CC BY
32
МАТЕМАТИКА
УДК 514.764.214,512.816.3
ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВ ЛОБАЧЕВСКОГО, ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ И ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
А.С. Галаев
Саратовский государственный университет, кафедра геометрии E-mail: [email protected]
В настоящей работе приводится классификация транзитивных и просто транзитивных групп движений пространств Лобачевского и транзитивных групп преобразований подобия евклидовых пространств. Также излагается геометрическое доказательство результата Л. Берарда Бержери и А. Икемакхена о классификации слабонеприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр алгебры Ли so(1, п+1).
Isometry groups of Lobachevskian spaces, similarity transformation groups of Euclidean spaces and Lorentzian holonomy groups
A.S. Galaev
In the present paper transitively and simply transitively acting isometry groups of Lobachevskian spaces and transitively acting similarity transformation groups of Euclidean spaces are classified. A geometrical proof of the result of L. Berard Bergery and A. Ikemakhen about the classification of weakly-irreducible not irreducible subalgebras of so(1 ,n+1) is given.
Введение
В 1952 году А. Борель и А. Аихнерович доказали, что группа го-лономии риманова многообразия представима в виде прямого произведения неприводимых групп голономии римановых многообразий [1]. Основная причина заключается в следующем: если подгруппа G е 5O(n) сохраняет некоторое векторное подпространство U е Rn, то G сохраняет также его ортогональное дополнение U1, и мы имеем Rn = U Ф U1, т.е. группа G вполне приводима. В 1955 году M. Берже классифицировал возможные неприводимые связные группы голономии римановых многообразий [2] (подробный обзор групп голономии римановых многообразий см. также [3-6]).
Утверждение теоремы Бореля - Лихнеровича неверно для псевдо-римановых многообразий. Действительно, предположим, что подгруппа G е 5O(r, s) сохраняет собственное вырожденное подпространство U е R^ 5, тогда U n U1^(0), и мы не получаем ортогонального разложения R^ 5 в прямую сумму G-неприводимых подпространств. Подгруппа G е 5O(r, s) называется слабо неприводимой, если она не сохраняет никакие невырожденные собственные подпространства в R^ 5. Теорема Ву утверждает, что группа голономии псевдориманова многообразия
НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ
jy^-,.___Bpdtcnbz Cfhfnjdcrjuj eybdthcbntnf/2005/ N/ 5/ Cth/ Vfntvfnbrf/ Vt[fybrf/ Byajhvfnbrf? dsg/1
представима в виде прямого произведения слабо неприводимых групп голономии псевдоримановых многообразий [7]. Если группа голономии неприводима, то она слабо неприводима. М. Берже дал классификацию связных неприводимых групп голономии для псевдоримановых многообразий [2]. В частности, единственной связной неприводимой группой голономии лоренцевых многообразий является SO0(1, n+1). В [8, 9] даны прямые доказательства этого факта.
Вопрос о классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, групп голономии для псевдоримановых многообразий остается открытым. Первый шаг к классификации связных слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, групп голономии лоренцевых многообразий сделали Л. Берард Бержери и А. Икемакхен. В 1993 году они классифицировали слабо неприводимые, не являющиеся неприводимыми, подалгебры алгебры Ли so(1, n+1) [10]. Более подробно, они разделили такие подалгебры на 4 типа. Доказательство этого результата было алгебраическим.
Приведем геометрическое доказательство результата Л. Берарда Бержери и А. Икемакхена. Рассмотрим (n + 2)-мерное пространство Минковского (V, п) и фиксируем в нем изотропный вектор pe V. Обозначим через SO(V)Rp подгруппу Ли в SO(V), сохраняющую изотропную прямую Rp. Рассмотрим векторное подпространство E е V такое, что (Rp)111 =Rp®E. Пространство E является евклидовым. Рассмотрим векторную модель (п+1)-мерного пространства Лобачевского Ln+1 и его абсолют dLn+1, который диффеоморфен n-мерной единичной сфере. Имеем естественные изоморфизмы:
$0(V)^homl^1 =-Confа/Г5 и SOiV}^*SimEt
где Isom Ln+1 - группа всех движений пространства Ln+1, Conf 5Ln+1 - группа конформных преобразований 5Ln+1 и Sim E - группа преобразований подобия E. Отождествим множество 5Ln+1\(Rp) с евклидовым пространством E. Тогда всякая подгруппа G е SO(V)Rp действует на E, более того, G е Sim E. Докажем, что связная подгруппа G е SO(V)Rp является слабо непри-
рплимпи тпглд
Rp
и только тогда, когда соответствующая подгруппа G а Sim Е, при изоморфизме , действует транзитивно в E. Это дает взаимно однозначное соответствие между связными слабо неприводимыми подгруппами в SO(V)Rp и связными транзитивными подгруппами в Sim E. Используя описание связных транзитивных подгрупп в Sim E, данные в [11, 12], разделяем эти группы на 4 типа и доказываем, что соответствующие слабо неприводимые подгруппы в SO(V) имеют тот же тип из классификации Л. Берарда Бержери и А. Икемакхена. Классифицируем также транзитивные группы движений пространства Лобачевского Ln+1. Докажем, что эти группы исчерпываются группой SO0(V) и слабо неприводимыми подгруппами в SO(V) Rp типов 1 и 3. Более того, просто транзитивные группы движений пространства Лобачевского Ln+1 исчерпываются слабо неприводимыми подгруппами в SO(V)Rp типов 1 и 3, удовлетворяющими дополнительному условию.
Замечание. Применяя схожие рассуждения к комплексному пространству Лобачевского, можно получить классификацию связных слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, групп в SU(1, n+1) е SO(2, 2n+2). Вопрос классификации групп голономии лоренцевых многообразий рассматривается также в работах [9, 13-17].
1. Результат Л. Берарда Бержери и А. Икемакхена
Рассмотрим пространство Минковского (V, п) размерности п+2, где п есть метрика на V сигнатуры (1, п+1). Зафиксируем базис р, е,..., е , д пространства V, относительно которого матрица
Грама метрики п имеет вид
0 1
0 к 0
0 0
, где E обозначает n-мерную единичную матрицу. Пусть E
е V есть векторное подпространство, порожденное векторами е1, ..., еп. Векторное пространство
Е является евклидовым относительно скалярного произведения п1Е .
Обозначим через so(F) алгебру Ли п-кососимметричных эндоморфизмов пространства V и через 5о(^)Кр - подалгебру в бо( V), сохраняющую прямую вр. Алгебра Ли 5о(^)Кр может быть отождествлена со следующей матричной алгеброй Ли:
Отождествим матрицу, упомянутую выше, с тройкой (а, А, X). Определим следующие подалгебры в 5о(Г)Рр: А = {(а, 0, 0) : а е в}, К = {(0, А, 0) : А е 5о(£)} и N = {(0, 0, X) : X е Е}. Ясно, что А коммутирует с К, а N является идеалом.
Пусть И алгебра Ли, а и И2 - ее подалгебры, такие, что векторное пространство И есть прямая сумма векторных подпространств и И2. Говорят, что И раскладывается в прямую сумму подалгебр и И2, если и И2 коммутируют, т.е. являются идеалами; в этом случае пишут И = Ф И2. Говорят, что И раскладывается в полупрямую сумму подалгебр и И2, если И2 является идеалом; в этом случае пишут И = а И2.
Для алгебры Ли $о(^)вр получаем разложение 5о(^)вр = (А Ф К) а N.
Подалгебра д е бо( ^называется неприводимой, если она не сохраняет никакие собственные подпространства в V; д называется слабо неприводимой, если она не сохраняет никакие невырожденные собственные подпространства в V.
Очевидно, что если д е so(F) неприводима, то она слабо неприводима. Если д е so(F) сохраняет вырожденное собственное подпространство и е V, то она сохраняет изотропную прямую и п и; всякая такая алгебра сопряжена некоторой подалгебре в $о(^)вр.
Напомним, что всякая подалгебра В е so(JE) компактна, и имеем разложение В = В' Ф 2(В), где В' есть коммутант В, а 2(В) - центр В [18].
Следующий результат принадлежит Л. Берарду Бержери и А. Икемакхену.
Теорема. Пусть д е $о(^)вр - слабо неприводимая подалгебра. Тогда д является алгеброй Ли одного из следующих типов:
Тип 1.д = (А Ф В) а^ где В е so(JE) является подалгеброй;
Тип 2.д = В а^
Тип 3.д = (В' Ф {ф (А) + А : А е 2(В)})а^ где ф : 2(В) ^ А - ненулевое линейное отображение;
Тип 4.д = (В' Ф {у (А) + А : А е 2(В)})а^, где имеем нетривиальное ортогональное разложение Е = и Ф Ш, В е бо(Ж), N. = {(0, 0, X) : X е Ш}, N„ = {(0, 0, X) : X е и}, и у : 2(В) ^ N - сюръективное линейное отображение.
Обозначим через 50^) алгебру Ли всех автоморфизмов V, которые сохраняют метрику п и имеют определитель 1, а через 50(Ц,р подгруппу Ли в 50^), сохраняющую изотропную прямую вр. Очевидно, что so(F) и so(F)вp являются алгебрами Ли групп Ли 50^) и 50(V)вp соответственно. Определения неприводимости и слабой неприводимости для групп такие же, как для алгебр. Связная подгруппа Ли С е 50^)вр неприводима (слабо неприводима) тогда и только тогда, когда неприводима (слабо неприводима) соответствующая подалгебра д е so(F)вp. Типом связной слабо неприводимой подгруппы Ли С е 50(Ц,р будем называть тип соответствующей подалгебры д е so(F)вp.
2. транзитивные группы преобразований подобия евклидовых пространств
В этом разделе мы напоминаем результаты для транзитивных групп преобразований подобия и движений евклидовых пространств [11, 12].
Рассмотрим евклидово пространство (Е, п). Отображение f : Е ^ Е называется преобразова-
Bpdtcnbz Cfhfnjdcrjuj eybdthcbntnf/2005/ N/ 5/ Cth/ Vfntvfnbrf/ Vt[fybrf/ Byajhvfnbrf? dsg/1
нием подобия E, если существует некоторое X > 0 такое, что Pf (x1) - f (x2)P = XPx - x2P для всех x1, x2 e E, где PxP2 = п (x, x). Если X = 1, то f называется движением. Обозначим через Sim E и Isom E группы всех преобразований подобия и движений пространства E соответственно. Подгруппа G е Sim E такая, что G £ Isom E называется существенной. Подгруппа G е Sim E называется неприводимой, если она не сохраняет никакие собственные аффинные подпространства в E.
Пусть H - связная группа Ли, а H1 и H2 - ее связные подгруппы Ли такие, что многообразие H диффеоморфно прямому произведению многообразий H1 и H2. Говорят, что многообразие H раскладывается в прямое произведение подгрупп Ли H1 и H2, если H1 и H2 коммутируют, т.е. являются нормальными подгруппами Ли; в этом случае пишут H = H1 х H2. Говорят, что H раскладывается в полупрямое произведение подгрупп Ли H1 и H2, если H2 является нормальной подгруппой Ли; в этом случае пишут H = H1 a H2. Связная группа Ли раскладывается в прямое (полупрямое) произведение подгрупп Ли тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли раскладывается в прямую (полупрямую) сумму соответствующих подалгебр.
Нам понадобится следующая теорема из [11, 12].
Теорема 1. (1) Пусть G е Isom E - связная транзитивная подгруппа. Тогда существует разложение G = H a F, где H является стабилизатором некоторой точки x e F и F - подгруппой G, которая действует просто транзитивно в E.
(2) Пусть F е Isom E - связная просто транзитивная подгруппа. Тогда существует ортогональное разложение Е = U Ф W и гомоморфизм Y : U -» 50(W) такой, что Е = U т а Щ где [Г ={¥(») *и; и г U) с $0(W)xU есть группа винтовых движений.
(3) Пусть G е Isom E - существенная связная транзитивная подгруппа. Тогда G = (A1 х H) a F, где A1 е Sim E - однопараметрическая существенная подгруппа, которая сохраняет некоторую точку x, H е Isom E коммутирует с A1 и сохраняет точку x, а F - нормальная подгруппа в G, которая действует просто транзитивно в E.
(4) Связная подгруппа G е Isom E действует неприводимо в E тогда и только тогда, когда G действует транзитивно в E.
Из пунктов (3) и (4) теоремы следует, что связная подгруппа G е Isom E действует неприводимо в E тогда и только тогда, когда G действует транзитивно в E.
3. движения пространств Лобачевского
Пусть р, е17..., еп, ц - базис векторного пространства V, рассмотренный выше. Рассмотрим базис е0, е^..., еп, еп+1 пространства V, где = -^{р и = -^ {р + Ч) Относительно этого базиса
матрица Грама метрики г\ имеет вид ^ ^ ) где ЕгД - (п+1)-мерная единичная матрица.
Векторная модель (п+1)-мерного пространства Лобачевского определяется следующим образом:
Г" = У гф>х) = ■> 0}.
Напомним, что Ь+1 является (п+1)-мерным римановым подмногообразием V. Касательное пространство в точке х е Ь+1 отождествляется с векторным подпространством (х)1п е V, и ограничение формы п на это подпространство положительно определено.
Всякий элемент f е 50(\У) сохраняет пространство Ь+1. Более того, для всякого f е 50(\У), ограничение ^ является движением пространства Ь+1, и всякое движение может быть получено
таким образом. Следовательно, имеем изоморфизм Ьош£ „ Где Ьот Ь+1 обозначает
группу всех движений пространства Ь+1.
Рассмотрим световой конус в V, С . -
Подмножество (п+1)-мерного проективного пространства IP, состоящего из всех изотропных прямых l е C, называется абсолютом пространства Лобачевского Ь+1 и обозначается 3L*1.
Отождествим 5L+1 с n-мерной единичной сферой 5 п следующим образом. Рассмотрим векторное подпространство E1 = E Ф Ren+1. Каждая изотропная прямая пересекает аффинное подпространство e0 + E1 в единственной точке. Пересечение (e0 + E1) n C представляет собой множество
которое является n-мерной сферой 5п. Это дает нам отождествление BL""1 ь Sa
Обозначим через Conf 5 n группу всех конформных преобразований сферы 5 n. Всякое преобразование f g 50(V) переводит изотропные прямые в изотропные прямые. Более того, пользуясь
f \ — fVitlf Д/**"'
нашим отождествлением, имеем * ^ / и всякое преобразование из Conf 5L№1 может
быть получено таким образом. Получаем изоморфизм — СолГ 5Z" ♦
Пусть f g 50(V)Rp. Соответствующий элемент f g Conf с!гй (мы обозначаем его той же буквой)
сохраняет точку р0 = Rp п (е0 + Е^. Ясно, что Pa Обозначим за 50 стереографическую про-
екцию^й Mjfo}-^^i+^.takkakf g Соп№,то*з e/CJo является преобразованием
подобия евклидова пространства E (здесь мы отождествляем e0 + E с E). Обратно, всякое преобразование подобия Е может быть получено таким образом. Следовательно, имеем изоморфизм SOQT) ^=Sim£
Плоскостью в пространстве Лобачевского L+1 называется непустое пересечение L*1 и некоторого векторного подпространства U е V. Пересечение L+1 n U непусто тогда и только тогда, когда ограничение формы п на U имеет сигнатуру (1, dim U - 1). Подгруппа G е Isom L+1 называется неприводимой, если она не сохраняет никакие собственные плоскости в и*1. Докажем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть G - собственная связная подгруппа в 5O(V )Rp. Тогда G действует слабо не-^иво^^о^/тогда и только тогда, когда она действуеттранзитивно в евклидовом пространстве
Доказательство. Мы утверждаем, что подгруппа G е 5O(V )Rp действует слабо неприводимо в V тогда и только тогда, когда соответствующая подгруппа G е 5im E действует неприводимо в E. Если G е 5O(V)Rp не является слабо неприводимой, то она сохраняет некоторое собственное невырожденное подпространство U е V. Так как G сохраняет также ортогональное дополнение U е V, и либо U n C ^ (0}, либо U1 n C ^ (0}, то можем считать, что U n C ^ (0}. Подгруппа G е 5im E сохраняет собственное аффинное подпространство s0((e0 + E) n C n U) е E. Обратно, если подгруппа G е 5im E сохраняет некоторое собственное аффинное подпространство W е E, то G е 5O(V )Rp сохраняет собственное невыроп^енное векторное подпространство в V, порожденное множеством
Яд' (№) <- fy + h. Доказательство теоремы следует из частей (3) и (4) теоремы 1. □
4. классификация транзитивных групп преобразований подобия евклидовых пространств и ее применение к группам голономии лоренцевых многообразий
Теперь рассмотрим связные слабо неприводимые, не являющиеся неприводимыми, подгруппы в 5O(V ). Всякая такая группа G сохраняет изотропную прямую и сопряжена некоторой подгруппе в 50(V )Rp.
Во втором разделе мы построили изоморфизм ~ Зтот изоморфизм и теорема Z
дают нам взаимно-однозначное соответствие между связными слабо неприводимыми подгруппами G е 5O(V ) и связными транзитивными подгруппами G е 5im E.
Теорема 3. Пусть G е 5im E - связная транзитивная подгруппа. Тогда G является группой одного из следующих типов:
Тип 1. G = (A х H ) a E, где A = R+ - компонента единицы группы гомотетий E с центром 0, H Математика 7
ВрЛспЬг СМпрсф] еуЬЛЬсЬпП/2005/ И/ 5/ СЬ УГгМпЬГ/ М^Ы/ Вуа]ЬЛПЬг1? ёъд/1
е £0(Е) - связная подгруппа Ли и Е - группа сдвигов;
Тип 2. а = И а Е;
Тип 3. а = (АФ х И ) а Е, где Ф : А ^ 50(Е ) есть гомоморфизм и АФ = {Ф(а) • а : а е А} е 50(Е ) х х А - группа винтовых гомотетий Е;
Тип 4. а = (И х и а Ш, где имеем ортогональное разложение Е = и Ф Ш, И е 50(Ш), ¥ : и ^ 50(Ш) - гомоморфизм, и и т = {¥(и) • и : и еи} е 50(Ж ) х и есть группа винтовых движений Е.
изоморфизме
Зып Е
, имеют тот же тип,
Соответствующие подгруппы в 50(\У) , при определенный Л. Берардом Бержери и А. Икемакхеном.
Доказательство. Обозначим через А, К и N связные подгруппы Ли в 50(У ) , соответствующие подалгебрам А, К и N е бо(У ) Относительно базиса р, е1, ..., еп, ц эти группы имеют следующий матричный вид:
л =
{ 1
а 1> 0
о «г 0
0 Л 1
Л
к =
г\ 0 о1
¡3 /
0 V 0 1 /
Имеем разложение 50°(У ) = (А х К) а N.
Вычисления показывают, что при изоморфизме
элемент
соответствует гомотетии Х^аХ, элемент
г\ 0 0
0 / 0
1* 0 1
К
соответствует Т 50(Е),
-X* «1 О
X \
и элемент V
Пусть а I 5т Е
€ N
соответствует сдвигу Y ^ Y + X. ■ транзитивная подгруппа. Обозначим через а соответствующую слабо непри-
водимую подгруппу в 50(У ) Так как мы рассматриваем группы с точностью до сопряженности, то в теореме 1 можем выбрать х = 0, тогда И I 50(Е).
Для подгруппы а I 50 (V ) имеем следующие два случая.
Случай 1. а сохраняет вектор р.
Случай 2. а сохраняет изотропную прямую Рр, но не сохраняет вектор р.
Рассмотрим эти случаи.
Случай 1. Имеем а I К а N. Значит, соответствующая подгруппа а I 5т Е состоит из движений, т.е. а I 15от Е. Из транзитивности а следует, что а I И а Е, где И I 50 (Е), а Е является нормальной подгруппой в а, действующей просто транзитивно в Е. Следовательно, существует ортогональное разложение Е = и Ф Ш и гомоморфизм У : и ® 50(Ш) такой, что Е = и Уа Ш.
Имеем следующие два подслучая.
Подслучай 1.1. Гомоморфизм У является тривиальным. Значит, Е = Е и а = И а Е. Из классификации Л. Берарда Бержери и А. Икемакхена видно, что а I 50 (V) является группой типа 2.
Подслучай 1.2. Гомоморфизм У - нетривиальный. Можем предположить, что гомоморфизм dY : и ® 50 (Ш) - инъективный. Действительно, если кег dY 1{0}, то выберем разложение
E = U1 Ф W1, где W1 = W Ф ker dY, а UJ U есть ортогональное дополнение к ker dY в U и рассмотрим Y1 = Y|U1.
Мы утверждаем, что H коммутирует с Y(U ) l 5O(W ), более того, H действует тривиально на U и И I 50(Ш). Пусть f Т И, u Т U. Так как Е - нормальная подгруппа в G, то имеем
некоторого w Т \М и U1 Т U. Следовательно, для всех v Т Е мы имеем + (v)~ №+И| + 4i(n1)v так как это выполняется для всех
v Т Е, получаем /с Докажем, что Y(u) = Y^). Пусть l(Y(U)) и h= 1(h) ал-
гебры Ли, соответствующие группам Ли Y(U) и H. Имеем (h + l(Y(U)))C= h + [h, Y(U)]. Так как [h, Y(U)] l Y(U) и алгебра Ли l(Y(U)) - коммутативна, имеем (h + l(Y(U)))CC= hC. Если Y(u) 1 Y(u1), то [h, Y(U)] '{0} и (h + l(Y(U)))C (h + l(Y(U)))CC. Так как подалгебра h + l(Y(U)) l so(E) компактна, получаем противоречие. Таким образом, Y(u) = Y(u1), и H коммутирует с Y(U). Рассмотрим алгебру Ли l(G) группы Ли G. Имеем l(G) = h Ф l(UY) a W. Так как UY = (Y(u) о u : u I U}, то l(UY) = (dY(u) + u : u T U}. Для xT h и dY(u) + u T l(UY) имеем [x, dY(u) + u] = xu l U. Так как U g l(G) = (0}, то xu = 0. Следовательно, H действует транзитивно в U. Так как H l 5O(E) и W ортогонально к U, имеем H(W)lW и H l 5O(W).
Получаем, что dY(U) I so(W) коммутативна и коммутирует с h. Пусть В = h Ф dY(U). Имеем z(B) =
z(h) Ф dY(U). Положим ¥ = dW *■ и продолжим до линейного отображения у: z(B) ® U, полагая y Таким образом,
1(G) = (&вМЛ) + А-.А* )})хW.
Ясно, что l(G) является алгеброй типа 4, и G есть группа типа 4.
Случай 2. В этом случае имеем G l 5im E, следовательно, G = (A1 ' H) a F, где A1 - однопараметрическая подгруппа в G, сохраняющая точку 0, H l 5O(E) коммутирует с A1, и F -нормальная подгруппа в G, действующая просто транзитивно в E.
Рассмотрим 2 подслучая.
Подслучай 2.1. Имеем A1 = A - компонента единицы группы гомотетий E с центром 0 T E.
Мы утверждаем, что Е = Е. Действительно, предположим, что Е = U Y a W и гомоморфизм Y -нетривиальный. Пусть u Т U, w Т \М ру Ф Ае АТак как подгруппа Е I Q является нормальной, получаем Я с * t/ * А~ € I/ AW Пусть v Т Е. Имеем
(Я * ¥(ti)c и с ^с rl)v = ifi^wf rl)v = ¥{ы)(А = и ' =
Следовательно, i/evpc Г1 ~4?{v) с (hi) о ЛW. Из этого следует и =
= lu для всех u T U, отсюда l = 1. Получаем противоречие. Таким образом, F = E.
Ясно, что G = (A1 ' H) a F - группа типа 1.
Подслучай 2.2. В этом случае A1 ' A, тогда A1 l A ' 5O(E). Как и в подслучае 2.1, можем доказать, что Е = Е.
Пусть - параметризация группы Аг Определим гомоморфизм —
и :JIl-450(E) условием iiW для всех t Т R. Так как А1 Ё 50(E), то гомо-
морфизм х является изоморфизмом. Положим *А—>8Q{E) Имеем
Получаем, что ОД - {КА№) К Б и КА) - {Wfi) ^ 1(А}}
Заметим, что подалгебра K^iK^)))с9с{Е) коммутативна и коммутирует с h. Пусть
в^ь ф кткт ясно, что m-m ^¡отцлт положим - (т1 mm кл)
и продолжим j до линейного отображения Ф ■ —* КА), полагая ^ Таким образом,
1(G)=(&e{<p(£)+A iAz ¿(В)}) к Е.
___ВрЛспЬг СМпрсф] еуЬЛЬсЬпП/2005/ И/ 5/ СЬ УГгМпЬГ/ М^Ы/ Вуа]ЬУПЬгР дзд/1
Ясно, что а - группа типа 3. Это завершает доказательство теоремы. □
5. транзитивные группы движений пространства Лобачевского и"+1
Напомним, что мы рассматриваем (п + 2)-мерное пространство Минковского (V, И) и базис
р, е17 ..., еп, q в V, относительно которого матрица Грама формы И имеет вид V /, где
Еп - п-мерная единичная матрица. Мы рассматриваем векторное подпространство Е I V, порожденное векторами е1, ..., еп, как евклидово пространство относительно скалярного произведения И|Е. Обозначим через 50^ ) подгруппу в 50^), сохраняющую прямую Рр. Для группы Ли 50°(V) Рр имеем разложение 50°(У ) = (А ' К ) а N, где относительно базиса р, е1, ..., еп, ц группы А, К и N имеют следующий матричный вид:
Теорема 4. Пусть G I SO(V ) - связная подгруппа, действующая транзитивно в пространстве Лобачевского Ln+1. Тогда либо G = SO°(V ), либо G сохраняет изотропную прямую l I V, и существует базис p, e1, ..., en, q пространства V, как и выше, такой, что l = Rp и G является одной из следующих групп:
(1) (A ' H) а N , где H I K - подгруппа;
(2) (АФ ' H) а N, где Ф : A ® K - нетривиальный гомоморфизм и АФ = {Ф(а) х a : a Т A} I K ' A. Более того, группы вида A а N и Atp а N исчерпывают все связные подгруппы в SO(V) , которые
действуют просто транзитивно в Ln+1.
Заметим, что A - группа сдвигов в Ln+1 вдоль прямой h = (Rp Ф Rq) n Ln+1, K - группа вращений вокруг h, N - группа параболических сдвигов вдоль 2-мерных плоскостей в Ln+1 и Atp - группа винтовых сдвигов вдоль прямой h.
Доказательство. Предположим, что подгруппа G I SO(V) действует транзитивно в Ln+1. Тогда она не сохраняет никакие плоскости в Ln+1, следовательно, G действует слабо неприводимо в V. Если G действует неприводимо в V, то G I 5O°(V ) [8, 9].
Если G действует слабо неприводимо и не является неприводимой в V, тогда G сохраняет изотропную прямую l I V. Предположим, что l = Rp. Тогда G является группой типа 1, 2, 3 или 4.
Мы утверждаем, что подгруппа К а И 1 50(V) не действует транзитивно в Ln+1. Действительно, любой элемент из К а N переводит вектор i " ч15 в некоторый вектор u - q, где
1 - _ je-1
и Т span {р, е, ..., е}, следовательно, нет элементов из К a N, которые переводят i"
\ „ - i^1 " stf« r
Значит, группы типов 2 и 4 не действуют транзитивно в Ln+1.
Мы должны доказать, что группы типов 1 и 3, т.е. группы вида (А ' И) а N и (Аф ' И) а Г1, действуют транзитивно в 1_п+1. Пусть ^лр+й + ^е и н>=др+ £ + 1ЯТ,/ где ссф^Е тогда
2зс/+ij(a,a) - -1 и 2ху + jj (6,0) - -1 пусть Х"" V'.Элемент
пере-
в
ВОДИТ U В W.
Пусть v = L"\т.е. + --1
Элемент
переводит w в v. Элемент
переводит w в
. Таким образом, существуют элементы в (A ' H) а N и (АФ ' H) a N, переводящие и в v, т.е. группы (А ' И) а N и (Аф ' И) a N действуют транвитивно в Ln+1.
Заметим, что элементы подгруппы И I G сохраняют точку " ¿ч . Так как dim Ln+1 = dim (A a N) = dim (АФ a N) и пространство и^односвязно, получаем, что группы вида А а N и АФ а N являются единственными связными подгруппами в SO(V), которые действуют просто тран-зитивно в Ln+1. □
Автор выражает благодарность М.В. Лосику и Д.В. Алексеевскому за помощь, оказанную при работе над этой темой.
Библиографический список
1. Borel A., Lichnerowicz A. Groupes d'holonomie des varietes riemanniennes // C. R. Acad. Sci. Paris. 1952. V. 234. P. 279-300.
2. Berger M. Sur les groupers d'holonomie des varietes aconnexion affine et des varietes riemanniennes // Bull. Soc. Math. France. 1955. V. 83. P. 279-330.
3. Besse A.L. Einstein manifolds. Berlin; Heidelberg; N.Y., 1987.
4. Joyce D. Compact manifolds with special holonomy. Oxford, 2000.
5. Алексеевский Д.В. Римановы пространства с необычными группами голономии // Функциональный анализ и его приложения. 1968. Т. 2, вып. 2. С. 1-10.
6. Ambrose W., Singer I.M. A theorem on holonomy // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. V. 79. P. 428-443.
7. Wu H. Holonomy groups of indefinite metrics // Pacific J. Math. 1967. V. 20. P. 351-382.
8. Di Scala A.J., Olmos C. The geometry of homogeneous submanifolds of hyperbolic space // Math. J. 2001. V. 237. P. 199-209.
9. Boubel C., Zeghib A. Dynamics of some Lie subgroups of O(n,1) applications // Prepublication de l'ENS Lyon. 2003. № 315.
10. Berard Bergery L., Ikemakhen A. On the holonomy of Lorentzian manifolds // Proc. of symp. in pure math. 1993. V. 54. P. 27-40.
11. Алексеевский Д.В. Однородные римановы многообразия отрицательной кривизны // Мат. сб. 1975. № 1. С. 93-117.
12. Алексеевский Д.В., Винберг Э.Б., Солодовников А.С. Геометрия пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. фунд. направления. 1988. Т. 29. С. 5-146.
13. Boubel C. On the holonomy of Lorentzian metrics // Prepublication de l'ENS Lyon. 2004. № 323.
14. Ikemakhen A. Examples of indecomposable non-irreducible Lorentzian manifolds // Ann. Sci. Math. Quebec. 1996. V. 20, № 1. P. 53-66.
15. Leistner T. Berger algebras, weak-Berger algebras and Lorentzian holonomy. Sfb 288-preprint № 567. Berlin, 2002.
16. Leistner T. Towards a classification of Lorentzian holonomy groups // ArXiv:math.DG/0305139. 2003.
17. Leistner T. Towards a classification of Lorentzian
holonomy groups. Part II: semisimple, non-simple weak-Berger algebras // ArXiv:math.DG/0309274. 2003. 18. Винберг Э.Б., Онищик АЛ Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М., 1995.
