Новая комбинаторная конструкция бент-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

НОВАЯ КОМБИНАТОРНАЯ КОНСТРУКЦИЯ БЕНТ-ФУНКЦИЙ1

Н. Н. Токарева

Бент-функции впервые были введены О. Ротхаусом [1]. В настоящее время они активно изучаются и имеют много приложений в теории кодирования, криптографии, цифровой сотовой связи и других областях (см. подробнее обзоры [2, 3]). Тем не менее в области бент-функций много открытых вопросов. Одними из основных являются вопросы о конструкциях бент-функций и оценках их числа.

В работе предложена новая итеративная конструкция бент-функций от п + 2 переменных на основе бент-функций от п переменных. В дальнейшем представляется интересным исследовать те нижние оценки числа бент-функций, которые следуют из этой конструкции.

Напомним, что преобразованием Уолша — Адамара булевой функции / от п переменных называется целочисленная функция W/ (у) = Е (—1) <ж,у>+/(х). Булева

хеК?

функция от п переменных (п четно), такая, что модуль каждого коэффициента Уолша — Адамара этой функции равен 2п/2, называется бент-функцией. С бент-функцией / часто связывают дуальную булеву функцию, которая определяется равенством 2п/2(- 1)^(у) = Wf (у). Функция / также является бент-функцией, / = /.

Пусть булева функция д от п + 2 переменных определяется равенством

д(аг,а2,х) = /¿(ж), где г = аг + 2а2,

и /о, /1, /2 и /3 — булевы функции от п переменных.

Теорема 1. Пусть /0 ,/1,/2 — бент-функции. Тогда д является бент-функцией от п + 2 переменных тогда и только тогда, когда функция /0 + /1 + /2 — бент-функция. В этом случае /3 также является бент-функцией, причем она однозначно определяется равенством /о + /1 + /2 + /3 = 1.

Пусть Вп — множество бент-функций от п переменных.

Непосредственно из теоремы вытекает

Следствие 1. Для числа бент-функций от п переменных справедлива оценка |Вп| ^ Е Е | (Вп-2 + /о) П (Вп-2 + /1) |.

/с еВп-2 Левп_2

Например, несложно заметить, что при любых /о, /1 выполняется

| (Вп-2 + /о) П (Вп-2 + /1) | ^ 2П-1.

Тогда из следствия сразу получается нижняя оценка вида 22"/2 (типа Мак-Фарланда) на число бент-функций от п переменных. Интересно найти более нетривиальные варианты оценки из приведенного следствия.

1 Исследование выполнено при поддержке гранта Президента РФ для молодых российских ученых (грант МК №1250.2009.1), РФФИ (проекты 08-01-00671, 09-01-00528, 10-01-00424) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт

№02.740.11.0429).

ЛИТЕРАТУРА

1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V. 20. No. 3. P. 300-305.

2. Токарева Н. Н. Бент-функции: результаты и приложения. Обзор работ // Прикладная дискретная математика. 2009. №1. С. 15-37.

3. Токарева Н. Н. Обобщения бент-функций. Обзор работ // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2010. Т. 17. №1. С. 34-64.

УДК 512.54.05

О СКОРОСТИ ПОРОЖДЕНИЯ ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ГРУППЫ ПОЛУРЕГУЛЯРНЫМИ ИНВОЛЮЦИЯМИ

М. Э. Тужилин

В ряде работ Дж. Бреннера [1] и других авторов изучался вопрос об экспоненте класса сопряженных элементов C конечной неабелевой группы G, то есть минимальном е, для которого выполняется условие Ce = G. Показано, что в знакопеременной группе An почти все классы сопряженных элементов имеют экспоненту е, меньшую или равную 4. Единственным классом, имеющим экспоненту 4, как доказано в [2], является класс полурегулярных инволюций.

Пусть N = 2n.

Условимся обозначать цикловую структуру [h] подстановки h через [ti"1 , t2a2,..., tmam ]. Это означает, что в разложении подстановки h на независимые циклы есть ровно ai циклов длины tj, i G {1, 2,..., m}.

Определение. Подстановка h степени N называется полурегулярной инволюцией, если [h] = [2n].

Множество всех полурегулярных инволюций степени N обозначим через Jn . Мощность этого множества равна (N — 1)!!.

Утверждение 1. Подстановка h принадлежит множеству Jn 2 тогда и только тогда, когда [h] = [t12ei,t22^2,...,tm2em].

Утверждение 2. При N = 4 справедливо равенство Jn4 = AN, при N = 4 выполнено Jn = W4, где W4 — четверная группа Клейна.

Утверждение 3. Множество Jn3 не содержит подстановок с цикловыми структурами [1N-3, 31], [11, 2(n-4)/2, 31], [1N-5, 51], [2(n-8)/2, 31, 51], [1N-5, 21, 31], [1N-7, 31, 41], [11, 35].

Напомним [3], что длиной /(G,M) группы G = <M> относительно системы образующих M называется минимальное г, при котором выполняется равенство

Г

G = U Mk, а шириной d(G, M) называется минимальное число слоев Mk, которы-k=1

ми может быть исчерпана группа G.

Утверждение 4.

а) Если n четно и n = 2, то < Jn >= AN, d(AN, Jn) = 1, /(AN, Jn) = 4. При n = 2 выполнено Jn4 = W4.

б) Если n нечетно, то <Jn> = SN, d(SN, Jn) = 2. При n>1 выполнено /(SN, Jn) = 5; при n =1 справедливо /(SN, Jn) = 2, где SN — симметрическая группа.