Алгебры голономии лоренцевых многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 514.764.214

А.С. Галаев АЛГЕБРЫ ГОЛОНОМИИ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Проблема классификации алгебр голономии псевдоримановых многообразий является открытой. Классификация алгебр голономии римановых многообразий - хорошо известный классический результат. В настоящей работе приводится классификация алгебр голономии лоренцевых многообразий. Для каждой алгебры голономии строится пример полиномиальной метрики.

A.S. Galaev HOLONOMY ALGEBRAS OF LORENTZIAN MANIFOLDS

The problem of classification of holonomy algebras for pseudo-Riemannian manifolds is known. The classification of holonomy algebras for Riemannian manifolds is a well-known classical result. This article presents the classification of holonomy algebras of Lorentzian manifolds. An example of polynomial metric for each holonomy algebra is constructed here.

Группа голономии псевдориманова многообразия (M, g) в точке x е M есть подгруппа Ли псевдоортогональной группы O(TxM, gx), порожденная параллельными переносами вдоль всех кусочно-гладких петель в точке x. Соответствующая подалгебра алгебры Ли so(TxM, gx) называется алгеброй голономии многообразия (M, g) в точке х.

Группы и алгебры голономии позволяют находить параллельные тензорные поля, параллельные распределения, параллельные и киллинговы спинорные поля на многообразии и дают информацию о тензоре кривизны и некоторых других объектах на многообразии. Поэтому возникает проблема классификации алгебр голономии псевдоримановых многообразий. Эта проблема была решена полностью только для римановых многообразий [1]. В настоящей работе приводится решение этой проблемы для лоренцевых многообразий.

Алгебру голономии n+2-мерного лоренцева многообразия можно отождествить с подалгеброй g е so(1, n +1) (n>0). Из результата М. Берже [1] следует, что единственной неприводимой (не имеющей собственных инвариантных подпространств в пространстве Минковского R1,n+1) алгеброй голономии лоренцева многообразия является вся so(1, n +1) . Теорема Ш. Ву ([1]) позволяет рассматривать только слабо неприводимые, не являющиеся неприводимыми, алгебры голономии лоренцевых многообразий g е so(1, n +1) (всякая

такая алгебра g не имеет собственных инвариантных невырожденных подпространств в R1,n+1, но имеет инвариантную изотропную прямую l е R1,n+1, поэтому g содержится в параболической подалгебре so(1,n + 1)г еso(1,n +1)). Для подалгебры

so(1, n +1){ е so(1, n +1) имеем разложение Ивасавы

so(1, n +1){ = (R ® so(n))в Rn. (1)

В [2] Л. Берард-Бержери и А. Икемакхен сделали первый шаг к классификации алгебр голономии лоренцевых многообразий. В следующей теореме они получили классификацию слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр g е so(1, n +1) . Напомним, что для всякой подалгебры h е so(n) имеем h = h' Ф z( h), где h'

- коммутант h и z(h) - центр h.

Теорема 1. Подалгебра g е so(1, n +1){ является слабо неприводимой тогда и только тогда, когда g является алгеброй одного из следующих типов:

Тип 1. g1,h = (R Ф h) в Rn, где h е so(n) - подалгебра;

Тип 2. g2,h = h в Rn;

Тип 3. g3’hp = {(р(A), A, X) | A е h , X е Rn}, где h е so(n) - подалгебра с условием z(h) Ф {0} и р: h ^ R - ненулевое линейное отображение со свойством р |h,= 0;

Тип 4. g4’h’m/ = {(0, A, X + /(A)) | A е h, X е Rm }, где Rn = Rm Ф Rn-m - некоторое

разложение, h е so(m) - подалгебра с условием dim z(h) > n - m, а /: h ^ Rn-m -

сюрьективное линейное отображение со свойством / |h,= 0.

Подалгебра h е so(n), ассоциированная выше со слабо неприводимой подалгеброй g е so(1, n +1){, называется ортогональной частью алгебры Ли g и совпадает с проекцией g на so(n) из разложения (1).

Для подалгебры g е so(1, n +1) рассмотрим пространство

R (g) = {R е Hom(a2R1’"+1, g) | R(u л v)w + R(v л w)u + R(w л u)v = 0, u, v, w е R1,n+1} (2)

тензоров кривизны типа g.

Определение 1. Подалгебра g е so(1, n +1) называется алгеброй Берже, если

span{R(a2R1,”+1) | R е R(g)} = g.

Из теоремы Амброза - Зингера [1] следует, что алгебра голономии лоренцева многообразия является алгеброй Берже. Поэтому алгебры Берже можно считать кандидатами в алгебры голономии.

Для всякой подалгебры h е so(n) определим пространство

P (h) = {P е Hom(Rn, h) | (P(u)v, w) + (P(v)w, u) + (P(w)u, v) = 0, u, v, w е Rn}, (3)

где (•,•) — скалярное произведение на Rn. Мы называем P (h) пространством слабых

тензоров кривизны типа h.

Определение 2. Подалгебра h е so(n) называется слабой алгеброй Берже, если

L(P (h)) = h, где L(P (h)) = span{P(u) | P е P (h), u е Rn}.

В [4] мы даем описание пространств тензоров кривизны R (g) для алгебр теоремы 1 с произвольной ортогональной частью h е so(n) в терминах пространства P (h). Из этого описания вытекает

Теорема 2. Всякая слабо неприводимая подалгебра g е so(1, n +1){ является алгеброй Берже тогда и только тогда, когда ее ортогональная часть h е so(n) является слабой алгеброй Берже.

Следующая теорема, доказанная в [5] Т. Лейстнером, дает классификацию слабых алгебр Берже.

Теорема 3. Всякая подалгебра h е so(n) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Из теорем 2 и 3 следует, что подалгебра g е so(1, п +1) является слабо неприводимой, не являющейся неприводимой, алгеброй Берже тогда и только тогда, когда g сопряжена одной из следующих подалгебр g1’h, g2^, gъ'ь,<р, g4,^т^ е so(1, п +1){, где h е so(n) - алгебра голономии риманова многообразия. Чтобы завершить классификацию алгебр голономии лоренцевых многообразий, необходимо для каждой слабо неприводимой, не являющейся неприводимой, алгебры Берже g построить пример лоренцева многообразия с алгеброй голономии g. Приведем соответствующие конструкции.

Рассмотрим произвольную алгебру голономии h е so(n) риманова многообразия. Будем исходить из того, что h является слабой алгеброй Берже, т.е. £(Р (^) = h . Имеем разложение Яп = Ят° ® Яп-т0, такое, что ЦЯп-т0) = {0} и Ящ не содержит ненулевых подпространств, на которых действие h тривиально. Значит, h е so(m0). Выберем произвольные линейно независимые элементы Р,...,Ры єР(^), образы которых порождают h как векторное пространство, например, можно взять базис векторного пространства Р(^). Определим числа РГп (а = 1,...,N, і,],к = 1,...,т°) такие, что

рг е к=і то, Р0к]іек • Рассмотрим следующую метрику на Я п+2

п т°

g = 2dx0йхп+1 + ^ (& )2 + 2^ игйхгйхп+1 + / • (йхп+1 )2, (4)

і=1 і=1

где

N т° 1

= И <ккХ’хк(хп"Г\ а%,= -3--——-1 РУі + Р,), (5)

а=1 ] ,к=1 3 ' (а 1)!

а / - некоторая функция.

Для алгебры Ли g3’h’p (если она существует) определим числа <рм = От)! а = 1,..., N, I = 1,..., т0).

Для алгебры Ли g4’^'т,/ (если она существует) определим числа /аи ( а = 1,...,N

Г]

і = 1,..., ^, ] = т + 1,...,п X таки^ что Г- Щ(ра (еі )) = ”=т+1 ¥ауе] .

Если / (0) = 0, то касательное пространство к Я п+2 в точке 0 можно отождествить

с пространством Я1,п+1. Результат построения можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 4. Алгебра голономии h0l0 метрики g в точке 0 зависит от функции /, как в таблице.

Доказательство. Так как рассматриваемые метрики - аналитические, то алгебра голономии в точке 0 є Яп+2 порождается операторами

Я (X,У)0(X,У;,У2Я(X,У;71;22)0,...є so(TxM,gx), (6)

где Я - тензор кривизны; УЯ(Х,У;71;...;2г) = (У2 ••• 'ЧгК)(Х,У) - его ковариантные

производные и X, У , 71, 72,... - касательные векторы в точке 0 є Я п+2 [1]. Пользуясь

формулой Коссуля [1], можно найти компоненты связности для каждой из метрики теоремы. Далее можно найти тензор кривизны и его ковариантные производные. Имеем

pr

so( n)

f f д д VrRf

д

д

дкг ’ Cx^1 ’ cx”+1 f

Cx”

= Pr+і(Єг ),

G У

PrR

R|

д д

PrR

f

Cx0 ’ Cx^1, д

G У д

1 д2 f 2 (Cx0)2

f Vа-!Rf—д------------------— •-•••••-

I дxi ’ дк”+1’ дxn+1 ’ ’ Cx”+1

1

да+! f

G У

PrR

V—-1R

д д

д

д

&гі ' дxn+1, дxn+1

Cx

n+1

Л

=^i

2 cx0дxг (Cx”^-1 ’ да+! f

G У

+1 o^1 і (&"+!)“-1

і=m

(7)

(В)

(9)

(1G)

где г = 0,...,N -1, а> 0, і = 1,т0, і^ = т0 +1,...,п . Легко проверить, что другие ковариантные производные тензора кривизны не дают ничего нового. Таким образом, выбор функций и1, как в (7), гарантирует нам, что ортогональная часть алгебры голономии holo совпадает с h е so(n) и что Ят0 е ^і0 . Выбор функции / для алгебр каждого типа ясен из формул (8), (9), (10): мы используем формулу (8) для алгебры типа 1; формулу (9) - для алгебры типа 3; формулу (10) при а=0 для алгебр всех типов; формулу (10) при а>0 для алгебры типа 4. Теорема доказана.

Зависимость алгебры голономии holG метрики от функции f

f hol g

(x”)2 + I (xj)2 j=m +1 g1’11

I (xj)2 j=mG+1 g2 h

N mG n 2x° IZ; V—,x! (x”*1)a-1 + Z (x' )2 a=1 i=1 j=mG+1 g3,h,p (если z(h) ^ {G})

N Mg n m 2IZ Z '—x'x’(xn*1)a-1+ Z (x‘)2 a=1 i=1 j=m+1 j=mG+1 g4,h,m,^ (если dimz(h) > n - m)

Теперь сформулируем основную классификационную теорему.

Теорема 5. Подалгебра g е so(1, n +1) является слабо неприводимой, не являющейся неприводимой, алгеброй голономии лоренцева многообразия тогда и только тогда, когда g сопряжена одной из следующих подалгебр

g1,h,g2,h,g3’h’p,g4,h’m’^ е so(1,n + 1)г, где h е so(n) - алгебра голономии риманова

многообразия.

Согласно теореме Ву, всякая алгебра голономии лоренцева многообразия имеет вид: h1 Є l е hr Є g , где h1?..., hr - неприводимые алгебры голономии риманов^іх многообразий, g = so(1, k +1) или g - слабо неприводимая, не являющаяся неприводимой, алгебра голономии лоренцева многообразия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна / А. Бессе. М.: Мир, 199G. Т. 1. 319 с.; Т. 2. 3В5 с.

2. Berard-Bergery L. On the Holonomy of Lorentzian Manifolds / L. Berard-Bergery, A. Ikemakhen // Proc. of symPosia in Pure math. 1993. Vol. 54. Р. 27-4G.

3. Галаев А.С. Группы движений пространств Лобачевского, группы

преобразования подобия евклидовых пространств и группы голономии лоренцевых многообразий / А.С. Галаев // Известия Сарат. ун-та: Математика. Механика.

Информатика. 2005. Т. 5, Вып. 1. С. 3-12.

4. Galaev A.S. The spaces of curvature tensors for holonomy algebras of Lorentzian manifolds / A.S. Galaev // Differential Geometry and its Applications. 2005. Vol. 22. P. 1-18.

5. Leistner T. Holonomy and parallel spinors in Lorentzian geometry / T. Leistner. PhD thesis, Humboldt-Universitat zu Berlin, 2003. 173 р.

Галаев Антон Сергеевич -

аспирант кафедры «Геометрия»

Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского