Изотропный тензор Вейля на четырехмерных локально однородных псевдоримановых многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия АлтГУ. Математика и механика. 2019. № 1 (105)

УДК 514.764

Изотропныйтензор Вейля начетырехмерныхлокально однородных псев доримановых многообразиях*

С.В. Kнсквкcкa

Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

T he IsotropicWeyl Tensor on Four-Dimensional Locally Ho mogeneous Pseudo-Riemannian Manifolds

S.V. Klepikova

AltaiState Uno^sity (Barnaul, Russia)

Вработахмногихматематиков изучак^тся;^^-кольнооднородыаые (многонбра-^]^я,басее оОщиы ст^у^ча^^

яочьнсаукафс^]иа^к однороанкке (хоовно^имынозы cpc^i^i^t^^i^i^TBS ^мнвгпоСра^]^}^, уыуй^1эа^]^1^ы(лпрс-оВиазооаннонакомоаоккд ействуют транзитивно). Такие паюcонaнcовауогыюдoвaлиcьвывкуaг как ри-и пceвcпыимтндвoймевpкк.Pз раОоты У.Д.ПeкионпнaIP]B.Cлaвского иЛ.Н. ЧзеКрикавс^]-иавоетпгс ыок есыноля многтыбразий рвзменоости кгоМооноок Веаляммеаа нгнyогвoйубсpото коог мьотог пoмощоюуaуфоpмвоЧ деформадкимажно вало коггпо^ао фс^г^б^ь^отгн oвтднoгotпсеоао)нммт-ваыо правиранствеполучитн локально одныpзинвe пюoсоpорсавo.0оыюоаecтecтвexвaым ооразомыте-pуsсзооочб тауаAIeоoвaнии таывх (пгeвдo)римз-оооо1влованьнооошфоркно винородных и лoкaаю-вpeоноpoднын микгoо0pыерр, р,^я: котооыхнондрат нерпы тензора Вейло paсsо: нненпоо поэтом с^м еынзои нуеюогравнн (такой тензор Вейля еще называют изотропным) .

Пpиюpдуаeянпиаaниокзшсзoвoгo аsгoввcмaкю-шeкияaтдaaвr о оотccифкюpцру гз^]^гогвм^{^ныхиы-вочокнoоуынвдныуtпceомoiкимапоaыxмннгoaTпо-зий с м)квиокно^]н тeызopомBейлвиnxтpивиaльнoй кадгруппой изотропии.

Кяючевмеслова:(псевдо)римановое

изотропный тензор Войоя, системы компоютереоёма-

тематики.

DOI 10.14258/izvasu(2019)1-13

Tlie locallyhom^j^eneous (j^seudo)Riemar^r^iiin manifolds are siiaCieO by uoany imathecuo^Cemony OC^ecnorec^eaei^aii^c^scsoilAerrioi^unmoir[o^^(ispuc^s wciere oonfonmolCransformrOionaacl l^ans^t^ioa^ui-OU^^y aceolso cuOad tisa looallycooiormallyhomogeneosts (nleudb)Riemaynianmamfoida. Itie worth noting that ecm uoanWclc^s weR(Уvett(gated bothfosthe case oURierofa^cfico metric, aud sor tiie caseoO psouOc-Oi emanniay mot ric.

Tlre work of E.D. Rodioborc VVSiaaskiy ous L.N. cc^io^cc^c^^ia clo(msrhat if tbeeeis aWeol oencon with dae non-zesosquaoed lenacO ilor amaaieoin otУimauliau n >4,tycna IocoUu oomagemous spaee coo bembiaiyedfram a In coily lanO)rmollyhamogeneaus (psaurlo)RieУlanoian scacs bymeansofa cenfonmal detero^a^tioc. Hencelahenasbauid bea nardroHy ^^isen Cnbbiemae invesClgalrnuch Ipccode)Rismannian lolecy auuformaild homooedrousauO locally hdmogenebns mon(folds for whicbrhscquaredlength of the Weyl tensor equals Co zerp^o! the tense itallf os not-anai to zern (sudia Wc|1 tensor is alsp calka icoteopicl.

into^fi paees,wc descrlolastep-by-ctRpalgorithm aosoivetise wsoblem otdasgieicatlon caOona-Oimeosional focaUy damogentbnapseudo-Riemannian manifolds within i^i^tropi cWeyltensorand a non-trivial isotropy subgroup.

Key words: (pseudo)Riemannian manifold, isotropic Wfeyl tensor, systems of computer mathematics.

Введение

При исследовании локально конформно однородных (псевдо)римановых пространств [1] логичным продолжением являются (псевдо)римановы многообразия с изотропным тензором Вейля.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант: № 1831-00033 мол_а).

М ввnоме нмевмемыыв гоукк Лк в веыокыыммкr мыныой pомaышaыоK AaнмккоK ы ммбонмв [2, 3] .p3 внырыв AыоaообмюекK xоpnрaыю кврaмxыыюищюи кpюввкMккюшуи нмевмемыыв гоукк Лк, gp3 коно-оыв нaыеом Hвоnнaыю — МaKpи Ымымвог нaыеомю МaKpи ы нмaвAaмыоA ввnоме) иыpиaнви кеонмоxr рын. М вняток мюбонa кввpaвоыюыы pокюpоыо од-

нородные четырехмерные псевдоримановы многообразия с изотропным тензором Вейля, имеющие нетривиальную подгруппу изотропии.

Пусть (М, д) — (псевдо)риманово многообразие размерности п; X, У, Z,V — векторные поля на М. Обозначим через V связность Леви-Чивита и через R(X,Y)Z = [VY, VX]Z + V[XY]Z тензор кривизны Римана. Тензор Риччи г и скалярную кривизну s определим как

г(Х,У)=tr(V ^ R(X,V)У), s = trg(г).

Тензор Вейля W будет иметь следующий вид:

W = R - A®g,

гДе A = nb r -

(A® g)(X,Y,Z,V)

2(и-1)/

А(Х, Z)g(Y, V)+А(У, V)д(Х, Z)-A(X, V)д(У, Z)-А(У, Z)g(X, V).

Определение 1 [2]. Векторное поле V, определяющее инфинитезимальное изометричное преобразование (псевдо)риманова пространства, бу-

дем называть киллинговым, если

Vi,j + Vj,i = 0.

(1)

Соответственно, векторное поле V, определяющее инфинитезимальное конформное преобразование (псевдо)риманова пространства, будем называть конформно-киллинговым, если

Vi,j + Vj,i = 2w gik,

(2)

где w = Vk,ig /n.

Определение 2 [2]. Пусть (M,g) — связное (псевдо)риманово многообразие, для любой точки xo которого и любого касательного вектора vo G Tx0 M существует векторное поле v(x) в окрестности точки xo, удовлетворяющее уравнению (1), такое, что v(x0) = v0. Многообразие в этом случае назовем локально однородным, пространством. Соответственно, если векторное поле v(x) удовлетворяет системе уравнений (2), то многообразие назовем локально конформно однородным пространством.

Локально конфорно однородные пространства исследованы, например, в работах [4-8]. В работе [2] доказана

Теорема 1. Пусть (M, д) — локально конформно однородное связное пространством, и пусть хотя бы в одной точке имеем \\W\\2 = 0 (\\SW\\2 = 0 при dim M = 3). Тогда (M,g) конформно эквивалентно локально однородному пространству.

Отсюда естественным образом появляется задача об исследовании таких (псевдо)римановых локально конформно однородных и локально однородных многообразий, для которых квадрат длины тензора Вейля равен нулю, но при этом сам тензор нулю не равен. Далее такой тензор Вейля будем называть изотропным.

Замечание. В случае римановых многообразий из того, что квадрат длины тензора Вей-ля равен нулю (\\W\\2 = 0), следует, что сам тензор равен нулю, поскольку в ортонормированном базисе из векторов в касательном пространстве произвольной точки многообразия квадрат длины тензора Вейля представляет собой сумму квадратов всех компонент, а значит, равен нулю тогда и только тогда, когда каждая компонента тензора равна нулю.

Заметим также, что применение систем компьютерной математики для изучения локально однородного (псевдо)риманова пространств с изотропным тензором Вейля становится возможным при малой размерности таких многообразий. Далее приведем математическую модель, позволяющую вычислять квадрат длины тензора Вейля на локально однородном (псевдо)римановом пространстве (подробнее см. [9,10]).

Пусть (M = G/H,g) — однородное (псевдо)ри-маново многообразие размерности m, g — алгебра Ли группы G, h — подалгебра изотропии, m = g/h — (необязательно редуктивное) дополнение к h в g, h = dim h.

Пусть jeb e2,... ,ек,щ ,U2,.. . ,um} — базис g, где {ei} и {Ui} — базисы h и m соответственно. Положим

[ui, Uj ]m = Cij Uk, [ui, Uj ]h = Cij ek, [hi,Uj] m = CijUk ,

где ckj, Ckj и ckj — массивы соответствующих размеров.

Первым этапом решения задачи станет вычисление представления изотропии ф на базисных векторах h:

ф j = (Ф e)j = ek,,

(3)

и запись условия инвариантности метрического тензора д:

(ф^ ■ д + д ■ ^ = 0, I = 1,...,^ (4)

где (ф^ — транспонированная матрица.

Далее с помощью уже известных структурных констант и матрицы метрического тензора находим компоненты связности Леви-Чивита V:

гк = — {4, + д°кс1взда + двкСндц) ;

гк = — г-к _ — двк Г п., г з = 2д свдз1,

где Vuiи, = Г,ик, Vhiи, = Г,ик и {с/3} — матрица, обратная к матрице {д, }.

Следующим этапом решения задачи становится вычисление компонент тензора кривизны R и тензора Риччи г:

^з кв = к Гр1 — Г, к Ги + сз Г"1 к + СЦ Г к ) дрв,

Известия АлтГУ. Математика имеханика. 2019. № 1(105)

г1к Rijksg •

Далее становится возможным нахождение компонент тензора одномерной кривизны

^ =

2(п — 1)/ вычисление тензора Вейля

Wijkt = — Aik gjt — Ajtgik + Aitgjk + Ajkgit,

а также квадрата его длины

У2 = WijktWaвYS д1ад1вдк1 ди.

Пример вычислений

Рассмотрим локально однородное псевдори-маново пространство размерности 4, имеющее в классификации [11] номер 1. 11. 1. В алгебре Ли 0 существует базис {е1,и1,и2,и3,и4} — базис 0, где {е1} и {щ} — базисы ^ и т. Скобки Ли на базисных векторах имеют вид

[е1,Ь1 ] = Ь1, [еьиз] = —из, [ь1,ьз]= Ь2, [Ь2,Ь4] = Ь2, [из,Ь4] = из.

Вычисляем представление изотропии (3):

Ф1 =

и записываем условие (4) инвариантности метрического тензора:

«12 = 0, «14 = 0, ац = 0;

«23 = 0, «33 = 0, «34 = 0.

При решении данной системы уравнений относительно компонент метрического тензора получаем, что инвариантное скалярное произведение обязано иметь следующий вид:

д=

Оно также обязано иметь либо лоренцеву (+, +, +, —), либо нейтральную (+, +, —, —) сигнатуру.

По вышеприведенным формулам вычисляем ненулевые компоненты тензора Вейля

^324 = ^413 = — 1 «22;

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 —1 0

0 0 0 0

Wl223 = ^^2312 = — «22 («23 — 2«22«44 + 2«^)/ /(12«13 («22«44 — «24)); Wl434 = Wз4l4 = («23 — 2«22«44 + 2«^4)«22«44 /

/(12«13(«22«44 — «24)); ^^1234 = ^^3412 = «22 («13«24 — 3«13«22«44 + +3«13«24 — 2«22«24«44 + 2«34)/ /(12«13 («22«44 — «24)); 1/^1423 = ^^2314 = — («23«24 + 3«13«22«44 — — 3«13«24 — 2«22«24 «44 + 2«34)«22 / /(12«13 («22 «44 — «24))

и квадрат его длины

\\2 = («43 — 13«13«22«44 + 13«23«24 + +4«22«24 — 8«22«24«44 + 4«44)«22/ / (3(«22 «44 — «24)2«43).

Решая уравнение \\W\\2 = 0, получим два решения

«22 = 0 или «22 =

13«23 + 8«24 ± 3л/17о

8«44

При «22 = 0 тензор Вейля будет тривиальным, а при втором решении зануляются не все компоненты тензора Вейля, а значит, тензор Вейля является изотропным. Таким образом, получим следующую теорему

Теорема 2. Локально однородное 4-мерное псев-дориманово пространство 1. 11. 1 имеет изотропный тензор Вейля тогда и только тогда, когда инвариантная метрика д имеет вид

0 0 «13 0 0 0 «13 0

0 «22 0 «24 0 «22 0 «24

«13 0 0 0 . д = «13 0 0 0

0 «24 0 «44 0 «24 0 «44

где «22 = -13—-13, «13 = 0, причем инвариантное скалярное произведение обязано иметь лоренцеву (+, +, +, —) сигнатуру.

W2424 = —

«22 («13 — 2«22«44 + 2«24)

6«?3

«22 («23 — 2«22«44 + 2«24) ; 6(«22«44 — «24)

Заключение. В результате проведенных исследований построена математическая модель, позволяющая получить исчерпывающую классификацию локально однородных (псевдо)римано-вых многообразий размерности 4 с изотропным тензором Вейля и нетривиальной подгруппой изотропии.

2

Библиографический список

1. Rodionov E.D., Slavskii V.V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comment. Math. Univ. Carolin. 2002. Vol. 43, No 2.

2. Rodionov E.D., Slavskii V.V., Chib-rikova L.N. Locally conformally homogeneous pseudo-Riemannian spaces // Siberian Advances in Mathematics. 2007. Vol. 17, No 3.

3. Khromova O.P., Klepikov P.N., Klepi-kova S.V., Rodionov E.D. About the Schouten-Weyl tensor on 3-dimensional Lorenzian Lie groups // arXiv:1708.06614, 2017.

4. Besse A. Einstein manifolds — Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1987. DOI: 10.1007/978-3540-74311-8.

5. Salimi Moghaddam H.R. On Ricci Soliton metrics conformally equivalent to left invariant metrics // arXiv:1401.0744, 2016.

6. Podoksenov M.N. Conformally homogeneous Lorentz manifolds. II // Siberian Mathematical Journal. 1992. Vol. 33, No 6.

7. Liimatainen T., Salo M. Nowhere conformally homogeneous manifolds and limiting Carleman

weights // Inverse Problems and Imaging. 2012. Vol. 6, No 3. DOI: 10.3934/ipi.2012.6.523.

8. Alekseevsky D. Lorentzian manifolds with transitive conformal group // Note di Matematica. 2017. Vol. 37, No 1. DOI: 10.1285/i15900932v37suppl1p35.

9. Клепиков П.Н., Родионов Е.Д. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию алгебраических солитонов Риччи на однородных (псевдо)римановых многообразиях // Известия Алтайского гос. ун-та. 2017. №4(96). DOI: 10.14258/izvasu(2017)4-19.

10. Хромова О.П. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию оператора одномерной кривизны на нередуктивных однородных псевдоримановых многообразиях // Известия Алтайского гос. ун-та. 2017. №1(93). DOI: 10.14258/izvasu(2017)1-28.

11. Komrakov B.B. Einstein-Maxwell equation on four-dimensional homogeneous spaces // Lobachevskii J. Math. 2001.