Аналітичний опис ізотропних ліній на поверхні уявного катеноїда та конструювання мінімальних поверхонь Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ

УДК 514.18

С.Ф. ПИЛИПАКА, М.М. МУКВИЧ

Нацюнальний ушверситет 6iopecypciB i природокористування Укра1ни

АНАЛ1ТИЧНИЙ ОПИС 1ЗОТРОПНИХ Л1Н1Й НА ПОВЕРХН1 УЯВНОГО КАТЕНО1ДА ТА КОНСТРУЮВАННЯ М1Н1МАЛЬНИХ ПОВЕРХОНЬ

Здшснено аналтичний опис мттальних поверхонь за допомогою iзотропних лнй, як лежать на noeepxHi уявного катено'1'да, утвореного при обертанш ланцюгово'1' лтп на кут i3 комплексною величиною. Знайдено параметричш рiвняння уявного катено'1'да, вiднесеного до ¿зометрично'1' стки координатних лтш. Параметричш рiвняння амей iзотроnниx лтш отримано i3 умови рiвностi нулю лттного елемента уявного катено'1'да. Аналiтичний опис мiнiмальниx поверхонь здтснено у комплексному просторi з iзотропними лiнiями стки переносу.

Ключовi слова: мiнiмальна поверхня, iзотропна лШя, катено'1'д, iзометрична стка координатних лтт, середня кривина поверxнi.

С.Ф. ПИЛИПАКА, Н.Н. МУКВИЧ

Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОТРОПНЫХ ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ МНИМОГО КАТЕНОИДА И КОНСТРУИРОВАНИЕ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Осуществлено аналитическое описание минимальных поверхностей с помощью изотропных линий, лежащих на поверхности мнимого катеноида, образованного при вращении цепной линии на угол комплексной величины. Приведены параметрические уравнения мнимого катеноида с изометрической сетью координатных линий. Параметрические уравнения семейств изотропных линий определены из условия равенства нулю линейного элемента мнимого катеноида. Аналитическое описание минимальных поверхностей осуществляется в комплексном пространстве с изотропными линиями сети переноса.

Ключевые слова: минимальная поверхность, изотропная линия, катеноид, изометрическая сеть координатных линий, средняя кривизна поверхности.

S.F. PYLYPAKA, M.M. MUKVICH

National University of Life and Environmental Sciences of Ukraine

ANALYTICAL DESCRIPTION OF ISOTROPIC LINES ON THE SURFACE OF THE IMAGINARY CATENOID AND CONSTRUCTION OF MINIMAL SURFACES

With the development of CAD systems in the design of surfaces of technical forms and architectural designs, use the surface compartments that are given analytically and have the required geometric properties. Geometric models, described by minimal surfaces, have the benefits of practical content. The tension at each point of the minimal surface is a constant value, so the geometric shape of the minimal surface provides uniform distribution of forces in the shell and additional rigidity. The condition for equality of the value of the mean curvature of the minimum surface at all its points is a necessary condition for the minimum area of the compartment of a surface limited by a plane or a spatial curve (contour) on this surface. Finding an analytic description of the minimal surface passing through a closed line reduces to solving the nonlinear differential Euler-Lagrange equation in partial derivatives, which in the general case is not integrated. The works of K. Weierstrass, Lie, Riemann, Schwarz, and others resulted, in the wide use of methods and results of complex function theory in the theory of minimal surfaces.

Aim of research. Find the parametric equations of the imaginary catenoid, assigned to the isometric (or isothermal) grid of imaginary coordinate lines. Determine the analytical description of isotropic lines on the surface of the imaginary catenoid. To find the analytical description of minimal surfaces using these isotropic lines.

Materials and methods of research. Analytical description of minimal surfaces were made in complex space with isotropic lines of grid transfer.

Results of the research and discussion. The analytical description of the minimal surfaces with the help of isotropic lines, which lie on the surface of the imaginary catenoid formed during the rotation of the chain line at an angle with a complex value, is carried out. The parametric equations of the imaginary catenoid, which are assigned to the isometric grid of coordinate lines, are found. Parametric equations offamilies of isotropic lines are obtained from the condition of zero equality of the linear element of the imaginary catenoid.

Conclusions and prospects. On the surface of the imaginary catenoid, assigned to the isometric grid of coordinate lines, for each value it is possible to construct four families of isotropic lines. Each isotropic line can be

ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ

fitted with a minimum surface and a adjoint minimal surface. The resulting minimal surfaces and the adjoint minimal surfaces have common metric properties and common properties of the surface curvature. Prospects for future research is to study the differential characteristics of minimal surfaces and optimization of engineering methods of technical surfaces forms design.

Keywords: minimal surface, isotropic line, cycloid, isometric grid of the coordinate lines, mean curvature of a surface.

Постановка проблеми

Мшмальш поверхш, середня кривина H у вах точках яких дорiвнюe нулю, використовуються при проектуванш поверхонь технчних форм та архггектурних конструкцш. Оболонки мiнiмальних поверхонь можуть перекривати складш архiтектурнi плани без утворення розривiв геометри [1, С. 153]. Рiвнiсть нулевi величини H середньо! кривини мшмально! поверхнi е необхщною умовою мiнiмальностi площi вiдсiку поверхш, обмеженого плоскою або просторовою кривою (контуром). Три-перюдичш мiнiмальнi поверхнi використовуються при створенш фiльтрувальних матерiалiв [2]. Вивчаеться можливють використання три-перюдичних мiнiмальних поверхневих структур для синтезу будiвельних матерiалiв, як1 характеризуються оптимiзованими фiзичними властивостями [3]. При створенш сучасних структурованих упаковочних матерiалiв використовують мшмальш поверхнi у ролi рiвноважних поверхонь, як1 ввдповвдають максимально можливш ефективностi тепло-масо-переносу упаковки [4].

Знаходження аналiтичного опису мшмально! поверхнi, яка проходить через просторову криву (контур), що обмежуе найменшу площу ввдсшу поверхнi, приводить до розв'язування нелшшного диференцiального рiвняння Ейлера-Лагранжа у частинних похщних, яке у загальному випадку не iнтегруеться [5, С. 685]. При створенш геометричних моделей на основi мiнiмальних поверхонь важливим е спрощення !х аналiтичного опису. Проблема знаходження параметричних рiвнянь мiнiмальних поверхонь, починаючи з робiт К. Вейерштрасса, С. Лi, Б. Рiмана, Г. Шварца розв'язуеться за допомогою методiв функцш комплексно! змшно! [5, С. 686].

Анатз останшх дослiджень i публiкацiй

Для знаходження аналiтичного опису мшмальних поверхонь за допомогою функцш комплексно! змшно! необхiдно знайти параметричш рiвняння iзотропних лiнiй нульово! довжини [6, С. 144]. Моделювання iзотропно! криво! на основi рiвняння фундаментального сплайна здшснено у роботi [7]. Ряд робгт [8, 9] авторiв дано! статтi присвячено реалiзацi! методу аналп'ичного опису iзотропних лiнiй, яш лежать на поверхнях обертання, вщнесених до iзометрично! (або iзотермiчно!) атки координатних лiнiй. Зокрема, у статп [8] знайдено параметричнi рiвняння iзотропних лiнiй, як1 лежать на поверхш катено!да, та побудовано мiнiмальнi поверхш на !х основi. Тому потребуе дослiдження можливiсть знаходження параметричних рiвнянь iзотропних лiнiй на поверхнi уявного катено!да, утвореного при обертаннi ланцюгово! лiнi! на кут iз комплексною величиною.

Мета дослвдження

Знайти параметричш рiвняння уявного катено!да, вiднесеного до iзометрично! (або iзотермiчно!) сiтки уявних координатних лшш. Визначити анал1тичний опис iзотропних лiнiй на поверхнi уявного катено!да. На основi вказаних iзотропних лiнiй побудувати мiнiмальнi та приеднаш мiнiмальнi поверхнi.

Викладення основного MaTepi^y дослiдження

Розглянемо уявну поверхню катено!да, утворену при обертаннi ланцюгово! лшп, задано!

параметричними рiвняннями: р(т) = М'ch — I; yT) = т (де М — параметр ланцюгово! лшп), на деякий

KMJ

кут, комплексна величина якого дорiвнюе: (a+fli)' w, де а,ве R; w е [0; 2п); i — уявна одиниця. Параметричнi рiвняння уявно! поверхш катено!да е функц1ями комплексно! змшно! i мають вигляд:

X (т; w) = Mch — ' cos[(a+ei)' w] Y (т; w) = Mch — ' sin[(a+ei)' w] Z (т; w) = T. (1)

vMy

vMy

У роботi [9] авторiв статгi наведено алгоритм ввдшукання параметричних рiвнянь меридiана поверхнi обертання, при якому поверхня буде ввднесена до уявно! iзометричноi сiтки координатних лшш. Перехщ ввд ортогонально! до iзометричноi сiтки координат здiйснюeться за допомогою введения ново! змшно! t, яка пов'язана iз змшною т наступним чином [9]:

t =-±- +('К)2 ■ (2) a+вi <—)

Знайдемо умову переходу до iзометричноi сiтки координатних лшш, поставивши вирази <(т) = Ц ■ ch — ; ц/(т) = т у (2), ^ пiсля перетворень, отримаемо залежшсть:

ПЛИКЛАДНА ГЕОМЕТЛ1Я ТА ЛОМП'ЮТЕЛШ ТЕХНОЛОГИ

t = 1-\— + Ci,

(а + ßi ) ■ и

дe Ci — довшьна cтaлa iитeгрyвaиия.

Hexaй Ci = ü, тодi умову пeрexодy до iзомeтричиоï отки коордииaтииx лiиiй зaпишeмо y виглядг

т = /■(а + ßi ) ■ t.

Поставивши оcтaииiй вираз y (1), отримаемо пaрaмeтричиi рiвняння повeрxиi уявного кaтeиоïдa, вiдиeceиоï до iзомeтричиоï ciтки yявииx коордииaтииx лшш:

X(t; w) = и ■ ch[(a + ßi)t]■ cos[(a + ßi)w] Y(t; w) = / ■ch[(а + ßi)t]■ sin[(a + ßi) ■ w] Z (t; w) = /■(а + ßi ) ■ t, дe и — пaрaмeтр лaицюговоï лiиiï; t, /,b e R; w e [ü; 2n).

Лiиiйиий eлeмeит уявного кaтeноïдa (3), вiдиeceиого до iзомeтричиоï отки коордииaтииx лiиiй, мае

вигляд:

ds2 = и2 ■ (а + ßi)2 ■ [dt2 + dw2 (4)

Розклавши на множники вираз (4), отримаемо:

ds2 = и2 ■(а + ßi)2 ■ (dt — i ■ dw\dt + i ■ dw), дe i — уявна одиниця. Прирiвнюючи до нуля праву частину оcтaииьоï рiвноcтi, пicля iитeгрyвaиия отримаемо:

t = i ■w + C або t = —i ■w + C, (5)

дe C — довшьна стала шгегрування.

Лшшний eлeмeнт (4) уявного кaтeноïдa визначае довжину бyдь-якоï лiиiï, яка йому иaлeжить. Тому при шдстановщ вирaзiв (5) у пaрaмeтричиi рiвняння уявного кaтeиоïдa (3) отримаемо пaрaмeтричиi рiвияиия двоx ciмeй yявииx iзотропниx лiиiй иyльовоï довжини. Зокрeмa, при пвдстановщ виразу t = i ■w + C y рiвняння (3) для кожного знaчeння C отримаемо пaрaмeтричнi рiвияиия iзотропиоï лiиiï, яка лeжить на повeрxиi уявного кaтeноïдa:

x(w) = и ■ch[(а + ßi)(iw + C)]■ cos [(а + ßi)■ w]

y(w) = и ■ch[(а + ßi)(jw + C)]■ sin[(a + bi)■ w] z(w) = и(а + ßi) ■ ((iw + C). Для знaxоджeння рiвияиь мiиiмaльиоï та приеднaноï до иeï мiиiмaльиоï повeрxиi y рiвнянняx (б) yвeдeмо зaмiиy: w = u + i ■ v. Biдокрeмивши джну та уявну чacтииy для кожиоï з функцш (6), отримаемо рiвияиия мiиiмaльиоï повeрxнi ( C — довiльиa стала):

X(u, v)= и ■ [ cos(cxu + ß(C — v))■ cos(cxu — ßv)■ ch(«(C — v) — ßu)■ ch(ßu + ov) + +sin(o:u + ß(C — v)) ■ sin(ou — ßv )■ sh(o(C — v ) — ßu )■ sh (ßu + ov )];

Y (u, v) = и ■[ cos(ou + ß(C — v)) ■ sin(ou — ßv )■ ch(o(C — v ) — ßu )■ ch(ßu +ov )— (7)

—sin^u + ß(C — v ))■ cos(ou — ßv) ■ sh(o(C — v) — ßu )■ sh(ßu +ov )]; Z(u, v)= /■(o(C — v ) — ßu ); та приеднaноï мiиiмaльиоï повeрxиi:

X (u, v) = и ■[ sin^u + ß(C — v ))■ cos(ou — ßv )■ sh(o(C — v )—ßu )■ ch(ßu +ov ) — —cos(ou + ß(C — v ))■ sin^u — ßv) ■ ch(o(C — v ) — ßu )■ sh(ßu + ov )];

Y (u, v) = u\sin (ou + ß(C — v)) ■ sin (ou — ßv) ■ sh^C — v)—ßu )■ ch(ßu +ov)+ (S)

+cos(ou + ß(C — v ))■ cos(ou — ßv )■ ch(o(C — v) — ßu )■ sh (ßu + av )];

Z (u,v) = и ■ (au + ß(C — v));

На риа1 зобрaжeно вщаки мiиiмaльиоï та приедиaиоï повeрxоиь, побyдовaииx за рiвняннями (7) i (S) вщповвдно, при и = 2;а = i; ß = 43; C = ü; u e[— Ü,i5n;...Ü,i5n]; v e[— 0,15п;...0,15п].

Kоeфiцiеити пeршоï квaдрaтичиоï форми мiиiмaльиоï повeрxиi (7) та приедиaиоï повeрxиi (S) дорiвиюють:

E = G = (o2 +ß2) ■и2 ■ch2[Ca — 2(ßu +ov)]; F = Ü. (9)

Kоeфiцiенти L,M, N ^yroï квaдрaтичиоï форми мiиiмaльиоï повeрxиi (7) дорiвиюють:

В1СНИК ХНТУ №3(66), ТОМ 2, 2018 р. ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА

КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ

Ь = -Ы = гДа2-/?2) М = -Ьц-ар. (10)

ф * *

Коефпценти Ь ,М друго! квадратично!' форми приеднано! мнпмалыю! поверхш (8) дор1внюють:

* * л * / о «о \

ь =-Ы =4ц-ар = -М\ М =2^ -Р1)=Ь. (11)

а б

Рис. 1. Ввдсжи м1н1мальних поверхонь, побудованих за допомогою 1зотропно! лшп (6): а) ввдсш мшшально! поверхн1, побудовано! за р1вняннями (7); б) в1дс1к приеднано!' мшшально! поверхш, побудованоК за р1вняннями (8).

На рис. 2 зображено вiдсiки мiнiмальноi та приеднано! поверхонь, побудованих за рiвняннями (7) i

(8) вщюввдю, при // = 2,а = /3 = 1; С = 0; и е [- 0,15л-;. ..0,15 л-}, уе [-0,15л-;. ..0,15л-].

а б

Рис. 2. Ввдсши мшшальних поверхонь, побудованих за допомогою 1зотропно! лшп (6) при а = в = 1 :

а) ввдсш мшшально! поверхн1, побудовано! за ршняннями (7), ввднесено! до координатно! с1тки асимптотичних лшш;

б) ввдсш приеднано! м1н1мально! поверхн1, побудовано! за р1вняннями (8), в1днесено! до координатно! спки лшш кривини.

ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ

Коефщенти першо1 та друго1 квадратичних форм побудованих мшмальних поверхонь (7) та (8),

тт EN - 2-FM+GL

перетворюють вираз середньо1 кривини H =-■z- для кожно1 i3 указаних поверхонь, до

2(E-G - F 2)

нуля.

При а = ± ß коефiцieнти друго1 квадратично1 форми мшмально1 поверхнi (7) дорiвнюють

*

L = N = 0 i середнш коефiцieнт M друго1 квадратично1 форми приеднано1 мiнiмальноï поверхнi (8) теж дорiвнюe нулю. Тобто мшмальну поверхню (7) ввднесено до координатно1 сiтки асимптотичних лiнiй, а приеднану мiнiмальну поверхню (8) - до координатноï сiтки лiнiй кривини.

Вираз (4) можна розкласти на множники у виглядi:

ds2 = ^ - (а + ßi)2 - (dw - i - dt)dw + i - dt), де i — уявна одиниця. Прирiвнюючи до нуля праву частину останньоï рiвностi, шсля iнтегрування отримаемо:

w = i-t + C або w = -i-t + C, (12)

де C — довшьна стала штегрування. Тодi з аналопчних мiркувань можна знайти аналiтичний опис двох амей iзотропних лiнiй та вадповадних мiнiмальних поверхонь, як1 мають спiльнi метричнi властивостi та властивосп кривини iз мiнiмальними поверхнями (7), (8). Аналопчний результат отримаемо при утворенш мiнiмальних поверхонь, використовуючи рiвнiсть t = -i -w + C для аналогичного опису сiм'ï' iзотропних лiнiй.

Слад зазначити, що мшмальна поверхня (7) та приеднана мшмальна поверхня (8), маючи рiвнi вшповвдш коефiцiенти першо'' квадратично'' форми, допускають неперервне згинання одна на одну.

Висновки

На поверхнi уявного катено'да, вiднесеного до iзометричноï сiтки координатних лшш, для кожного значения C можна побудувати чотири сiм'ï iзотропних лiнiй, i кожнiй лiнiï поставити у ввдповшшсть мiнiмальну поверхню та приеднану до неï мiнiмальну поверхню. Утвореш мiнiмальнi поверхнi та приеднаш мiнiмальнi поверхнi мають спiльнi метричш властивостi та спiльнi властивостi кривини поверхш. Запропонований метод аналiтичного опису мшмальних поверхонь дозволяе утворювати iзометричнi мiнiмальнi поверхнi, вiднесенi до координатноï сiтки асимптотичних лiнiй або до координатноï сiтки лiнiй кривини.

Список використано'1 лiтератури

1. Расчёт оболочек сложной формы / В.И. Гуляев, В.А. Баженов, Е.А. Гоцуляк, В.В. Гайдайчук.- К.: Будiвельник, 1990. - 192 с.

2. Sreedhar Nurshaun. Mass transfer analysis of ultrafiltration using spacers based on triply periodic minimal surfaces: Effects of spacer design, directionality and voidage / Nurshaun Sreedhar, Thomas Navya, Al-Ketan Oraib, Rowshan Reza, Hernandez Hector H., Arafat Hassan A. // Journal of Membrane Science. - 2018. -Vol. 561. - Р. 89-98. - https://doi.org/10.1016/j.memsci.2018.05.028

3. Lu Han. An overview of materials with triply periodic minimal surfaces and related geometry: from biological structures to self-assembled systems / Lu Han, Shunai Che // Advanced Materials. - 2018. - Vol. 30. - I. 17 -P. 1705708. https://doi.org/10.1002/adma.201705708

4. Navasardyan Ekaterina. Minimal surfaces as a constant-energy surfaces for maximum heat and mass transfer efficiency in structured packing of the distillation column / Ekaterina Navasardyan, Ivan Arkharov, Artem Dontzov, Aleksey Arkharov // Journal of Enhanced Heat Transfer. - 2018. - Vol. 25. - DOI: 10.1615/JEnhHeatTransf.2018026639

5. Математическая энциклопедия / [гл. ред. И.М. Виноградов]. - Т. 3. - М.: Изд-во "Советская энциклопедия", 1982. - С. 683-690.

6. Фиников С. П. Теория поверхностей / С. П. Фиников. - М.-Л.: ГТТИ, 1934. - 206 с.

7. Аушева Н.М. 1зотропш фундаментальш сплайни / Н.М. Аушева // Сучасш проблеми моделювання. -2016. - № 6. - С. 3-7.

8. Пилипака С.Ф. Конструювання мшмальних поверхонь за допомогою iзотропноï криво1, яка лежить на поверхш катеноша / С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич // Науковий вюник Нацюнального ушверситету бюресурав i природокористування Украши. Серiя: техшка та енергетика АПК. - 2016. - № 241. -С. 197-203.

9. Пилипака С.Ф. Аналгшчш залежносп утворення iзотропних лшш на уявних поверхнях обертання / С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич // Сучасш проблеми моделювання. - 2018.- № 12. - С. 126-131.