Геометрическая интерпретация некоторых максимально-подвижных метрических пространств n y og , линейных элементов различных лакунарностей основного случая II Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. В. Букушева, С. В. Галаев

A. Bukusheva, S. Galaev Geometry of an almost contact hyper-Kahler manifolds

In the paper, the geometry of an almost contact hypercomplex and almost contact hyper-Kahler manifold is studied. The intrinsic connection of Obata, which preserves the almost contact hypercomplex structure, is determined. It is proved that an almost contact hyper-Kahler manifold is an n-Einstein manifold.

Key words: almost contact hyper-Kahler manifold, n-Einstein manifold.

УДК 514.76

А. И. Егоров

Пензенский государственный университет gormj@mail.ru

Геометрическая интерпретация некоторых максимально-подвижных метрических пространств

о

g пу линейных элементов различных лакунарностей основного случая II

Работа является непосредственным продолжением исследований, начатых нами в статьях [1; 2], здесь используются все принятые в них обозначения и определения. Вводятся в рассмотрение пространства П

n, y ■

Ап (ш; п - да), Кп (да; п - да) индекса (т; п - ш).

Ключевые слова: группа движений; пространства Ап (ш; п - т)

Кп (ш;п - т) индекса (ш; п - т).

© Егоров А. И., 2017

I. Сначала введем локальные поверхности вращения пространства Ппу в классах более общих метрических про-

н Н

странств векторных элементов gn,у [2]. Пространства gny характеризуются тем, что метрическое тензорное поле gjk (х, у) не обязательно однородное нулевой степени относительно координат уа . Пусть имеем трехмерное евклидово пространство с прямоугольными, декартовыми координатами (х; у; г):

йъ2 = йх2 + йу2 + йг2.

Далее, пусть г = /(у) уравнение кривой в плоскости (20У ) и эта кривая вращается вокруг оси 02 . Уравнение образованной поверхности вращения имеет следующий вид:

2 = / (±у1 X2 + у2 ) , (1)

или

2

г =

ф(х2+у2):

где

ф(х 2+у2 )=/2 (±7X^7).

Радиус-вектор любой точки поверхности вращения однозначно определяет ортогональную проекцию на плоскость ХОУ . Уравнение (1) можно записать также в параметрическом виде

2 ¡2,2] г = ( + V ^ х = и, у = V,

где и,V — параметры. Индуцированная метрика йа2 на этой поверхности вращения имеет следующий вид:

dc2 = йи2 + ¿V2 + у(М )(ийи + уйы )2, (2)

йе/ (м )

где ц/{м) = —, ч , М = и + V . В п -мерном случае, имеем (р[М )

метрику п -мерной поверхности вращения:

й а2 = ¿/и'2 + ... + йи"\ + у(М )(и'йи' +... + ипйип )2, (3)

I "---'

II

I2 п2

где М = и +... + и" . Метрика (2) поверхности вращения есть метрика плоскости ХОУ или ее области с выделенной точкой О , зависящая от компонент вектора, исходящего из этой точки. В общем случае метрика (3) также есть метрика центроаф-финного пространства или его области, зависящая от компонент вектора, исходящего из точки О .

Определение 1. Локальным пространством П2у поверхности вращения называется двумерное гладкое многообразие X 2, в каждом касательном пространстве которого задана метрика пространства поверхности вращения, гладким образом зависящая от х е X2.

Пусть (х') — локальные координаты на X2; ((х', у') — локальные, естественные координаты на Т (X 2), тогда метрика пространства П 2у формально имеет следующий вид:

2 = х )йхгйх] (Ъ'( х )у'у}, х) (Ъ'( х )угйх] )2, где Ъ' (х) — метрическое тензорное поле риманова пространства

¥п (х). Компоненты метрического тензорного поля g ^ (х, у) пространства П 2у имеют следующую структуру:

н

gJk ( ^у) = Ък ( х) + ,х)Ь]Р ( х)ЬЬ ( х)у'у',

или

н

gJk (х,у) = ^ + у(2Р,, (4)

где

Р = 1 Ъ.(х) у'у], ^ = Ъкр (х) ур, Р,.. = Ъ. (х), Ъ. (х) уу = 2Р.

Отсюда находим, что

Н / \

gjk.e = 2^2 Р (2 р, х )ррр +у(2 р , х )(руР + р),

1 ^ ( . к , 2 ) (5) у2р = а(Р) к,е = 1,2,...,п).

II. Рассмотрим теперь шестимерное евклидово пространство Е6 с метрикой (йъ2 > 0 в зависимости от с ):

йБ = йх2 + йу2 + йг2 + 2 + йъ2 + йг2 + сйг • йг ,

где с е Л \ {- 2;+2}.

В этом пространстве Е6 рассмотрим поверхность (Б), заданную уравнениями:

(Б>2 = ф1 (х2 + у2), г2 =У1 2 2). (6)

В частности, если поверхность (Б) задана уравнениями:

(Б):/2 = а2 (х2 + у2), г2 = Ъ2 ^2 + ъ2), {а,Ъ}е Л,

то получим результаты работы [2], как частный случай. Положив

х = и1, у = и2, ? = V1, ъ = V2,

12 12

где и , и , V , V — параметры, получим, что индуцированная метрика на этой поверхности (Б) необходимо имеет следующий специальный вид:

й а2 = йи1 + йи2 +ф(р );(и1йи1 + и 2йи2) +

I

+ й/ + dv22 + у (к+ v2dv2 )2 + (7)

1-V-'

II

+ с^ ф(р )• у(к ) (и1йи1 + и 2йи2 + V 2dv2),

ш

где по определению положено:

<¥ ф <¥ ¥ 12 22 12 22 ф = п—; у = :и—, р = м + м , к = V + V . ф ¥1

2

Метрика йа состоит из трех указанных частей I, II, III. Поверхность (Б) с метрикой (7) будем называть четырехмерной поверхностью индекса (2, 2) и обозначать символом К4 (2; 2). Метрика (7) есть в тоже время метрика центроаффинно-го пространства, зависящая от вектора, задающего направление. Метрику (7) будем рассматривать как метрику 4-мерной

/ 1 2 1 2\ „ „ поверхности и , и , V , V I с выделенной точкой О и зависящую от вектора W, исходящую из точки О .

Пример 1 (общий случай). Для п -мерной поверхности

К" (т;п - т) индекса (т;п - т) имеем по определению формально следующую метрику:

й а2 = (йи1 +... + йит ) + ф(р )(и1йи1 +... + итйит )2 +

I

+ (йит+12 +... + йи"2) + у (к )(ит+1йит+1 +... + и"йи )2 +

1-V-'

II

+с^1 ф(р )у(к ) (и1йи1 +... + итйит )(ит+1йит+1 +... + и"йи"),

где

def ,2 „2 2 def ,,2 , 22 2 12 22 m2 1 m+1 m+2 n

p = u + u +... + u , k = u + u + ... + u .

Пример 2. В частности, метрика п -мерной поверхности К" (2; п — 2) индекса (2; п - 2) имеет следующий вид по определению:

def

d с2 =

(du1 + du2 ) + ф(p)(u1du1 + u2du2)

i

2

+(du32 + du42 +... + dun2 ) + y(k)(u3du3 + u4du4 +... + udun^

ii

+c^ф(p)y(k) • (u1du1 + u2du2))u3du3 + u4du4 +... + undun),

def .2 22 def 32 ,2 2

1 3 4 n

где p = u + u , k = u + u + ... + u .

Пример 3. Метрика n -мерной поверхности Kn (0; n) индекса (0; n) имеет следующий вид (исключительный случай):

d с2 = du11 +... + dun2 +ф( p) (u1du1 +... + undun)) (8) где положено, что

^ 12 22 n2

p = u1 + u2 +... + un ,

и совпадает с введенной нами ранее метрикой пространства Пn y. В этом «исключительном случае» поверхность (S) задается в евклидовом пространстве уже одним уравнением, характеризующим n -мерную поверхность вращения.

III. Пусть дано гладкое многообразие Xn(x) и на нем задано приводимое риманово пространство Vn (x), то есть *

ds2 = aab ( x)dxadxh + baß ( x)dXadrß,

или

йъ2 = йъ12 + й^,

где

= 2Ыйг2, йъ22 = 2 Мй/12; М = 2ааъ(х1,х2,...,хт)уауЪ, М^ = асй(х);

(а,Ъ,с,... = 1,...,т; ',у,к = 1,2,....,п; аДх,а,... = т +1,...,п)

N = |Ъха(хт+1,хт+2,...,хп)ухуа, М;а;Р =ЪаР(х);

ёе1|\ааЬ\Ф 0, |ЪаР(х)|ф 0.

Определение 2. Гладкое многообразие Хп (х) называется метрическим пространством Л" (т; п — т) индекса(т; п - т), если в касательном пространстве Тх (Хп) базисного многообразия Хп (х) задана метрика индекса (т; п — т), характеризующая пространство К" (т; п — т), причем эта метрика гладким образом зависит от х е Xп (х). Если (х' ) локальные координаты на Хп (х), (, у') — локальные, естественные координаты на Т(Хп), то метрика пространства Лп (т; п — т) индекса (т; п — т) определяется формально следующим образом:

йъ2 = ааЪ (х) йхайхЪ + ф (2М, х) аас (х) аьй (х) усуййхайхЪ +

^-V-'

I

+ Ъар (х)йха йхр + у (2 N, х)Ъах(х)Ъра (х) ух уа йха ХХ +

4-V-'

II

+1 ф(2М, х)у (2N, х) ( (х)Ъха (х) + ахЪ (х)Ъаа (х))уЪуа йха йхх.

Компоненты метрического тензорного поля gj■(x,у) для

этой метрики имеют следующий алгебраический вид:

н

gaЪ\л^У)- иаЪ g а/ у ) = Ъа/ (х) + Р (2 N, х)Ъат (хУ>/а (х)У у" , : (х, у) = с -4р(2М, хУ(2N, х) • (ааЪ (х)

та

(х)+ ат,{х)Ъ

аа (х))/уа.

. (x, у) = ааЪ (х) + Р(2М, х)аас (х)аЪй (х)усу й ,

> ат '

Замечание 1. Если в определении пространства Ап(т; п — т) потребовать, что в каждой точке базы Xn (х) касается «одно и тоже пространство Кп(т;п — т) », то получим пространство Вп(т;п — т). Очевидно, что справедливо следующее включение:

Вп (т; п — т) с Ап (т; п — т).

Для пространств Вп(т; п — т) имеем р = р (2М), у = у (2 N ).

Замечание 2. Метрика касательных пространств введенных выше пространств Ап(т; п — т), Вп(т; п — т) не является евклидовой или псевдоевклидовой как в случае римановых пространств ¥п (х), а является метрикой пространства К" (т; п — т) индекса (т;п — т), которая индуцируется на поверхности (5") второго класса, как нами было установлено выше.

Замечание 3 (о метрике пространства Кп(т;п — т)). В пункте II рассматривалось пространство Е6 с метрикой

2 2 2 2 2 2 йБ = йх + йу + йт + й + йъ + йг + сйт • йг, с е Я, с Ф±2.

Остановимся подробнее на этой метрике пространства Е6 . Перейдем в этом пространстве к новой системе координат по следующим формулам:

х = х, у = у, Т = 2 + г, . = t, Ъ = ъ, г = 2 — г.

Тогда рассматриваемая метрика примет вид:

dS = dx2 + dy2 + adz2 + d?2 + d?2 + =dr2,

def 1 c def 1 c

где a = —l—; В =---. Здесь возможны пять случаев:

2 4 2 4

1) 2)

3)

4)

[a> 0 l=> 0 [a< 0

В> 0

[a> 0

lP< 0

[a < 0 l=< 0

— это возможно, если - 2 < c < 2 ;

— это возможно, если c < 2 ;

— это возможно, если c > -2 ;

— не возможен;

5) если с = -2 или с = 2, то метрика вырожденная. Рассмотрим случай 1 (остальные случаи рассматриваются аналогично). В этом случае - 2 < с < 2, а > 0, /3> 0. Метрика

здесь будет знакоопределенная dS > 0 . Перейдем к новой системе координат по следующим формулам:

= 4a<

az, x = x; t = t.

= VB

r, y = y; 5 = 5 ,

тогда окончательно получим метрику

-2 , J..2 , J_2 , J.2

dS = dx2 + dy2 + dz2 + dt2 + ds2 + dr2

(9)

и уравнение поверхности (S), определяющей пространство

K4(2;2):

(S):

f „ Л2 f _ Л2

где

def 1 с def J с с

а = — + —, В =---, а + В = 1, а-В = — , - 2 < с < 2.

2 4 2 4 2

В последних записях мы опустили две тильды над переменными х, y, z, t, s, r . Метрика (9) записана уже в прямоугольной, декартовой системе координат. В работе [2] уравнения поверхности (5"), задающей пространство П4 (2;2), имеют аналогичный вид.

Вопрос о построении связности в этих и введенных выше пространствах очень интересный, и мы его рассмотрим в следующих работах.

Список литературы

1. Егоров А. И., Егоров И. П., Егорова Л. И. Приводимые и полуприводимые метрические пространства линейных элементов и их место в теории движений // Межвуз. сб. науч. тр. Пенза, 1991. С. 38—62.

2. Егоров А. И. Геометрическая интерпретация некоторых мак-

0

симально подвижных метрических пространств gny линейных элементов различных лакунарностей основного случая I // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 76—88.

A. Egorov

o

Geometrical interpretation of some movable metric spaces g ny of linear elements of different lacunae in the main case II

This paper is dedicated to the research described in [1; 2] in which the same designations and definitions are used. The article considers such

spaces as An (m; n - m), Bn (m; n - m) as metric spaces of linear elements whose metrics of tangent Riemannian space is space Kn (m; n - m) in each point.

Key words: group of movements; spaces An (m;n - m), Kn (m;n - m) of index (m; n - m).