CC BY
32
член Xg (x) неприводим. Кроме того, группа C(g) 2-транзитивна тогда и только тогда, когда многочлен xg (x) примитивен.
Утверждение 1. Для произвольных вектора 7 Є VX, преобразования g Є GLn с характеристическим многочленом xg (x) граф Г(0,Y) (g) связен для всех векторов YЄУПХ тогда и только тогда, когда характеристический многочлен xg (x) неприводим.
Утверждение 2. Для вектора 7 Є VX граф Г(0,7) (g) связен тогда и только тогда, когда mY,g (x) = xg (x). Если группа C(g) примитивна, то все её графы орбиталов изоморфны.
В алгебраической теории графов наибольший интерес представляют следующие классы графов: вершинно-транзитивные, рёберно-транзитивные, дистанционно-регулярные, дистанционно-транзитивные [1].
Утверждение 3. Пусть n ^ 2, і Є {1,...,d — 1} , Г (0,Yi)(g) —нетривиальный связный граф диаметра b ^ 2. Тогда: а) Г(0,Yi)(g) —рёберно-транзитивный граф; б) если 7г-д^ является базисом Vn, то граф Г(0,Yi)(g) является дистанционно-транзитивным и AutT(0,7i)(g) ~ S2 Т Sn.
Графом Хемминга на Vn будем называть граф с множеством вершин Vn и множеством рёбер {(а, в) Є V2 : Xn(а, в) = 1} . Очевидно, что если граф изоморфен графу Хемминга, то его метрика изоморфна метрике Хемминга. Отметим, если множество является базисом Vn, то граф Г(0,Yi) (g) изоморфен графу Хемминга и является
дистанционно-регулярным.
Теорема 1. Пусть n ^ 2, преобразование g Є GLn и вектор 7 Є Vn такие, что
(xr)q _ 1
m7,g (x) = xr(q-1) 0 xr(q-2) 0 ... 0 xr 0 1 = r——,
где rq = m = |y^| . Граф Г(0,Y)(g) дистанционно-регулярный тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий: а) r =1; б) r ^ 2 и q = 3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Godsil C. and Royle G. Algebraic Graph Theory. Springer Verlag, 2001.
УДК 519.14
О БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЯХ, ПОЧТИ УРАВНОВЕШЕННЫХ В ГРАНЯХ1
В. Н. Потапов
Обозначим через En множество упорядоченных двоичных наборов (вершин) длины n. Введём операцию [x,y] = (x1y1,... , xnyn) для наборов x,y Є En. Количество единиц в наборе у Є En называется весом набора и обозначается через wt(y). Множество вершин чётного веса будем обозначать через ЕЩ (нечётного — через En) . Гранью размерности (n — wt(y)) называется множество Eyn(z) = {x Є En : [x,y] = [z,y]}.
Пусть S С En; через xS будем обозначать характеристическую функцию множества S. Функция xS называется корреляционно-иммунной порядка (n — m), если для любой грани Eyn(z) размерности m пересечения E^^PlS имеют одинаковую мощность.
хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проекты 11-01-997, 10-01-00616) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0362).
Через cor(S) будем обозначать максимальный порядок корреляционной иммунности, cor(S) = max{n — m}. Корреляционно-иммунная функция xS называется уравновешенной, если |S| = 2n-1. Тогда множество S пересекается с гранями размерности m ровно по половине вершин, т. е. |Eyn(z) ПS| = |Eyn(z)|/2. В [1] установлено, что неуравновешенная непостоянная булева функция xS удовлетворяет неравенству cor(S) ^ 2n/3 — 1. Ясно, что непостоянная корреляционно-иммунная функция порядка n — 1 является счётчиком чётности или нечётности (хЕ° или = ХЕ° © 1). Корреляционно-иммунные функции порядка n — const немногочисленны и описаны в [2]. Некоторые оценки числа корреляционно-иммунных функций меньших порядков имеются в [2 - 4].
Ниже рассматривается класс почти уравновешенных функций, содержащий значительное количество не эквивалентных булевых функций, максимально подобных корреляционно-иммунным функциям высокого порядка. Функцию xS будем называть почти уравновешенной, если для любой грани E^(z) любой размерности пересечение Eyn(z) П S отличается от половины мощности грани не более чем на 1, т. е.
—1« |££(2) п s|-ie?0)|/2 « 1.
В соответствии с определением класс почти уравновешенных функций является наследственным, т. е. все ретракты почти уравновешенных функций, полученные произвольной фиксацией произвольного набора переменных, являются почти уравновешенными. Одним из способов задания наследственного класса булевых функций является перечисление минимальных запретов. Булева функция g размерности k называется минимальным запретом для наследственного класса P, если g Е P, но все её ретракты содержатся в P. Поскольку P — наследственный класс, функции из класса P не имеют ретрактов, совпадающих с запретом g.
Теорема 1. Множество почти уравновешенных булевых функций является наследственным классом с бесконечным набором минимальных запретов.
Будем обозначать через P(n) множество функций от n аргументов из класса P. Пусть f Е P(n), вершину х Е En будем называть свободной относительно f, если найдётся функция f' Е P(n), отличающаяся от f только на аргументе х.
Утверждение 1. Пусть P — наследственный класс и для некоторого m любая
m-1 / \
(£)
функция f Е P(m) не имеет свободных вершин. Тогда |P(n)| ^ 2k=0 .
Далее рассмотрим множество трёхзначных функций f : Еп ^ { — 1, 0,1}, определённых на булевом кубе. Приведённые выше определения наследственного класса, минимального запрета и свободной вершины естественным образом распространяются на такие функции. Определим класс В трёхзначных уравновешенных функций следующим образом: f Е В, если для любой грани 7 = Е^г) любой размерности сумма значений функции в ней не превышает по модулю единицы, т. е. ^ f (ж) Е { — 1, 0,1}.
Через Во будем обозначать подкласс класса В, удовлетворяющий дополнительным условиям f-1(1) С ЕП и f-1 (—1) С ЕП. Ясно, что классы В и В0 являются наследственными.
Утверждение 2. Булева функция f является почти уравновешенной тогда и
/ЕП Т—у
— хЕ Е В0.
Преобразованием Мёбиуса функции к : Еп ^ М называется функция
M[h] : En ^ R, где M[h](y) = (-1)wt(y) £ h(x).
xEEn,
[x,y]=x
Из формулы включения-исключения и определения классов В и В0 получаем Утверждение 3.
а) M[M[h]] = h для любой функции h : En ^ R.
б) M [в] = В.
в) M[f] Е В0U(—Во), если и только если f Е В и 0 — свободная вершина функции f.
Справедливость п. в следует из того, что вершина является свободной, только если во всех гранях, содержащих вершину, сумма значений функции имеет одинаковый знак.
В следующих утверждениях приведены несколько способов построения функций из классов В и В0.
Утверждение 4.
а) Пусть f Е В (или f Е В0), тогда f • Е В (или f • Е В0) для любой грани 7.
б) Пусть f Е В0(п), тогда (—1)xEi — f е В0(п).
в) Пусть 71,72 — грани в En и 71 П 72 = 0. Определим функцию f равенством f (xi,... ,Xn,Xn+i) = Xn+iXY1 (—1)xEn + (xn+1 Ф 1)XY2(—1)xE°. Тогда f Е В0(п + 1).
Утверждение 5.
а) Пусть f Е В(п), g Е В(m) и F(x,y) = f (x)g(y). Тогда F Е В(n + m).
б) Пусть f Е В0(п), g Е B0(m) и F(x,y) = f (x)g(y). Тогда F Е В0(n + m).
Доказательства утверждений 4 и 5 легко получить непосредственной проверкой. Булев n-мерный куб En естественным образом наделяется структурой векторного пространства над полем GF(2). Будем называть носителем вектора x Е En множество позиций, на которых в векторе x находятся единицы. Рассмотрим набор векторов z 1,...,zk с попарно не пересекающимися носителями. Пусть V С En — подпространство, натянутое на векторы z1 ,...,zk, V = {0 a^z* : a Е Ek}. Пусть
f : Ek ^ { —1,0,1}. Определим функцию GV[f] : En ^ { — 1, 0,1} равенствами
GV[f](x) = f (a), если x = 0 a^z*, и GV[f](x) = 0, если x Е V.
Теорема 2.
а) Если f Е В(k), то GV[f] Е В(п).
б) Класс В(п) содержит не менее eCA,/n, с > 0, неэквивалентных функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Fon-Der-Flaass D. G. A bound of correlation immunity // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2007. V. 4. P. 133-135.
2. Таранников Ю. В. О корреляционно-иммунных и устойчивых булевых функциях // Математические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Физматлит, 2002. С. 91-148.
3. Воробьёв К. В., Фон-Дер-Флаасс Д. Г. О совершенных 2-раскрасках гиперкуба // Сибирские электронные математические известия. 2010. Т. 7. С. 65-75.
4. Потапов В. Н. О совершенных раскрасках булева n-куба и корреляционно-иммунных функциях малой плотности // Сибирские электронные математические известия. 2010. Т. 7. С. 372-382.
