CC BY
57
которая берётся из множества Ww,r всех таких нетривиальных систем и фиксирована. Максимальная группа подстановок, сохраняющая данную систему импримитивности W £ Ww,r, есть группа сплетения IGw = (Sw I Sr ,W) в её импримитивном действии. Близость межу подстановками g, h £ Sn измеряется расстоянием Хеммин-
га x(g,h).
В работе рассматриваются два параметра:
— порядок W-примитивности, то есть число
Xw(g) = min {x(g, h) : h £ igw};
— порядок (w, г)-примитивности, то есть число
X(w,r) (g) = min {x(g, h) : h £ IGw, W £ Ww,r} .
Если соответствующие параметры больше нуля, то подстановку g будем называть W-примитивной, (w, г)-примитивной; в противном случае — W-импримитивной, (w, r)-импримитивной. При рассмотрении W-примитивности каждой подстановке ставится в соответствие матрица, характеризующая удалённость данной подстановки от группы IGw. Через коэффициенты данной матрицы получено выражение для Xw (g). Описаны классы максимально W-примитивных подстановок, являющихся «бент-подста-новками» относительно системы импримитивности. Приведены оценки числа таких подстановок.
Порядок (w, г)-примитивности подстановки g £ S(X) определяется только её цикловой структурой, то есть является функцией на классах сопряжённых элементов в группе S (X). Перечислены цикловые структуры подстановок из множества
IG(w,r) = U IGw. Поскольку множество IG(w,r) является объединением классов
w ew(w,r)
сопряжённых элементов группы S(X), то цикловая структура элемента g однозначно характеризует его принадлежность множеству IG(w,r). В целом задача нахождения порядка (w, г)-примитивности оказалась сложнее. Получены порядки (w, ^-примитивности при чётном n в крайних случаях w = 2 и r = 2.
Исходя из общего подхода, получены порядки (w, г)-примитивности для s-боксов криптосистем AES, ARIA, Whirlpool, MISTY1, Camellia, FOX .
УДК 519.14
О СОВЕРШЕННЫХ 2-РАСКРАСКАХ q-ЗНАЧНОГО ГИПЕРКУБА1
В. Н. Потапов
Обозначим через Zq множество {0,..., q — 1}. Декартово произведение Zq1 называется q-значным n-мерным кубом (гиперкубом). Функция f : Zq1 ^ Zq называется корреляционно-иммунной порядка n — m, если мощность пересечения грани размерности m с множеством f-1(a) зависит только от a £ Zq. Через cor(f) будем обозначать максимальный порядок корреляционной иммунности. Плотностью булевозначной функции xS будем называть отношение p(S) = |S|/qn. Если p(S) = 1/2, то булевозначную корреляционно-иммунную функцию xS называют уравновешенной.
хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проекты №10-01-00424, 10-01-00616) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0429).
Расстоянием Хэмминга d(x,y) между вершинами x = (xi, x2,..., xn) и y = (yi, y2,... , yn) называется число позиций, в которых наборы x и y различаются. Определим величину A(S) как среднее число вершин из S С Zq1, которые находятся на расстоянии 1 от вершины из дополнения Zq1 \ S, т. е. A(S) =----—- |{y G S : d(x,y) = 1}|.
qn — |S 1 xgs
Отображение col : Zq1 ^ {0,..., k} называется совершенной раскраской с матрицей параметров M = {m^}, если для любых i и j, для каждой вершины цвета i число соседей цвета j равняется m^. В дальнейшем рассматриваются только раскраски в два, цвета (2-раскраски). Будем считать, что {0,1} —множество цветов. В этом случае булевозначная функция col является характеристической функцией множества вершин цвета 1.
Совершенный код (исправляющий одну ошибку) C С Zq1 можно рассматривать как множество единиц совершенной 2-раскраски с матрицей параметров
ы í n(q - i) - i 1 \ ™
M = 1 ^(^ i) о I . Если число q является степенью простого числа, то рас-
краска с такими параметрами существует только при n = (qj — 1)/(q — 1). При q = 2 список известных параметров совершенных 2-раскрасок имеется в [1, 2].
Известно (см., например, [3, 4]), что совершенная раскраска булева n-куба с мат/ n — b b \
рицей параметров I I является корреляционно-иммунной функцией по-
рядка (b + с)/2 — 1, т. е. из регулярной распределённости вершин некоторого множества по шарам радиуса 1 следует равномерное распределение вершин этого множества по граням. Весьма интересным представляется выяснение возможности обратного следствия.
В [5] доказано, что если для некоторого множества S С Zn величины cor(xS) и p(S) совпадают с соответствующими параметрами для совершенного кода, то множество S является совершенным кодом. В [3] установлено, что неуравновешенная булева функция f = xs (S С Zn) удовлетворяет неравенству cor(f) ^ 2n/3 — 1. Кроме того, в случае равенства cor(f) = 2n/3 — 1 функция f является совершенной раскраской.
Подобным образом, если для множества S С Zn неравенство Биербрауэра — Фрид-
2n
мана (см. [6, 7]) превращается в равенство p(S) = 1---------—------, то функция xS
2(cor(f) + 1)
является совершенной 2-раскраской [8].
Оказывается, имеет место следующий критерий.
Теорема 1.
а) Для каждой булевозначной функции f = xS, где S С Zq1, справедливо неравенство p(S)q(cor(f) + 1) ^ A(S).
б) Булевозначная функция f = xS является совершенной 2-раскраской тогда и только тогда, когда p(S)q(cor(f) + 1) = A(S).
Таким образом, равномерное распределение вершин множества по граням гиперкуба при экстремальных условиях на плотность множества влечёт регулярное распределение вершин множества по шарам. Более того, любая совершенная 2-раскраска получается как максимально равномерно распределённая по граням булевозначная функция при некоторых дополнительных односторонних ограничениях на размещение её единиц. При доказательстве теоремы использовались методы, развитые в [7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Fon-Der-Flaass D. G. Perfect 2-colorings of a hypercube // Siber. Math. J. 2007. V. 48. No. 4. P. 740-745.
2. Фон-Дер-Флаасс Д. Г. Совершенные 2-раскраски 12-мерного куба, достигающие границы корреляционной иммунности // Сибирские электронные математические известия. 2007. Т. 4. C. 292-295.
3. Fon-Der-Flaass D. G. A bound of correlation immunity // Siber. Electron. Math. Rep. 2007. V.4. P. 133-135.
4. Таранников Ю. В. О корреляционно-иммунных и устойчивых булевых функциях // Математические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Физматлит, 2002. С. 91-148.
5. Ostergard P. R. J., Pottonen O., and Phelps K. T. The perfect binary one-error-correcting codes of length 15: Part IPProperties // IEEE Trans. Inform. Theory. 2010. V. 56. P. 2571-2582.
6. Friedman J. On the bit extraction problem // Proc. 33rd IEEE Symposium on Foundations of Computer Science. 1992. P. 314-319.
7. Bierbrauer J. Bounds on orthogonal arrays and resilient functions // J. Combinat. Designs. 1995. V. 3. P. 179-183.
8. Потапов В. Н. О совершенных раскрасках булева n-куба и корреляционно-иммунных функциях малой плотности // Сибирские электронные математические известия. 2010.
В теории конечных автоматов одним из важнейших результатов является теорема Клини, в которой утверждается, что класс языков, распознаваемых конечными автоматами, совпадает с классом рациональных языков, представимых регулярными выражениями алгебры Клини [1].
В данной работе определяется понятие языка, допустимого в отмеченном графе, вводится система операций на формальных языках, которая, в частности, может использоваться в биологии, генетике, а также ДНК-вычислениях [2], и понятие регулярных выражений для этой системы операций.
Исследованы основные свойства семейства алгебр языков, допустимых в отмеченных графах; доказано, что язык допустим в отмеченном графе тогда и только тогда, когда он описывается регулярным выражением во введенной системе операций; разработаны методы анализа и синтеза языков, ассоциированных с отмеченными графами.
Пусть X — конечный алфавит; X* —множество всех слов конечной длины в алфавите X; X0 — множество всех слов длины п в алфавите X; X^п — множество всех слов конечной длины в алфавите X, длина которых больше или равна п.
Определим на множестве X * частичную бинарную операцию о склеивания двух слов с параметром п следующим образом: для всех и , и2 € X*
Т. 7. С. 372-382.
УДК 519.6
АЛГЕБРЫ ЯЗЫКОВ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ОТМЕЧЕННЫМИ ГРАФАМИ
Е. А. Пряничникова
xyz, если w1 = xy, w2 = yz, y G Xn;
не определено в противном случае.
Введем на языках L, R С X* следующие операции: 1) L U R = {w : w G L или w G R};
