A, то есть наименьший по включению среди и-классов, включающих множество A; через A(d) обозначим множество предикатов из A, зависящих не более чем от d переменных.
Клоны с мажоритарной функцией в терминах их инвариантных предикатов характеризует теорема Бейкера и Пиксли из [8]. С использованием этой теоремы в [9] установлено, что для клона K функций из Pd равносильны условия:
(1) клон K содержит (d + 1)-местную мажоритарную функцию;
(2) и-класс invD (K) порождается всеми своими предикатами, зависящими не более чем от d переменных, то есть имеет место равенство
invD (K ) = [(invD (K ))(d)]A.
В качестве обобщений клонов с мажоритарной функцией в [9] были введены d-подклоны и (c, d)-клоны. Клон Ki называется d-подклоном клона K2, если выполняются равносильные в силу [9] свойства:
(1) имеет место включение Ki С K2, и для любой функции f (xi,..., xn) из K2 в Ki найдётся функция mf (xi,... ,xn+d+i), удовлетворяющая всевозможным соотношениям
f (x) = mf (x, f (x^ .. . , f (x),xi+n, f (x^ . .., f (x)),
где через х обозначен набор переменных х1,... ,хп, переменная х^+п находится на (г + п)-м месте функции т/ и 1 ^ г ^ d +1;
(2) имеет место равенство туд(К^ = [туд(К2) и (туд(К^)^^.
Клон с конечно-порождаемым d-подклоном сам конечно-порождаемый [9].
Если функцию т/ в первом условии сделанного выше определения всегда удаётся выбрать зависящей не более чем от о переменных набора х (и тогда она зависит не более чем от о + d +1 переменных), то клон К1 называется (о, d)-подклоном клона К2 и оба клона К1 и К2 называются (о, d)-клонами. В соответствии с этим клоны с ^ + 1)-местной мажоритарной функцией являются (0, d)-подклонами клона Рд и (0, d)-клонами. В статье [9] показано, что (о, d)-клоны (при натуральных п и d) конечно порождены.
Как видно, клоны с мажоритарной функцией и их обобщения — d-подклоны обладают двумя определениями: функциональным и предикатным. Функциональное определение характеризует указанные (под)клоны в терминах содержащихся в них функций, а предикатное — в терминах инвариантных предикатов. Для (о, d)-клонов в настоящее время известно только функциональное определение. Автор планирует исправить ситуацию в скором времени, охарактеризовав в одной из ближайших статей (о, d)-клоны в терминах сохраняемых предикатов.
Для нахождения порождающих множеств инвариантных и-классов полезной оказывается следующая
Лемма 1 (о продолжении частичной функции). Для клона К функций из Рд и множества А предикатов из туд (К) следующие условия равносильны:
(1) туд(К) = [А]л;
(2) произвольную частичную функцию f : А ^ О, где А С Оп, тогда и только тогда можно доопределить до функции в К, когда f сохраняет все предикаты из А.
Напомним, что сохранение частичной функцией f : А ^ О, где А С Оп, т-местного предиката р означает, что для любых удовлетворяющих ему наборов хг = (х1,..., хт), 1 ^ г ^ п, набор
f (xl,...,xn),...,f (хт,...,хт)
либо содержит неопределённую компоненту, либо также удовлетворяет предикату р. Доказывать здесь лемму о продолжении частичной функции не станем; сделаем это в одной из следующих статей.
4. Свойства основных классов квазимонотонных функций
В [10] показано, что классы Мд и QD содержат мажоритарную функцию
«(Д)
М(xl, . . . , х«(д)+1) = Л (х1 + ... + хг—1 + хг+1 + ... + х«(д)+1).
г=1
Значения этой функции определены при любых значениях переменных, несмотря на то, что операция умножения — частичная в полурешётке. Действительно, если в записанном соотношении произведение справа не определено при каких-то значениях переменных, то какие-то ^(О) из скобок-сомножителей этого произведения не имеют общей нижней грани в силу определения числа ^(О); но это невозможно, так как суммы в этих скобках имеют общее слагаемое. Функция М мажоритарная, в чём можно
убедиться с использованием полурешёточных тождеств следующим образом:
М(х,..., х, х^, х,..., х) = (х + х*) ■ ■ ■ (х + х*) ■ х ■ (х + х*) ■ ■ ■ (х + х*) = (х + х*)х = х.
Наконец, функция М монотонная, так как является композицией монотонных функций.
В силу сказанного и-классы тур (Мд) и туд ) порождаются множествами своих
предикатов, зависящих не более чем от ^(О) переменных. С использованием леммы 1 можно получить более точные соотношения:
туд (Мд) = [^,£«(д)]л, 1ПУд ) = [£«(д)]л. (1)
Действительно, частичную функцию f : А ^ О, определённую на множестве А С Оп и сохраняющую предикат £«(д), можно доопределить значением Т до квазимонотонной функции, а если f сохраняет ещё и порядок ^, то её можно доопределить до монотонной функции f', такой, что f'^) = П f (d'), где произведение вычисляется в полурешётке О по всем наборам d' из А, таким, что d' ^ d, и произведение пустого множества элементов считается равным элементу Т.
Из полученных соотношений (1) следует, что и-класс туд (Мд) порождается множеством туд), пополненным 2-местным предикатом ^. В частности, клон Мд является 2-подклоном клона QD. В справедливости этого можно убедиться иначе, воспользовавшись функциональным определением d-клона. Для этого достаточно заметить, что для квазимонотонной п-местной функции f, обладающей монотонной минорантой т', функцию т/, зависящую от п + 3 переменных, можно выбрать следующим образом:
т/(х1, . . . ,хп+з) = т'(х1, . . . ,хп) + (хп+1 + хп+2)(хп+1 + хп+з)(хп+2 + хп+з);
например, в качестве монотонной миноранты т' можно взять наибольшую М/. Если функция f слабо существенная из Фд, то монотонную миноранту т' можно выбрать зависящей от некоторой одной переменной х^ при 1 ^ г ^ п. В этом случае функция т'(х^) является минорантой функции т/, принадлежащей классу Мд П Фд, который является в силу сказанного (1, 2)-подклоном клона Фд.
Из сказанного видно, что порождающее множество и-класса туд (Мд П Фд) можно получить из порождающего множества и-класса туд (Фд), дополнив последнее какими-то 2-местными предикатами. С использованием леммы 1 можно получить более точные соотношения
1Пуд(Мд П Фд>) = [^, Тд]л, 1пуд(Фд) = [Тд]л,
где Тд — система всевозможных предикатов £«(д),т при целых положительных т. Эти соотношения доказываются аналогично соотношениям (1). Таким образом, верна
Теорема 1. Имеют место следующие утверждения:
(1) и-класс туд ) порождается предикатом £«(д);
(2) и-класс туд (Мд) порождается парой предикатов £«(д) и ^;
(3) и-класс туд (Фд) порождается системой предикатов Тд;
(4) и-класс туд(Фд П Мд) порождается системой предикатов и {^}.
В частности, клон Мд является 2-подклоном клона QD и клон Фд П Мд является 2-подклоном клона Фд. Более того, клон Фд П Мд является (1, 2)-подклоном клона Фд.
ЛИТЕРАТУРА
1. Агибалов Г. П., Оранов А. М. Лекции по теории конечных автоматов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1983. 185 с.
2. Агибалов Г. П. Дискретные автоматы на полурешётках. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993. 227 с.
3. Шоломов Л. А. Элементы теории недоопределённой информации // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2009. №2. С. 18-42.
4. Парватов Н. Г. Функциональная полнота в замкнутых классах квазимонотонных и монотонных трехзначных функций на полурешетке // Дискретн. анализ и исслед. опер. Сер. 1. 2003. Т. 10. № 1. С. 1-78.
5. Парватов Н. Г. Теорема о функциональной полноте в классе квазимонотонных функций на конечной полурешетке // Дискрет. анализ и исслед. опер. Сер. 1. 2006. Т. 13. №3. С. 62-82.
6. Марченков С. С. К существованию конечных базисов в замкнутых классах булевых функций // Алгебра и логика. 1984. Т. 23. №1. С. 88-99.
7. Боднарчук В. Г., Калужнин Л. А., Котов В. Н., Ромов Б. А. Теория Галуа для алгебр Поста // Кибернетика. 1969. №3. С. 1-10; №5. С. 1-9.
8. Baker K. A., Pixly A. F. Polynomial interpolation and chinese remainder theorem for algebraic systems // Math. Zeiteschr. 1975. Bd. 143. No. 2. S. 165-174.
9. Парватов Н. Г. Замечания о конечной порождаемости замкнутых классов // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2004. Т. 11. №3. С. 32-47.
10. Парватов Н. Г. Некоторые конструкции конечно-порождаемых клонов // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2004. №9. С. 26-28.
