Геометрическая интерпретация некоторых максимально подвижных метрических пространств линейных элементов различных лакунарностей основного случая

А. И. Егоров

УДК 514.76

А. И. Егоров

Пензенский государственный университет [email protected]

Геометрическая интерпретация некоторых максимально подвижных метрических пространств линейных элементов различных лакунарностей основного случая

Эта работа — непосредственное продолжение исследований, начатых в статье [1], в ней используются все принятые в ней обозначения и определения. Вводятся в рассмотрение

пространства Мп (т; п — т), Ап (т; п — т) как метрические

о

пространства линейных элементов gпу , у которых метрика касательного риманова пространства в каждой точке есть метрика пространства Пп (т; п — т), (т Ф 1) .

Ключевые слова: группа движений; пространства М п (т; п — ш), Ап (т;п — т) индекса (т;п — т).

В работе [1] были введены (М, N) приводимые метрические пространства линейных элементов, обозначаемые символом g (М, N). Напомним сначала определения пространств g(М, N) и необходимые в дальнейшем определения, понятия

[1]. Пространства g(М,N [1] представляют большой интерес и будут рассмотрены в других работах автора.

I. Функции, введенные следующим образом

= ё^УР), (к,е,Р = 1,2,-,п)

О (е/ О О 1 о

Т = 2 + 2 Н--2

ке с> ое.к о ок.е 2 оо.к.е

являются компонентами некоторого тензора Те , который на-

о

зывается тензором нефинслеровости. Если тензор Тке равен

нулю, то пространство линейных элементов ёп

является

финслеровым пространством. В общем случае ёе Ф ¥.к.е и мет-

о

рический тензор ёке называется непотенциальным, а ёпу — пространством линейных элементов с непотенциальной мет-

о

рикой. К метрической структуре пространства ёпу присоединяется финслерова структура с помощью скаляра

о (е/ 1 о \ ■ ■ ¥{X,У) = -ёу (хуЬ'у].

Если потребовать дополнительную невырожденность ска-

о

ляра ¥, то метрический тензор должен удовлетворять некоторым дополнительным условиям

о о о

= ё у Н ТУ

Ф

0, (■, у, к, е = 1,2,..., п).

Если х0 — фиксированная точка (х0 е Хп), то метрический тензор

о о

ё у (у )= ёу У) определяет риманову метрику в ТХо (Хп), превращая ТХо (Хп) в

риманово пространство. Это риманово пространство называется касательным римановым пространством метрического

пространства линейных элементов ё п

и

II. Пусть дано гладкое многообразие Хп (х) и на нем задано приводимое риманово пространство Уп (х), то есть

*

йи 2 = ааЬ (х)ха йхЪ + Ъар(х)хайх (1)

*

2 2 2 или йи = + йи 2, где

й*12 = 2Мйг2,М = 1 ааъ (х1,х2,...,хт )уауЪ,МсМ = аы (х),

й*22 = 2Ш12, N = 1Ъта(хт+1,хт+2,...,хп)у\уст, Na.fi = Ъар(х),

йх'

ае1||ааъ (х) Ф 0, \bafi (х) Ф 0, у' = —,

(а, Ъ, с,... = 1,2,..., т;', ], к,... = 1,2,..., п; а, /3,т,а,... = т +1, т + 2,..., п).

Иначе говоря, метрика йи2 распадается в прямую сумму метрик йи12 и йи22, зависящих каждая от своих групп координат. Геометрическим эквивалентом разложения (1) стало расслоение координатной области и на взаимно ортогональные дополнительные по размерности вполне геодезические поверхности и1 {х1,х2,...,хт }, и2{хт+1 ,хт+2,...,хп}. Тогда многообразие линейных элементов можно наделить структурой метрического пространства линейных элементов с метрическим тензорным полем

о

g^J^

(х, у) = Я (Б)М1 + Я2 (Б)М-1МЛМ.}

+Я (I) ).у . . +(д^—1 NN+яМуМ^ +М-Рл ], (2)

где Б = МЫ—1, йег

1 (х,у)

Ф 0, допускающее группу движе-

ний Ог = Ог х Ог , Ог — группа движений риманова про-

и

ш

странства Ут (х); Gr2 — группа движений риманова пространства Уп_т (х); Я1 ,Я2 ,Я3 ,Я4 ,Я5 — произвольные функции от указанного аргумента В . Введенные таким образом метрические

пространства ёпу будем обозначать символом ё(Ы,Ы) и называть (М,Ы) — приводимыми метрическими пространствами линейных элементов. Пространства ё(М,Ы) порождаются двумя римановыми пространствами с метриками

(я,2 = 2М(г2, (522 = 2ЫЛ2. (3)

Отметим, что все максимально подвижные метрические пространства линейных элементов (т +1) -ой лакунарности в «основном случае» есть необходимо приводимые про-

странства ё М N) и с этой точки зрения они представляют определенный интерес. Компоненты метрического тензорного

поля ё у (х,У) (2) покоординатно имеют следующую алгебраическую структуру:

о 1

ёаЬ (х,У) = Я (В)Мжь + Я2 (В)М~1МЛМь, < 8ар (х,У) = Яз (В+ Я4 (В)М(4)

о 1

8аг (х,У) = Я5 (В(М.аМт + МЛМД),

^ ЫМЫ

или

( ) я (в) ( )н 2я (в) аас (х )аЬ( (х )у у ёаЬ (х,у) = Я1 (в)ааЬ (х) + 2Я2 (в)- , . с (-,

ас( (х)у у

° ( ) я (в)Ь ( )Н2Я (в)Ьаг(х)ЬРа(х)утуа (5)

ёар (ху) = Я3 (в)ьар(х) + 2Я4 (в)

ёат(х,У) = 2Я5 (В)

Ьта(х ) утуа [аас (х)Ьта (х) + атс (х)Ьаа (х)]у°у°

\1ас( (х)усу( VЬар(х)уаур

где

(а,Ъ,с = 1,2,...,т), (а^,т,у = т +1,т + 2,...,п),

М.с = асЪУЪ, ^Т = ЪтаУа, М.а.Ъ = ааЪ (х) N.a.fi = Ъа/3(х). Приходим к следующему выводу:

Теорема 1. Компоненты метрического тензорного поля (МN) приводимого метрического пространства линейных

элементов g (МN) необходимо имеют алгебраическую структуру (4) или (5).

Замечание 1. Принимая во внимание формулы (4), формально можно записать, что

йи2 = Я1(Б )М. а. ЪйхаУхЪ + Д2(Б )М—1М. аМ. Ъйха йхЪ +

I

+ Я3 (Б )Ъ ТУха + У4(Б )у—Ъ N. айх ТйХ +

II

+ К5 Ш ^т + МЛ ]йхайхТ.

Замечание 2. Очевидно, что формулу (53) можно представить также в следующем виде:

о ( ) о ( ) 2Я5 (Б)а (х)Ът(х)усу* gaт(х, у) = gтAX, у) = I г : Г\/ ■

4асй (х)усуй-К(х)уТуа

II. Пример 1. Рассмотрим шестимерное псевдоевклидово пространство Е6 с метрикой (+ + + + + —) :

йе/

йи2 = йх2 + йу2 + dz2 + йг2 + йи2 + йг2 + cdz ■ йг , где с е Е .

В этом пространстве Е6 рассмотрим поверхность (S), заданную уравнениями

а2 (х2 + у2 )— г2 = 0, Ъ2 (г2 + и2 )— г2 = 0, где {а, Ъ}с Е. (6)

Очевидно, что в нашем случае необходимо ( а(хёх + у(у) ( + )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(- т ~~ ; (ЛГ - <— .

у]х2 + у2 V г2 + я2

Положив х = и\у = и2,г = V1,я = V2,где и1 ,и2V ,у2 — параметры, получим, что индуцированная метрика (а2 на этой поверхности (5") необходимо имеет следующий вид:

,(е/ , 12 , 22 2 (и1(и1 + и2(и2)2 ' = (и1 + (и 2 + а -!—

и + и

I

, 12 , 22 ,2 + v2dv2 )

+ (V1 + (V2 + ь2±-2-+ (7)

12 22

1_V1 + V2

II

, (и1(и1 + и2(и2 )• (v1dv1 + v2dv2 ) , + -, ' ---к = аЬс.

, Уи1 2 + и22 • Ь 12 + V 22 ,

III

Метрика (а2 состоит из трех указанных частей I, II, III. Поверхность (S) с метрикой (7) будем называть четырехмерной поверхностью индекса (2/2) и обозначать символом П4 (2,2). Метрика (7) есть в то же время метрика центроаф-финного пространства, зависящая от направления $ . Метрику (7) будем также рассматривать как метрику 4-мерной плоскости (и1 ,и2V ) с выделенной точкой О и зависящую от направления $, исходящего из точки О, точнее, от направлений составляющих м>" ,м>", представляющих собой разложение направления $.

Пример 2 (Общий случай). Для п -мерной поверхности Пп (т/п - т) индекса (т/п - т) имеем по определению следующую метрику:

„ 12 ,2 2 , (и1 (и1 + и2(и2 +... + ит(иг' = (и1 + (и2 +... + (ит + а ±-

(а = (и + (и +... + (ит + а

22

и + и +... + и

т+12 , 7 т+22 ■ " -+- -+- ни -+- /I —1-

22

+ (ит + (ит +... + (и" + Ь'

I т+1 1 т+1 , т+2 1 т+2 , , п т п I2

1и аи + и аи +... + и (и I

ит+1 + и т+2 +.. . + ип

II

1111. 2 1 2 , , ^ ^ / т+1 1 т+1 , т+2 7 т+2 , , п 7 п 1

+ к и (и + и (и +... + и (и )• и (и + и (и +... + и (и

V12 , 22 , , т2 I т+12 т+22

и + и +... + и \ - ■

и + и +... + и \ и + и +... + и

III

2

Индуцированная метрика (а состоит из трех частей. (Придавая здесь т конкретные значения, получим все остальные примеры.)

Пример 3. Метрика п -мерной поверхности Пп (2/п - 2) индекса (2/п - 2) имеет следующий вид:

2 - ^ 12 1 ^ 22 , а2 (и1 (и1 + и2(и2 )2

(а = (и + (и +--^-;-;-'— +

12 22

^__и + и_;

I

, 32 , 42 , п2 Ь2 (и3(и3 + и4(и4 +... + ип(ип )2

+ (и 3 + (и 4 + ... + (ип +-*-;-;-;-'—

32 42 п2

и3 + и4 + ... + ип

II

+ к

(и1 (и1 + и2 (и2 )•(3 (и3 + и4 (и4 +... + ип(ип)

/и12 + и /1 .4и32 ■ и42

и + и • V и + и +... + и

Пример 4. Метрика п -мерной поверхности Пп (0/п) индекса (0/п) имеет следующий вид (исключительный случай):

(а2 = (и12 + (и22 +... + (ип2 +

Ь2 (и1 (и1 + и г(и2 +... + ип(ип) и 1 + и2 +.. . + ип

и совпадает с известной метрикой п -мерного конуса вращения, которую также можно интерпретировать как метрику п -

2

+

I

мерного центроаффинного пространства, зависящую от направления w. В этом «исключительном случае» поверхность (S) задается в евклидовом пространстве Еп уже обычным уравнением, характеризующим п -мерный конус вращения в декартовой системе координат.

Определение. Гладкое многообразие Хп (х) называется пространством Мп(т;п - т) индекса (т;п - т), если в каждом касательном пространстве Tx (Хп) базисного многообразия Хп (х) задана метрика индекса (т; п - т), характеризующая пространство Пп (т; п - т), причем эта метрика гладким образом зависит от х е Хп (х). Если (х') — локальные координаты на Хп (х), (,yJ) — локальные, естественные координаты на T(Хп), то метрика пространства Мп (т; п - т) индекса (т;п - т) определяется формально следующим образом:

,2 def( \ , a , Ь 2 аас (х)abrj (x)yCyddxadxb ds2 = ааЬ(x)dxadxЬ + а2 ac\rbd\>js-+

i_ а cd(х )y cy

i

+ h ( )d ad ß + Ь2 Ьа*(хЬ<г(х)yTyadx"dxß , (9)

+ haß (x)dx dx + h -Г / w ^-+ (9)

hJx)yTya

II

+ к [°аЬ {хКа (Х) + атЬ {хУ>ая ^Уу*,

_ ^ {х)уС/ • ^УУ» \

III

где {а,Ь,с,... = 1,2,...,т), {а,/3,т,... = т +1,т + 2,...,п).

Метрика (9) состоит также из трех частей I, II, III. Компо-

о

ненты метрического тензорного поля gij {х,у), {/, ] = 1,2,...,п) для этой метрики имеют следующий алгебраический вид:

» ab

(x>У) = aab (x) + a

ofi(X> У) = Kp(X) + Ь

ar(X У) = k

aac (X)abd (X) yCyd

cd '

(x )ycyd Kr(x )bpa(x ) УУ

bm(x )yTya

[aab (xЖ (x) + aTb (x^ (x)]ybyc

^ (х)усу( •фМУУ '

где (а,Ь,с,... = 1,2,...,т; а,р,т,¡и,... = т +1,т + 2,...,п).

Структура этого метрического тензорного поля ёу (х,у) получается из (5), если там положить

b2

k

ф) = 1; R4(D) = у; R2(D) = y,R3(D) = 1; R5(D) = 2

Следовательно, введенные выше пространства M"(m; n - m) индекса (m; n - m) являются (M,N ) приводимыми метрическими пространствами g(M,N) линейных элементов и метрическое тензорное поле gu (x,y) в любой системе координат имеет следующую специальную структуру:

о ( ) a2 MiM j b2 NiN j k M,N.j + M-N л) gj (x,y) = M±j +--- + N i j +--- + - J J

M

N

4mn

где

(i, J = 1,2,..., n), M =1 aab (x)yayb , N = 1 baAx)yay P.

iii a ,

2 2

Если a = 0, b = 0, то получим метрику приводимого рима-нова пространства Vn (x)

ds2 = aab (x)dxadxb + bap (x)dxadxP .

о

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о

2

Если

а • Ь = 0; а2 + Ь2 Ф 0,

то здесь возникают частные случаи для пространств Мп{т;п — т) в зависимости также от с Ф 0 или с = 0 .

Замечание. Согласно определению пространства Мп{т;п — т) в каждой точке базы Хп пространства касается одно и то же приводимое риманово пространство, метрика которого есть метрика пространства Пп {т;п — т). Если здесь от требования, что в каждой точке Хп касается «одно и тоже пространство Пп {т; п — т)», отказаться, то получим более общие метрические пространства, которые обозначим символом Ап {т; п — т). Очевидно, что

Мп {т; п — т)с А" {т;п — т).

Компоненты метрического тензорного поля gij {х,у), характеризующего пространство Ап {т; п — т), имеют следующий вид:

о / / ч / ~~аас {х\аЬг] {х )усу

gаЬ {х,У) = ааЬ {х) + А{х) ас[ } ьЛ ,УУ

асл {х)УСУЛ =[и {х), вл.,Ьт{х)Ь,*{х)уТу°

Ь*{х )УТУС

а, {х,У) = ЬаР {х) + 5 {х) аТ\\С;С , (10)

уОАХ)77 V Ь»{х )/У"

где {а,Ь,с,... = 1,2,...,т; а,/3,т,»,... = т +1;т + 2;...;п),

А{х) = А{х1,х2,...,хт ); В{х) = в{хт+1, хт+2,..., хп).

В частности пространства Ап (0; п) (исключительный случай т = 0) характеризуются по определению структурой метрического тензорного поля

о

а и (x, У) = Ь](х) + в(х) 'Т7\ г а—'

Ьаа(х)У У

(ее/ / \

где в(х) = в(х1, х2,..., хп), (,],",а,.. .= 1,2, . . ,п).

Можно также ввести пространства Ап(0;п), характеризующиеся следующим метрическим тензорным полем [1]:

' / \(е/ / ч / ч / \Ь'Т(х)Ь,а(х)утус Ц (х, у) = Ы(х)ь1] (х) + в(х) "У ¡а^а

Ьаа(х )У

У

где Ы(х) = ^(х1, х2,..., хп).

Рассмотрим теперь метрику пространства Мп (2; п - 2) индекса (2; п - 2). Эта метрика следующая:

= ааЬ (х)ха(хЬ + а 2 "" (хК( (ху/(ха(хЪ +

аы(х )УсУ

+ ь ()(а,р+ Ь2 Ьат(х)Ьра(х \У у" ^ ^ , (11)

+ ЬаВ(х( (хР + Ь -и а-+ (11)

Ьта(х/У У

+ к

II

\РаЬ (хКа (х) + а"Ь (х)Ьаа (х)\уЬ у" (х" (х"

(х)ус / //Ки(хУуи '

III

где (а,Ь,с,( = 1,2), (а,р,т,а = 3,4,5,...,п), (к = аЬс).

I

Компоненты здесь метрического тензорного поля gij {х,у) для метрики (11) имеют вид аналогичный (10) при условии, что т = 2. Метрика пространства Ап {2;п — 2) будет иметь формально следующий вид:

2 ^ , ^ Ь аас {х) аЬг1 {х) ycyddxadxь

ds2 = аЬ {х)dxadx + А(х)-^ ъй\ )У У ,

а cd (х)y cyd

+ hß,(x )dxadxß+ B( x) M* )y'fd"d"

Ka(x)у У

—V—

II

+K(x) [aah (x)Ьш (x)+ aTh (x)haq (x)] УЬУ''dx"dx%

+ x hä(x)ycyd ■ VVu(x)yvyM ,

1-V-'

III

где (a,h,c,... = 1,2; a,",r,a = 3,4,5,...,п).

Пусть т = 0 (исключительный случай), тогда получим пространство Мп (0; п) индекса (0; п). Метрика такого пространства Мп (0; п) формально имеет вид

ds2 "ibßAx ]äxaäx"+ Ь2 ^У'^"

(x)yTy')

II

где {а,Р,а,т = 1,..., п).

Здесь компоненты метрического тензорного поля gij {х,у) имеют следующий вид:

° { ) Ь { )+ Ь2 Ьгт{х)Ь]а{хУУС (12)

glJ{ У) =Ь,] {х) +Ь , а-, (12)

] ЬТа(х )утуС

где (, j,',t = 1, ...,п).

В заключении статьи выражаю благодарность Ю. И. Шевченко за обсуждение результатов работы и ценные советы.

Список литературы

1. Егоров А. И., Егоров И. П., Егорова Л. И. Приводимые и полуприводимые метрические пространства линейных элементов и их место в теории движений // Межвузовский сб. науч. трудов. Пенза, 1991. C. 38—62.

A. Egorov

Geometrical intepretation of some movable metric spaces of linear elements of different lacunae of main case

This paper is dedicated to the research described in the article [1], in which the same designations and definitions are user. The article considers such spaces as An (m;n - m), M" (m;n - m) as metric spaces of linear elements whose metrics of tangent Riemannian space is space Пп (m;n - m) in each point (m Ф1) .

УДК 514.75

С. С. Кузыбаева, Ю. И. Попов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Аффинные связности на гиперповерхности ^П-1

На гиперповерхности ^П- , огибающей однопараметри-

ческое семейство характеристик Xп-2 одномерной гиперполосы Н1 [1], дано задание внутренней (касательной) аффинной и нормальных аффинных связностей.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — А И. Егоров

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — А И. Егоров

Geometrical intepretation of some movable metric spaces of linear elements of different lacunae of main case