CC BY
37
ЛИТЕРАТУРА
1. Fon-Der-Flaass D. G. Perfect 2-colorings of a hypercube // Siber. Math. J. 2007. V. 48. No. 4. P. 740-745.
2. Фон-Дер-Флаасс Д. Г. Совершенные 2-раскраски 12-мерного куба, достигающие границы корреляционной иммунности // Сибирские электронные математические известия. 2007. Т. 4. C. 292-295.
3. Fon-Der-Flaass D. G. A bound of correlation immunity // Siber. Electron. Math. Rep. 2007. V.4. P. 133-135.
4. Таранников Ю. В. О корреляционно-иммунных и устойчивых булевых функциях // Математические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Физматлит, 2002. С. 91-148.
5. Ostergard P. R. J., Pottonen O., and Phelps K. T. The perfect binary one-error-correcting codes of length 15: Part IPProperties // IEEE Trans. Inform. Theory. 2010. V. 56. P. 2571-2582.
6. Friedman J. On the bit extraction problem // Proc. 33rd IEEE Symposium on Foundations of Computer Science. 1992. P. 314-319.
7. Bierbrauer J. Bounds on orthogonal arrays and resilient functions // J. Combinat. Designs. 1995. V. 3. P. 179-183.
8. Потапов В. Н. О совершенных раскрасках булева n-куба и корреляционно-иммунных функциях малой плотности // Сибирские электронные математические известия. 2010.
В теории конечных автоматов одним из важнейших результатов является теорема Клини, в которой утверждается, что класс языков, распознаваемых конечными автоматами, совпадает с классом рациональных языков, представимых регулярными выражениями алгебры Клини [1].
В данной работе определяется понятие языка, допустимого в отмеченном графе, вводится система операций на формальных языках, которая, в частности, может использоваться в биологии, генетике, а также ДНК-вычислениях [2], и понятие регулярных выражений для этой системы операций.
Исследованы основные свойства семейства алгебр языков, допустимых в отмеченных графах; доказано, что язык допустим в отмеченном графе тогда и только тогда, когда он описывается регулярным выражением во введенной системе операций; разработаны методы анализа и синтеза языков, ассоциированных с отмеченными графами.
Пусть X — конечный алфавит; X* —множество всех слов конечной длины в алфавите X; X0 — множество всех слов длины п в алфавите X; X^п — множество всех слов конечной длины в алфавите X, длина которых больше или равна п.
Определим на множестве X * частичную бинарную операцию о склеивания двух слов с параметром п следующим образом: для всех ,гш2 € X*
Т. 7. С. 372-382.
УДК 519.6
АЛГЕБРЫ ЯЗЫКОВ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ОТМЕЧЕННЫМИ ГРАФАМИ
Е. А. Пряничникова
xyz, если w\ = xy, w2 = yz, y G Xn;
не определено в противном случае.
Введем на языках L, R С X* следующие операции:
1) L U R = {w : w Є L или w Є R};
2) L о R = |wi о w2 : wi G L и w2 G R};
n CO
3) L+ = У L* , где L1 = L; Li+1 = L* о L для всех i ^ 1.
i=1
n n n
Рассмотрим семейство алгебр (2х , о, U, +, 0). В случае, когда n = 0, операция о
совпадает с операцией конкатенации, а рассматриваемая алгебра является алгеброй регулярных языков.
Регулярные выражения в алгебре (2х , о, U, +, 0) определим следующим образом:
1) 0 является регулярным выражением и представляет язык L(0) = 0;
2) x является регулярным выражением и представляет язык L(x) = {x} для всех
x G U X*;
0^о+1
3) если R и Q — регулярные выражения, представляющие языки L(R) и L(Q) соот-
о n
ветственно, то выражения (RoQ), (R U Q), (R+) также являются регулярными,
о о n n
причем L(R О Q) = L(R) о L(Q), L(R U Q) = L(R) U L(Q), L(R+) = (L(R))+.
Графом с отмеченными дугами (вершинами) назовем четверку G = (Q, E, X, ^), где Q — конечное множество вершин; E С Q х Q — множество дуг; X — конечное множество отметок дуг; ^ : E ^ X (^ : Q ^ X) —функция отметок дуг (вершин). Отметкой пути будем называть последовательность отметок входящих в этот путь дуг (вершин).
Пусть I С Q — множество начальных вершин графа G с отмеченными дугами или с отмеченными вершинами, F С Q — множество финальных вершин. Отметки всех путей в графе G, начальные вершины которых принадлежат множеству I, а конечные — множеству F, назовем языком, допускаемым графом G, и обозначим L(G).
Теорема 1. Язык L С X* допустим в графе с отмеченными дугами (вершинами) тогда и только тогда, когда он описывается регулярным выражением любой алгебры
/ X * о о \
из семейства (2х , o, U, +, 0).
Эта теорема в некотором смысле аналогична широко известной теореме Клини для конечных автоматов. В случае, когда n = 0 и рассматриваются только графы с отмеченными дугами, теорема 1 совпадает с теоремой Клини. На основе доказательства теоремы разработаны методы анализа и синтеза языков, представимых в отмеченных графах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Капитонова Ю. В., Летичевский А. А. Математическая теория проектирования вычислительных систем. М.: Наука, 1988.
2. Anderson J. Automata Theory with Modern Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.
УДК 519.7
ГИПОТЕЗЫ О ЧИСЛЕ БЕНТ-ФУНКЦИЙ1
Н. Н. Токарева
Проблема определения числа всех бент-функций—булевых функций от четного числа переменных, максимально удаленных от множества аффинных функций, — яв-
1 Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проекты №09-01-00528, 10-01-00424, 11-01-00997) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0429).
