CC BY
10
ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ
УДК 514.18
Г.В. КОВАЛЬОВА
Одеська державна академiя будiвництва та арх^ектури
О.А. Н1К1ТЕНКО, 1С. КЕРНИЦЬКИЙ
Варшавський унiверситет сiльського господарства
ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ Л1Н1Й НА ЦИКЛ1ЧН1Й ГВИНТОВ1Й ПОВЕРХН1
На даний час геодезичним лШям присвячено багато наукових праць як вгтчизняних, так i зарубгжних науковщв. Властивостi геодезичних лiнiй використовуються для визначення найкоротших вiдстаней або визначення сnособiв армування оболонок тощо. При спряженнi двох поверхонь лШя их контакту теж е геодезичною. Щею властивiстю можна скористатися для проектування спряжених циклiчних гвинтових поверхонь, яю мають мкце в зачепленнях Новжова. В данш пращ отримано рiвняння геодезичнои лти для такой поверхнi шляхом мiнiмiзацii довжини кривой. Для пiдтвердження отриманих результатiв в графiчному редакторi AutoCAD було побудовано кшька геодезичних лнй, початок яких е в точщ Р (2,0,0).
Ключовi слова: геодезичнi лти, циклiчна гвинтова поверхня, мiнiмiзацiя функцюнала.
Г.В. КОВАЛЕВА
Одесская государственная академия строительства и архитектуры
О.А. НИКИТЕНКО, И.С. КЕРНИЦКИЙ
Варшавский университет сельского хозяйства
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ НА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ВИНТОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В наст оящее время геодезическим линиям посвящено много научных работ как от ечест венных, т ак и зарубежных ученых. Свойст ва геодезических линий используют ся для определения крат чайших расст ояний или определения способов армирования оболочек и т .д. При сопряж ении двух поверхност ей линия их контакта тоже есть геодезической. Этим свойством можно воспользоваться для проект ирования сопряженных циклических винт овых поверхност ей, кот орые имеют мест о в зацеплениях Новикова. В данной работе получено уравнение геодезической линии для такой поверхност и путем минимизации длины кривой. Дя подтверждения полученных результатов в графическом редакторе AutoCAD было пост роено несколько геодезических линий, начало кот орых в т очке Р (2,0,0).
Ключевые слова: геодезические линии, циклическая винт овая поверхност ь, минимизация функционала.
G. KOVALOVA
Odessa State Academy of Civil Engineering and Architecture
O. NIKITENKO, I. KERNYTSKYY
Warsaw University of Life Sciences - SGGW
GEOMETRICAL MODELING OF GEODESIC LINES ON THE CYCLIC HELICOCID
In 1954 M. Novikov proposed a new tooth gearings with profile was shaped like a circle arc, so a class of cyclic screw surfaces appeared in the technique. V. Lyukshin in his work thoroughly presented an analytical description of such surfaces and considered the theory of their internal geometry. At the conjugation of two surfaces normals to the surfaces coincide with the normal to the contact line. Such a property has a geodesic line, in which the normal coincides with the normal of the surface. Proceeding from them we can assume that geodesic lines can be used to design conjugate cyclic screw surfaces with line contact that takes place in Novikov's gear train. Geodetic lines of the surface can be searched on it provided that they turn into straight lines when the surface is developed. The search of geodesic lines on undeveloped surfaces is rather complicated and can be carried out by various methods. In the analytical this problem is reduced to the compilation and solution of differential equations, which can be found to be explicitly solved only in a few cases. The construction of a geodesic line in some works is also considered as a variational task for finding the shortest distance between two points, for example, to determine the path of mobile robot moving. The equation of the geodesic lines of a cyclic screw surface is found in the form of an integral by minimizing the distance between two points. Since all the formulas are rather cumbersome for calcula-
ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ
tions, we used Simpson's formulas to calculate certain integrals. Several geodesic lines have been constructed which come out from one point Р (2, 0, 0) in the graphic editor AutoCAD to confirm the obtained results. Their coordinates were determined by substituting p and determined y in the equation of the surface.
Keywords: geodesic lines, cyclic screw surface, minimization of the functional.
Постановка проблеми
У 1954 р. М.Л. Новжов запропонував зубчасп передачi з точковим зачепленням. Новий профшь зуба мав форму дуги кола, i з того часу велика шльшсть праць була присвячена новому зачепленню. Вагомий внесок у цьому напрямку був зроблений В.С. Люкшиним в пращ [1, C. 126]. Вш грунтовно подав аналггачний опис циктчних гвинтових поверхонь та розглянув теорш Гх внутршньоГ геометри. Так осшльки при спряженнi двох поверхонь в точках контакту нормалi до поверхонь сшвпадають з нормаллю до лiнií контакту, то можемо стверджувати, що лiнiя контакту двох поверхонь е геодезичною лiнieю, в яког нормаль в кожнш ii точцi збiгаеться з нормаллю до поверхш. Теоретично маемо припущення, що можливо запроектувати зачеплення Новшова з лiнiйним контактом, але першим кроком в цьому напрямку е вщшукання геодезичних лiнiй на циклчнш гвинтовiй поверхнi.
Аналiз останшх досл1джень i публiкацiй
Геодезична л1шя на поверхнi з давнiх чаав привертала увагу дослвднишв своГми властивостями, зокрема тим, що найкоротший шлях м1ж двома точками поверхнi е геодезичною. На розгортнш поверхнi можна шукати геодезичнi лiнií з умови, що вони перетворюються на прямi при розгортанш поверхнi. Пошук геодезичних лшш на нерозгортних поверхнях е досить складним i може проводитись з рiзних мiркувань. Наприклад, стрiчка, як1й властива певна пружнiсть, змушена рухатися по геодезичнiй лiнií незалежно вiд ii швидкостi. Ця властивють може бути використана для практичного знаходження геодезичноГ лiнií' на поверхш в заданому напрямi [2, С. 24]. В аналтгачному планi ця задача зводиться до складання i розв'язування диференцiальних рiвнянь, знайти явний розв'язок яких вдаеться лише в окремих випадках [3, С. 25]. Побудова геодезичноГ лши в деяких працях розглядаеться також як варiацiйна задача на знаходження найкоротшог ввдсташ м1ж двома точками, наприклад, для визначення шляху перемщення мобiльного робота [4, С. 217].
Мета дослщження
Метою дослвдження е аналiтичний опис та конструювання в графiчному редакторi AutoCAD геодезичних лiнiй на циклчтй гвинтовiй поверхнi.
Викладення основного матерiалу дослiдження
Нехай меридiан гвинтовог циктчног поверхнi лежить в площинi XOZ i мае рiвняння:
Г х = cos p +1; п п
\ z = sinp; 2 ~Р~ 2' (1)
При гвинтовому русi меридiана з параметром Р = 1 отримуемо циклiчну гвинтову поверхню, рiвняння яког набувае вигляду:
X = (cos p + 1) cos ц;
Y = (cos p + 1) sin y; (2)
Z = sin p + y.
Як вщомо, диференщал довжини дуги кривог на поверхш обчислюеться за допомогою першоГ квадратичноГ форми поверхнi [4, С.15]:
2 2 2 ds = Edu + 2Fdudv + Gdv ,
де u, v - внутршш координати поверхш,
E = (X'uf +(y;)2 +(Z'u )2, F = X'u X'+ Yuy;+ Z'u Z'v, G = (xv)2 + (y;)2 +(z;)2.
Для поверхш (2) E = 1, F = cos p, G = (cos p +1) +1. Таким чином, довжина дуги кривоГ y = y(p) на поверхш (2) обчислюеться за формулою
pi
L = 1 + 2 cos py' + ((cos p +1)2 + 1)(цц')2 dp
(3)
Цей штеграл е функцюналом, який досягае мiнiмуму на геодезичнш кривiй. Отже, геодезична крива мае задовольняти рiвняння Ейлера [5, С. 18]:
ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ
дF d
( дF ^
ду Лр\ду'
= 0
дF дF
де F - шдштегральна функщя. Оскшьки-= 0 , то -= C, C = const
ду ду'
Тобто
008 р -
+ ((008 р + I)2 + У
1 + 2 008 ру' + ((008 р + I)2 + 1](у')2
= C .
(4)
Розв'язуючи це р1вняння вщносно у , отримаемо:
У =
± 2С 008 Р - 008 (р(008 р +1)2 - С2 + 1 ((008 р + 1)2 + 1^/(008 р + 1)2 - С2 + 1
Таким чином,
р± 2С 008 - - 008 -^/(с087+1)2^~С2+7
у(р) = -—\) , , Л + у(ро) .
Ро
008 - + 1)2 + (008 - + 1)2 - С2 + 1
(5)
Розглянемо окрем1 випадки. 1. Нехай (о = 0, у(ро) = 0, у'((о) = 0. Щдставляючи щ значення в (4), знаходимо, що С =1 (на рис. 1 геодезична лш1я шд номером 1). Тод1 за формулою (5):
-
у(р) = |
Р 1 - 008 - 008 -
2
0 I 40084 — + 1 1008 — 2 ) 2
.
Цей штеграл можна безпосередньо проштегрувати:
у(р) = ^2 + 1п
2 sin 2 Р - sin Р + 4—
2 2
2 sin 2 Р + 2л/2+\/— sin Р + 4— 2 2
2л/— +1
+--, аг^
sin Р
I КЛ!
- 2 2 cos2 Р + 4— 2
+
+ ■
V—+1
>7—
-1п
- 2
tg -V 2л/— - 2 -в р + 4—
а р 2
-в2 р+4й—-~2 -в р+4—
3
V— -1
+--, агс-в
л/^ТА/—
+1 -в
^Í5^|2¡5
+2
* - -в2 Р
2. Нехай (о = 0, у(ро) = 0, у'(ро) = — . Пвдставляючи щ значення в (4), знаходимо, що С =2 (на рис. 1
геодезична лшя пвд номером 2). Тод1 за формулою (5):
у(р) = |
Р 4008 - - 008 ^(008 - + 1)2 - 3
0 ((008 - + 1)2 + (008 - + 1)2 - 3
Л .
3. Ро = 0, у(Ро) = 0, у'(ро) = -1. Пвдставляючи щ значення в (4), знаходимо, що С = - 2 (на рис. 1 геодезична лшя пвд номером 3). Тод1 за формулою (5):
0 4008- + 008-д/(008- + 1)2 - 3
у(р) = ¡1-—\/ 2 -л.
((008 - + 1)2 + 1^/(008 - + 1)2 - 3
4. Ро = 0, у(ро) = 0, у'(Ро) = -0,4 . Пщставляючи щ значення в (4), знаходимо, що С = -1 (на рис. 1 геодезична лшя шд номером 4). Тод1 за формулою (5):
ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА ТОМП'ЮТЕТШ ТЕХНОЛОГИ
= j
1 + cos t cos
t 2
-dt
i „ 4 t J t — I 4cos — +1 I cos —
I 2 J 2
Цей штеграл також можна безпосередньо проштегрувати:
2л/5 +1
V2 + 45
У(—) =--ln
2
2sin2 -- 2у ¡2 + 45 sin — +45
2 2
2sin2 — + 2д /2 + 45 sin — +45
2 2
V2w5 sin—
+
+
45+1
2
,45^2¡5
Г ln
2
tg2 — -V 245 - 2 tg -+45
,2 — 2
tg2tg-+45
+
45445 - 2 V5 -1
arctg-
2
2 cos2- + 45 2
+
arctg
42445 +1 tg -
V5 - tg2 -
454245 + 2
2 * " "" 2 '
Уа отримаш формули e досить гром1здкими для обчислення. В нашому випадку для обчислення визначених 1нтеграл1в ми скористалися формулами Симпсона. Для побудови геодезичних лшш в граф1чному редактор1 AutoCAD необхвдно задану змшну — i визначену вщповщно залежну змшну у пвдставити до рiвняння поверхнi (2). На рис. 2 подано циктчну гвинтову поверхню з отриманими геодезичними лiнiями, початок яких e в точщ Р (2, 0, 0).
P1
Рис. 1. Комплексне креслення геодезичних лiнiй на циклiчнiй гвинтовш иоверхш
В1СНИК ХНТУ №3(66), ТОМ 2, 2018 р. ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА
ЛОМП'ЮТЕТШ ТЕХНОЛОГИ
Рис. 2. Геодезичт лшй на циклчнш гвинтовш иоверхт в графiчному редакторi AutoCAD
Висиовки
В робот! шляхом мiнiмiзацil вiдстанi м1ж двома точками знайдено рiвняння геодезичних лшш циклично! гвинтово! поверхнi у виглядi iнтеграла, а для деяких випадк1в - в явному виглядг Для пiдтвердження отриманих результатiв в графiчному редакторi AutoCAD було побудовано кшька геодезичних лiнiй, що виходять з одше! точки.
Список використаноТ лiтератури
1. Люкшин В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов [Текст] / В.С. Люкшин. - М.: Машиностроение, 1968. - 371 с.
2. Кремець Я.С. Геодезичш лши поверхонь в задачах армування оболонок та шерцшного руху матерiально! точки [Текст]: Дис. ... канд. техн. наук 05.05.01 / Я.С. Кремець. - К., 2017. - 141 с.
3. Пришляк О. Диференщальна геометрiя / О. Пришляк - К.: Видавничо- полiграфiчний центр "Ки1вський унiверситетм, 2004. - 68 с.
4. Табакова 1.С. Побудова геодезично! лшп гладко! поверхш, що виходить iз дано! точки у заданому напрямку [Текст] / 1.С. Табакова // Науковий вюник Мелiтопольського державного педагогiчного унiверситету iм. Б. Хмельницького. Серiя: Математика. Геометрiя. 1нформатика. - Мелiтополь: МДПУ, 2014. - Т. 1. - С. 217 - 224.
5. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления: монографiя [Текст] / Л. Янг. - М.: Мир,1974. - 488 с.
