Геометрическая интерпретация результатов исследования устойчивости движения технологической загрузки вертикальной вибрационной мельницы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

21

НА СИМПОЗИУМЕ "НЕДЕЛЯ ГОРНЯКА - 2 ГГУ.я31яянваряя-я4яфевраляя2000я-одая

AsMI

Силу трения принимаем прямо пропорциональной скорости относительного движения загрузки вдоль камеры

, Анциферов, 2000

у = cle~kT + C

где

у = -

= —у , Y = -

g

УАК 622.73

А.В. Анциферов

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕАОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ АВИЖЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ЗАГРУЗКИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ВИБРАЦИОННОЙ МЕЛЬНИЦЫ

В горной промышленности и порошковой металлургии нашли применение вертикальные вибрационные мельницы (МВВ), используемые для тонкого измельчения материалов. В процессе отработки технологии измельчения потребовалось создание теории расчета технологических параметров, обеспечивающих наиболее эффективный процесс измельчения. Это возможно при организации работы мельницы в виброударном режиме.

Расчет периодических движений загрузки вертикальной вибрационной мельницы при одностороннем взаимодействии ее с помольной камерой приведен в [1]. В случае жесткого эксцентрикового вибровозбудителя, когда задан закон движения камеры, а загрузка считается единичной массой, получаем одномассную виброударную систему, динамическая модель которой показана на рис. 1. Помольная камера К совершает колебания в вертикальной плоскости с амплитудой а и частотой Ю. Удар технологической загрузки З по дну камеры считаем абсолютно неупругим, а временем удара пренебрегаем. На загрузку в отрывном движении действуют силы веса и трения о камеру.

Эффективность измельчения зависит от величины ударного взаимодействия загрузки и камеры. Можно показать, что данный параметр очень близок к максимуму в случае, когда отсутствует участок совместного движения элементов системы: после неупругого взаимодействия загрузка, имеющая перед ударом скорость и, получает скорость камеры V и в следующий момент они расходятся. Это так называемый режим непрерывного подбрасывания [2]. Он возможен в случае, когда в момент контакта ускорение камеры У < -g (согласно принятой системы координат).

Рассматриваемый нами режим наиболее близок к действительному, который реализуется на практике. Так, режим с коэффициентом восстановления скорости Я > 0 не отвечает реальным условиям взаимодействия рабочего органа с технологической загрузкой как с

F = -k (у - Y*).

(1)

где к - коэффициент вязкого тре* • *

ния; у ,у - соответственно скорости загрузки и камеры.

Звездочки при рассматриваемых величинах использованы для их отличия от безразмерных величин.

Определим интенсивность возбуждения камеры, обеспечивающую периодические движения загрузки в режиме непрерывного подбрасывания. Отсчет времени будем вести от момента удара, определяемого фазой ф. В безразмерных единицах законы движения камеры и загрузки имеют вид [1]

У = Г sin (т + ф) (2)

,2-----+ z[k sin( + ф)-сої(т+ф)], (3)

k

. k

Т = m t, k =---------------------, z =

kr

g g mm 1 + k2

Минимальное значение фазы удара, обеспечивающее мгновенный отрыв загрузки из условия Y = — 1 после подстановки в (2)

ф = arcsin 1Г. (4)

В безразмерных единицах период движения камеры 2П. Условия периодических движений элементов рассматриваемой системы имеют вид

у( 0) = у( 2п), у( 0; = Y( 0), у( 0) = Y (о; .

Отсюда после подстановки (2) - (4) получим 2п

C1 =J—2nk \, (6)

(5)

k (e-2nk — 1),

Г =

2n(l + k2) 1

1 —2nk 1 — e k

2

+1

(7)

Выражение для постоянной интегрирования С2 не при-

системой с большим числом масс (шаров). С другой Рис. 1. Динамическая модель и расчетная схема

стороны, если исследовать случай, когда имеет место участок совместного движения камеры и загрузки, придется рассматривать два этапа их движения - совместный и в отрыве, что усложнит методику исследования.

водится, т.к. в дальнейших преобразованиях оно не понадобится.

2

2

2

m

Если принять коэффициент трения равным нулю, то после раскрытия неопределенности в квадратных скобках (7)

получим значение Г = д/п2 +1 .

Такое же значение получено и в [2], где исследуется перемещение тела по вибрирующей поверхности. Зависимость (7) определяет расчетный виброударный режим работы МВВ. В реальной механической системе возможны различные отклонения задаваемых параметров, поэтому требуется определить границы существования данного режима. Для этого проверим его устойчивость, используя метод припасо-вывания [3].

Пусть на одном из интервалов в периодическое движение загрузки внесено начальное возмущение, в результате чего координата и скорость ее оказались отличными от расчетных значений. Теперь рассмотрим и-й интервал движения после внесенного возмущения. В выражении (3) это возмущение можно отразить, сообщив постоянным интегрирования С1 и С2 некоторые малые приращения £1п и £2п.

Для каждого интервала отсчет безразмерного времени будем вести от момента удара, а эффект внесенного возмущения на момент контакта загрузки с камерой будем учитывать накопленным возмущением фазы и-го удара, которое

AnYK = An + 1Г cos Ф, AnYK = -An + 1Г sin Ф •

(13)

запишем в виде суммы

An = Si +

+ ... +

Sn. Величины 8

in, 02n и 8n считаем малыми. На основании вышесказанного для координаты n-го интервала движения загрузки получим следующие уравнения

у(П = (Ci + Sin ^ + C2 + S2n - —+ z\k sin(l+ Ф+ An )- COs(x + ф + Дn )■

k

(8)

Возмущенное движение является непериодическим и следующий удар загрузки о камеру произойдет спустя время

Ti = 2П + Sn+1, (9)

которое отличается от расчетного периода 2П на малую величину

Sn+1 = An+1 - An. (10)

Подставим в (8) время T1 из (9) и вычтем из него невозмущенное движение, полученное подстановкой периода 2П в уравнение (3). С точностью до малых второго порядка приращение безразмерной координаты AnyK загрузки в конце n-го интервала возмущенного движения будут иметь вид

AnyK =S1ne 2nk +S2n-[kC1e 2nk + Yk - z{sin Ф+ k cOs ф)]Д„+1 +

+ (kCie-2nk + 1k )a n

(11)

Закон движения камеры считаем не подверженным возмущениям. Поэтому в моменты контакта ее с загрузкой координата и скорость камеры будут определяться только фазой ф встречи с загрузкой с учетом накопленного возмущения ее движения. Поэтому в конце n-го интервала имеем

YK(n) =Г sin ( + An+1 )■ YK(n) =Г cos (ф + Дn+1 )■

(12)

Вычитая из (12) соответствующие невозмущенные значения (2) получим приращения координаты встречи загрузки с камерой и скорости камеры в конце n-го интервала

Запишем законы возмущенного движения загрузки на (n+1)-M интервале

Jn + 1) -

(C1 + 81,n + 1 )e + C2 + 82,n +1 -~T + k

- z[k sin( + Ф + An+¡ ) - cos( + Ф + An+¡ )],

у( 1 — —к(Сі + Єї п + 1 )е -+ ^[к + ф + Дп +1 ) + 5/и( + ф + Дп+1 ) ■

к

(14)

Подставляя сюда значение Т = 0 и вычитая соответствующие значения для невозмущенного движения, найдем приращения координаты и скорости загрузки в момент после (п+1)-го удара, т.е. в начале (п+1)-го интервала движения

An+1Ун = 81,n+1 + 82,n+1 + z( cos Ф + sin ф)Аn+1 -An+1Ун = -k81,„+1 + z(os ф - k sin ф)+1^

(15)

Заметим, что выражение (11) и оба выражения (13) для конца n-го интервала движения одновременно являются справедливыми и для начала (п+1)-го интервала движения, описываемого уравнениями (15). Поэтому условия припасовывания двух смежных интервалов движения имеют вид

КУк = An+1 Ун, AnYK =An+1 Ун, AnYK =An+1ун • (16) Подставляем сюда (11), (13) и (15) и после преобразований имеем

81ne 2nk + 82n-81,n+1 -82,n+1 -^kC1e 2nk + —\(An+1 -An) = 0,

81,n+1 + 82,n+1 + z (sin Ф+ k cos ф) A n+1 - Г cos Ф An+1 = 0,

(17)

k81 n+1 + z(k sin Ф - cos ф)An+1 - Г sin Ф An+1 = 0.

Система (17) является однородной системой линейных уравнений в конечных разностях. Ее решение имеет вид

8qn = aqXn (q = 1,2), An = , (18)

где úq, аз - коэффициенты, не зависящие от n, А - постоянное число.

Подставляя решения (18) в систему (17), после преобразований получим

-2nk

-А)+ а2 (1 -А) - a3(kC1e~ 2nk + -)(1 -А) = 0,

k

i -2nk л і

ú1 Є -АІ

а{А + а^А + ú3X[z(sin ф + k cos ф) - Г cos ф ] = 0, а^А + Ú3X[z(k sin ф - cos ф) - Г sin ф ] = 0.

(19)

Для существования решений, отличных от нуля, необходимо, чтобы определитель этой системы равнялся нулю

e~2nk-А ! -А (kC1e~2nk + -)(1 -А)

k

А

kА

А %[z(sin ф + k cos ф) - Г cos ф ]

0 А[(к sin ф - cos ф) - Г sin ф ]

= 0.

(20)

Раскрыв определитель, получаем характеристическое уравнение для определения параметра %

з

¿2^ + b^h + bo — 0 , (21)

где

¿1 — r[(l - e~2nk ) sin ф - k cos ф]+

+ z\eT2%kksin ф + (1 + k2 - e~2nk )cos ф]-k2C1e-2nk -1, ¿2 — k2 Ci e_2nk - z cos ф)+ k(Г cos ф - z sin ф) +1, bo — 0 ■

Движение загрузки относительно камеры в рассматриваемом нами режиме непрерывного подбрасывания будет устойчивым, если корни характеристического уравнения

(21) удовлетворяют неравенству < 1- Справедливость

этого условия обеспечивается одновременным выполнением неравенств теоремы Шура /3/

< 1,

b

< 1.

(22)

Ь2 Ь0 + Ь2

Первое из этих неравенств выполняется тождественно. Второе неравенство представим в виде двух точных равенств

Ь0 + Ь2 = ±Ь1 . (23)

и после их решения найдем зависимости, определяющие границы области устойчивых движений. Искомая область расположена между ними и представлена на рис. 2. При решении уравнений (23) мы задавались параметром к, а неизвестные величины С1 и Г определяли из формул (6) и (7). Полученный результат требует анализа и объяснения.

Если рассматривать идеальное движение, при котором справедливы условия (5), то любое возмущение движения загрузки при неизменном параметре Г вызовет изменение фазного угла контакта. При уменьшении его появится участок совместного движения, что приведет к нарушению режима непрерывного подбрасывания. При увеличении фазного угла режим движения не нарушится (про-изойдет мгновенный отрыв загрузки от камеры), но начальная скорость

загрузки уменьшится и следующий контакт произойдет в зоне «прилипания». Из этих рассуждений следует, что задача определения устойчивости вибро-ударной системы с абсолютно неупругим взаимодействием элементов в режиме непрерывного подбрасывания не имеет физического смысла. Чтобы объяснить физический смысл проведенных вычислений рассмот-

рим параметр возмущения Г.

Изменяя параметр Г, можно реализовать сложный режим движения, когда за один период загрузка совершает несколько соударений с камерой. Исследуемому выше простому (одноударному) режиму соответствует период 2П. При сложном режиме движения фазный угол встречи загрузки и камеры для каждого соударения будет различным и только через период иП он вернется к исходному значению, чтобы в следующий период повторить пройденный цикл. Число и может изменяться от двух до бесконечности, но, по-видимому, не может быть любым. При определенных значениях и сложный режим движения может и не существовать. Этот вопрос требует дополнительного исследования.

Используемый нами способ определения устойчивости системы основывался на внесении в идеальное движение загрузки малых приращений к постоянным интегрирования и фазному углу контакта £1и, £2и и 8п. При этом вопрос о виде возмущения, вызвавшего эти изменения, оставался открытым. Будем считать, что изменение параметров движения вызвано дискретным изменением величины Г, когда она получила мгновенное приращение АГ и далее не изменяется, оставаясь равной Г1 в течение длительного промежутка времени. В этот момент изменится и фазный угол встречи загрузки с камерой. Причем приращение фазного угла 81 в момент первого контакта однозначно определяется величиной Г1. Далее параметр 5 будет определенным образом изменяться и может вернуться к своему значению 51 через время иП, а может и нет, если попадет в зону «прилипания» и нарушится исследуемый нами режим непрерывного подбрасывания. В первом случае движение будет устойчивым, а во втором нет.

Построенной на рис. 2 области устойчивости соответствуют различные значения Г, обеспечивающие сложные режимы непрерывного подбрасывания. Величина Аф обозначает приращение фазы первого удара к невозмущенной фазе простого режима, определяемой по формуле (4). Чтобы исследуемый режим не нарушился и не появился участок совместного движения, приращение АГ, а значит и Аф должно быть только положительным, поэтому соответствующая область выделена штриховкой.

Для объяснения вышесказанного рассмотрим подробно случай отсутствия силы трения. При к = 0 область приращения фазных углов встречи загрузки с камерой, соответствующая устойчивому движению в режиме непрерывного подбрасывания, определяется неравенством 0 < ф < 0,652. Закон движения камеры (3) имеет вид

т2

у = —2+^1т+^2, (24)

Пусть и = 2. Расчетная схема двухударного периодического режима непрерывного подбрасывания показана на рис. 3. В этом случае уже в конце второго интервала ордината контакта будет равна ординате отрыва на первом интервале. Очевидно, что дальнейшее увеличение параметра Г приведет к контакту с камерой, когда ее ускорение еще не достигло величины g. В этом случае появится участок совместного движения загрузки с камерой.

В конце первого интервала точка контакта сдвинута относительно точки отрыва на угол 5. Начальная скорость второго интервала уменьшится на величину, достаточную для контакта загрузки с камерой в ординате начала первого

b

0

интервала. Период данного двухударного режима равен 4П. Граничные условия для первого интервала имеют вид у(0) — Y(0), у(0) — Y(0) , у(2п + 5) — Y(2n + 5)■ (25)

После подстановки в (25) уравнений (2) и (24) имеем

Vr2 -1 (2л + 5 - sin 5)-cos 5- 1(2n + 5,)2 +1 — 0- (26)

Аналогично для второго интервала из граничных условий

у(0) — Y(0), у(0) — Y(0) , у(2п-5) — Y(2п-5) (27) получим трансцендентное уравнение Vr2 -1 ((2п - 5) cos 5 + sin S) - (п - 5) sin 5 + cos 5 -1 (2п - 5) -1 — 02 (28)

Решая уравнения (26) и (28) получим следующие значение Гтах = 3,857, 5 = 0,604. Методом припасовывания полу-

Рис. 3. Расчетная схема

чено приращение фазы Аф = 0,652. Незначительное отличие можно объяснить приближенностью метода припасовыва-ния. Таким образом нами определен интервал параметра Г, при котором реализуются сложные режимы непрерывного подбрасывания

д/л2 +1 < Г ^ л/п2 + 5. (29)

Двухударное взаимодействие загрузки и камеры за один период 4П определяет верхнюю границу параметра Г, обеспечивающего режим непрерывного подбрасывания. Данный способ определения Г и построения значений приращений фазы первого удара Дф является более простым и наглядным по сравнению с методом припасовывания. Поэтому он может быть рекомендован для исследования более сложных виброударных систем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Анциферов А.В. Оптимизация параметров движения вертикальной вибрационной мельницы с односторонним взаимодействием помольной камеры и техно-

логической загрузки// "Вибрация в технике и технологиях".- 1998.- № 1.- С. 5-7.

2. Блехман И.И., Джаналидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение.- М.: Наука, 1964.- 410 с.

3. Кобринский А.Е., Кобринский А А. Виброударные системы (Динамика и устойчивость).- М: Наука, 1973.- 591 с.

Файл: АНЦИФИР

Каталог: 0:\С диска по работе в униве-

ре\а1ЛВ_20\а1ЛВ4_00\ВСЕ Шаблон:

С:\ивегв\Таня\АррВа1а\Коат^\М1сговой\Шаблоны\

Когта1.ёо1;т

Заголовок: ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬ-

ТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ЗАГРУЗКИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ВИБРАЦИОННОЙ МЕЛЬНИЦЫ Содержание:

Автор: АНЦИФЕРОВ А.В.

Ключевые слова:

Заметки:

Дата создания: 20.04.2000 15:01:00

Число сохранений: 9

Дата сохранения: 04.12.2008 15:16:00 Сохранил: Таня

Полное время правки: 59 мин.

Дата печати: 04.12.2008 16:31:00

При последней печати страниц: 4

слов: 2 279 (прибл.)

знаков: 12 993 (прибл.)