CC BY
52
Утверждение 1. Если N ^ 6, 2 ^ q1 < q2 ^ N/2, то Гм(qi) ■ Гм(qi) С Гм(q2) x хГм (?2)-
Теорема 1. Пусть N ^ 8, 4 ^ q ^ N/2, G E SN. Если |r(G)| ^ 2q — 2, то существуют подстановки H1,H2 E Гм (q), для которых выполняется равенство G = Hi ■ H2.
Далее рассмотрим, какие подстановки из множеств Гм(2q — 1), Гм(2q) принадлежат произведению Гм (q) ■ Гм (q).
Утверждение 2. Пусть N ^ 4, 2 ^ q ^ N/2, подстановка G E Гм(2q) является произведением r неединичных циклов, длины которых равны m1 , m2,... , mr,
r
^2 тг = 2q. Подстановка G лежит в Гм(q) ■ Гм(q) в том и только в том случае, когда
i=1
существует такое подмножество {i1,..., ik} С {1,... , r}, что mi1 + ... + mik = q.
Утверждение 3. Пусть N ^ 4, 2 ^ q ^ N/2, подстановка G E Гм(2q — 1) является произведением r неединичных циклов, длины которых равны m1 ,m2,... ,mr,
r
'Yhmi = 2q — 1. Подстановка G лежит в Гм(q) ■ Гм(q) в том и только в том случае, i=1
когда выполнено условие: существует i0 E {1,... , r} и существует такое подмножество {i1,...,ifc} С {1,...,r}\{io}, что mi0 > 2 и q — mil + mi2 + ... + mik E {2,..., mio — 1}.
Итак, в теореме 1, утверждениях 2 и 3 полностью описано строение множества Гм (q) ■ Гм (q) при 4 ^ q ^ n/2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bertram E. Even permutations as a product of two conjugate cycles // J. Combin. Theory (A).
1972. V. 12. No. 3. P. 368-380.
2. Bertram E. and Wei V. K. Decomposing a permutation into two large cycles; an enumeration // SIAM J. Algebraic Discrete methods. 1980. V. 1. No. 4. P. 450-461.
3. Moran G. Reflection classes whose cubes cover the alternating group // J. Combin. Theory (A). 1976. V. 21. No. 1. P. 1-19.
4. Moran G. Permutations as products of k conjugate involutions // J. Combin. Theory (A). 1975. V. 19. No. 2. P. 240-242.
5. Product of conjugacy classes in groups / eds. Z. Arad, M. Herzog. Lecture Notes in Mathematics. V. 1112. Berlin: Springer Verlag, 1985. 244 p.
6. Тужилин М. Э. О порождении знакопеременной группы полурегулярными инволюциями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11. Вып. 4. С. 938-939.
УДК 519.7
О ПРИБЛИЖЕНИИ ПОДСТАНОВОК ИМПРИМИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
Б. А. Погорелов, М. А. Пудовкина
С 70-х годов прошлого века изучаются и строятся классы функций, максимально далёких от множества всех аффинных функций. Однако вместо множества всех таких функций можно также рассматривать симметрическую группу на конечном множестве X, а вместо множества всех аффинных функций — множество всех подстановок, сохраняющих некоторую систему импримитивности W с r блоками мощности w,
которая берётся из множества Ww,r всех таких нетривиальных систем и фиксирована. Максимальная группа подстановок, сохраняющая данную систему импримитивности W £ Ww,r, есть группа сплетения IGw = (Sw I Sr, W) в её импримитивном действии. Близость межу подстановками g, h £ Sn измеряется расстоянием Хеммин-
га x(g,h).
В работе рассматриваются два параметра:
— порядок W-примитивности, то есть число
Xw(g) = min {x(g, h) : h £ IGw};
— порядок (w, г)-примитивности, то есть число
X(w,r) (g) = min {x(g, h) : h £ IGw, W £ Ww,r} .
Если соответствующие параметры больше нуля, то подстановку g будем называть W-примитивной, (w, г)-примитивной; в противном случае — W-импримитивной, (w, r)-импримитивной. При рассмотрении W-примитивности каждой подстановке ставится в соответствие матрица, характеризующая удалённость данной подстановки от группы IGw. Через коэффициенты данной матрицы получено выражение для Xw (g). Описаны классы максимально W-примитивных подстановок, являющихся «бент-подста-новками» относительно системы импримитивности. Приведены оценки числа таких подстановок.
Порядок (w, г)-примитивности подстановки g £ S(X) определяется только её цикловой структурой, то есть является функцией на классах сопряжённых элементов в группе S (X). Перечислены цикловые структуры подстановок из множества
IG(w,r) = U IGw. Поскольку множество IG(w,r) является объединением классов
w ew(w,r)
сопряжённых элементов группы S(X), то цикловая структура элемента g однозначно характеризует его принадлежность множеству IG(w,r). В целом задача нахождения порядка (w, г)-примитивности оказалась сложнее. Получены порядки (w, ^-примитивности при чётном n в крайних случаях w = 2 и r = 2.
Исходя из общего подхода, получены порядки (w, г)-примитивности для s-боксов криптосистем AES, ARIA, Whirlpool, MISTY1, Camellia, FOX .
УДК 519.14
О СОВЕРШЕННЫХ 2-РАСКРАСКАХ q-ЗНАЧНОГО ГИПЕРКУБА1
В. Н. Потапов
Обозначим через Zq множество {0,..., q — 1}. Декартово произведение Zq1 называется q-значным n-мерным кубом (гиперкубом). Функция f : Zq1 ^ Zq называется корреляционно-иммунной порядка n — m, если мощность пересечения грани размерности m с множеством f-1(а) зависит только от а £ Zq. Через cor(f) будем обозначать максимальный порядок корреляционной иммунности. Плотностью булевозначной функции xS будем называть отношение p(S) = |S|/qn. Если p(S) = 1/2, то булевозначную корреляционно-иммунную функцию xS называют уравновешенной.
хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проекты №10-01-00424, 10-01-00616) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0429).
