CC BY
10
УДК 514.18
С.Ф. ПИЛИПАКА
Нацюнальний ушверситет бюресурав i природокористування Укра1ни
МБ. КЛЕНДЙ
Бережанський агротехнiчний iнститyт НУБiП Укра1ни
ТА. КРЕСАН
Нiжинський агротехнiчний шститут НУБiП Укра1ни
РУХ ЧАСТИНКИ ПО ГВИНТОВОМУ КОНО1ДУ, ОБМЕЖЕНОМУ ВЕРТИКАЛЬНИМ ШОРСТКИМ ЦИЛ1НДРОМ
Розглянуто рух матер1ально1 частинки по поверхнi гвинтового коногда i3 вертикальною вксю nid дieю сили власног ваги. Складено диференщальт рiвняння руху для двох випадюв: поверхня не мае обмежень i поверхня обмежена сniввiсним цилтдром. В першому випадку диференщальт рiвняння розв 'язано чисельними методами, в другому отримано аналiтичний розв 'язок у юнцевому виглядi. Знайдено ктематичт параметри руху, наведено графжи ктематичних характеристик у функцП часу. Для першого випадку побудовано траекторИруху частинки по поверхт коногда для рiзних вихiдних умов. Траeкторieю руху частинки у другому випадку е гвинтова лiнiя - лiнiя перетину коногда i3 сniввiсним цилтдром.
Ключовi слова: гвинтовий коногд, частинка, траeкторiя руху, обмежувальний цилтдр, диференщальт рiвняння, кiнематичнi параметри.
С.Ф. ПИЛИПАКА
Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины
Н.Б. КЛЕНДИЙ
Бережанский агротехнический институт НУБиП Украины
Т.А. КРЕСАН
Нежинский агротехнический институт НУБиП Украины
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ПО ВИНТОВОМУ КОНОИДУ, ОГРАНИЧЕННОМУ ВЕРТИКАЛЬНЫМ ШЕРОХОВАТЫМ ЦИЛИНДРОМ
Рассмотрено движение материальной частицы по поверхности винтового коноида с вертикальной осью под действием силы собственного веса. Составлены дифференциальные уравнения движения для двух случаев: поверхность не имеет ограничений и поверхность ограничена соосным цилиндром. В первом случае дифференциальные уравнения решено численными методами, во втором получено аналитическое решение в конечном виде. Найдены кинематические параметры движения, приведены графики кинематических характеристик у функции времени. Для первого случая построены траектории движения частицы по поверхности коноида для различных исходных данных. Траекторией движения частицы во втором случае является винтовая линия - линия пересечения коноида с соосным цилиндром.
Ключевые слова: винтовой коноид, частица, траектория движения, ограничивающий цилиндр, дифференциальные уравнения, кинематические параметры.
S.F. PYLYPAKA
National university of life and environmental sciences of Ukraine
M.B. KLENDIY
IS NULES of Ukraine "Berezhany Agrotechnical Institute"
T.A. KRESAN
IS NULES of Ukraine "Nizhyn Agrotechnical Institute"
PARTICLE MOVEMENT BY A SCREW CONOID WHICH IS LIMITED TO A VERTICAL RETURN CYLINDER
Screw surfaces are used in gravity transport devices, which include screw slopes. In the mining industry, they are used to enrich the ore. The profile of the gutter along which the material moves may be straight or curved. If the straight line forming the profile is inclined to the axis of the helical surface, then such a surface is an oblique helicoid. If the straight line is perpendicular to the axis, the resulting surface is a helical conoid. When a particle moves along an oblique helicoid, its velocity eventually stabilizes and becomes constant, and the trajectory of motion is a helical line. When moving along a helical conoid, the particle stops with time, because by centrifugal force it moves away from the axis of the conoid to such a distance that the angle of
inclination of the surface becomes less than the angle offriction. To prevent this, the surface of the screw conoid must be limited to a coaxial vertical cylinder. The aim of the work is to study the motion of material particles under the action of the force of their own weight on a helical conoid with a vertical axis without limiting its surface and with the restriction of a coaxial cylinder.
The motion of a material particle along the surface of a helical conoid with a vertical axis under the action of its own weight is considered. Differential equations of motion are constructed for two cases: the surface has no restrictions and the surface is bounded by a coaxial cylinder. In the first case, the differential equations were solved by numerical methods, in the second, an analytical solution was obtained in a finite form. The kinematic motion parameters are found, the kinematic characteristics of the time function are given. For the first case, trajectories ofparticle motion along the surface of the conoid are constructed for different initial data. The trajectory of particle motion in the second case is the helix - the line of intersection of the conoid with the coaxial cylinder. The obtained dependences make it possible to calculate the design of the screw descent for a given maximum speed of movement of the cargo accepted for the material point.
Keywords: helical conoid, particle, trajectory of motion, bounding cylinder, differential equations, kinematic parameters.
Постановка проблеми
Гвинтовi поверхш можуть використовуватися в гравиащйних транспортних пристроях, до яких вщносяться гвинтовi спуски. Гвинтова поверхня може бути утворена поворотом твiрно! лшп навколо вертикально! оа з одночасним перемщенням вздовж ще! оа. Такою твiрною може бути як пряма лшя, так i крива. Вщповщно профшь сшрального лотка може бути прямий, похилий, криволшшний, зокрема у виглядi кола [1]. У горноруднш промисловосп гвинтовi поверхш застосовуються для збагачення руд [2].
Характер руху частинки по гвинтовш поверхш залежить ввд форми ще! поверхш. Наприклад, при руа частинки по косому i розгортному гелжо!дах li швидшсть з часом стабiлiзуеться i стае сталою, а траекторiею руху на поверхш е гвинтова лшя. При руа по гвинтовому коно!ду частинка iз часом зупиняеться. Для вивчення режимiв руху частинки в залежносп вiд конструктивних параметрiв поверхнi важливо мати аналiтичнi залежностi, як1 описують цей рух.
AH^i3 останшх дослвджень i публiкацiй Певнi результати руху частинки по гвинтових поверхнях висвгглено в монографп [3]. Наведенi аналггичш залежностi стосуються гвинтових поверхонь, яш автор називае косими. Рух матерiально! частинки по косому (нерозгортному) гелжо!ду досить грунтовно розглянуто в працях проф. М.1.Акимова [3] i проф. П.М.За!ки [4]. М.1.Сисоев дав узагальнене розв'язання задачi руху частинки по грави'ащйшй гвинтовiй поверхнi сталого кроку, осьовим перерiзом яко! е довшьна крива [5]. Сво! дослiдження вш проводив стосовно гвинтових сепараторiв для сшьськогосподарських матерiалiв. Як окремий випадок ним було розглянуто рух частинки по розгортному гелжо!ду, а також по косому гелжо!ду (коли осьовим перерiзом поверхнi е пряма, нахилена шд певним кутом до горизонтально! площини). Всi перерахованi задачi розв'язаш в цилiндричнiй системi координат. В пращ [6] дослщжено рух частинки по розгортному гелжо!ду, а в пращ [7] - по косому гелжо!ду. В обох випадках складання диференцiальних рiвнянь руху велося в проекщях на орти тригранника Френе, який е супровiдним для траекторп.
Формулювання мети дослiджень Дослiдити закономiрностi руху матерiальних частинок пвд дiею сили власно! ваги по гвинтовому коно!ду iз вертикальною вiссю без обмеження його поверхш та з обмеженням у виглядi сшввюного шорсткого цилiндра.
Викладення основного матерiалу дослвджень Поверхня гвинтового коно!да утворюеться гвинтовим рухом прямолшшно! твiрно! яка весь час залишаеться паралельною до горизонтально! площини (рис. 1,а). Всi твiрнi перетинають вiсь коно!да. Його параметричш рiвняння мають вигляд:
X = u cosa; Y = u sina; Z = ba, (1)
де a, u - незалежш змiннi поверхнi, a - кут повороту точки коно!да навколо його осц u - довжина прямолшшно! твiрноi коно!да;
b - гвинтовий параметр - стала величина, через яку визначаеться крок Н поверхш: H=2nb.
Поверхня одиничного кроку (один виток) показана на рис. 1,а. Положения частинки на ньому визначаеться координатами u i a (рис. 1,а,б). Будемо вважати щ параметри е функщями часу t. Тодi залежностi a=a(t) i u=u(t) будуть внутрiшнiми рiвняннями траекторi! руху частинки по поверхш гвинтового коно!да. 1х пiдстановка в рiвняння (1) дасть параметричш рiвняння траекторi! в проекцп на осi координат OXYZ. Щ залежностi е невiдомими i ми !х будемо знаходити в результата розв'язку рiвнянь руху частинки. Частинка iз стану спокою може почати рух по поверхш гвинтового коно!да, або ж залишатиметься нерухомою. Це залежить ввд положення частинки на поверхш. Частинка iз стану спокою намагатиметься рухатися по лшп найбшьшого нахилу. Такими лiнiями для гвинтового коно!да е
гвинтова Отже в початковий момент часу напрям руху частинки буде збтатися iз напрямом дотично!, проведено! до вщповщно! гвинтово! лшп (рис. 1,в). Однак пiд дieю вщцентрово! сили траeкторiя руху частинки буде змiнюватися, ввддаляючися вiд осi коно!да.
б
Рис. 1. Графiчнi шюстрацп до опису руху частинки по поверхш гвинтового коноТда:
а) один виток гвинтового коноТда; б) вигляд зверху iз позначенням внутрiшнiх координат частинки; в) позначення напряму руху частинки iз стану спокою
Рис. 2. Гвинтовi лши однакового кроку на розгортщ ци. мндрш рiзного радiуса
Кожна гвинтова лшя поверхнi коно!да мае сталий кут тдйому в. Його величина залежить вiд вiдстанi u вщ до осi коно1да. Вiдомо, що гвинтова лiнiя на цилiндрi перетворюеться на пряму на розгортцi бiчноl поверхнi. Звiдси можна просто визначити величину кута в. Ва гвинтовi лши витка поверхнi мають однакову висоту (рис. 1,в), тобто вони розташоваш на цилiндрах однаково! висоти Н, але рiзних радiусiв u. Отже на розгортцi цилiндрiв вони перетворяться на прям^ зображенi на рис. 2. Звщси знаходимо вираз для кута в:
(2)
= Ъ/.
Якщо вiдстань u вiд осi коно!да буде /и
такою, що кут в буде менший кута тертя, то частинка не розпочне рух iз стану спокою. Складемо рiвняння руху у виглядi та = ¥, де m - маса частинки, а - вектор прискорення, ¥ -результуючий вектор прикладених до частинки сил. Такими силами е сила ваги mg (д=9,81 м/с2), реакщя N поверхнi коно!да, спрямована вздовж нормалi до поверхнi (рис. 1,а) та сила тертя F=fN (/- коефiцiент тертя). Ва сили потрiбно спроекцiювати на оа системи координат OXYZ. Сила ваги спрямована вниз, отже напрям Г! до визначаеться напрямним вектором:
{о;
0;
-1}
(3)
Реакщя N поверхш цилiндра спрямована по нормалi до нього i визначаеться iз векторного добутку двох векторiв, дотичних до координатних лiнiй коноща. Проекщями цих векторiв е частиннi похщш рiвнянь (1):
а
в
X Y Z
Хи Yu Zu = {b sin a; - b cosa; и
X« Ya X a
Хи = cosa; Yu = sin a; Z„ = 0;
(4)
Xa = -u sin a; Ya = и cos a; Za = b.
Знаходимо векторний добуток BeKTopiB (4):
(5)
Приводимо вектор (5) до одиничного i отримуемо проекцп одиничного вектора нормалi до поверхш коно!да:
I bsin a bcosa и I
\4йг+ъ1' 4u2 + ь2; 4u2 + ь2 J
Зважаючи на те, що змiннi поверхнi a=a(t) i u=u(t) е функцiями часу t, рiвняння (1) перетворюються у рiвняння криво! на поверхнi - розшукувано! траекторii руху частинки. Оск1льки рiвняння поверхнi i рiвняння траекторп мають однаковий вигляд, то в рiвняннях траекторп символи "x", "y", "z" злiва будемо позначати строчними лгтерами. 1х похiднi по часу t дадуть проекцii швидкостi частинки:
X = и' cosa-a 'и sin a; y' = и' sina + a 'и cosa; Z = a b. (7)
Диференцiюванням залежностей (7) отримаемо проекцп вектора прискорення частинки: X " = (и" - иa'2 )cosa - (a"u + 2a'u')sina;
y " = (и" - ua' 2 )sina + (a"u + 2a'u' )cosa; (8)
z" = a"b.
V = VX 2 + y2 + Z2 =ija'2 (u2 + b2)+ u'2. (9)
Величину швидкостi частинки знайдемо, як векторну суму !! складових (8) на осi координат:
¡x'2 + y2 + Z2 =Va '2 (и2 + b2)+ и' Довжина пройденого частинкою шляху s визначаеться iнтегруванням швидкостi (9) по часу t:
5 = JV«'2(и2 + b2)+и'2 dt. (10)
Сила тертя Ff спрямована по дотичнш до траекторii в сторону, протилежну вектору швидкостi. Проекцп одиничного вектора дотично! знайдемо дiленням проекцiй швидкосп (7) на !! величину (9) i вiзьмемо iз протилежним знаком:
I и' cos a - a 'и sin a и' sin a + a 'и cos a a 'b \
(11)
[ V«'2(u2 + b2)+ u'2' Va'2(u2 + b2)+ и'2 ' Va'2(и2 + b2)+ и'2 J'
Запишемо векторне рiвняння ma = F в проекщях на оа координат. Напрям дп сили ваги визначаеться вектором (3), напрям дп реакцп N поверхнi коно!да - вектором (6), напрям дп сили тертя -вектором (11). 1з урахуванням цього отримаемо:
( ' • и ' ^
ги 008а -аи81па Ь81па
тх = N - У , , „ +
ту" = N
- У
(
т2" = N
- У
у/а'2 (и2 + Ь2)+ и'2 V и2 + Ь2
и' 81па + а 'и 008 а Ь оо8а
д/а '2 (и2 + Ь2)+ и"2 л/ТТЬ'
а Ь и
(12)
т£.
Пiдстaвимо у (12) другi похiднi iз (8) i розв'яжемо отриману систему вщносно а " = а"(0, и" = и"(0 i N=N(0:
а =-а
У^и - 2Ьа'и')
г + -
2ии'
2 , 1,2
и" = иа' - иУ
у1(и2 + Ь2 )а'2 (и2 + Ь2)+ и'2 \ и2 + Ь $и - 2Ьа'и'
и2 + Ь2
Я = т
у!(и2 + Ь2 а '2 (и2 + Ь2)+ и'2 \ ^и - 2Ьа'и' у/и2 + Ь2 '
(13)
Першi два рiвняння (13) утворюють систему з двома невщомими функцiями а=аф i ы=ы^). II розв'язок чисельними методами дае можливiсть побудувати траекторш руху частинки по поверхнi гвинтового коно1да пiд дiею сили власно! ваги. Залежнiсть N=N(t) дозволяе визначити реакцш поверхнi вздовж траекторп у функцп часу t.
На рис. 3 побудоваш траекторп руху частинки з коефщентом тертя/=0,3 по гвинтовому коно!ду з гвинтовим параметром Ь=0,5. Початкова точка руху знаходиться на вщсташ 1 м ввд оа коно!да. Цифрами позначенi траекторий 1 - початкова швидк1сть дорiвнюе нулю; 2 - початкова швидшсть дорiвнюе 2 м/с i спрямована вздовж прямолшшно! твiрноI до осц 3 - початкова швидк1сть дорiвнюе 2 м/с i спрямована вздовж прямолшшно! твiрноI вiд осi. Траекторп зображенi до моменту зупинки частинки. Найбшьший шлях долае частинка, у яко! початкова швидк1сть спрямована до оа, тому що в цьому нaпрямi кут найбiльшого нахилу зростае (позначено цифрою 2). Проте при подальшому руа пiд дiею вщцентрово! сили частинка вiддaляеться вiд оа на таку вiдстaнь, коли рух стае неможливий iз -за недостатньо! величини кута нaйбiльшого нахилу.
б
а
Рис. 3. Траекторп руху частинки по поверхш гвинтового коноТда: а) аксонометрiя; б) вигляд зверху
У випадку, коли початкова швидшсть дорiвнюе нулю, рух починаеться перпендикулярно прямолшшнш твiрнiй, тобто по лшп нaйбiльшого нахилу (гвинтовiй лшп). За формулою (2) можна
знайти величину кута нахилу гвинтово1' лшп в точщ, з яко1 починае рух частинка (позначено цифрою 1 на рис. 3). При b=0,5 м i u=1 м tgß=0,5, тобто ß=26,60. Отже, кут найбшьшого нахилу поверхнi коновда i3 заданим гвинтовим параметром на вiдстанi 1 м вщ осi бiльший вщ кута тертя, який для коефщента тертя f=0,3 рiвний 16,70. Якщо поверхню гвинтового коноща використовувати як гвинтовий спуск, то його потрiбно обмежувати, наприклад, спiввiсним цилiндром. При вщомому коефiцiентi тертя можна знайти критичне значения вiдстанi u, при якш рух iз стану спокою ще буде можливий. Коефiцiент тертя f чисельно рiвний тангенсу кута тертя ßf: f=tg ßf. За формулою (2) знаходимо: u<b/tg ßf або : u<b/f. Для нашого випадку при b=0,5 i f=0,3 маемо: u<1,67м.
На рис. 4,а зображеш графiки змiни швидкосп руху частинки. З нього видно, що найбшьший час до зупинки у частинки, яка починае рух iз стану спокою (позначено цифрою 1) - б™ 4 с.
На рис. 4,б зображенi графiки змiни реакцiï поверхнi, яка дiе на частинку масою 1 кг. Шсля зупинки частинки сила реакцп близька до значення 9,81 Н. Це те значення, до якого прямуе частинка при ïï необмеженому вщдаленш вiд осi коноïда.
а б
Рис. 4. Графики, що характеризують рух частинки по траeкторiях, зображених на рис. 3: а) графики змши швидкостi V; б) графики змiни реакш'1 поверхнi N
На рис. 5, побудоваш траекторп при однаковш початковiй швидкостi V0=3,5 м/с руху частинки. В одному випадку вектор початково! швидкосп спрямований вздовж лшп найбiльшого нахилу вгору (позначено цифрою 1), а в другому - у протилежну сторону, тобто вниз (позначено цифрою 2). 1з графжа змши швидкосп (рис. 5,б) видно, що бiльш тривалий час в русi до повно! зупинки перебувае частинка, яка починае cbiй рух вгору по лшп найбшьшого нахилу (приблизно 7 с).
а б
Рис. 5. Графiчнi шюстрацп до руху частинки з рiвними початковими швидкостями, спрямованими у протилежш сторони вздовж лiнГi найбшьшого нахилу: а) траекторп руху по поверхш; б) графики змши швидкост V
Розглянемо рух частинки по конощу, обмеженому сшввюним цилiндром (рис. 6,а). Частинка при русi по поверхш коноша, вiддаляючись вiд його оа, зустрiнеться iз обмежуючим цилiндром i далi змушена рухатися по гвинтовш лшп. Кут пiдйому гвинтовоï лiнiï сталий i залежить вш вiдстанi u (рис. 2). Нехай u=R, де R - радiус обмежуючого цилiндра. Згiдно формули (2) знаходимо:
а
б
Рис. 6. Прикладеш до частинки сили, яка рухаеться по лшп найбшьшого нахилу:
а) рух частинки по гвинтовш лшп;
б) рух частинки по прямш лшп
¡ = ЛгС
(14)
Оск1льки кут в е сталий, то рух частинки по гвинтовш лшп певним чином буде под1бний до прямолшшного руху по похилш площиш (рис. 6,б). В обох випадках прикладеними силами до частинки е: сила ваги mg, сила реакцп поверхш N, сила тертя Ff. В обох випадках сила ваги розкладаеться на дв1 складов!: рушшну силу F=mgsinв 1 силу тиску частинки на поверхню Fp=mgcosв. Остання спричинюе р1вну по величин! реакцш поверхш N, яка спрямована по нормал! до не! в протилежну сторону. Сила тертя Ff спрямована в протилежну сторону в1д напряму руху частинки 1 залежить в1д величини реакцп N Е =/¥, де /- коефщент тертя. Отже, Ff =fmgcosв■ Таким чином, ми можемо записати векторне р1вняння та = ¥ в проекцп на пряму тшю, вздовж яко! рухаеться частинка (рис. 6,б):
Прискорення а е другою похщною шляху 5 частинки по часу a=s". Диференщальне р1вняння (15) е класичним прикладом для аналогичного опису прямолшшного руху частинки по похилш площиш Певною м1рою воно справедливе 1 для гвинтово! лшп. Диференщальне р1вняння будемо складати в проекщях на дотичну пряму до гвинтово! лшп, яка е рухомою при незмшному кутов1 в. Довжина шляху 5, яка е гшотенузою прямокутного трикутника для одного витка (рис. 2), визначиться через кут в: 5=2жы/со$ в. Для неповного витка заметь кута 2п буде поточне значения, тобто кут а, а зашсть и - радус Я обмежуючого цил1ндра. Отже, вираз довжини шляху запишеться: 5=Яа/со$в. Послдовним диференцтованням цього виразу знайдемо швидк1сть V { прискорення а частинки, маючи на уваз1, що а=аф:
При рус частинки по гвинтовш лшп виникае додаткова сила тертя внаслщок ковзання частинки по внутршнш поверхш обмежуючого цил1ндра. I! величина визначаеться !з виразу де ^ -
коефщент тертя частинки при ковзанш !! по поверхш цил1ндра; ЫЯ - сила реакцп цил1ндра, яка спрямована перпендикулярно до його поверхш, тобто до оа цил1ндра (рис. 6,а). Вона р1вна по величин! вщцентровш сил! Ес, яка спрямована в протилежну сторону. Вщцентрова сила виникае при рус! частинки по криволшшнш траекторп ! !! величина залежить вщ швидкост! руху V частинки та кривини к траекторп: Fc=mV2k■ Кривина гвинтово! лшп е сталою. I! можна знайти за вщомою формулою: к=(со^в)/Я. П!дставимо вираз швидкост! V !з (16) ! вираз кривини к ! п!сля спрощень отримаемо величину вщцентрово! сили: Fc=mRа'2. Таким чином, величина сили тертя частинки при !! ковзанш по поверхш цил!ндра запишеться: Е^т/ЯЯа'2. П!дставимо у рiвияния (15) вираз прискорення !з (16) ! додаткову силу тертя FfЯ=mfЯRа', шсля скорочення на масу т частинки отримаемо диференщальне р!вняння !! руху вздовж гвинтово! лшп:
та = т^ Бт ¡5 — jmg соб ¡5.
(15)
(16)
а" = g COS Р (sin р- f cos 0)- fRa'2 cos p. (17)
R
Диференцiальне piBHHHHH (17) мае аналггичний розв'язок. Проте i без його розв'язку ми можемо зробити деяш важливi висновки на основi його яшсного аналiзу. Якщо припустити, що 6i4Ha поверхня обмежуючого цилiндра абсолютно гладенька, тобто fR=0, то права частина piBrnnnrn (17) буде сталою величиною. Це означае, що рух частинки буде або рiвноприскореним (при в>в/), або рiвносповiльненим (при в<в/). Якщо кут в буде рiвний кутовi тертя в/, то вираз у круглих дужках буде рiвний нулевi i ми отримаемо а"=0, тобто a'=m-const. Це означае, що частинка буде рухатися i3 сталою кутовою швидшстю обертання т, звiдки можна знайти i лiнiйну швидк1сть iз (16), яка теж буде сталою. Величина ще! швидкостi буде рiвна початковш, включаючи i V=0. Якщо в=в/, але/кф0, то частинка буде гальмуватися внаслщок дп сили тертя частинки по поверхт цилщдра. В загальному випадку, коли в>в/ i /вФ0 може виникнути ситуащя, коли рушiйна сила i сила тертя зрiвноважаться мiж собою i кутова швидк1сть обертання частинки стане сталою. Тодi а"=0, i ми з рiвняння (17) знаходимо величину кутово! швидкостi обертання частинки:
°=а (sin 0-f cos p).
(18)
Якщо частинка попадае на поверхню гвинтового коно!да i починае розганятися (при умов^ що обмежуючий цилiндр вибраний такого радiуса,що частинка не попаде в зону гальмування), то при зитсненш iз шорсткою поверхнею цилiндра !! рух iз часом стабiлiзуеться i швидшсть стае сталою. Для описання перехiдного процесу знаходимо розв'язок диференщального рiвняння (17):
1
fR COs 0
-ln
cosh
(sin p- f cos p) (Rc -1 cos p)
(19)
де с - постшна штегрування. Щоб знайти !! вираз, диференщюемо (19):
(о = a = —
' = -Jф- (sin р- f cos р) tanh ,JfRg (sin p- f cos 0) (Rc -1 cos 0)
(20)
Нехай при t=0 значення початково! кутово! швидкосп обертання а' частинки буде а'=т0. Поставивши цi значення у (20), розв'язуемо рiвняння вiдносно с i отримуемо:
1
(
^RfRg(sin p- f cos p)
Arc tanh
fRR
g(sin p- f cos p)
(21)
0
Якщо початкова швидшсть обертання частинки ю0=0, то с=0.
Розглянемо приклади. Нехай коно!д при Ь=0,5 i /=/к=0,3 обмежено цилiндром Я=1,2 м (ранiше ми знайшли, що Я<1,67 м). Початкова кутова швидшсть опускання частинки ю0=0, початкова точка опускання - на вщсташ 1,2 м вiд оа коно!да (на спiльнiй гвинтовiй лшп перетину цилiндра i коно!да). Знайти закономiрнiсть опускання частинки в залежносп вiд часу /.
Побудуемо за формулою (20) графж змiни кутово! швидкосп обертання частинки. Осшльки ю0=0, то i с=0. За формулою (14) знаходимо величину кута в- в=0,395 рад ф=22,60). За вщомими конструктивними та технологiчними параметрами будуемо графiк ю=ю({), який зображено на рис. 7,а. Як видно iз нього, частинка спочатку розганяеться, а попм !! кутова швидшсть ю зменшуеться, наближаючись до стало! величини. Пiсля 5 с руху вона становить приблизно 1,7 с'1. Штриховою лшею показано цю ж саму залежшсть при /я=0,2. За формулою (18) знаходимо точне значення кутово! швидкосп обертання частинки тсля стабшзаци руху: ю=1,71 с'1 (при/е=0,2 ю=2,1 с1).
Рис. 7. Графики змши кшематичних параметрiв иуху частинки в залежност вiд часу Р. а) кутовоТ швидкостi обертання; б) висоти опускання
За останшм рiвияниям (1) 2=Ьа можемо знайти висоту, на яку опускаеться частинка за час / постановкою в нього залежносп (19). На рис. 7,б побудовано графш залежносп 2=2(1), 1з якого видно, що частинка за 5 с (на момент стабшзаци руху) опускаеться на висоту 3 м (при ^=0,2 - на 3,45 м )■ В пращ [8] сказано, що з метою запоб1гання надшрного подр1бнення вантажу при спуску його швидшсть в шнщ не рекомендуеться приймати бшьшою 2... 2,5 м/с. За першою формулою (16) знаходимо: V=Яm/cos в=1,21, 71/соа'0,395=2,22 м/с (при^=0,2 - 2,73 м/с). Таким чином, для f=fЯ=0,3 конструкщя гвинтового спуску е прийнятною, а для f=0,3 [ 0,2 - ш Збшьшенням рад1уса обмежуючого цил1ндра можна зменшувати величину максимально! швидкосп тсля стабшзаци руху частинки 1 навпаки. Це можна робити також змшою гвинтового параметра Ь, при збшьшенш якого зростае кут тдйому гвинтових лшш коно!да. В зв'язку 1з цим потр1бно зменшувати рад1ус обмежуючого цил1ндра, щоб швидк1сть руху частинки тсля стабшзаци не перевищувала задану межу. Однак при цьому сл1д мати на уваз1, що розм1р обмежуючого цил1ндра повинен бути достатшм для розмщення вантажу. Кр1м того, при достатньому ращуа Я вантаж можна запускати поближче до оа коно!да. В такому випадку вш швидше розганятиметься на поверхш коно!да 1 тсля зустр1ч1 1з цил1ндром почнеться стабшзащя його руху. Розглянемо рух частинки, коли вона починае свш спуск не б1ля обмежуючого цил1ндра, а на вщсташ 0,7 м в1д не!. Задавши цю початкову умову, чисельним штегруванням знаходимо залежшсть и=и1з рис. 8,а видно, що через 1,05 с вщстань и=1,2 м,
1.2 1.1 1
0.9 0.3 0.7
а б
Рис. 8. Графiчнi шюстрацп до руху частинки, яка починае ковзати по поверхш коноТда
на ввдсташ 0,7м вщ його оск а) графи* залежностi и=и($; б) траекторiя руху на виглядi зверху
тобто частинка при руа по поверхш коно!да за цей час досягае цил1ндричного кожуха. На рис. 8,б показано !! траекторш руху (вигляд зверху).
На рис. 9 побудоваш граф1ки залежностей 2=2{ а'=а'(^) протягом часу 1=0. 1,05 с. З них видно, що до зустр1ч1 1з цил1ндричним кожухом частинка опускаеться на 0,7 м { 1! кутова швидшсть на цей момент становить а'=т~1,5 с'1. Подальший рух частинки вщбуваеться за р1внянням (19), у якому стала с визначаеться 1з (21) при т0=1,5 с-1.
1.5
0.5
, ■1
а, с /
t с
0.2 0.4 0.6 0.8 б
Рис. 9. Графики кшематичних характеристик руху частинки по поверхш коноТда до зустрiчi i3 цилiндричним кожухом: а) график залежностi z=z(t); б) графш залежностi a'=a'(t)
Коли частинка розпочинала свш рух на вiдстанi 1,2 м ввд oci коно1да, тобто при початковому контакт i3 цилiндричним кожухом, то за час t=5 c вона опустилася на висоту 3 м (рис. 7,б). Знайдемо час спуску частинки на цю ж висоту при початку li руху на вiдстанi 0,7 м ввд осi коно1да. Оск1льки за 1,05 с вона вже опустилася на 0,7м (рис. 9,а), то потрiбно знайти час li спуску тсля контакту i3 обмежуючим цилiндром на висоту 2,3 м.
На момент зустрiчi i3 кожухом кутова швидк1сть обертання частинки т0=1,5 с1. За формулою (21) знаходимо: с=-2,2. За рiвнянням (20) будуемо графш змiни кутово! швидкосп протягом 3 с (рис. 10,а). За цей час вона зростае ввд 1,5 с'1 до свого максимального значения, тсля чого швидшсть частинки стабшзуеться (V=2,22 м/с). За формулою z=ba, де залежшсть a=a(t) визначаеться iз (19), знаходимо початкове значення z при t=0: z0=1,31 м. На рис. 10,б побудовано графш залежиостi z=ba-z0, у якому вщлш висоти опускання частинки починаеться iз нуля. 1з графiка визначаемо час опускання частинки на висоту 2,3 м: t=2,8 c.
Таким чином, сумарний час опускання частинки на висоту 3 м при початку li руху на вщсташ 0,7 м ввд оа коно!да становить 1,05+2,8=3,85 с. Отже, за рахунок бiльш iнтенсивного розгону по поверхнi коно!да на початковому етат частинка опускаеться на 1,15 с рашше, нiж при опусканш по гвинтовiй лшп iз одночасним li ковзанням по поверхнi коно!да i цилiндричного кожуха.
1.7
1.65
1.6
1.55
1.5
/ -1
а, с
t.c
а
б
а
Рис. 10. Графики кiнематичних характеристик руху частинки шсля зустрiчi
iз цилшдричним кожухом: а) графи* залежностi а'=а'(1)\ б) графи* залежностi
Висновки
Рух частинки по поверхш гвинтового коно!да пвд дieю сили власно! ваги можливий на обмеженiй його дмнш. Для початку руху кут найбшьшого нахилу поверхнi в точц знаходження частинки повинен бути бшьший вiд кута тертя. Пiд час руху частинка тд дieю вщцентрово! сили вiддаляeться вiд осi коно!да. Чисельне iнтегрування диференцiальних рiвнянь руху показуе, що з часом
вона зупиняеться. Це пояснюеться тим, що частинка попадае в зону з недостатшм кутом нахилу i подальший рух стае неможливим. Щоб не вщбулося зупинки, поверхню коно!да потрiбно обмежувати спiввiсним вертикальним цилiндром. У цьому випадку частинка рухаеться по гвинтовш лшп i ковзае одночасно по двох поверхнях: коно!да i цилiндра. Диференцiальне рiвняння руху мае аналиичний розв'язок, який показуе, що з часом вщбуваеться стабiлiзацiя руху i частинка рухаеться iз сталою швидшстю. Зменшення коефiцiента тертя частинки по цилiндру приводить до збiльшення швидкосп !! руху пiсля стабiлiзацi!. При абсолютно гладенький поверхнi обмежуючого цилiндра частинка буде рухатися рiвноприскорено. Отримаш залежностi дають можливiсть розрахувати конструкцш гвинтового спуску за заданою максимальною швидшстю руху вантажу, прийнятого за частинку.
Список використанот лiтератури
1. Черненко В.Д. Расчет средств непрерывного транспорта / В.Д. Черненко - СПб: Политехника, 2011. - 386 с.
2. Аникин М.Ф. Винтовые сепараторы для обогащения руд / М.Ф. Аникин, В.Д. Иванов, Л.М. Певзнер. - М.: Недра, 1970. - 184 с.
3. Василенко П.М. Теория движения частицы по шероховатым поверхностям сельскохозяйственных машин / П.М. Василенко. - К.: УАСХН, 1960. -283 с.
4. Заика П.М. Избранные задачи земледельческой мехашки / П.М. Заика. - К.: Изд-во УСХА, 1992. -507 с.
5. Сысоев Н.И. Теоретические основы и расчет сортировки "Змейка" / Н.И. Сысоев // Сельхозмашина. -№ 8, 1949. - С.5 - 8.
6. Войтюк Д.Г. Знаходження траекторп руху матерiально! точки по грави'ацшнш розгортнш поверхш на приклащ розгортного гелжо!да / Д.Г. Войтюк, С.Ф. Пилипака // Мехашзащя i енергетика сшьського господарства. IV М1жнародна науково-техшчна конференщя МОТЯОЬ-2003. - К.: НАУ, 2003. -Том 6. -С. 113 - 126.
7. Войтюк Д.Г. Дослщження руху матерiально! частинки по поверхш косого гелжо!да тд дiею сили власно! ваги / Д.Г. Войтюк, М.К. Лшник, С.Ф. Пилипака // Техшка АПК. - 2006. - № 12. - С 17 - 22.
8. Галкин В.И. Транспортные машины / В.И. Галкин, Е.Е.Шешко. - М.: «Горная книга», МГГУ, 2010. - 588 с.
