CC BY
16
УДК 621.833
ю.е. мешков
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ПОБУДОВА ОГИНАЮЧО1 ПОВЕРХН1 КУЛАЧКА МЕТОДОМ ГВИНТОВОГО
ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНОГО КОМПЛЕКСУ
Визначення огинаючо'1 noeepxui при заданш поверхт, що огинаеться, та i'x eidnocnoMy pyci ланок може бути визначена дуже eidoMUMU в теперштй час методами диференцiальнoi геометрп. Будь-який вiднocний рух двох ланок, od яких не паралельт i не перетинаються в прocтoрi, представляеться миттевим гвинтовим рухом, що складаеться з обертання навколо миттевoi od i поступально1 ходи уздовж цiеi od з вiднocнoю швидюстю. На ocнoвi цього, автором отримано рiвняння профтю кулачка при обробц тструментом з використанням методу гвинтового диференщального комплексу.
Ключoвi слова: огинаюча поверхня, гвинтовий рух, поступальний рух, рiвняння зачеплення, гвинтовий диферен^альний комплекс.
ю.е. мешков
Херсонский национальный технический университет
ПОСТРОЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ КУЛАЧКА МЕТОДОМ ВИНТОВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА
Определение огибающей поверхности при заданной огибаемой поверхности и их относительном движении звеньев может быть решено хорошо известными в настоящее время методами дифференциальной геометрии. Любое относительное движение двух звеньев, оси которых непараллельные и не пересекаются в пространстве, представляется мгновенным винтовым движением, которое состоит из вращения вокруг мгновенной оси и поступательного хода вдоль этой оси с относительной скоростью. На основе этого, автором получено уравнение профиля кулачка при обработке инструментом с использованием метода винтового дифференциального комплекса.
Ключевые слова: огибающая поверхность, винтовое движение, поступательное движение, уравнение зацепления, винтовой дифференциальный комплекс.
Yu.Ye.MIESHKOV
Kherson national technical university
CONSTRUCTION OF THE ENVELOPE SURFACE OF THE CAM BY A HELICAL DIFFERENTIAL COMPLEX METHOD
The definition of the envelope surface for a given bending surface and their relative motion of the links can be solved by methods of differential geometry that are well known at the present time. Any relative motion of two links whose axes are not parallel and do not intersect in space is represented by an instantaneous helical motion, which consists of a rotation about the instantaneous axis and a translational motion along this axis with relative velocity. On the basis of this, the author obtained the cam profile equation for tool processing using the helical differential complex method.
Keywords: envelope surface, helical motion, forward motion, equation of hooking, helical differential
complex.
Постановка проблеми
Визначення огинаючо! поверхш при заданш поверхш, що огинаеться, i i'x вщносному руа ланок може бути виршене добре вщомими ниш методами диференщально! геометрп. Кшематична штерпретащя теореми зачеплення, стверджуе, що вщносна швидшсть ковзання ланок повинна лежати в загальнш дотичнш площини контактуючих поверхонь, що запропонована i впроваджена в практику розрахунку зубчастих зачеплень Ф.Л. Литвшим [1], всюди використовуеться для побудови зв'язаних профшв.
Формулювання мети дослвджень
Метою дослщження е отримання аналгтичного рiвняння огинаючо! поверхш кулачка при обробщ шструментом через рiвняння зачеплень, отриманих на основi методу гвинтового диференщального комплексу.
Аналiз останшх дослвджень i публiкацiй
Рiшення задачi побудови огинаючо! noBepxHi наведено в робот Х.И. Гохмана [2], у якш використовуеться в неявному видi гвинт вщносного руху. Кiнематична теорiя гвинта вщносного руху використана також Н.И. Колчиним [3, 4] стосовно плоских i просторових зачеплень.
Сутнiсть методу, запропонованого Н.И. Колчиним, зводиться до того, що будь -який вщносний рух двох ланок, осi яких не паралельш i не перетинаються в просторi, представляеться миттевим гвинтовим рухом, що складаеться з обертання навколо миттево! осi i поступально! ходи уздовж ше! осi з вщносною швидк1стю.
Умовою сполучення поверхонь двох ланок е зггкнення несшнченно малого елементу початково! виробляючо! поверхш i диференцiального елементу миттево! гвинтово! лшп вiдносного руху. 1накше кажучи, з неск1нченно1 безлiчi точок поверхш, що виробляе, в якостi контактних точок треба вщбрати тiльки п, в яких ця поверхня торкаеться миттево! гвинтово! лшп. Умова контакту, тобто торкання цих елеменпв, е рiвнянням зачеплення.
Розрахунок координат поверхш кулачка, що утворюеться при обробш iнструментом (фрезою), е особливим випадком завдання зачеплення. Рiшення цiе! задачi полягае в знаходженнi контактних лшш на поверхнi iнструменту (ролика або фрези), яш потiм переписуються в систему координат, пов'язану з кулачком.
Отримане рiвняння сiмейства контактних лiнiй i е шуканим рiвнянням поверхнi кулачка. При цьому слщ зауважити, що власне обертання шструменту (пальцьово! фрези) е рухом рiзання i не позначаеться на формi утворення поверхш кулачка. Тому, при знаходженш контактно! лшп рух шструменту, що пов'язаний з процесом рiзання, не враховуеться.
Виклад основного матерiалу досл1дження
Схема кулачкового мехашзму з роликовим штовхачем представлена на рис. 1.
Закон руху штовхача вважаеться заданим. Вщомими е також конструктивнi розмiри кулачка, так як: r0 - радус початково! шайби; e - ексцентриситет кулачка. На рисунку також представлен системи координат S0, Sj, S2, що мають початок в точках О1 i О2.
Система S1(x1, y1, z1) пов'язана з роликом штовхача (шструментом), вiсь OiZj спрямована уздовж осi ролика. Система S0(x0, y0, z0) - нерухома, вюь O2z0 спiвпадае з вiссю кулачка. Система S2(x2, y2, z2) пов'язана з кулачком, вюь 02z2 сшвпадае з вiссю обертання кулачка (на рисунку оа, що спрямованi перпендикулярно площини креслення, не вказанi).
Кут повороту кулачка - ф2, осьове змщення початку системи координат S1 вiдносно системи S0 позначене через е (ексцентриситет), r0 i rp - вiдповiдно радiуси початково! шайби кулачка i ролика. Вертикальне змщення системи S1 вiдносно нерухомо! системи задано функшею положення штовхача S^2)+S0=n^2).
Рiвняння виробляючо! поверхнi, зображено! на рис. 1, мае вид:
У1 = ~rP
(1)
П
Рис. 1. Кулачковий мехашзм з роликовим штовхачем
Y<1. ,
Y(01 u
w
Oi X(1)
J k ^X(2) '
П(ф2) y(2)WX ли
1 r f > П ^
О0 O2 v-""" / w
N- ro
(0)
Рис. 2. Кулачок з плоским штовхачем, що рухаеться поступально
z = —u
х
r__ ■ sin v
p
де u, v - незaлежнi пapaметpи виpoбляючoï пoвеpxнi iнстpyментy, для плoскoгo кyлaчкa пpиймемo u=0; rp - paдiyс poликa-iнстpyментy.
Пpи цьoмy пoмiтимo, щo пapaметp v вiдпoвiдae пoтoчнoмy куту тиску в кyлaчкoвoмy меxaнiзмi (v — [v], де [v] - дoпyстиме знaчення кyтa тиску).
Пеpеxiд ввд системи кoopдинaт S1 дo системи S2 зaпишемo у виглядi мaтpичнoгo дoбyткy:
r ^ = H21r « = H2^01r W,
(2)
де r(2) i r(1) - мaтpицi-стoвпчики вектopiв кoopдинaт oднieï i rieï ж тoчки в системax кoopдинaт S2 i S1; H20 i H01 - вiдпoвiднo квaдpaтнi мaтpицi пеpеxoдy вiд систем S0 дoS2i вiд S1 дoS0,
H20-
А20(ф2) r(2)Ï H01-
Ат(ф2) r 0
(0)\
1
Тут: A2q(ф2) i A 1(ф2) - ^a^arai мaтpицi poзмipнiстю 3 x 3, щo вiдoбpaжaють пoвopoт систем
кoopдинaт, вiдпoвiднo S0 вiднoснo S2 i S1 вiднoснo S0, r0(2) i r0(0) - мaтpицi-стoвпчики кoopдинaт тoчoк О
i О1 в системax кoopдинaт S2 i S0.
Пеpемнoжyючи мaтpицi пеpеxoдy, oтpимaeмo мaтpицю пеpетвopення кoopдинaт вiд системи S1 дo системи S2 :
H21-
А21(ф2) r0(2) 1
Звopoтнa мaтpиця пеpеxoдy H21- -H12 вiд S2 дo S1 дopiвнюe
H12-
( ЛТ
АТф) — A^)^
0
1
Витонуючи пpяме i звopoтне пеpетвopення кoopдинaт, зaпишемo кoopдинaти пoвеpxнi кyлaчкa вiдпoвiднo в системax S2 i S1.
х2 = х ' cos ф2+ y ■ sin ф2 + e ■ cos ф2 + П sin ф2 y2 =— х ' sin^ + y ■ cos^ — e ■ sin^ + П cos^;
(З)
х = х2 ■ cos ф2 — y2 ■ sin ф — e ; y = х ' sin ф2+ y2 ■ cos ф2 — П,
(4)
Шрб oтpимaти piвняння зaчеплення, пpoдифеpенцiюeмo виpaз (4) ш пapaметpy ф2 пpи пoстiйниx кoopдинaтax x2, y2-const.
Зaмiнюючи пpи цьoмy пpoекцiï елементapниx пеpемiщень ïx вщшсними знaченнями, oтpимaeмo:
Схг = drl2 = (—х2 ■ sin^ — y2 ■ cos^)dф2,
dy = dy2 = (х2 ■ cos ф2 — y2 ' sin ф2 — П')йф2, п ' = СП
dф2
(5)
Шдсгавляючи в oстaннiй виpaз (3) i витонуючи неoбxiднi пеpетвopення, oтpимaeмo:
Сккп = (—y — П^ф2, dy12 = (х + е — П ' )йф2.
(б)
0
1
0
1
Продиференцшвавши píbhhhhh виробляючо! поверхш (1), по параметру v, отримаемо píbhhhhh проекцiй елементарних перемщень dx1 i dy1 контактно! точки по виробляючш noBepxHi:
cos vdy - sin aXj = 0, (7)
де dxi i dyi - проекцi! елементарних перемщень контактно! точки по виробляючш поверхш
Замшимо в останньому виразi диференшали елементарних перемiщень dxi, dyi пропорцшними !м значениями вiдносних елементарних перемщень dxi2, dyi2 з (6). Попм, виражаючи рiвняння виробляючо! поверхш (1), через параметр v, отримаемо рiвияния зачепления у виглядi:
П sin v + (e - П )cosv = 0 (8)
або
tgv = , v < [v]- (9)
Отримане рiвняння зачепления виражае зв'язок параметрiв v i ф2, оск1льки П=П(ф2). Це рiвняння спiльне з рiвияниям виробляючо! поверхш (1), е рiвнянням контактних лшш
Профiль кулачка може бути отриманий, якщо до рiвияния виробляючо! поверхш, записано! в системi кулачка S2, додати рiвияния зачепления. Розв'язуючи спiльно систему рiвиянь, отримаемо координати профiлю кулачка в системi самого кулачка. Перепишемо для цього рiвняння виробляючо! поверхнi (1), в систему S2, скориставшись формулами переходу (3). Шсля нескладних перетворень матимемо:
х2 = rp sin(v-ф2) + e■ cosф2 + Пsinф2 , у = -r cos(v - ф) -e ■ sin ф + Пcos ф • (i0)
Задаючи значения параметра ф2, знаходимо П=П(ф2) i v, пiсля чого визначаемо координати поверхш профiлю кулачка.
Координати теоретичного профiлю кулачка (центру ролика) отримаемо, якщо у виразi (10) покласти rp=0:
хТг = e ■ cos ф + П sin ф,
Т ■ т-г (i1)
у-, =-e ■ sin ф2 + П cos ф2 •
Розглянемо кулачок з плоским штовхачем, що рухаеться поступально (рис. 2). Рiвняння виробляючо! поверхш, для нього в параметричнш формi мае вигляд:
х = u,
1 u (12)
У1 = 0,
де u - параметр поверхнi.
Координати поверхш кулачка в системi S2, пов'язанiй з самим кулачком, запишемо у виглядi:
X = х ■ cos ф + у ■ sin ф + П sin ф, у = -X ■ sin ф + у ■ cos ф + Пcos ф,
Користуючись матрицею зворотного перетворения H12, перепишемо поверхню кулачка в систему S1, пов'язану з штовхачем (шструментом):
X = X2 ■ cos ф2 - У2 ■ sin ф2 , у = х ■ sin ф + у ■ cos ф - а .
Продиференцшемо (14) по параметру ф2, при постшних значениях x2,y2, отримаемо:
dxl = dxu = (— x2 • sin < — y2 • cos ср2 )d<2, dVi = dyX2 = (x2 • cos< — y2 • sin< — П'•
Пiдставляючи x2, >"2 з виразу (13), отримаемо pÍBHaHHa гвинтового диференцiального комплексу у
виглядi:
dxi2 =-(У1 + n)d<2,
dyn = X — П' •
У даному випадку dx12 i d>12 е проекцiями вщносного перемiщення поверхнi кулачка на оа координат виробляючо! S1 .
Враховуючи, що >1 = 0, отримаемо
dxl2 = —П • d<,
dy12 =(x¡ — П! ^)d<2 = (u — П')d<, (\1)
або
u = x = П' •
Останне рiвняння е рiвнянням зачеплення. Переписуючи координати контактно! точки в систему кулачка, отримаемо координати його профшю:
X = П' • cos < + П • sin <,
2 п< ■ гг (18)
y2 = —п • sin < +п • cos < •
Висновки
У ходi дослщжень було отримано аналiтичне рiвняння огинаючо! поверхнi кулачка при обробцi шструментом через рiвняння зачеплень на основi методу гвинтового диференцiального комплексу. Даний метод полягае у представленш руху миттевим гвинтовим рухом, що складаеться з обертання навколо миттево! оа i поступально! ходи уздовж ще! осi з вiдносною швидкiстю. Користуючись аналогiчною методикою, е можливiсть розрахувати координати профiлю кулачкiв з роликовим штовхачем, що коливаеться, i з плоским штовхачем.
Список використаноТ лiтератури
1. Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. - М.: Физматгиз, 1968.
2. Гохман Х.И. Теория зацепления, обобщенная и развитая путём анализа. - Одесса,1886.
3. Колчин Н.И. Аналитический расчёт плоских и пространственных зацеплений. - М.: Машгиз, 1949.
4. Колчин Н.И. Метод винтового комплекса в теории пространственных зацеплений. Труды третьего совещания по основным проблемам ТММ. Теория передач в машинах. - М.: Машгиз, 1963.
5. Колчин Н.И. Об осях зацепления в пространственных зацеплениях. Труды ЛПИ. №4. - Л.: Машиностроение, 1951.
6. Елисеев В.В., Евграфов А.Н., Семёнов Ю.А. Метод огибания в теории зацепления. // Теория механизмов и машин. 2004. №1 (3). Том 2. С.42-50.
