О разложении булевой функции в сумму бент-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Smyshlyaev S. V. Perfectly Balanced Boolean Functions and Golic Conjecture // J. Cryptology. 2012. No. 25(3). P. 464-483.

УДК 519.7

О РАЗЛОЖЕНИИ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ В СУММУ БЕНТ-ФУНКЦИЙ1

Н. Н. Токарева

Булева функция от чётного числа переменных, максимально удалённая от класса всех аффинных функций, называется бент-функцией. В работах [1, 2] исследована связь между вопросом о числе бент-функций и проблемой разложения произвольной булевой функции в сумму двух бент-функций. Была представлена серия гипотез, одна из которых заключается в том, что каждую булеву функцию от n переменных степени не больше n/2 можно представить в виде суммы двух бент-функций от n переменных. В [2] с помощью компьютера гипотеза проверена для малых значений n ^ 6.

В 2011 г. Л. Ку и С. Ли [3] разобрали случай малых n аналитически. В общем случае они доказали, что в виде суммы двух бент-функций может быть представлена любая квадратичная булева функция, любая бент-функция Мак-Фарланда, любая функция частичного расщепления (partial spread function).

В данной работе доказан ослабленный вариант гипотезы.

Теорема 1. Любая булева функция от n переменных степени d, где d ^ n/2, n чётно, может быть представлена в виде суммы не более чем 2 ( ; ) бент-функций

,b,

от n переменных, где b — наименьшее число, b ^ d, такое, что n делится на 2b.

Заметим, что разложение, указанное в теореме, можно провести с помощью только бент-функций Мак-Фарланда.

ЛИТЕРАТУРА

1. Токарева Н. Н. Гипотезы о числе бент-функций // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2011. №4. С. 21-23.

2. Tokareva N. On the number of bent functions from iterative constructions: lower bounds and hypotheses // Adv. in Mathematics of Communications (AMC). 2011. V. 5. No. 4. P. 609-621.

3. Qu L. and Li C. Representing a Boolean function as the sum of two Bent functions // Discrete Applied Mathematics. 2012 (to appear).

УДК 681.03

ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В КРИПТОГРАФИИ

М. Э. Тужилин

Подсчёт числа латинских квадратов порядка п — сложная комбинаторная задача, их точное число известно только для п от 1 до 11 [1].

Латинские квадраты находят применение в комбинаторике, алгебре (изучение латинских квадратов тесно связано с изучением квазигрупп), теории кодов, статистике и многих других областях [2].

1 Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проекты 10-01-00424, 11-01-00997) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 г. (гос. контракт 02.740.11.0429).