CC BY
9
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 2 (2018). С. 43-56.
УДК 514.7
ВЛИЯНИЕ СТРАТИФИКАЦИИ ИА ГРУППЫ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПСЕВДОРИМАНОВЫХ ОРБИФОЛДОВ
Н.И. ЖУКОВА
Аннотация. Исследуются группы конформных преобразований n-мерных псевдори-мановых орбпфолдов при п > 3. Метод Алексеевского исследования групп конформных преобразований римановых многообразий распространен нами на псевдоримановы орбифолды. Показано, что на каждой страте положительной размерности такого ор-бифолда индуцируется конформная псевдориманова структура. Благодаря этому при к £ {0,1} U {3, ...,п — 1} получены точные оценки размерности полных существенных групп конформных преобразований n-мерных псевдоримановых орбпфолдов, имеющих fe-мерные страты, на которых индуцируются существенные группы конформных преобразований. При получении указанных оценок ключевым фактом является то, что любая связная группа преобразований орбифолда сохраняет каждую связную компоненту любой его страты.
В работе также исследуется влияние стратификации n-мерного псевдориманова орбифолда на группу преобразований подобия этого орбифолда при п > 2.
Точность полученных оценок размерности полных существенных групп конформных преобразований и групп подобий n-мерных псевдоримановых орбифолдов доказана с помощью построения соответствующих примеров локально плоских псевдоримановых орбифолдов.
Ключевые слова: орбифолд, конформная псевдориманова геометрия, конформное преобразование, группа Ли.
Mathematics Subject Classification: 53С50, 53А30
1. Введение
Исследование псевдоримановых многообразий с существенной группой конформных преобразований является актуальным и интенсивно развивающимся направлением современной глобальной дифференциальной геометрии. Об этом свидетельствуют работы Алексеевского [1], Подоксенова [2], Франса [3]-[4], Зегхиба и Франса [5], Мельник и Франса [6] и других авторов, а также обзоры в монографии [7].
Подчеркнем, что в отличие от римановой метрики, псевдориманова метрика существует не па каждом n-мерном орбифолде М. Следовательно, существование конформной псев-доримановой геометрии па М накладывает условия на топологию орбифолда.
N.I. Zhukova, The influence of stratification on the groups of conformal transformations of pseudo-Riemannian orbifolds.
©Жукова Н.И. 2018.
Публикация подготовлена в ходе работы (проект No 16-01-0010) в рамках Программы «Научный фонд Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (1111У ВШЭ)» в 2016-2017 гг. и в рамках государственной поддержки ведущих университетов Российской Федерации "5100".
Поступила 08 мая 2017 г.
Современная теоретическая физика использует геометрию на сингулярных, стратифицированных пространствах, к которым относятся и орбифолды. Они используются физиками как пространства распространения струн, Орбифолды оказались полезными и в конформной теории поля. Обзор приложений орбифолдов можно найти в [8].
Орбифолды возникают в теории слоений как «хорошие» пространства слоев [9]. Известные результаты Терстона о классификации замкнутых трехмерных многообразий используют классификацию двумерных компактных орбифолдов [10].
Группы автоморфизмов геометрических структур на орбифолдах исследовались в [11]—[13]. В [14] получена классификация двумерных компактных лоренцевых орбифолдов с некомпактными группами изометрий.
Основные понятия об орбифолдах описаны в разделе 2, более подробную информацию об орбифолдах можно найти в [8].
Мы рассматриваем гладкие орбифолды М произвольной размерности п, допускающие псевдорнманову метрику д произвольной сигн атуры (р,д), где р + д = п. Пар а (М ,д) называется псевдорпмановым орбифолдом.
Определение 1. Пусть (М\,д\) и (N2,92) — два псевдоримановых орбифолда. Гладкое отображение орбифолдов f : М ^ М2 называется конформным, если, f *д2 = Хд\, где f * — кодифференциал отображения /, а X — гладкая, положительная функция на, Если X константа, то отображение f : М ^ М2 называется, подобием псевдоримановых орбифолдов (М\,д\) и (Я2,д2).
Конформный диффеоморфизм псевдориманова орбифолда, (М, д) на, себя, называется, конформным преобразованием,. Диффеоморфизм (М, д) на, себя, являющийся подобием, называется, преобразованием подобия.
Определение 2. Две псевдоримановы метрики д\ и д2 на орбифолде М называются конформно эквивалентными (или подобными), если существует такая гладкая, положительная функция (соответственно, константа) X на, М, что д2 = Хд\.
Класс конформно эквивалентных метрик называется, конформной псевдоримановой
М
рез [д], если метрика д принадлежит этому классу. Класс псевдоримановых метрик, подобных метрике д, обозначается, через [|д|].
Группа всех конформных преобразований псевдориманова орбифолда, (М, д) называется, полной группой и обозначается, через С(М,д). Группа всех преобразований подобия псевдориманова орбифолда, (М, д) называется, полной группой подобий и обозначается, через Бгт(М, д).
Определение 3. Группа конформных преобразований С(М,д) псевдориманова орбифолда называется, несущественной, если она, совпадает с группой изометрий псевдориманова орбифолда, (М,К), где К € [д]. В противном случае группа С(М,д) называется, существенной.
Аналогично определяется существенная группа подобий псевдориманова орбифолда.
Целью данной работы является исследование влияния стратификации псевдоримановых п-мерных орбифолдов на полную группу их конформных преобразований (при п > 3) и па полную группу подобий (при п > 2),
Случай п = 2 мы не рассматриваем, так как он существенно отличается от конформной геометрии при п > 3. Например при п = 2 конформная группа СО(2) изоморфна группе СЬ(1, С) отличных от пуля комплексных чисел по умножению, и каждый конформный 2
Существует другой эквивалентный подход к конформной псевдоримановой геометрии -с точки зрения С-структур, Поскольку конформная псевдориманова геометрия является
G-етруктурой второго порядка в терминологии [17], то к ней применима Теорема 2 из [11], Используя указанную теорему и Теорему VI из [15], мы получаем следующее утверждение.
Теорема 1. Полная группа конформных преобразований С(Я,д) и-мерного псевдо-риманова орбифолда (Я, д) при любом, и > 3 является группой Ли относительно компактно-открытой топологии, причем, структура, группы Ли в С(Я, д) единственная, а, размерность удовлетворяет неравенству
1- ткг N Z (и + 1)(и + 2)
dim С(Я,g) ^-2-L.
Если эта группа несущественная, то
т ^.г ч ^ и(и + 1) dim С (Я ,д) ^ ^—".
В обоих неравенствах равенство достигается, только в случае, когда, орбифолд является, многообразием, на котором, группа С(Я, д) действует транзитивно.
Пусть (Sk ,gSk) — стандартная fc-мерная сфера с индуцированной римановой метрикой в евклидовом пространстве Efc+1, Рассмотрим произведение стандартных сфер S х Sq, где 1 ^ р ^ Q-, снабженное псевдоримановой метрикой —gSv ф gSq. Псевдориманово многообразие (S х S, —gSp ф gSq) называется вселенной Эйнштейна и обозначаетея EinM, Как известно, полная группа конформных преобразований EinM является существенной, равной 0(р + 1,q + 1) и имеет размерность (п+1Кп+2); Где и = р + q. Заметим, что при смене знака у метрики Einp'9 группа конформных преобразований заменяется изоморфной группой Ли, Подчеркнем, что псевдориманово многообразие Einp'9 является конформно плоским, В [4] при и > 4 конструктивным методом доказано существование бесконечного множества конформных псевдоримановых метрик различных сигнатур на S1 х S"-1 с существенными группами конформных преобразований, которые не являются конформно плоскими.
Мы распространили метод Алексеевскою [16], примененный им при исследовании групп конформных преобразований римановых многообразий, на группы конформных преобразований псевдоримановых орбифолдов. Это позволило нам получить оценки размерности
и
fc-мерную страту, па которой индуцируется существенная группа конформных преобразований, указанные в следующей теореме.
Теорема 2. Пусть (Я, д) — и-мерный, и > 3, псевдориманов орбифолд с существенной полной группой конформных преобразований С(Я,д). Тогда:
(г) На каждой компоненте связности, Дск к-мерной страты орбифолда, N при к > 1
индуцируется, конформная псевдориманово, структура, ]• (И) Если орбифолд Я имеет нульмерную страту, то
dim С (Я ,g) ^ ^ + 2.
(Hi) Если орбиф олд Я имеет одномерную страту, то
т \ ^ и2 — 3и + 6 dim С (Я,g) ^ -2-.
(iv) Если на k-мерной страте Дк при 3 ^ к ^ (и — 1) индуцируется, существенная группа конформных преобразований, то
dim С (Я, g) ^ и(и - 1) +(k + 1)2 — ик. Существуют орбифолды, для, которых в оценках (ii)-(iv) достигаются, равенства.
Следствие 1. Если при п > 4 п-мерпый псевдоримапов орбифолд (N,д) имеет (п — 1)-мерную страту, на которой индуцируется существенная группа конформных преобразований, то
т sit кг \ ^ п(п + 1) dim С (Я ,д) ^ ^—".
Следствие 2. Если, 2т-мерный псевдориманов орбифолд (N, д) имеет т-мерную страту, т > 3, на, которой индуцируется, существенная группа конформных преобразований, то
dim С(М, д) ^ т2 + т +1.
Следствие 3. Если (2т — 1)-мерный, псевдориманов орбифолд (N, д) имеет т-мерную страту, т > 3, на, которой индуцируется, существенная группа конформных преобразований, то
dim С (Я, g) ^ т2 + 2.
Замечание 1. Оценки, полученные в Теореме 2 верны и для, групп конформных преобразований римановых орбифолдов. Они усиливают оценки, полученные в Теореме 5.1 работы, [11].
п
(М, д) на группу подобий 8гт(М, д) при п > 2, которая является замкнутой подгруппой Ли группы Ли его конформных преобразований С(N, д).
Теорема 3. Пусть (М, д) — п-мерный, п > 2, псевдориманов орбифолд с существенной полной группой подобий вгт(М, д). Тогда: (i) Группа вгт(М, д) допускает единственную структуру группы Ли размерности
п2 + п + 2
dim вгт(М, g) ^
2
(гг) На каждой компоненте связности, Дск к-мерной страты орбифолда, N при к > 1
индуцируется, класс подобных псевдоримановых метрик [Ыд= |] -(г г г) Если орбиф олд N имеет нульмерную страту, то
п2 — п + 2
dlmЬгт(.N , g) ^ ---.
(гv) Если на k-мерной страте Дк при 2 ^ к ^ (п — 1) индуцируется, существенная группа конформных преобразований, то
п( п 1)
dim 8гт(Я, д) ^ ^—- + k2 + к + 1 — пк. Существуют орбифолды, для, которых в оценках (г г г) и (iv) достигаются, равенства.
В Разделе 7 построены примеры псевдоримановых орбифолдов произвольной размерности п, п > 3, в которых достигаются равенства в оценках, указанных в пунктах (ii)-(iv) Теоремы 2, а также в пунктах (iгг) и (iv) Теоремы 3, Равенство в оценке (i) Теоремы 3 достигается только в случае многообразия.
2. Категория орбифолдов
Задание орбифолда атласом. Пусть М — связное паракомпактное хауедорфово топологическое пространство. Предположим, что Гц — конечная группа диффеоморфизмов открытого связного подмножества U пространс тва Ша. Будем считать, что г руппа Г и эффективно действует на [/.Обозначим че рез ри: U ч N композици ю qu о ги фактор-отображения ги: U ч U/Гц и гомеоморфизма qu: U/Ги ч U на открытое подмножество
U топологического проетранетва N. Тройка (U, Ги,ри) называется орбифолдной картой на N с координатной окрестностью U.
Рассмотрим две орбифолдные карты ( U, Ги, ри) и ( У, Гу, ру) с окрестностями U и V, где U С V. Гладкое вложение фуи: U ^ V такое, что ри = ру офуи, называется вложением карты ( U, Г и,ри) в карту (V, Гу,ру).
Говорят, что две карты ( U, Г и, ри) и ( V, Г у, ру) с координатными окрестностями U и V удовлетворяют когерентному условию, если для любой точки х EU IV существует карта ( W, Гw,jjw) с координатной окрестностью W такая, что х E W С U IV, для которой существуют вложения фиw: W ^ U и фуw: W ^V.
Определение 4. Семейство карт А = {( U, Ги,ри)} называется гладким атласом, на, N, если оно обладает следующими, двумя свойствами:
1) координатные окрестности, карт из А образуют открытое покрытие N;
2) любые две карты из А удовлетворяют когерентному условию.
Связное паракомпак'тое хаусдорфово топологическое пространство N, наделенное максимальным (по включению) гладким атласом, А, называется (эффективным) п-мерным орбифолдом, и по-прежнему обозначается, через N.
Гладкие отображения орбифолдов. Пусть N и N' — гладкие орбифолды с атласами А и А', соответственно. Непрерывное отображение f: N ^ N' называется гладким, если для любой точки х E N найдутся такие карты (U, Ги,ри) E А и (U', Ги/, ри/) E А', что х EU = ри (U), f(U) С U' = ри (U'), и существует гладкое отобр ажение ¡и<и: U ^ U', удовлетворяющее равенству ри' о fuи = f |и о ри. Отображение /и'U называется представителем f в картах ( U, Ги,ри) и ( U', Г и/,ри'), причем fu>u определено с точностью до
Г и Г и
Обозначим через Orb категорию орбифолдов, объектами которой являются гладкие орбифолды, а морфизмами — гладкие отображения орбифолдов. Заметим, что категория гладких многообразий является полной подкатегорией в Orb,
орбифолде М означает, что для каждо й карты ( U, Г и, ри) на U задан а Ги-инвариантная псевдориманова метрика g^, причем для любой инъекции фуи: U ^ V карты (U, Ги, ри) в карту ( V, Г у, ру) выполняется равенево фуиду = ди. Сигнатура метрики ди не зависит от выбора карты из отбифолдного атласа и называется сигнатурой псевдоримановой метрики д на N.
Стратификация орбифолдов. Для любой точки х орбифолда N существует карта ( U, Ги,ри), координатная окрестность U которой содержит х. Возьмем у E р-1(х) и обозначим через (Ги)у стационарную подгруппу группы Ги в точке у. Подчеркнем, что для данной точки х абстрактная группа (Ги)у те зависит от выбора карты (U, Ги,ри) и у E р-1(х). Абстрактная группа (Ги)у орбифолдной группой точки х [11],
х
Пусть (N, А) — ^^^^^^^ гладкий орбифолд. Говорят, что точки х и у из N имеют один и тот же орбифолдный тип, если существуют окрестности этих точек, изоморфные в категории орбифолдов Orb. Подмножество точек одного и того же орбифолдного типа с индуцированной топологией имеет естественную структуру гладкого многообразия, которое, вообще говоря, не связно. Многообразия точек различных типов могут иметь одну и ту же размерность. Обозначим через Д& объединение указанных многообразий размерности к. Возможно Дк = 0 для к E {0,... ,п — 1}. Семейство
Д^ ) = {Дк 1к E{0,...,n}}
называется стратификацией орбифолда М, а Дк называется его стратой.
Как известно (см, например, [13]), имеют место следующие свойства стратификации Д(М) = {Дк Ik е {0,... ,п}} п-мерного орбиф олда М.
• Каждая компонента связности Дск страты Дк образована точками одного орбифолд-ного типа,
• На замыкании Д£ страты Дск индуцируется структура fc-мерного орбифолда, относительно которой Дск является множеством регулярных точек,
• Страта Дп, образованная регулярными точками, представляет собой связное, открытое, всюду плотное подмножество в М. Более то го, Дп с индуцированной гладкой
п
Обозначим через Diff(.V) группу всех диффеоморфизмов орбифолда N. Подчеркнем, что стратификация орбифолда М инвариантна относительно группы Diff (М).
Отметим, что топологическое пространство п-мерного орбиф олда М пр и п > 3, вообще говоря, не является локально евклидовым ([12], Пример 1),
3. Доказательство Теоремы 1
Выбрав подходящий базис псевдоевклидова пространства E^", всегда можно добиться того, чтобы скалярное произведение этого пространства имело вид
д(х, у) = xiyi + ... + ХрУр — хр+1 yp+i — ... — ХпУп,
где х = (х1, ...,хп), у = (у1,..., уп) е E^ q + р = п. Пара чисел (р, q) не зависит от выбора ортонормированного базиса и называется сигнатурой псевдоевклидова пространства E^",
Пусть 0(р, q) — псевдо-ортогональная группа, определенная квадратичной формой х\ + ... + х2 — х2+1 — ... — х2+я сигнатур ы (р, д). Группа Ли С0(р, q) = R+0(p, q), где R+ — мультипликативная группа положительных чисел, называется конформной груп-
0( , )
Положим Н := С0(р, q) к Жп, где п = р + q, — полупрямое произведение конформной группы С0(р, q) = R+0(p, q) и нормальной векторной подгруппы Жп. Группу Ли Н будем рассматривать как полную группу конформных преобразований псевдоевклидова пространства E^ Элементы группы Н будем обозначать через < tA,a >, вде t е R+, A е 0(р, q), a е Шп. При этом групповая операция в Н определена равенством
< t1A1,a1 >< t2A2, a2 >=< t1t2A1A2, t1A1a2 + a1 >
для любых < t1A1, a1 >,< t2A2, a2 >е Н.
Пусть (N, [<?]) — гладкий конформный псевдориманов орбифолд размерности п, где п > 3 и метрика h е [д] имеет сигнатуру (р, q).
Имеется естественное биективное соответствие между псевдоримановыми метриками сигнатуры (р, q) па орбифолде М и 0(р, ^-структурами па М., то есть, задание конформной геометрии [д] на орбифолде М эквивалентно заданию С0(р, (^-структуры на М. Подчеркнем, что при указанной эквивалентности существует изоморфизм С(М, д) ч A полной группы конформных преобразований С(М, д) и полной группы автоморфизмов A соответствующей С0(р, (^-структуры на М (определение этого изоморфизма дано в [11]).
Как известно [17], алгебра 0 = co(p, q) группы Ли С0(р, q) имеет порядок 2 и ее первое продолжение g естественно изоморфно дуальному проетранетву Жп* векторного пространства Мп, Следовательно, С0(р, д)-етруктура является G-етруктурой второго порядка и к ней применима основная теорема из [11]. Согласно этой теореме полная группа автоморфизмов A = С(N, д) — группа Ли, причем dim С(N, д) = dim A < п + dim(g + щ). Так как dlmС0('p, q) = dim co(p, q) = п(п~1 + 1, a dim01 = dim(R"*) = п, то
, „/.г ч , п(п — 1) (п +1)(п + 2) dim С (Я, д) = dim A <п + —- + 1 + п =--^--.
Обозначим через V пространство G-структуры на N, G = СО(р, q). Пусть
V1 — пространство ^-структуры на V, где G1 — первое продолжение группы G.
Пусть п0 : V ^ N — СО(р, q) расслоение, соответствующее конформной G-структуре
на (N, д), а п1 : V1 ^ V — проекция первого продолжения этой G-структуры, Тогда
п = о п1 : V1 ^ N — главное Н-расслоение над N, вде Н := СО(р, q) к Rra, Это озна-
V1
группы Н такое, что пространств о орбит V1 /Н есть орбиф олд причем п является субмерсией орбпфолдов.
Пусть ш есть so(p +1, q + 1)-значная 1-форма на V1, задающая е-структуру, соответствующую первому продолжению конформной G-структуры на (N, д). Так как псевдориманоа конформная структура па М является G-етруктурой второго порядка, то группа Ли ее автоморфизмов A равна
A = {j е Diff(V1) | f*ш = u,Ra of = foRa,a е Н}.
Следовательно, A — группа Ли преобразований как замкнутая подгруппа группы автомор-
V1
A
Ли. Используя это, согласно Предложению 1 из [12] мы получаем, что в группе С(М, д) существуют единственная топология и единственная гладкая структура, относительно которых она является группой Ли, причем эта топология является компактно-открытой.
Если группа С(М, д) несущественная, то она совпадает с группой изометрий Iso(M, h) некоторой псевдоримановой метрики h е [д]. Поскольку псевдориманова геометрия является G-структурой первого порядка, то из [11, Теорема 2] следует оценка
dim С(N, д) ^ и + dim 0(р, q) = ( +—). Последнее утверждение Теоремы 1 вытекает из [13, Теорема 3,1],
4. Представление изотропии
группы конформных преобразований
Каждая компонента связности Дск fc-мерной страты любого орбифолда образована точками одного орбифолдного типа, поэтому в каждой точке z е Дск существует такая карта ( U, Гц,ри), что все точки из U П Дк имеют одну и ту же группу орбифолдноети Гц. Используя это, мы получаем следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть Дск — компонента связности к-мерной страты псевдориманова орбифолда (N, д). Тогда в любой точке z е Дск существует орбифолдная карта ( U, Г ц,рц), обладающая следующими, свойствами: 1) U = Rra = Rk х Rra-fc, причем, z = рц (v), где v := 0п — ноль в W1; 2) группа Гц является, подгруппой группы О(р) х O(q) С 0(р, q); 3) Rk х {0n-k} = РгхГц — множество фиксированных то чек группы Гц. Такая, карта ( U, Гц, рц) назывется линеаризированной картой в точке z.
Везде далее мы используем линеаризированную карту ( U, Г ц, рц) в точке z е U. В касательном векторном пространстве TVU, вде рц(v) = z, рассматриваем ортонормированный базис из неизотропных векторов.
Возьмем любую точку z е N и гарту ( U, Гц,рц) в точке z е U = рц(U). Пусть < — произвольный элемент стационарной подгруппы Cz(N, g), z е N", полной группы конформных преобразований псевдориманова орбифолда (N", д). Рассмотрим произвольный представитель << преобразования < в гарте (U, Гц, рц), Если v е U, рц(v) = z, то <(v) = v, то есть << е CV (U, gfj).
50
Н.И. ЖУКОВА
Так как ф — конформное преобразование, то существует гладкая положительная Гц-инвариантная функция А, удовлетворяющая равенству ф*дщ = exgfj. Пусть (p*v = rA е С0(р, q) и £ = dAIv. Мы будем рассматривать £ как п-мерный вектор. Тогда определено отображение
3 : С(U, дц) чН :фЧ< tA,£ > Аналогично Теореме 7 статьи [16] мы доказываем следующее утверждение.
Теорема 4. Отображение j : С (U, дцу) ч Н является изоморфизмом группы (U, gfj) на замкнутую подгруппу группы Н, причем, для любого элемента ф из С(U, gц) выполняется равенство j(ф) • j(ru) = j(ru) • j(ф).
группы Сь(U, gjj),
Будем обозначать через Ek, k е N к-мерную единичную матрицу. Сохраняя обозначения Теоремы 4, мы получаем следующее утверждение.
Следствие 4. Пусть z е Дск и ( U, Ги, ри) — карта в точке z. Тогда, размерность
стационарной подгруппы Сх(N, д) удовлетворяет неравенству
п2 п + 2
dim С (Я, g) ^ dim( N (Гц )/Гц) ^ -2^ + к,
где N(Гц) — нормализатор подгруппы Гц в группе Ли Н.
Гц
0( , ) Гц (Гц)
физма j. Найдем нормализатор N (Гц) в Н. Заметим, что < rA,a >е N (Гц) тогда и только тогда, когда A принадлежит нормализатору Щ(Гц) группы Гц в С0(р, q) и В a = a для любого элемента < В, 0 >е Гц. Согласно Лемме la е Rk. Следовательно, dim(N(Гц)/Гц) ^ dim N(Гц) ^ dim С0(р, q) + к ^ п + к, поскольку р + q = п. □
Далее мы будем пользоваться следующей леммой.
Лемма 2. Пусть ф — представитель ф е Сх(N, д) в карте (U, Гц,рц). Если j(ф) = < A, г] >, то существует Гц-инвариантная м,етрика h е [д] на, U, относительно которой изотропное представление ф в той же карте имеет вид < A,£ >, где A£ =
Доказательство. Сохраним введенные выше обозначения. Предположим, что j(ф) =< A, 0 > для представителя ф элемента ф е Сг(N", д) в Гц-инвариантной псевдо-
римановой метрике д па U, где ф*д = ехд, (p*v = A, dAv = 9. Подчеркнем, что А — Гц
ходе к другой конформной метрике h = е^д на U, имеет место равенство (p*h = е/h, где d(3v = Ar] — rj + в, г] = dfiv. Обозначая £ = Ar] — rj + 9, нетрудно показать, что всегда существет Гц-инвариантпая функция обеспечивающая с г] = d/iv равенетво A£ =
< A, >=< E, — >< A, >< E, > Гц
инвариантности метрики д и функции ^ новая псевдориманова метрика h = е^д является Гц-инвариантной, □
5. Доказательство Теоремы 2 (i), Докажем сначала следующее утверждение.
Лемма 3. На, каждой компоненте связности, Дск к-мерной страты Дк псевдориманова орбифолда, (N, д) индуцируется, псевдориманова метрика gIA?-
Доказательство. Рассмотрим линеаризированную карту ( и, Гц, ри) в произвольной точке г € Д', пусть г = ри(ь), где г> = 0п. Обозначим V := ри(Ес х {0п-с}). Поскольку сужение рих{оп_к} : Ек х {0п-к} ^ V является гомеоморфизмом, определен обратный гомеоморфизм ф : V ^ Ек х {0п-к}. Пар а (V,-0) — карта многообразия Дск. Положим по определению ду := ф*дщ- Покажем, что ду — псевдориманова метрика па V. Симметричность ду вытекает их симметричности дц■ Проверим певырожденность ду. Предположим, что существует вектор Z € Тг Дк такой, что ду (X, Z) = 0 для любого вектора X € Тг Дск. Достаточно показать, что Z = 0.
Обозначим через |Г| число элементов в группе Г и. Заметим, что для любого вектора У € ТЕп вектор У := ^ 7(У) неподвижен относительно каждого элемента 7 € Ги
и, следовательно, принадлежит ПхТи = Ес х {0п-с}, поэтому ри€ ТхДск. Действительно,
7(У>) = 7("|1 Е ч(у )) = м ^ 7 ° 7(У ) = м £ 7(У ) = ^.
1 1 тег^ 1 1 7ега 1 1 7ега
Рассмотрим векторы Z := ф*^ и произвольный вектор У € ТМп, где у = ф(г). Применяя линейность преобразований 7 € Г, Ги-ипвариантноеть неподвижность векторов У и отпосительно Гц, а также билинейность метрики, мы получаем цепочку равенств
9и(У, Я) = ^ £ 7*9и(У, Я) = ^ £ ди(1(У),7Й) = р £ ди(1(У),%) =
1 1 тег^ 1 1 7ега 1 1 7ега
= 9и (р Е Ч(* = 9и (У, Z) = ду (ри (У ), Z) = 0.
1 1 тег^
Отсюда, в силу невырожденности псевдоримановой метрики д^, вытекает Z = 0, следовательно, Z = 0 и ду — псевдориманова метрика.
Согласованность псевдоримановых метрик ду в различных картах ( V, ф) на Д' является следствием согласованности метрик ди в различных картах орбифолда N. □
Согласно Лемме 3, если псевдориманов орбифолд ^, д) допускает к-мерную страту Д с, то на каждой компоненте связности этой страты Д' индуцируется псевдориманова метрика <?|д£, превращающая ее в псевдоримапово многообразие, которое обозначается через (Дк,д). Следовательно, класс конформно эквивалентных метрик на N определяет класс конформно эквивалентных метрик [д|дс] на Д'. Таким образом, на каждой страте орбифолда индуцируется конформная псевдориманова структура. Не исключается случай, когда эта структура является римановой. Например, на любой одномерной страте, если такая существует, индуцируется конформная риманова структура,
(гг). Предположим, что орбифолд N имеет нульмерную страту До и г = Д°. Так как диффеоморфизмы орбифолдов являются изоморфизмами в категории ОгЬ, то любая связная группа Ли диффеоморфизмов орбифолда сохраняет компоненты страт. Поскольку компонента единицы С0^, [¿г]) является связной группой Ли и оставляет точку г на месте, то из Следствия 4 при к = 0 вытекает, что , д) ^ п —7'+2. Таким образом, утверждение (гг) доказано.
Мы рассматриваем псевдориманов орбифолд ^, д) с полной группой конформных преобразований С^, д).
Пусть ф € Сг (V, д) — конформное преобразование, некоторый представитель ф которого в карте ( и, Г и, ри) имеет изотропное представление < >, Согласно Лемме 1 не нарушая общности, можно считать, что = £ в метрике ди из указанного класса конформно эквивалентных метрик на и, инвариантных относительно группы Ги, Пусть ( и, Г и, Ри) — линеаризованная карта в точке г € N.
Для краткости обозначим метрику д^ через д. Выберем геодезическую систему координат относительно связности Леви-Чивита псевдориманова многообразия ( И, д). Поскольку
что геодезические координаты заданы в и, где и — достаточно малая окрестность нуля в Мга, инвариантная относительно группы Гц. Напомним, что Гц — конечная подгруппа псевдо-ортогональной группы 0(р, д).
Разложим функции фг и д^ в ряд Тейлора в геодезических координатах хг в окрестности точки V = 0п'-
ф\х) = А)х> + 1л)к Ххк + ... = Ах + 2ахх + ..., (1)
д^(х) = 8ц + 2 дц,1ахк х1 + .... (2)
В силу конформности ф необходимо ф*д = ех(х^д, следовательно, имеет место тождество
* (^ (х)) Щх ^ = (3)
Подставим разложения (1) и (2) в (3) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях хг. Затем, повторяя рассуждения из §2 статьи Алексеевского [16], мы получаем следующее выражение
ф(х) = Ах + д(х, С)Ах - 1д(х, х)С + о(д(х,х)). (4)
Таким образом, доказана следующая лемма.
Лемма 4. Пусть ф — представитель конформного преобразования ф из группы Сх(М, д), который имеет изотропное представление < А, £ >, где А£ = £ Тогда, в геодезических координатах в некоторой окрестности, нуля преобразование ф может быть за,писано в виде (4).
Пусть (М, д) — псевдориманов орбифолд размерности п > 3. Обозначим через С°(Ы, д) компоненту единицы группы Ли С(М, д). Поскольку размерность группы С°(М, д) равна размерности С(М, д), то для оценки размерности группы автоморфизмов, мы будем рассматривать только компоненту единицы С°(М, д). Предположим, что М имеет /с-мерную страту при к > 3, и Ак — ее компонента связности. Так как любая связная группа Ли диффеоморфизмов орбифолда сохраняет компоненты страт, то С°(Ы, д) сохраняет Аск.
Согласно Лемме 3 на Ак индуцируется псевдориманова метрика, которую обозначим
Х :С°(Я, д) чС(Аск, .
Тогда &шС (М, д) = ^шС0^, д) < ё1шС (Аск, д) + (ИшКе г(х), где Ке г(х) — ядро гомоморфизма х- Используя оценку размерности полной группы конформных преобразований ^-мерного псевдориманова многообразия (Ак, д), где к > 3, мы получаем
с к + 1)(к+ 2) ¿1шС(Аск, д) -2->_.
В следующей лемме мы находим оценку для размерности ядра Кег(х).
Лемма 5. Пусть на компоненте связности, Аск к-мерной страты индуцируется, псевдориманова метрика типа, (рI, д\), где р\ + д\ = к. Тогда, ядро Кег(х) гомоморфизма
X : С0(Я, д) чС А, д):! Ч обладает следующим,и свойствами:
1) представитель любого элемента f Е Кег\ имеет 'точное изотропное представление в подгруппе [Ek} х 0(р — pi,q — ql) псевдо-ортогональной группы 0(р, q) С Н, где р + q = п;
2) размерность Кег(х) удовлетворяет неравенству
. . (п — к)(п — к — 1) dim Кег(х) ^ --^--.
Доказательство. Обозначим через 0т ноль в Rm, т Е N. Возьмем любой элемент ф Е Кег(х), тогда ф|д = г^дс. В линеаризированной карте (U, Гц,ри) в произвольной точке z Е Ak представитель ф преобразования ф удовлетворяет равенству фк*x{on-fc} = idVkx{0n_k}, ще ри(0, 0) = г, (0, 0) = (0fc, 0n-k) = 0п. Отождествим касательное пространетво T(0;0)(Rk х [0n-k}) с Rk х [0n-k}, a T(0>0)([0k} х Rn-k) с [0k} х Rn-k. Согласно Лемме 4 на Rk х [0n-k} индуцирована псевдорнманова метрика. Не нарушая общности, будем полагать, что [0 k} х Rn-k — ортогональное дополпение к R k х [0n-k}. Поскольку конформные преобразования сохраняют углы между векторами, [0k} х Rn-k инвариантно относительно ф*(0>0).
Предположим, что ф*(0,0) = тА Е С0(р, q). Так как ф Е Кег(х), то выполняется равенство ф*(0,0)(е) = гА(е) = е для любого вектора е Е Rk х [0n-k}. Следовательно, т = 1 и А Е [Ek} х 0(р — pl,q — ql). Таким образом, ф имеет изотропное представление j(ф) =< А, £ > . В силу Леммы 2, те нарушая общности, можно считать, что А£ = Поэтому, согласно Лемме 4, в геодезических координатах в некоторой окрестности нуля U представит ель ф элемента ф удовлетворяет уравнению (4),
Пусть е^ 1 ^ i ^ к, — базис векторного пространства Rk х [0n-k}, не содержащий изотропных векторов. Поскольку А Е [Ek} х 0(р — pl,q — ql), необходимо, чтобы Ах = х для любого вектора х из Rk х [0n-k}. Возьмем произвольное сколь угодно малое действительное число а, отличное от нуля, и подставим х = aei в (4), Учитывая, что Аеi = ei, получим а[ад(ei, £)ei — a,д(еi, ei)£ + о(ад(еiei))] = 0, что равносильно
( С\ 1 ( \С , °(а9(е ie i)) п
д(еi, 0еi — - д(еh е^ +-= 0. (5)
2 а
Так как o(a£l(fiei) ^ 0 при а ^ 0, то из (5) вытекает
д( е i, О ei = 1д( е i, е i) С (6)
i ( i, i) = 0, i арны, В этом случае £ = се ^ Подставив это в (6), мы получаем с = 0 и £ = 0
ф Е К ( х)
< А, 0 >, где А Е [Ek} х 0(р — pl,q — ql). Отсюда следует доказываемое утверждение 1) и требуемая оценка 2), □
Итак, применяя Леммы 2 и 4, мы получаем цепочку неравенств
dim С (Я, д) < dim С (Ack, д) + dim Ке г(х) ^
( fe + 1)( к+ 2) + (щ — к)(п — к — 1) = п(п — 1) +{к + 1)2 —
что завершает доказательство утверждения (гv) Теоремы 2,
Утверждение (iii) Теоремы 2 при к = 1 доказывается аналогично утверждению (iv) с учетом неравенства dim( С(Al, д)) ^ 2. □
6. Группы подобий псевдоримановых орбифолдов
Доказательство Теоремы 3. Так как каждое подобие является конформным преобразованием, и Бгт(М, д) — замкнутая подгруппа Ли группы Ли С(М, д), то все доказанное для групп конформных преобразований псевдоримановых орбифолдов справедливо и для групп подобий. Поэтому в Бгт(М, д) существует единственная структура группы Ли, Так как Бгт(М, д) является группой автоморфизмов С-структуры 1-го порядка в терминологии [17], то из [11] вытекает оценка
1- т- ,кг \\ ^ 1- \ п2-п + 2 п2 + п + 2 шш(Ьгт(М , д)) ^ п + а1шС0(р, д) = п +----=---,
причем равенство имеет место только в случае транзитивного действия группы подобий па М, то есть, только для многообразий. Таким образом, выполияетея утверждение (г),
Утверждение (гг) Теоремы 3 легко получить, применяя Лемму 3,
Рассмотрим любое преобразование подобия ф е вгтх (М, д), оставляющее некоторую точку г е М на месте. Пусть ф — представитель ф в некоторой карте (II, Гц, ри) орби-фолда в точке г. Тогда существует положительное число А, удовлетворяющее равенству ф*д = ехд. Пусть ф*х = тА е С0(р, д). Подчеркнем, что в данном случае £ = ¿А^ = 0. Из Теоремы 4 вытекает, что представление изотропии для ф имеет вид
] : вгт,»(II, д) Ч Н = С0(р, д) : ф Ч< тА, 0 >,
где V е р~-}1 (г), причем ] является изоморфизмом группы вгт.»(и, [<?]) па замкнутую подгруппу группы Н = С0(р, д). Учитывая, что &ш(Н) = п ~2+2, повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве утверждений (гг) и (т) Теоремы 2, мы получаем оценки (г г г ) и (т) в Теореме 3. □
7. Примеры
Напомним, что n-мерное псевдоевклидово пространство E™ сигнатуры (р, д), р+д = п, со стандартной псевдоримановой метрикой д0 определяет конформную структуру [д0], соответствующую G-структуре первого порядка. Поэтому полная группа конформных преобразований С (E™, д0) совпадает с полной группой подобий Sim(Eд0) и равна полу прямому произведению СО(р, д) к Rn.
Пример 1. Согласно определению, принятому нами в Разделе 3, сигнатура EinM равна (д,р). Стационарная подгруппа Cv(Einn-1,1) группа конформных преобразований С(Einp'g) в точке V изоморфна группе Н = СО(р, д) к Rn. Согласно Теореме 4 представление изотропии j : Cv (EinM) ч Н является изоморфизмом групп. Следовательно, конформное преобразование 7 Е Cv (Einp'g) однозначно определено своим образом j('y) = (—En) Е Н, где En — единичная n-мерная матрица. Рассмотрим орбифолд М = Einp'9/Г, где Г — группа с образующей 7, изоморфная Ъ2. Обозначим через д0 индуцированную метрику на М. Лоренцев орбифолд (М, д0) имеет стратификацию (An, А0}. Пусть г : EinM ч N — фактор-отображение и z = r(v). Так как группа конформных преобразований С(М, д0) сохраняет стратификацию орбифолда М, то она совпадает со стационарной подгруппой Сг(М, д0). Учитывая это и применяя Следствие 4, мы получаем, что группа конформных преобразований С(М, д0) лоренцева орбифолда (N, д0) изоморфна фактор-группе N (Г)/Г, где N (Г) — нормализатор подгруппы Г в группе Ли Н. Прямая проверка показывает, что N (Г) = СО(р, д). Так как
dim(R+0(p, g)/{±En}) = П -П + 2,
то С(М, до)) = (п2 — п + 2)/2, и в оценке размерности полной конформной группы С(М, д0) в утверждении (гг) Теоремы 2 имеет место равенство.
Пример 2. Рассмотрим орбифолд N = Ж™/Г, где Г — группа, изоморфпая Z2, имеющая образующую 7, определенную равенством 7(х) = —х, х G Ж™. Обозначим через до индуцированную псевдоевклидову метрику на М. Тогда псевдоевклидов орбифолд (М, д0) имеет стратификацию (Ага, А0}, и полная группа его конформных преобразований С(М, д0) совпадает с полной группой подобий Sim(M, д0) и равняется фактор-группе R+0(p, q)/{±Еп}, поэтому dim(C(N", д0)) = (п2 — п + 2)/2, и мы имеем равенство в оценке размерности полной группы подобий Sim(M, д0) в утверждении (ш) Теоремы 3,
Пример 3. Напомним, что, согласно определению, принятому нами в разделе 3, сигнатура Ein91 'P1 равна (pi, qi), Пусть pi + qi = к > 3, Рассмотрим орбифолд Mi = E™-fc/Г
сигнатуры (р2, q2), где р2 + q2 = п — к > 2, построенный в Примере 2, Пусть {Д^.к, До1)} — стратификация М]_.
Вычислим полную группу конформных преобразований псевдориманова орбифолда М = Ein91'P1 х Mi с метрикой д, равной сумме соответствующих метрик. Заметим, что М имеет стратификацию {Дга, Afc}, причем = Ein91'P1 х Д01)- Так как группа С(М, д) сохраняет связную страту Д&, то, принимая во внимание Лемму 5, мы получаем, что группа Ли С(N, д) изоморфна произведению групп Ли С(Ein91'p1) х 0(р2, q2). Следовательно, имеет место цепочка равенств
dim С(N, д) = dim С(Ein91'P1) + dim0(p2, q2) = dim0(qi + 1,pi + 1) + dim0(p2, q2), поэтому
.. , ( к + 1)( к + 2) (п — к)(п — к— 1) п(п — 1) dim С (Я, д) = --2-L + S--L = —L + (к + 1)2 — пк.
Таким образом, в оценке размерности группы С(М, д) в утверждении (iv) Теоремы 2 выполняется равенство.
Замечание 2. Для группы подобий Sim(N, g) утверждение Леммы 5 справедливо для компоненты связности, Д°к к-мерной страты при любом, фиксированном к > 1.
( п, к)
п > к > 1, Пусть (Mi, g0) — псевдоевклидов орбифолд, построенный в Примере 2 размерности п — к и сиг натуры (р i, qi), вде pi + qi = п — к. Орбифолд М\_ имеет стратификацию {Д^ к, Д01)}. Пусть (Ж^2, д2) — псевдоевклидово пространство размерности к и сигнатуры (р2, q2), вде р2 + q2 = к. Произведение орбифолдов N := Ni х Ж^2 с метрикой д := д0 Фд2 является п-мерным псевдоевклидовым орбифолдом сигнатуры (р, q), p + q = п, где р = pi + р2, q = qi + q2. Орбифолд N имеет стратификацию {Дга, Дк = До1) х Ж^2}. Заметим, что полная группа конформных преобразований С(N, д), совпадает с полной группой подобий Sim(M, д). Так как группа Sim(M, д) сохраняет связную страту Д&, то, учитывая Лемму 5 и Замечание 2, мы получаем существование изоморфизма между группой Ли Sim(M, д) и произведением групп Ли Sim(Ek2, д2) х0(р1, qi). Следовательно имеет место цепочка равенств
dim Sim(M, д) = dim Sim(Ek2, д2) + dim0(pi, qi) =
к2 + к + 2 (п — к)(п — к— 1) п(п — 1) ,2 ,
+ ---- = -Ц-—- + к2 + к + 1 — пк,
поэтому
22
dim Sim(N, д) =У —- + к2 + к + 1 — пк.
п(п — 1К 7_2
Таким образом, мы имеем равенство в утверждении (г г г ) Теоремы 3 Пусть к = 1, тогда из предыдущего равенства мы получаем
а1ш( с (Я, 9)) = п - 32п + 6,
и для оценки размерности полной группы подобий С(М, д) в утверждении (ггг) Теоремы 2 выполняется равенство.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. D.V. Alekseevskii Lorentzian manifolds with transitive conformai group // Note di Matematica. V. 37, no 1. 2017.
2. Подоксенов M.H. Лоренцево многообразие с группой конформных преобразований, обладающей нормальной однопараметрической подгруппой гомотетий // Сиб. Матем. журнал. Т. 38, № 6. 1997. С. 1356-1359.
3. С. Frances Sur les variétés lorentziennes dont le group conforme est essentiel // Math. Ann. V. 332, no 1. 2005. P. 103-119.
4. C. Prances About pseudo-Riemannian Lichnerovitcz conjecture // Transformation Groups. V. 29, Issue 4. 2015. P. 1015-1022.
5. C. Frances, A. Zeghib Some remarks on pseudo-Riemannian conformai actions of simple Lie groups // Math. Res. Lett. V. 12, no 1. 2005. P. 49-56.
6. С. Prances, К. Melnick Conformai actions of nilpotent groups on pseudo-Riemannian manifolds // Duke Math J. V. 153, no 3. 2010. P. 511-550.
7. Resent development in pseudo-Riemannian geometry. ESI Lect. Math. Phvs. Ed.: V. Alekseevskv, H. Baom. Zurich: Eur. Math. Soc. 2008. 549 p.
8. A. Adem, J. Leida and Y. Ruan Orbifolds and stringy topology, Cambridge Tracts in Mathematics. V. 171. New York: Cambridge University Press. 2007. 170 p.
9. N.I. Zhukova Local and global stability of compact leaves and foliations // J. of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. V. 9, no 3. 2013. P. 40-420.
10. W.P. Thurston The geometry and topology of 3-manifolds. Princeton: Princeton Univ. Press. 1978. 360 p.
11. Багаев А.В., Жукова Н.И. Группы автоморфизмов G-структур конечного типа на орбиоб-разиях // Сиб. Матем. журнал. Т. 44, № 2. 2003. С. 263-278.
12. Багаев А.В., Жукова Н.И. Группы изометрий рима,новых орбифолдов // Сиб. матем. журнал. Т. 48, № 4. 2007. С. 723-741.
13. A.V. Bagaev, N.I. Zhukova The automorphism group of some geometric structures on orbifolds, Chap 16. P. 447-483 in: Lie groups: New Research. New York: Nova Science Publishers. 2009.
14. Жукова H.И., Рогожина Е.А. Классификация компактных лоренцевых 2-орбифолдов с некомпактной полной группой изометрий // Сиб. Матем. журнал. Т. 53, № 6. 2012. С. 12921309.
15. R.S. Palais A global formulation of the Lie theory of transformation groups // Memoirs of AMS. V. 22. 1957. P. 1-129.
16. Алексеевский Д.В. Группы конформных преобразований рима,новых прост,ранет,в // Мвтем. сб. Т. 18, № 2. 1972. С. 280-296.
17. S. Kobavashi Transformation groups in differential geometry, New York: Springer-Verlag. 1995. 190 p.
Нина Ивановна Жукова,
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Большая Печерская ул., 25/12,
603155, Нижний Новгород, Нижегородская обл., Россия E-mail: nzhukova@hse. ru
