О выделении максимальных подклонов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011 Теоретические основы прикладной дискретной математики №1(11)

УДК 519.7

О ВЫДЕЛЕНИИ МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДКЛОНОВ1

Н. Г. Парватов Томский государственный университет, г. Томск, Россия E-mail: parvatov@mail.tsu.ru

Рассматривается задача выделения максимальных (предполных) подклонов в произвольном клоне, важная в связи с проблемой полноты в нём. Вводятся и-описания и расширенные и-описания как средства задания подклона в клоне. Устанавливаются необходимые и достаточные условия максимальности подклона, заданного своим расширенным и-описанием. Рассматриваются примеры.

Ключевые слова: клон, подклон, предполный подклон, максимальный подклон, проблема полноты, критериальная система, описание подклона, и-описание подклона.

Введение

Пусть E — непустое конечное множество. Будем рассматривать множество Pe функций f : En ^ E, где n — произвольное натуральное число. Множество функций из Pe , замкнутое операциями суперпозиции из [1, 2] и включающее множество Se селекторных функций, тождественно равных некоторой переменной, называется клоном.

Пусть B — произвольный клон функций из Pe . Множество функций клона B будем рассматривать с замыканием относительно Se-суперпозиции таким, что замыканием произвольного множества X функций из клона B относительно Se-суперпозиции является наименьший по включению среди содержащих это множество клон [X]uSe = [X U Se]. Для него множество X называется порождающим.

Проблема полноты в клоне B состоит в описании всех его порождающих подмножеств. Она может быть решена указанием критериальной системы S собственных подклонов клона B (то есть подклонов, собственным образом в нём содержащихся), такой, что всякий собственный подклон клона B включён в некоторый из клонов системы S.

В работе рассматривается задача выделения в клоне B максимальных собственных подклонов (далее называемых просто максимальными в B), очевидно содержащихся в любой критериальной системе клона B, а потому представляющих интерес в связи с проблемой полноты в нём.

Структура статьи следующая. В п. 1 рассматриваются соответствия Галуа из [3, 4] между множествами частичных или полностью определённых функций k-значной логики и множествами предикатов. На основе этого формулируется лемма о доопределении из [5] и в качестве средства задания подклонов вводятся и-описания. В п. 2 вводятся расширенные и-описания; устанавливается лемма о выделении и теорема о выделении, дающие условия максимальности подклона, заданного своим расширенным и-описанием. Использование доказанной теоремы иллюстрируется примером. В п. 3 формулируются достаточные условия максимальности, рассматриваются примеры.

1 Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт № П1010).

1. Соответствия Галуа и и-описания

Напомним для дальнейшего использования о классических соответствиях Галуа из [3, 4], определяемых для функций многозначной логики и для частичных таких функций отношением сохранения функцией предиката. Сформулируем лемму о доопределении из [5], которая даёт условия, когда частичная функция имеет доопределение в заданном клоне. На основе этого в качестве средства выделения подклонов введём в рассмотрение и-описания и расширенные и-описания.

Соответствие Галуа для полностью определённых функций. Будем обозначать через Пе множество предикатов p : Em ^ {И,Л} при всевозможных натуральных т. Говорят, что функция f из Pe, зависящая от n переменных, сохраняет предикат p из Пе, зависящий от m переменных, если для любых наборов Xi,... , Xn, удовлетворяющих предикату p, ему удовлетворяет также набор Х0 = f [m](Xi,... , Xn), полученный последовательным выписыванием значений функции f, вычисленных от строк матрицы (Х^,... , Xj), где верхний индекс T означает транспонирование. Отношение сохранения функцией из множества Pe предиката из множества Пе определяет соответствие Галуа [6] из [4] между упорядоченными включением системами подмножеств этих множеств, важное при изучении клонов. При этом соответствии произвольному множеству X функций из Pe сопоставляется множество invE (X) сохраняемых ими предикатов из Пе , а произвольному множеству Y предикатов из Пе сопоставляется множество poIe (Y) сохраняющих их функций из Pe. Галуа-замкну-тыми классами функций в этом случае оказываются всевозможные клоны функций из Pe. Иными словами, замыкание Галуа в множестве Pe совпадает с замыканием относительно Se-суперпозиции. Галуа-замкнутыми классами предикатов оказываются всевозможные множества предикатов из Пе , замкнутые операциями подстановки переменных и включающие все диагонали (к числу которых относятся тождественно истинные или ложные предикаты, а также предикаты, выражаемые формулами вида xi = Xj Л ... Л xi = xm, где {i,j,..., l,m} = {1,... , n} для некоторого натурального n). В дальнейшем такие множества предикатов будем называть замкнутыми. Отметим, что замкнутый класс предикатов из Пе, порождённый множеством X, то есть наименьший по включению среди включающих это множество, совпадает с классом inv e (poIe (X )) и состоит из предикатов, выражаемых формулами первого порядка (здесь достаточно предварённых формул), в которых переменные принимают значения в множестве E, предикатные символы интерпретируются в множестве X U {И,Л, =}, функциональные символы отстутствуют, а из логических символов возможны только квантор существования и конъюнкция.

Соответствие Галуа для частичных функций. Наряду с функциями из Ре станем рассматривать функции f : En ^ E U {*}, где n — произвольное натуральное число и * — фиксированный элемент, не принадлежащий множеству E. Интерпретируя этот элемент как неопределённое значение, станем называть и считать такие функции частичными, а их множество обозначать через PE. Говорят, что частичная функция f из РД , зависящая от n переменных, сохраняет предикат p из Пе , зависящий от m переменных, если для любых наборов Xi,... , Xn, удовлетворяющих предикату p, набор Xo = f [m](Xi,... ,Xn), полученный последовательным выписыванием значений функции f, вычисленных от строк матрицы (X^,... , X^), либо также удовлетворяет предикату p, либо содержит неопределённую компоненту, равную *.

Отношение сохранения функцией из множества РД предиката из множества Пе определяет соответствие Галуа из [3] между упорядоченными включением систе-

мами подмножеств этих множеств. При этом соответствии произвольному множеству X функций из РЕ сопоставляется множество туЕ (X) сохраняемых ими предикатов из Пе , а произвольному множеству У предикатов из Пе сопоставляется множество ро1Е (У) сохраняющих их функций из Р*. Галуа-замкутыми классами функций из Р* оказываются теперь всевозможные строго частичные клоны — замкнутые операциями суперпозиции классы частичных функций из Р*, включающие множество ¿Е всех селекторов и содержащие вместе с каждой своей функцией всякое её ограничение (получаемое заменой некоторых значений, принимаемых функцией, неопределённым значением *). Галуа-замкнутыми классами предикатов оказываются всевозможные множества предикатов из П е , замкнутые операциями подстановки переменных и включающие все диагонали. Такие классы предикатов в дальнейшем называются и-замкнутыми классами, или, короче, и-классами предикатов. Отметим, что и-класс, порождённый множеством X предикатов из П е , то есть наименьший по включению среди включающих это множество, совпадает с классом ту е(ро1 Е(X)) и состоит из предикатов, выражаемых бескванторными формулами первого порядка, в которых переменные принимают значения в множестве Е, предикатные символы интерпретируются в множестве X и {И,Л, =}, функциональные символы отсутствуют, а из логических символов возможна только конъюнкция.

Описания, и-описания и доопределения. Далее будут сформулированы условия из [5] существования доопределения в заданном клоне для произвольной частичной функции и с их помощью будут введены новые методы задания подклонов — посредством и-описаний.

Для произвольных клонов В и С функций из Ре, таких, что В С С, множество У предикатов из П е (на самом деле из шуе(В), как выяснится позднее) назовём описанием клона В в клоне С, если выполняются равенства

В = С П ро1Е(У) и туЕ(В) = туЕ ро1Е(туЕ(С) и У),

равносильные в силу рассмотренного выше соответствия Галуа из [4]. Первое из этих равенств указывает на то, что клон В состоит из функций клона С, сохраняющих все предикаты из множества У; второе говорит о том, что замкнутый класс ту е(В) инвариантных для В предикатов порождается (с помощью операций подстановки переменных, конъюнкции и проектирования) предикатами из множества шуе(С) и У (отсюда и включение У С ту е(В)).

По аналогии с этим для произвольных строго частичных клонов В1 и С1 функций из Р*, таких, что В1 С С', множество У предикатов из П е (точнее, из ту е(В')) назовём и-описанием частичного клона В' в частичном клоне С', если выполняются равенства

В' = С' П ро1Е(У) и туЕ(В') = туЕро1Е(туЕ(С') и У), (1)

равносильные в силу рассмотренного выше соответствия Галуа из [3]. Первое из этих равенств указывает на то, что частичный клон В' состоит из функций частичного клона С', сохраняющих все предикаты из множества У; второе говорит о том, что и-замкнутый класс ту е(В') инвариантных для строго частичного клона В' предикатов порождается (с помощью операций подстановки переменных и конъюнкции, без операции проектирования) предикатами из множества ту е(С') и У.

Далее. Для произвольного клона О обозначим через О* частичный клон, состоящий из всех частичных функций, имеющих доопределение в клоне О. При этом под доопределением частичной функции f из Р*, зависящей от п переменных, как обычно,

понимаем всякую зависящую от n переменных частичную функцию g из P* (в частности, из Pe), такую, что для любого набора а из множества En значения f (a) и g(a) совпадают или значение f (a) не определено (равно *).

Сделанное выше определение и-описания имеет смысл и для частичных клонов B1 = B * и CC = C *, где по-прежнему B и C — клоны функций из PE и B С C .В этой ситуации множество Y будем называть и-описанием клона B в клоне C. Заметим, что в этом случае invE(B) = invE(B*) и invE(C) = invE(C*), вследствии чего равенствам в (1) равносильно ещё одно:

inve(B) = inve polE(inve(C) U Y), (2)

означающее, что и-замкнутый класс invE(B) инвариантных для клона B предикатов порождается (с помощью операций конъюнкции и подстановки переменных) предикатами из множества invE(C) U Y. Таким образом, получаем следующую лемму из [5].

Лемма 1. Для любых клонов B и C, таких, что B С C, и любого множества Y предикатов из invE (B) равносильны условия

B* = C* П polE(Y) и invE(B) = invE polE(invE(C) U Y).

В частности, для любого клона B и любого множества Y предикатов из invE(B) равносильны условия

B* = polE(Y) и invE(B) = invE polE(Y).

Иными словами, второе утверждение леммы говорит о том, что для любого клона B и любого множества Y предикатов из invE(B) равносильны следующие условия:

1) произвольная частичная функция из Pß имеет доопределение в клоне B, если она сохраняет все предикаты из множества Y;

2) множество Y порождает и-класс invE (B).

Первое утверждение леммы допускает аналогичную переформулировку.

Таким образом, лемма 1 даёт условия, при которых множество предикатов порождает инвариантный и-класс, и одновременно условия, при которых частичная функция имеет доопределение в клоне. Из-за этого будем называть её леммой о доопределении.

Лемма 1 о доопределении является удобным инструментом изучения инвариантных предикатов.

2. Теорема о выделении

Установим теорему о выделении, дающую необходимые и достаточные условия максимальности подклона, заданного в клоне B своим и-описанием. Эта теорема позволяет распознавать максимальность подклонов и может использоваться для выделения максимальных подклонов. Рассмотрим примеры её использования, иллюстрирующие одновременно и применение леммы о доопределнии.

Расширенные и-описания и задача выделения

Сформулируем задачу более точно. Для этого понадобятся некоторые определения.

Будем говорить, что предикат р, зависящий от m — 1 переменной, получен из предиката q, зависящего от m переменных, отождествлением двух переменных, если эти предикаты для каких-то различных чисел i и j из множества {1,... , m} связаны соотношением

p(x 1, . . . ,Xj, . . . ,Жт) = q(x 1, . . . , Xj_ 1, Ж,, Xj+ 1, . . . , Жт),

где крышечкой сверху помечена отсутствующая переменная. Будем говорить, что предикат p, зависящий от m — t переменных, где 1 ^ t ^ m — 1, получен из предиката q отождествлением переменных, если в некоторой последовательности предикатов pi,... ,pt, такой, что pi = q и pt = р, каждый предикат, начиная со второго, получен из предыдущего отождествлением каких-то двух переменных.

Переменная x называется фиктивной переменной предиката p(xi,..., xm), если выполняется соотношение

Vx¿p(xi, . . . , xm) — 3x¿p(xi, . . . , Xm).

Пусть предикаты p и q связаны соотношением

p(xi , . . . , xii, . . . , xit, . . . , xm) — . . . 3Xí£ q(xi, . . . , xm) ,

где 1 ^ ii < ... < it ^ m и крышечкой сверху помечены отсутствующие переменные. Будем говорить, что предикат p получен из предиката q проектированием и предикат p является проекцией предиката q, если t ^ 1. Будем говорить, что предикат p получен из предиката q удалением фиктивных переменных, если t ^ 0 и переменные xi1,..., xit составляют множество всех фиктивных переменных предиката q(xi,... , xm).

Рассмотрим произвольный подклон K клона B. Пусть множество Y предикатов из invE (K ) является и-описанием подклона K в клоне B, то есть выполняются равенства invE (K ) = invE polE (Y U invE (B)) и K * = B * П polE (Y ). И-описание Y подклона K в клоне B назовём расширенным, если оно состоит из предикатов без фиктивных переменных и вместе с любым своим предикатом p содержит всякий неинвариантный для клона B (то есть не принадлежащий и-классу invE (B)) предикат, который можно получить удалением фиктивных переменных из предиката, возникающего в результате отождествления переменных у предиката p. Понятно, что всякий подклон K клона B обладает расширенным и-описанием, которое обычно несложно получается по произвольному и-описанию.

Будем интересоваться условиями, при которых подклон K клона B, заданный своим расширенным и-описанием Y, является максимальным.

Предельные предикаты. Понадобятся некоторые определения и замечания. В них p и q — предикаты из nE, зависящие от m переменных.

1. Неинвариантный для клона B предикат p из множества nE \ invE (B ) будем называть B-предельным по проектированию, если всякая проекция предиката p инвариантна для клона B, то есть принадлежит множеству invE (B ).

2. Неинвариантный для клона B предикат p из множества nE \invE(B) будем называть B-предельным по отождествлению, если предикаты, полученные из предиката p отождествлением переменных, инвариантны для B.

3. Отождествляя предикат с его областью истинности (подобное отождествление предикатов и отношений принято в дискретной математике), станем использовать для предикатов теоретико-множественные отношения и операции. В частности, для m-местных предикатов p и q включение p Ç q означает, что выполняется соотношение

p(xi, . . . ,Xm) ^ q(xi, . . . ,Xm), а пересечение p П q и разность p \ q предикатов p и q определяются соотношениями (p П q)(xi,... ,Xm) — p(xi,... ,Xm) Л q(xi,... ,Xm),

(р \ д)(жЬ . . . ,Хт) = р(х1, . . . ,Хт) Л -д(жЬ . . . ,Хт).

4. Для любого натурального п ^ 1 и функции а : {1,... , т} ^ {1,..., п} определим

(га)

п-местный предикат ра как

р^Ь . . . ,жга) = р(жа(1), . . . ,Х„(т)).

Будем писать ра вместо рО^, если п = т. Если при п = т функция а является подстановкой на множестве чисел 1,... , т, то будем говорить, что предикаты ра и р П ра получены из предиката р перестановкой переменных и симметризацией соответственно, а предикаты р и ра будем называть перестановочно эквивалентными.

5. Неинвариантный для клона В предикат р из множества Пе \ шуе(В) станем называть В-предельным по симметризации, если любой предикат, полученный из предиката р симметризацией, совпадает с р либо инвариантен для клона В.

6. Через Вр станем обозначать т-местный предикат, которому удовлетворяют исключительно всевозможные наборы f ..., X™), полученные последовательным

вычислением значений функции f от строк матрицы , ...^П), где п — произвольное натуральное число, функция f от п переменных выбирается произвольно в клоне В, и наборы XI,... , X,, удовлетворяющие предикату р, также выбираются произвольно. Имеет место следующая

Лемма 2. Для любого клона В функций из Ре и любых предикатов р и д из Пе, зависящих от т переменных, следующие условия равносильны:

1) имеют место включения д С р и (Вд) \ д С (Вр) \ р;

2) имеет место равенство д = (Вд) П р;

3) имеет место равенство д = р' П р для некоторого предиката р' из шуе (В), зависящего от т переменных.

Если для предикатов р и д выполняются условия 1-3, то выполняется и включение

В П ро1Е (р) С В П ро1Е (д).

Доказательство. Если выполняется первое условие, то включение д С (Вд) Пр очевидно, а обратное включение проверяется непосредственно; таким образом, выполняется второе условие, из которого третье следует очевидным образом. Пусть выполняется третье условие. Отметим в этом случае «включения»

д С Вд С Вр' = р',

из которых первое имеет место, поскольку клон В содержит селекторы, второе выполняется в силу включения д С р', имеющего место из-за третьего условия, а равенство выполняется из-за инвариантности предиката р' для клона В. В силу этого вслед за третьим условием выполняется и второе. Тогда в первом условии первое включение очевидно, а второе проверяется непосредственно. Тем самым имеет место первое условие. Первое утверждение леммы доказано.

Для доказательства второго утверждения предположим, что функция f из клона В, зависящая от п переменных, не сохраняет предикат д, удовлетворяющий вместе с предикатом р условиям 1-3. Тогда найдутся наборы XI,... , X,, удовлетворяющие предикату д, в отличие от набора Xo = f ... , X,). Тогда в силу включений из

первого условия наборы XI,... , X, удовлетворяют также и предикату р, в отличие от набора X0. Таким образом, функция f не сохраняет предикат р. Лемма доказана. ■

Предикат д будем называть В-сужением предиката р, если для этих предикатов выполняются равносильные условия 1-3 из леммы 2. Неинвариантный для клона В

предикат р из множества Пе \ іпуЕ(В) станем называть В-предельным по сужению, если любой предикат, полученный из предиката д В-сужением, совпадает с р или инвариантен для клона В.

7. Отметим, что для любого предиката р;, полученного из предиката р проектированием, отождествлением переменных, симметризацией или В-сужением, выполняется включение В П ро1Е (р) С В П ро1Е (р;).

8. В соответствии с определениями, если предикат р является В-предель-ным по проектированию, отождествлению, симметризации или сужению, то клон К = В П ро1Е (р) обладает свойством К С В.

9. Всякий клон К1 С В можно расширить до клона К = В П ро1Е(р), где К1 С С К С В и предикат р обладает любым наперёд заданным свойством В-предельнос-ти по проектированию, отождествлению, симметризации или сужению. (Для доказательства необходимо выбрать произвольно предикат р из множества іпуе (К) \ іпуе (В), непустого в силу строгого включения К1 С В, а затем, сохраняя за предикатом р его обозначение, выполнять над ним соответствующие операции проектирования, отождествления переменных, симметризации или сужения, пока они не выводят предикат р из множества іпуЕ(К) \ іпуЕ(В).)

10. Отсюда критериальную систему клона В, возможно избыточную, составляют клоны В П ро1Е(р), где предикат р обладает всеми указанными выше свойствами В-предельности (достаточно любым зафиксированным набором этих свойств). Это даёт способ отыскания критериальной системы, требующий нахождения предикатов с фиксированным набором свойств В-предельности. Можно показать, что, найдя все предикаты, В-предельные по отождествлению, получаем критериальную систему клона В, причём конечную для конечно порождаемого клона В. Если вместо этого взять предикаты, В-предельные по проектированию, то конечность критериальной системы для конечно порождаемого клона В не гарантирована известными автору теоремами.

11. В силу сказанного, всякий максимальный подклон клона В имеет вид В П ро1Е(р), где предикат р обладает свойствами В-предельности по проектированию, отождествлению, симметризации и сужению.

Теорема о выделении. Сделанные выше замечания позволяют теперь вернуться к задаче распознавания свойства максимальности подклона К, заданного в клоне В своим расширенным и-описанием У. Основной является следующая

Лемма 3. Пусть К и В — клоны функций из Ре, такие, что К С В, а множество У предикатов из іпуе (К) является расширенным и-описанием клона К в клоне В. Пусть также для В-предельного по проектированию и отождествлению предиката д из множества Пе \ іпуе(В), зависящего от т переменных, выполняется включение К С В П ро1е (д). Тогда предикат д можно представить в виде

д = (Вд) П ді П ... П дг

для некоторого целого положительного числа I, где каждый из предикатов д1,... , дг зависит от т переменных и перестановочно эквивалентен некоторому предикату из У.

Доказательство. Нетривиальная часть леммы состоит в том, что каждый из предикатов д1,... , дг зависит от всех переменных предиката д. Для доказательства этого достаточно убедиться, что для любого набора Х0, удовлетворяющего предикату Вд \ д, найдётся предикат дХо, перестановочно эквивалентный некоторому предикату из множества У, такой, что д С дХо и набор Х0 не удовлетворяет предикату дХо.

Действительно, тогда в качестве предикатов qi,..., q¿ можно выбрать всевозможные предикаты qXo.

Итак, пусть набор X0 удовлетворяет предикату Bq \ q, а наборы Xi,... , Xn составляют область истинности предиката q. Заметим, что в этом случае в силу B-предельности предиката q по отождестлению матрица X = (Xj, ...,X,J) не содержит повторяющихся строк. Рассмотрим частичную n-местную функцию f, определённую соотношением

f H(Xi,...,X„ ) = Xo

и принимающую неопределённое значение * в остальных случаях — на наборах, не являющихся строками матрицы X. Функция f определена корректно и имеет доопределение в клоне B в силу выбора набора X0, удовлетворяющего предикату Bq. Она не сохраняет предикат q также в силу выбора набора X0, не удовлетворяющего q, в отличие от наборов Xi,... , Xn. С использованием включения K Ç B П poIe(q) получаем соотношения

B * П polE (Y ) = K * Ç (B П polE (q))* Ç B * П polE (q),

в силу которых частичная функция f вслед за предикатом q не сохраняет некоторый предикат из множества Y. Выберем такой не сохраняемый функцией f предикат q; в множестве Y с минимальным возможным числом m; переменных. Так как функция f не сохраняет предикат q;, ему удовлетворяют некоторые наборы Zi,... , Zn, в отличие от набора Z0 = f [m](Zi,..., Zn), не удовлетворяющего ему. Поскольку набор Z0 не содержит неопределённой компоненты, равной *, строки матрицы Z = (Z^,... , Z^) являются одновременно строками матрицы X. Более того, каждая строка матрицы X присутствует в матрице Z, иначе предикат q можно спроектировать по переменным, соответствующим тем строкам матрицы X, которые отсутствуют в матрице Z, и снова получить предикат, не сохраняемый функцией f и, следовательно, неинвариантный для клона B, что противоречит B-предельности предиката q по проектированию. Заметим также, что матрица Z не содержит повторяющихся строк (как и матрица X), так как в противном случае можно отождествить пару переменных у предиката q; и получить предикат с меньшим числом переменных, не сохраняемый функцией f и принадлежащий (вслед за предикатом q;) и-описанию Y в силу расширенности последнего; это противоречит минимальности числа m;. Таким образом, m•! = m и для некоторой подстановки a на множестве чисел 1,... , m i-я строка матрицы Z является а(і)-й строкой матрицы X. Тогда (Zj)а = Xj для любого j, 0 ^ j ^ I (здесь для набора z = (zi,... , zm) через za обозначается набор (za( i ),... , za(m))). Таким образом, для предиката qO,, перестановочно эквивалентного предикату q; из множества Y, выполняется условие q Ç qO,, и набор (Z0)a = X0 не удовлетворяет предикату q^. Так что в качестве предиката qXo можно взять q^. Тем самым лемма доказана. ■

Следствием леммы 3 является следующая

Теорема 1. Пусть K и B — клоны функций из Pe, такие, что K С B, а множество Y предикатов из invE (K) является расширенным и-описанием клона K в клоне B. Тогда равносильны следующие условия:

1) клон K не является максимальным подклоном клона B;

2) включения K С B П polE (q) С B выполняются для некоторого предиката

q = qo П qi П ... П q¿,

где предикат q0 инвариантен для клона B, а каждый из предикатов q0,... , q¿ перестановочно эквивалентен некоторому предикату из Y.

Доказательство. Подклон K, не являющийся максимальным в клоне B, можно расширить до клона B П pole(q), где q — некоторый B-предельный по проектированию и отождествлению предикат. Лемма 3 устанавливает для предиката q возможность представления и включений, указанных во втором пункте доказываемой теоремы. Таким образом из первого условия следует второе. Обратная импликация очевидна. Следствие доказано. ■

Лемма 3 и теорема 1 дают условия, при которых подклон, заданный своим расширенным и-описанием, является максимальным. Такие условия позволяют судить о максимальности подклона, исходя из свойств его инвариантных предикатов, и в некоторых случаях позволяет выделять максимальные подклоны. В связи с этим будем называть лемму 3 и теорему 1 леммой о выделении и теоремой о выделении соответственно. Проиллюстрируем возможности использования этих утверждений, а заодно и леммы о доопределении, следующим примером.

Пример 1. Предикаты

Sm(x 1,... ,X2m) = xi + ... + X2m = 0 (mod 2), m ^ 1,

инвариантны для клона L2 линейных булевых функций. Такие предикаты составляют его и-описание в клоне Р2 всех булевых функций. Это следует в силу леммы 1 о доопределении из того, что всякая не полностью определённая булева функция f от n переменных, сохраняющая эти предикаты, допускает дальнейшее доопределение

f (x) = f (x 1 ) + ... + f (x2m- i ) mod 2

на любом наборе x из множества {0,1}n, являющемся для некоторого m ^ 1 покомпонентной суммой x = x1 + ... + x2m-1 mod 2 каких-то 2m — 1 не обязательно различных наборов x1,... ,x2m-1 из области определения функции f. Функция f допускает дальнейшее доопределение произвольным значением из множества {0, 1} на любом другом наборе x, не являющемся суммой наборов, выбранных из области определения в нечётном количестве. Непосредственно проверяется, что в результате подобного доопределения получается функция, также сохраняющая предикаты при m ^ 1, которые, следовательно, составляют и-описание клона L2, причём расширенное, как несложно понять.

На основании теоремы 1 о выделении теперь легко проверить максимальность подклона L2 в клоне Р2 булевых функций. Для этого нужно рассмотреть предикат q = qo П sm, где qo —инвариантный для Р2 предикат, то есть диагональ. В результате такого пересечения после удаления фиктивных переменных получается предикат sm/, где 1 ^ m1 ^ m, в силу чего строгие включения K С B П pole (q) С B не могут выполняться одновременно. Отсюда, на основании теоремы 1, клон L2 — максимальный в P2.

B-простые предикаты. Отметим некоторые частные случаи, когда на основании леммы о выделении удаётся легко судить о максимальности подклонов.

B-предельный по проектированию, отождествлению, симметиризации и сужению предикат назовём B-простым, если он один составляет и-описание некоторого подклона в клоне B, очевидно, расширенное и-описание. Иначе, B-простой предикат можно определить как B-предельный по симметиризации и сужению, составляющий расширенное и-описание некоторого подклона в клоне B (в этом случае B-предельность по отождествлению следует из расширенности и-описания, а B-предельность по проектированию следует из леммы 3).

Лемма 4. Если предикат p — B-простой, а предикат q — B-предельный по проектированию и отождествлению, то строгое включение B n poIe(p) С B n poIe(q) невозможно, а равенство B n poIe (p) = B n poIe (q) выполняется тогда и только тогда, когда предикаты p и q перестановочно эквивалентны.

Доказательство. Пусть выполняется включение B n polE(p) Ç B n polE(q). Тогда по лемме З предикат q можно представить в виде q = q0 n ... n q¿, где предикат q0 принадлежит множеству invE (B ), а предикаты qi,... , q¿ перестановочно эквивалентны предикату p и тогда попарно перестановочно эквивалентны между собой. Пересечение любых двух предикатов q¿ и qj, І ^ i < j ^ l, является тогда симметризацией каждого из них, а в силу их B-предельности по симметризации (это свойство переносится на них от перестановочно эквивалентного им предиката p) либо совпадает с некоторым из них (и тогда с каждым), либо инвариантно для клона B (что невозможно). В силу этого можно ограничиться рассмотрением случая l = І . Тогда предикат q = q0 n qi является B-сужением предиката qi, B-предельного по сужению вслед за перестановочно эквивалентным ему предикатом p. Отсюда, с учётом неинвариантности предиката q для клона B, предикат q совпадает с предикатом qi . Тогда предикаты q и p перестановочно эквивалентны, и выполняется равенство B n poIe (p) = B n poIe (q). ■

Непосредственным следствием леммы 4 является

Теорема 2. Пусть предикат p является B-простым. Тогда подклон B n poIe (p) является максимальным в B .В этом случае также для любого B-предельного предиката q равенство B n poIe (p) = B poIe (q) означает перестановочную эквивалентность предикатов p и q и, в частности, B-простоту предиката q.

Часть клонов, максимальных в Pe в силу теорем Э. Поста и Розенберга, описываются Pe-простыми предикатами. Это видно из рассматриваемых ниже примеров.

Пример 2. Предикат = составляет и-описание клона самодвойственных булевых функций (и тогда, очевидно, составляет расширенное и-описание), так как частичную булеву функцию, сохраняющую этот предикат, можно доопределить до самодвойственной булевой функции противоположными значениями на противоположных наборах. Непосредственно проверяются различные свойства Р2-предельности этого предиката (где Р2 — клон всех булевых функций). Таким образом, предикат = является Р2-простым.

Пример 3. Пусть —решёточное упорядочение множества E.

Всякую частичную фукцию f, сохраняющую предикат =^, можно доопределить до функции F из клона poIe(^), положив

F (x) = Vf (x'^

где точная верхняя грань V вычисляется в решётке E по всем наборам x' из области определения функции f, таким, что x' x. В силу леммы о доопределении предикат один составляет и-описание клона polE(^) функций из РЕ, монотонных относительно решёточного упорядочения =^.

Несложно проверить свойства Pe-предельности предиката =^. Действительно, как видно, РЕ-сужение предиката (то есть его пересечение с диагональю) либо совпадает с ним, либо является диагональю. А в результате отождествления переменных, проектирования и симметризации с нетождественной подстановкой из предиката получаются только диагонали.

В силу сказанного, предикат является РЕ-простым.

Пример 4. Пусть p — центральный вполне рефлексивный симметричный предикат из Пе , зависящий от m ^ І переменных и отличающийся от полной диагонали Em. Напомним, что центральность предиката p означает существование для него центрального элемента с в множестве E, такого, что предикату p удовлетворяет всякий набор из Em, имеющий компоненту, равную с. Полная рефлексивность означает, что предикату удовлетворяет всякий набор из Em, имеющий равные компоненты. Симметричность означает, что предикат совпадает с любым перестановочно эквивалентным ему предикатом.

Непосредственно проверяется, что частичную функцию из РЕ, сохраняющую предикат p, можно доопределить до функции из клона poIe (p) значением с. В силу леммы о доопределении предикат p составляет и-описание указанного клона. Это и-описа-ние расширенное, поскольку в результате отождествления любых двух переменных из предиката p получается полная диагональ, инвариантная для Pe.

Далее, предикат p является РЕ-предельным по сужению и симметризации. Действительно, Pe-сужение (то есть пересечение с диагональю) предиката p либо совпадает с ним (в случае полной диагонали), либо является диагональю (в остальных случаях — в силу полной рефлексивности предиката p) и тогда инвариантно для Pe . При симметризации предикат не изменяется (в силу симметричности).

Таким образом, центральный, вполне рефлексивный и симметричный предикат p из ПЕ является РЕ-простым.

Пример 5. Тривиальный пример РЕ-простого предиката даёт для любого элемента с из множества E одноместный предикат xi = с, очевидно, центральный, симметричный и вполне рефлексивный.

Пример б. Пусть теперь ^ — полурешёточное упорядочение множества E. Точнее, множество E, упорядоченное отношением ^, является верхней полурешёткой, но не решёткой [б]. Иными словами, в множестве E любые два элемента a и b обладают точной верхней гранью a + b, а точная нижняя грань a • b существует не для любых элементов a и b. Функции из Pe , сохраняющие упорядочение ^, составляют клон ME = polE(^) монотонных функций на полурешётке E. Функция f из РЕ, имеющая монотонную миноранту g, принадлежащую клону M¿, такую, что g(x) ^ f (x) для любого набора x из множества En, где n — число переменных функций f и g, называется квазимонотонной на полурешётке E. Квазимонотонные и монотонные функции на полурешётке введены в [T] для описания асинхронных дискретных управляющих систем. Основные классы квазимонотонных функций изучались также в [8]. Проблема полноты в классе квазимонотонных функций рассматривалась в [9, І0].

В соответствии с тестом квазимонотонности из [T] квазимонотонные функции составляют клон Qe сохранения предикатов

e(n) (xi,..., xn) = 3x(x ^ xi Л ... Л x ^ xn)

и даже клон сохранения единственного такого предиката при n = q(E), где q(E) — максимальная мощность минимального по включению множества элементов из E без общей нижней грани.

В действительности, предикаты e(n), и даже единственный из них при n = q(E), составляют (составляет) и-описание клона QE. Это следует из леммы І о доопределении, так как частичную функцию из РЕ, сохраняющую предикат e(q(L)), можно доопределить наибольшим значением полурешётки E до квазимонотонной функции из Qe, сохраняющей его же. Вместе с тем и-описание клона МЕ монотонных функций

составляют предикаты ^ и e(q(E)), поскольку сохраняющую их частичную функцию f из PE можно доопределить до монотонной функции F из Me , положив

F(x) = П f (x/)

где произведение вычисляется в полурешётке E по всем наборам x/ из области определения функции f, таким, что x ^ x/. Из сказанного следует также, что предикат ^ сотавляет и-описание клона Me в клоне Qe. Это и-описание — расширенное, так как из предиката ^ проектированием и отождествлением переменных получается только полная одноместная диагональ. Заметим, что предикат ^ обладает свойствами Qe -предельности по сужению и симметризации. В самом деле, в силу найденного выше и-описания клона Qe Qe-сужением предиката ^ может быть только предикат

d(xi,x2) Л e(2)(yi,y2) Л Xi ^ Х2,

где d — диагональ и {y1, y2} С {x1, x2}. Всякий такой предикат либо совпадает с предикатом ^, либо является диагональю. В результате симметризации предиката ^ получается либо он же, либо предикат равенства. В силу сказанного, предикат ^ является Qe-простым, а описываемый им клон Me является максимальным в Qe.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мальцев А. И. Итеративные алгебры и многообразия Поста // Алгебра и логика. 1966. Т. 5. №2. С. 5-24.

2. Мальцев А. И. Итеративные алгебры Поста. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1976.

3. Geiger D. Closed systems of functions and predicates // Pacific journal of mathematics. 1968. V. 27. P. 95-100.

4. Боднарчук В. Г., Калужнин Л. А., Котов В. Н., Ромов Б. А. Теория Галуа для алгебр Поста // Кибернетика. 1969. №3. С. 1-10; №5. С. 1-9.

5. Ромов Б. А. О продолжении не всюду определённых функций // Кибернетика. 1987. №3. С.27-34.

6. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. СПб.: Лань, 2005.

7. Агибалов Г. П. Дискретные автоматы на полурешётках. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993.

8. Парватов Н. Г. Об инвариантах некоторых классов квазимонотонных функций на полу-решётке // Прикладная дискретная математика. 2009. №4. C. 21-28.

9. Парватов Н. Г. Функциональная полнота в замкнутых классах квазимонотонных и монотонных трёхзначных функций на полурешётке // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2003. Т. 10. № 1. С. 61-78.

10. Парватов Н. Г. Теорема о функциональной полноте в классе квазимонотонных функций на конечной полурешётке // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2006. Т. 13. №3. С. 62-82.