Конформные отображения с сохранением тензора энергии-импульса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.765.1+512.813.4

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ С СОХРАНЕНИЕМ ТЕНЗОРА

ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА

© В. А. КИОСАК Одесский национальный политехнический университет,

Одесса, Украина e-mail: [email protected]

Киосак В. А. — Конформные отображения с сохранением тензора энергии-импульса // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 98—104. — Работа посвящена изучению конформных отображений псевдоримановых пространств с сохранением тензора энергии-импульса. Решение задачи сведено к решению системы дифференциальных уравнений. Обнаружена лакунарность в распределении количества решений указанной системы. Получены тензорные признаки и изучены некоторые геометрические свойства псевдоримановых пространств, отличных от плоских, допускающих максимальное количество решений. Для четырехмерных пространств эти результаты дают полное описание псевдори-мановых пространств, допускающих конформное отображение с сохранением тензора энергии-импульса. Ключевые слова: псевдоримановы пространства, конформные отображения, тензор энергии импульса

Kiosak V. A. — Conformal mappings preserving tensor of stress-energy // Izv. Penz. gos. pedagog.

univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 98—104. — The paper treats conformal mappings of pseudo-Riemannian spaces preserving tensor of energy-impulse. The solving of problem is reduced to the solution of a system of differential equations. We found lacunae in the distribution of the number of solutions of this system. Authors obtained tensor characteristics and study some geometrical properties of pseudo-Riemannian spaces that differs from flat spaces with maximum number of solutions. These results give a comlete description of pseudo-Riemannian spaces that enable conformal mapping preserving tensor of stress-energy in a case of four-dimensional spaces.

Keywords: pseudo-riemannian, conformal mappings, tensor stress-energy

Введение. Среди различных дополнительных предпосылок и ограничений, используемых при решении уравнений Эйнштейна, особое место занимает предположенная Фридманом гипотеза о конформном соответствии между реальным пространством и пространством-моделью. Эта гипотеза позволила получить положенное в основу теории расширяющейся вселенной, нестационарное решение [1], [2], [9], [10], [12], [13].

Работа посвящена изучению конформных отображений псевдоримановых пространств с сохранением тензора энергии-импульса. Решение задачи сведено к решению системы дифференциальных уравнений. Обнаружена лакунарность в распределении количества решений указанной системы. Получены тензорные признаки и изучены некоторые геометрические свойства псевдоримановых пространств, отличных

от плоских, допускающих максимальное количество решений. Для четырехмерных пространств эти результаты дают полное описание псевдоримановых пространств, допускающих конформное отображение с сохранением тензора энергии-импульса.

Основные уравнения теории конформных отображений римановых пространств. Пусть Vn (n > 2) псевдориманово пространство с метрическим тензором gij (x) и Vn также псевдориманово пространство с метрическим тензором gj (x). Конформным отображением называют взаимнооднозначное соответствие между точками пространств Vn и Vn такое, что

gij (x) = e2a(x)gij(x), (1)

здесь а - некоторая функция.

Если а - постоянная, то отображение называют гомотетией. В дальнейшем, если это не оговорено особо, мы огранимся рассмотрением отображений отличных от гомотетических.

Из (1) получим

дії = е-2а дії,

где дч и дч элементы обратной матрицы метрического тензора Уп и УП, соответственно.

Имеют место формулы ([8], [14]):

Г£,- = Г * + 5^- + 5& - ан д*; (2)

Rijk = Rjjk + fi^ij — fijjaik + g^a (a ahgij —

аajgik) + A^^kjgij — Sjjgik);

Rij = Rij + (n — 2)аij + (A2а + (n — 2)Aia )gij; (3)

R = e 2a(R + 2(n — 1)A2a + (n — 1)(n — 2)Alа). (4)

Здесь и в дальнейшем Г- — символы Кристоффеля второго рода, — тензор Римана, Кг тензор Риччи, определяемый следующим образом —

R d=f Ra ; Rij — Rija,

Дdef т~> ав _ да ___ к а

= Raegae - скалярная кривизна, аi = = а i, а = Tag

dx

Tij — а, ij а, iа, j ,

Ala и A2T - первый и второй символы Бельтрами, определяемые как

Ait = gae а,аТ,в; A2T = gae а,ав,

Sj - символы Кронекера, запятая “,“ — знак ковариантной производной по связности Vn.

Объекты конформно соответствующего Vn пространства Vn будем обозначать чертой.

Заметим, что, если Vn и Vn связаны конформным отображением, то от ковариантного дифференцирования по связности Vn можно, используя (2), перейти к ковариантной производной по связности Vn, обозначим ее вертикальной чертой “ | “, тогда для произвольного тензора Aij:

Aij, k Aijlk + 2akAij + aiAjk + aj Aik а Aajgki а Aaigkj .

О конформных отображениях с сохранением тензора энергии-импульса. Уравнение вида

R

Rij — gij = Tij (5)

называют уравнением Эйнштейна.

Здесь Tij — некоторый тензор, который называют тензором энергии-импульса.

Для Vn имеет место такое же уравнение

Rij — "2 gij = Tij (6)

Вычитая из (6) уравнение (5), получим

(Rij — Rij) — 2(Rgij — Rgij) = Tij — Tij Учитывая (3), (4) и (1), будем иметь

_ n__3

Tij = Tij + (n — 2)(aij — (A2a-2—Ala)gij ). (7)

Таким образом, имеет место теорема

Теорема 1. Если Vn и Vn два конформно соответствующих псевдоримановых пространства, то их тензоры энергии-импульса удовлетворяют соотношениям (7).

Конформные отображения псевдориманова пространства Vn на Vn, при котором

Tij = Tij, (8)

называют конформным отображением с сохранением тензора энергии-импульса. С учетом (8) уравнения (7) примут вид

n__3

Tij = (A2T +---2—Ala)gij. (9)

Тогда

Д2а - Дха

оц = -------п------дгз ■ (10)

Конформные отображения, при котор^1х инвариант а удовлетворяет условиям (10), называют кон-циркулярными отображениями. Они характеризуются тем, что при них геодезические окружности Уп переходят в геодезические окружности Уп [17].

Геодезической окружностью называется кривая, первая кривизна которой постоянна, а вторая — тождественно равна нулю.

Таким образом, имеет место теорема:

Теорема 2. Если при конформном отображении псевдоримановых пространств Уп сохраняется тензор-энергии импульса, то при нем сохраняются и геодезические окружности.

С другой стороны, изучая (9) и (10), можно убедиться, что, если Уп допускает конциркулярные отображения и выполняется условие

п — 2

Д2а =------— Дха, (11)

то при этом отображении сохраняется и тензор энергии - импульса.

Введем в рассмотрение инвариант Б такой, что

а = — 1п|Б |, (12)

тогда (1) примут вид

9гз (х) Б 9гз ■

Последовательно дифференцируя (12), получим

= 1Б

а,г = — Б,Б,*

-(Б ■ Б'Ч - Б,іБ,з) ■ 5

-2

а.

із = -Б, із ■ Б-і

Кроме того,

Діст = ДіБ ■ Б-2; Д2ст = (ДіБ - БД2Б) ■ Б-2

Учитывая это, уравнения (10) примут вид

Д2Б

Б,із = 9із, (13)

а

із

а (11) -

П

БД2 Б = ^ДіБ. (14)

Вектор Б, і, удовлетворяющий условиям (13), называют конциркулярным, а пространства, допускающие такие поля - эквидистантными [11].

Таким образом, нами доказана теорема:

Теорема 3. Если псевдориманово пространство Уп допускает конформные отображения с сохранением тензора энергии-импульса, то Уп является эквидистантным пространством.

При Д2 Б = 0 эквидистантное пространство будем считать принадлежащим основному типу, а при Д2Б = 0 — особому. Если вектор Б, і изотропен, то есть ДіБ = 0, то эквидистантное пространство принадлежит по необходимости к особому типу. Эквидистантные пространства основного типа характеризуются тем, что в них существует специальная система координат, в которой метрический тензор эквидистантного пространства может быть представлен в виде

і^П = 1хі2 + ](хі)йз‘П-і(х2, ...,Хп). (15)

Здесь /(Xі) =0 - некоторая функция, а іа“П_і - метрика (п - 1) - мерного псевдориманова пространства.

Учитывая теорему 3, можно сформулировать

Теорема 4. Если псевдориманво пространство Уп(п > 2) допускает конформные отображения с сохранением тензора энергии-импульса и Д2Б = 0, то в некоторой системе координат его метрический тензор представим в виде (15).

Условия интегрируемости уравнений (13) имеют вид

С иа _ (Д2Б \ ^ (Д2Б \ „

Б,аЩцк = ( п ),кдгЦ ( п ),^

Домножая последнее на Бг = Б, адаг и, сворачивая по г, убедимся, что

(ДБ ),; = ВБ, г, п

(16)

(17)

где В — некоторый инвариант. Тогда (16) примет вид

Б, аЩЗ/к = В(Б, к9із - Б, з9ік).

(18)

или

С учетом (5)

Б,аЯа = В(п - 1)Б, к.

—

Б,аТа = (В(п - 1) - -)Б,Ь

Дифференцируя (8), учитывая (5), (13) и (20), получим

1

-

(19)

(20)

ТізІк = Тіз, к + Б (2Б, к Тіз + Б,іТзк + Б,з Тік - (В(п - 1) - — )(Б, з 9кі + Б,з 9кз )) .

2

Учитывая бездивергентность тензора энергии-импульса убедимся, что инвариант В, по необходимости, равняется нулю, и, следовательно, (17) и (18) принимают вид

(Д2Б),і = 0.

(21)

и

Б, аЩцк = 0-

Таким образом, доказана

Теорема 5. Если псевдориманово пространство Уп(п > 2) допускает конформные отображения с сохранением тензора энергии-импульса, то в нем имеет решение системы уравнений (13), (21).

Указанная система представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений в ковари-антных производных типа Коши с коэффициентами однозначно определенными данным пространством Уп. Исследованию таких систем посвящены работы [4], [5], [6], [15]. Учитывая эти работы и изложенное выше, можем сделать вывод, что распределение числа параметров, от которых зависит общее решение системы (13), (21), носит лакунарный характер. Максимальное число (п +1) допускают плоские пространства. Не существует псевдоримановых пространств Уп(п > 2), отличных от плоских, для которых количество параметров более чем (п — 2). Пространства, допускающие точно (п — 2) существенных параметров, существуют, для них

ВкгЦк = е(аНЬг агЬН)(аЦ Ьк ак ),

где е = ±1, аі,Ьі — некоторые взаимно ортогональные, неколинеарные векторы.

Обозначим это множество Уп(А).

Для тензора Риччи и скалярной кривизны получим

-Ы]к = -е(ааа,акЬз + ЬаЬа^аз)(Ьк - афз)

— = -2еаа ааЬа Ьа Здесь аг = аа9т; Ьг = Ьа9аі [3], [4], [5].

Представление (22) позволяет, следуя В. Кайгородову [3], разбить множество Уп(А) в зависимости от изотропности или неизотропности векторов аі и Ьі на три непересекающихся класса:

Уп(Аі): аааа = 0; ЬаЬа = 0

Уп(А2 ): аааа = 0; ЬаЬа = 0

Уп(Аз) : аааа = 0; ЬаЬа = 0

Для каждого из классов Уп(А) можно указать тензорную характеристику

Уп(А1) : — —Ызк = —Нк —із —hj —ік

Уп(А2) : — = 0; —із = -еЬаЬааіаз;

Ь Ьа—Мзк = ЬіЬз —Кк ЬіЬк—Нз +

+ЬнЬк —із - ЬКЬз —ік

Уп(А3) : = 0

Отметим, что пространства Уп(А) являются полусимметрическими [3], то есть в них

—Ызк, іт —Ызк, ті °. (22)

Таким образом, четырехмерные псевдоримановы пространства, допускающие конформные отображения с сохранением тензора энергии-импульса, будут либо плоскими, либо полусимметрическими, принадлежащими к одному из классов У4(А), либо допускают одно эквидистантное векторное поле. Как следует из исследований [16], пространств У4(Аз) не существует.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вейнберг С. Гравитация и космология. — М.: Мир. — 1975. — 696 с.

2. Денисов В. И. Специальные конформные отображения в общей теории относительно-сти.//Укр.геометр.сб. — Харьков: Вища школа. —№28. — 1985. — С. 43-50.

3. Кайгородов В. Р. Структура кривизны пространства-времени//Итоги науки и техн. Сер. Проблемы геометрии. — М.: ВИНИТИ. — №14. —1983. —С. 177-204.

4. Киосак В.А. Об эквидистантных римановых пространствах//Межвузовск. сб. науч. трудов “Движения в обобщенных пространствах11. Пенза. — №2. —1992.

5. Кюсак В.А. Про еквщютантш псевдорiмановi простори//Математичш студії, Львов. — №4. — 2011.

6. Кюсак В.А. Про конформні вщображення майже Ейнштейнових простор!в//Математичш методи та ф!зико-мехашчш поля. — 54. — №2. — 2011. — С. 17-22.

7. Обозов В.И. О проективности конформно-плоских пространств, созданных гидродинамическим тензором энергии-импульса//Изв.вузов. Физика. — №10. — 1972. — С.16-20

8. Петров А. 3. Новые методы в общей теории относительности. — М.: Наука. — 1966. — 495 с.

9. Пугачев Я.И. Конформное отображение в общей теории относительности и некоторые вопросы кос-мологии//Изв.вузов. Физика. — №1, 1960. — С. 47-53.

10. Пугачев Я.И. Критерий конформной инвариантности неизотропных геодезических//Изв.вузов. Физика. — №1, 1962. — С. 45-47.

11. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. — М.: Наука. — 1979. — 255 с.

12. Синг Дж. Общая теория относительности. — М.: Изд-во иностр.лит. — 1963. — 432 с.

13. Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. — М.: Наука. — 1974. — 520 с.

14. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. — М. : Изд-во иностр. лит. — 1948. — 316 с.

15. Kiosak V.A., Matveev V.S. Complete Einstein metrics are geodesically rigid //Comm. Math. Phys. — 289. — №1. —2009. — P. 383-400

16. Kiosak V.A., Matveev V.S. There are no conformal Einstein rescalings of complete pseudo-Riemannian Einstein metrics//C. R. Acad. Sci. Paris. — I 347. —2009. — Р. 1067-1069.

17. Yano K. Concircular geometry, I-IV//Info Proc. Imp. Acad. Tokyo. —№16. —1940. — Р. 195 -200; 354 -360; 442 -448; 505 -511.