О КОМБИНАТОРНЫХ СВОЙСТВАХ ГРУППЫ, ПОРОЖДёННОЙ XL-СЛОЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Можно доказать утверждения, аналогичные утверждениям 2 и 3, которые показывают, какие подстановки из множеств Г^(2? + £ — 1), Г^(2? + £) принадлежат произведению Гм (?) ■ Гм (? + £).

ЛИТЕРАТУРА

1. Пичкур А. Б. Описание класса подстановок, представимых в виде произведения двух подстановок с фиксированным числом мобильных точек // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2011. №4. С. 16-17.

УДК 519.7

О КОМБИНАТОРНЫХ СВОЙСТВАХ ГРУППЫ, ПОРОЖДЁННОЙ ХЬ-СЛОЯМИ1

Б. А. Погорелов, М. А. Пудовкина

Алгоритмы блочного шифрования реализуются итеративным применением более простых преобразований, которые должны обеспечивать свойства перемешивания, рассеивания и усложнения. Для получения данных свойств обычно используются слои преобразований трёх типов: наложение ключа (X-слой), преобразования над отдельными частями блока текста (слой 5-боксов) и линейное преобразование (линейный слой, или Ь-слой). Блочные шифрсистемы с таким построением раундовых преобразований и побитным подмешиванием раундового ключа в каждом раунде называют ХБЬ-сетями. Ряд линейных преобразований, используемых в линейном слое в алгоритмах шифрования и обеспечивающих хорошее рассеивание, являются приводимыми. Естественно, приводимыми являются и характеристические многочлены подстановочных матриц, используемых в БР-сетях. Это приводит к импримитивности подгруппы С(д) аффинной группы АСЬп(2), порождённой слоем наложения раундового ключа (т. е. всеми сдвигами) и приводимой невырожденной матрицей д Е СЬп(2). В данной работе рассматриваются свойства графов орбиталов группы С(д).

Пусть N — множество всех натуральных чисел; УП — векторное пространство размерности п над ОЕ(2); Xх = X\{0}; д — матрица линейного преобразования д в стандартном базисе е0,... , £п-ъ где ег = (0,..., 0,1, 0,..., 0) € УП, г Е {0,... , п — 1} ; СЬп —

г

полная линейная группа; ха (ж) — характеристический многочлен линейного преобразования д Е СЬп(2); ш7,а(ж) —минимальный многочлен вектора 7 Е УХ относительно преобразования д.

Напомним, что орбиталами группы С, действующей на множестве X, называются орбиты группы С при её действии на множестве X2. Действие группы С на множестве X2 задано как (а, в )К = (аК , вК) для всех (а, в) Е X2 и f Е С.

Лемма 1. Для произвольного преобразования д Е СЬП и векторов а, в, а', в'ЕУП, а = в, а' = в', тогда и только тогда (а', в') Е (а, в)С(а), когда а' ф в' Е (а ф в)^ .

Таким образом, различными нетривиальными графами орбиталов группы С(д) являются Г(0,71) (д),... , Г(о,7^_ 1)(д), где 7^а^,... ,7,1-1 —попарно различные орбиты группы (д) на УХ. Среди графов орбиталов группы С(д) могут встречаться изоморфные.

Существует тесная связь между строением характеристического многочлена ха (ж) преобразования д, примитивностью (2-транзитивностью) и связностью графов орбиталов группы С(д). Так, группа С(д) примитивна тогда и только тогда, когда много-

1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ №6260.2012.106

член Xg (x) неприводим. Кроме того, группа C(g) 2-транзитивна тогда и только тогда, когда многочлен xg (x) примитивен.

Утверждение 1. Для произвольных вектора 7 Є Vf, преобразования g Є GLn с характеристическим многочленом xg (x) граф Г(0,Y) (g) связен для всех векторов YЄ Vf тогда и только тогда, когда характеристический многочлен xg (x) неприводим.

Утверждение 2. Для вектора 7 Є Vf граф Г(0,7) (g) связен тогда и только тогда, когда mY,g (x) = xg (x). Если группа C(g) примитивна, то все её графы орбиталов изоморфны.

В алгебраической теории графов наибольший интерес представляют следующие классы графов: вершинно-транзитивные, рёберно-транзитивные, дистанционно-регулярные, дистанционно-транзитивные [1].

Утверждение 3. Пусть n ^ 2, і Є {1,...,d — 1} , Г (0,Yi)(g) —нетривиальный связный граф диаметра b ^ 2. Тогда: а) Г(0,Yi)(g) —рёберно-транзитивный граф; б) если является базисом Vn, то граф Г(0,Yi)(g) является дистанционно-транзитивным и AutT(0,7i)(g) ~ S2 Т Sn.

Графом Хемминга на Vn будем называть граф с множеством вершин Vn и множеством рёбер {(а, в) Є V2 : xn(а, в) = 1} . Очевидно, что если граф изоморфен графу Хемминга, то его метрика изоморфна метрике Хемминга. Отметим, если множество является базисом Vn, то граф Г(0,Yi) (g) изоморфен графу Хемминга и является

дистанционно-регулярным.

Теорема 1. Пусть n ^ 2, преобразование g Є GLn и вектор 7 Є Vn такие, что

(xr)q _ 1

m7,g (x) = xr(q-1) 0 xr(q-2) 0 ... 0 xr 0 1 = r——,

где rq = m = |y^| . Граф Г(0,Y)(g) дистанционно-регулярный тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий: а) r =1; б) r ^ 2 и q = 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Godsil C. and Royle G. Algebraic Graph Theory. Springer Verlag, 2001.

УДК 519.14

О БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЯХ, ПОЧТИ УРАВНОВЕШЕННЫХ В ГРАНЯХ1

В. Н. Потапов

Обозначим через En множество упорядоченных двоичных наборов (вершин) длины n. Введём операцию [x,y] = (x1y1,... , xnyn) для наборов x,y Є En. Количество единиц в наборе у Є En называется весом набора и обозначается через wt(y). Множество вершин чётного веса будем обозначать через En (нечётного — через En) . Гранью размерности (n — wt(y)) называется множество Eyn(z) = {x Є En : [x,y] = [z,y]}.

Пусть S С En; через xS будем обозначать характеристическую функцию множества S. Функция xS называется корреляционно-иммунной порядка (n — m), если для любой грани Eyn(z) размерности m пересечения E^^PlS имеют одинаковую мощность.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проекты 11-01-997, 10-01-00616) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0362).