CC BY
65
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
УДК 514.763.3
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Я. В. Базайкин
SPECIAL HOLONOMY GROUPS OF RIEMANNIAN SPACES
Ya. V. Bazaikin
В статье дается краткий обзор специальных групп голономии римановых пространств, подробно описаны явные конструкции римановых метрик с группой голономии Spin(7) и G2.
The brief overview of Riemannian special holonomy groups is given in the paper. Explicit constructions of Spin(7)- and G2-holonomy metrics are described.
Ключевые слова: группа голономии, Spin(7),
Keywords: holonomy group, Spin(7), G2.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (№ 09-017256.2010.1) и фонда Дмитрия Зимина «Династия».
1. Введение
Изучение геометрических и топологических свойств римановых многообразий со специальными группами голономии является одной из актуальных и интереснейших задач современной дифференциальной геометрии. В этом направлении уже получено много результатов, например классификацию собственно групп голономии можно считать завершенной. Однако до сих пор нет полного ответа на вопрос: при каких условиях на данном многообразии существует риманова метрика с предописанной специальной группой голономии? Особенно остро стоит эта проблема для специальных групп голономии Spin(7) и G2 .С другой стороны, примеров таких пространств известно также очень мало, компактные примеры были построены лишь в [1-7], причем все конструкции являются неявными.
С некомпактными пространствами дело обстоит лучше: существуют метрики с группами голономии Spin(7) и G2, явно выраженные в квадратурах, или с явно описываемой структурой. Более того, эти метрики играют свою роль в математической физике.
Цель данной статьи — дать краткий обзор специальных групп голономии, подробно описав известные конструкции римановых метрик с группой голономии Spin(7) и G2 на некомпактных пространствах.
Статья начинается с базовых определений и с описания классификации групп голономии римановых пространств. Далее описываются 3-сасакиевы многообразия, играющие важную роль при построении примеров. Завершает статью основной ее раздел, посвященный описанию примеров. Как выяснилось сравнительно недавно, практически все известные примеры некомпактных
G2.
00142-а), гранта Президента РФ (МД-249.2011.1, НШ-
пространств с группой голономии Spin(7) хорошо укладываются в одну схему, где концепция 3-сасакиева пространства играет центральную роль. Схема описывается в подразделе 4.1, а в подразделе 4.2, описывается как предлагаемая схема может быть видоизменена для того, чтобы построить ри-мановы метрики с группой голономии G2.
Хотя описанные результаты были по отдельности опубликованы, но в едином виде, под одним углом зрения данные результаты публикуются впервые.
2. Классификация групп голономии римановых пространств
Пусть M = Mn — связное n-мерное риманово многообразие без края с римановой метрикой g. Метрика g однозначно определяет связность Леви — Чивита V в TM. Везде в дальнейшем мы будем подразумевать на римановых многообразиях именно эту аффинную связность.
Фиксируем точку p е M. Пусть A(t), t G [0,1]
— кусочно C 1-гладкая замкнутая петля с вершиной в точке p, т. е. A(0) = A(1) = p. Обозначим через т(A) параллельный перенос вдоль кривой A относительно связности V. В силу свойств связности Леви — Чивита (инвариантность римановой метрики при параллельном переносе), т(A) является ортогональным преобразованием касательного пространства TpM.
Группой голономии риманова многообразия (M,g) в точке p называется подгруппа Holp(M) ортогональной группы O(TpM), состоящая из преобразований вида т(A), где A — произвольная кусочно C1 -гладкая петля с вершиной в точке p. Если при этом рассмотреть только стягиваемые петли, то мы получим ограниченную группу голо-
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
номии Ио1р(М) в точке р. Можно показать, что Ио1р(М) является связной компонентой единицы группы Ио1р(М).
Если выбрать другую точку ц и соединить ее кривой а с точкой р, то нетрудно понять, что Ио1д(М) = т(а)Ио1„(М)т(а)-1 и, аналогично, Ио1°°(М) = т(а)Ио1р(М)т(а)-1. Таким образом, с точностью до класса сопряженности (ограниченная) группа голономии не зависит от выбора фиксируемой точки, и поэтому мы отождествим 0(ТрМ) с О(п) и будем писать Ио1 = Ио1(М) с С О(п) или Ио10 = Ио10(М) с БО(п) не указывая точку р. Действие группы Ио1 (Ио10) на ТрМ = Мп задает представление (ограниченной) группы голономии, которое называется (ограниченным) представлением голономии. В случае, если Ио1(М) является собственной подгруппой в О(п), то принято говорить, что риманово многообразие Мп обладает специальной группой голономии, или, что группа голономии Мп редуцируется к подгруппе Ио1 (М).
Следующая теорема проясняет структуру ограниченной группы голономии риманова многообразия.
Теорема 1. [8] Ограниченная группа голономии ИвР произвольного риманова многообразия М является компактной подгруппой группы
О(п).
Аналогичный результат для группы Ио1 неверен, даже если М компактно [9]. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что риманово многообразие М односвязно и, в частности, Ио10(М) = Ио1(М).
Возникает вопрос: какие группы Ли являются группами голономии односвязных римановых многообразий? Ниже мы рассмотрим этот вопрос подробнее.
Представление голономии риманова многообразия М называется неприводимым (мы, не совсем строго, будем говорить, что сама группа Ио1 неприводима), если не существует собственного инвариантного относительно Ио1 подпространства в ТрМ. В противном случае, говорим, что представление голономии (или сама группа голономии) является приводимым. Если М = М1 х М2 и д = д1 +д2, т. е. (М, д) является прямым произведением римановых многообразий (М1, д1) и (М2,д2), то очевидно, что Ио1(М) = Ио1(М1) х Ио1(М2), причем представление голономии М приводимо и разлагается в сумму соответствующих представлений М1 и М2.
Теорема разложения де Рама показывает, что при условии полноты риманова многообразия верно и обратное:
Теорема 2. [10] Пусть (М, д) — риманово многообразие с приводимым представлением го-
лономии. Пусть
ТрМ = У 0 ... 0 Уг,
где г > 2, = 0 для всех ]. Тогда (М,д) локально
изом,етрично прямому произведению (МЙ1 ,д1) х ... х (Мйг ,дг), где к3 = ёт У, и Ив(0(М) = Н1 х ... х Нг, где Н'з С Оу, д3).
Более того, если (М, д) односвязно и полно, то (М, д) (глобально) изометрично произведению (М1,д1) х ... х (Мг,дг), причем группа Нз является группой голономии (Мз ,д^).
Пусть Ьо1р(М) = Ьо1р = Ьо1 — алгебра Ли группы голономии Ио1р, называемая алгеброй голономии риманова многообразия М. Интуитивно понятно, что наличие специальной группы голономии накладывает ограничение на геометрию многообразия, поэтому можно ожидать наличие тесной связи между редукциями группы голономии и симметриями тензора кривизны. Эта связь объясняется следующей теоремой Амброза-Зингера.
Теорема 3. [11] Алгебра голономии Ьо1р представляет собой подалгебру алгебры Ли во(ТрМ), порожденную операторами вида
(т(X))-1 о яч(X, У) о т(X),
где ц € М, Х,У € Тд(М), X — произвольный С1-кусочно гладкий путь, с началом р и концом ц, а через Ед (Х,У) мы обозначаем эндоморфизм У ^ Е(Х,У)У касательного пространства ТдМ.
Идея доказательства теоремы 3 основана на классической формуле, связывающей параллельный перенос и тензор кривизны. А именно - предположим, что в точке р € М заданы два касательных вектора Х,У € ТрМ. Рассмотрим замкнутый «квадратный» контур Ге со стороной е > 0, выходящий из точки р в направлении X и входящий в точку р в направлении —У. Чтобы построить такой контур, достаточно продолжить векторы X, У до координатных полей, и движение вдоль координатных линий (0, 0) ^ (е, 0) ^ (е, е) ^ (0, е) ^ (0, 0) даст требуемый контур. Обозначим параллельный перенос вдоль Ге через те. Тогда для любого вектора У € ТрМ
^ \е=о(те(У))= Е(Х, У)У.
Понятно, что однопараметрическое семейство преобразований те можно рассматривать как кривую в группе БО(ТрМ), поэтому оператор кривизны Е(Х,У) оказывается элементом алгебры Ьо1р.
Теперь определим понятие лассо с началом в точке р. Для этого рассмотрим точку ц € М и кривую а, соединяющую точки р и ц. В точке ц как и выше рассмотрим замкнутый координатный контур Ге(д), порожденный некоторой парой касательных в точке ц векторов. Тогда лассо назовем кривую а-1 о Ге(ц) о а. Можно доказать, что если
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
рассмотреть произвольную петлю 7 на многообразии М с начальной точкой р, то ее можно сколь угодно близко аппроксимировать композицией конечного числа таких лассо. Предыдущая формула немедленно дает утверждение теоремы.
Особенно удобно применять теорему 3, если воспользоваться методом Картана подвижного репера. Предположим, что на римановом многообразии М (локально) задан ортонормированный корепер е1,..., еп, т. е. Св2 = ^2П=1(ег)2. Форма связно-
7
сти ш\ однозначно определяется соотношениями
Сег = —шг7 Л е7, ш\ = —ш7.
Тогда форма кривизны Щ = 1 Щк1ек Л е1 находится по формулам
Щ = сЦ + шк л шк.
Форму кривизны Щ можно рассматривать как
2-форму со значениями в во(п) (поскольку Щ = —Щ), точно так же, как форма связности ш может быть рассмотрена как 1-форма со значениями в во(п). При этом значение формы Щ на паре касательных векторов X, У совпадает кососимметрическим оператором К(Х,У), а значение ш на касательном векторе X может быть проинтерпретировано следующим образом. Рассмотрим кривую ^(г), 7(0) = Р, 7(0) = X. Рассмотрим вектор V € ТрМ и его координатное представление V = (V1,... ,уп), где Vг = ег(у). Пусть
V € Т7(()М — результат параллельного переноса вектора V вдоль кривой 7, рассмотрим его координаты V = (V1... ,vrn), VI = ег(¥г). Предположим, что
(VI,..., ^П)т = Лг ■ (V1,..., , Лг € БО(п).
Тогда
ш(Х) = С 1г=о(Лг) .
В этом случае Теорема 3 позволяет получить следующий простой критерий.
Теорема 4. Предположим, что риманово многообразие покрыто системой окрестностей, в каждой из которых определен ортонормированный корепер е1,... ,еп и соответствующие формы связности и кривизны удовлетворяют следующему условию:
ш(Х,У), Щ(Х )\р € М; X, У € ТрМ )ао{г) = g С 8о(п).
Тогда алгебра g является алгеброй голономии ри-манова многообразия М.
Важный пример римановых многообразий со специальными группами голономии доставляют симметрические пространства. А именно - если М = О/Н — симметрическое пространство, где ^, Ь) — симметрическая пара, то Н — группа голономии М, а представление изотропии Н совпадает с представлением голономии.
Следующая теорема, являющаяся основой классификации групп голономии римановых пространств, была доказана Берже.
Теорема 5. [12] Пусть М — односвязное неприводимое риманово многообразие размерности п, не являющееся симметрическим. Тогда имеет место один из следующих случаев:
1) Но1(М) = БО(п),
2) п = 2т, где т > 2 и
Но1(М) = и(т) С БО(2т),
3) п = 2т, где т > 2 и
Но1(М) = Би(т) С БО(2т),
4) п = 4т, где т > 2 и
Но1(М) = Бр(т) С БО(4т),
5) п = 4т, где т > 2 и
Но1(М) = Бр(т)Бр(1) С БО(4т),
6) п = 7 и Но1(М) = 02 С БО(7),
7) п = 8 и Но1(М) = Бріп(7) С БО(8),
е де г все указанные группы действуют в Мп стан-
дартным способом.
Список групп, перечисленных в теореме, принято называть списком Берже. Перед тем, как кратко описать все геометрии, возникающие из групп голономии списка Берже, дадим следующий очень полезный критерий. Пусть тензорное поле Т типа (к,1) задано на М глобально, рассмотрим петлю 7 в М с начальной точкой р € М. Тогда по определению параллельного переноса тензорного поля для любых векторов Vl,... ^к € ТрМ мы имеем: Р1 (Т)^1,..., Vk) =
= Р1 (Т(Р-1^^,... ,Р-1^к))). Следующее предложение очевидно.
Предложение 1. Предположим, что группа Ли О С БО(п) описывается следующим образом:
О = {ф € БО(п)\ф(г) = г],
где г — некоторая полилинейная векторозначная форма на Мп (либо г — некоторое линейное пространство форм указанного вида), а ф(г) обозначает стандартное действие отображения ф € БО(п) на форме (либо на пространстве форм) г.
В описанных условиях риманово п-мерное многообразие М имеет группу голономии, лежащую в О тогда, и только тогда, когда на М существует глобально определенное параллельное тензорное поле Т (либо параллельное линейное пространство тензорных полей Т), в каждой точке изоморфное г.
Ниже следует краткое описание геометрий из списка Берже.
Общий случай: Но1 = БО(п). На любом многообразии М римановы метрики с группой голономии БО(п) образуют открытое всюду плотное множество относительно любой естественной топологии.
Кэлеровы многообразия: Но1 = и(т). Ри-маново многообразие Мп называется кэлеровым,
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
если на нем существует параллельная невырожденная 2-форма ш, называемая кэлеровой формой. В этом случае представление голономии сохраняет форму ш и, следовательно, группа голономии содержится в и(т). Можно ввести параллельную почти комплексную структуру 1, 12 = —1 соотношением ш(Х,У) = д(Х, 1 (У)), Х,У € ТМ и доказать ее интегрируемость. Таким образом, по теореме Ньюлендера — Ниренберга [13] на М возникает комплексная структура.
Обратно, если на комплексном многообразии задана риманова метрика, согласованная с комплексной структурой (т. е. оператор 1 сохраняет скалярное произведение), то можно соотношением ш(Х,У) = д(Х,1 (У)), Х,У € ТМ ввести эрмитову форму ш. В этом случае имеет место следующее утверждение:
Предложение 2. В описанной ситуации, эрмитова форм,а ш (а вместе с ней и комплексная структура 1) параллельна тогда и только тогда, когда она замкнута:
ёш = 0.
поэтому Но1(М) = Бр(т) С Би(2т). Из последнего вложения следует, что гиперкэлерова метрика также удовлетворяет уравнению Эйнштейна (1).
Кватернионно-кэлеровы многообразия: Но1 = Бр(т)Бр(1). Риманово многообразие называется кватернионно-кэлеровым, если существуют три локально определенные инвариантные относительно римановой метрики почти комплексные структуры 1, 1, К, удовлетворяющие кватерни-онным соотношениям и порождающие трехмерное параллельное подрасслоение в расслоении эндоморфизмов касательного расслоения ТМ. Если обозначить через Ш1, ШJ, шк соответствующие эрмитовы формы, то форма П = ш1 Л ш1 + ШJ Л ШJ + + шк Л шк параллельна. Следовательно, группа голономии Но1(М) оставляет инвариантной форму П, поэтому содержится в Бр(т)Бр(1) С О(4т) и, наоборот, если Но1 С Бр(т)Бр(1), то на М существует кватернионно-кэлерова структура. Важность этого класса многообразий диктуется следующим утверждением.
Предложение 4. [15] Кватернионно-
кэлерово многообразие удовлетворяет уравнению Эйнштейна с «космологической» постоянной X:
Таким образом, вместо переопределенного, как правило, условия параллельности формы, на комплексном многообразии для построения кэле-ровой структуры достаточно исследовать условие ее замкнутости.
Специальные кэлеровы многообразия, или многообразия Калаби-Яу: Но1 = Би(т). Кэлерово многообразие М называется специальным, если допускает параллельную комплексную форму объема 9, т. е. ненулевую комплексную дифференциальную форму типа (т, 0). Параллельность формы 9 означает, что представление голономии сохраняет комплексный объем в Мп = = Ст, т. е. группа голономии Но1(М) содержится в Би(т) С и(т).
Имеет место следующее утверждение.
Предложение 3. [14] Кэлерово многообразие М является специальным тогда и только тогда, когда оно Риччи-плоско, т. е. его тензор Риччи обращается в нуль:
= 0.
(1)
Гиперкэлеровы многообразия: Но1 =
= Бр(т). Риманово многообразие Мп называется гиперкэлеровым, если оно допускает три параллельные комплексные структуры, согласованные с римановой метрикой и удовлетворяющие кватер-нионным соотношениям II = —II = К .У гипер-кэлерова многообразия представление голономии оставляет инвариантными тройку 2-форм, отвечающих симплектическим преобразованиям М4т,
Е13 Хдгз.
Стоит отметить, что кватернионно-кэлерово многообразие, вообще говоря, не является кэле-ровым. Заметим также, что при т = 1 по-
нятие кватернионно-кэлерова многообразия по-прежнему имеет смысл (и совпадает с автодуальным эйнштейновым многообразием), однако форма П просто совпадает с формой объема и группа голономии совпадает с БО(4). Дальнейшие ссылки по кватернионно-кэлеровым многообразиям можно найти в [15,16].
Оставшиеся два типа групп голономии представляют для нас особый интерес: им посвящен раздел 4 статьи, поэтому мы опишем их более подробно.
Исключительная группа голономии
Но1 = С2. Пусть {вг},г1 = 0, 2, 3, . . . , 7 — орто-нормированный базис из 1-форм на стандартном евклидовом пространстве К7 (не очень естественный, на первый взгляд, способ нумерации базиса связан с необходимостью согласования в главе 2 формы Фо, определяемой ниже, с формой Ф, определяющей Брт(7)-структуру). Положив
г^к Ф0 на '
в1 Л в7 Л ек, рассмотрим следующую 3-форму
Фо
— е023 — в045 + в067 + в346 — в375 — в247 + в256.
Подгруппа в 0Ь(7), сохраняющая форму Ф0, совпадает с группой 02. Это компактная односвязная 14-мерная простая группа Ли, обычно определяемая как группа автоморфизмов чисел Кэли. Заме-
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
тим, что группа О 2 также сохраняет метрику
до = (е0)2 + (е2 )2 + (е3)2 + (е4)2 + (е5)2 + (е6)2 + (е7)2, сопряженную 4-форму
, Л „4567 „2367 „2345 „0257 „0246 , „0356 „0347
*¥о = —е —е —е —е —е +е —е
и ориентацию пространства М7. Дифференциальная 3-форма Ф на ориентированном римановом 7-мерном многообразии М задаёт О2-структуру, если в окрестности каждой точки р € М существует сохраняющая ориентацию изометрия
фp : TpM
такая, что ф*рФ0 = Ф^. При этом
форма Ф определяет единственную метрику дф, такую что д^(у,т) = д^фрУ^р'т) для Є ТрМ [17, 18]. Если форма Ф параллельна (УФ = 0), то группа голономии риманова многообразия N будет содержаться в С2.
Предложение 5. [19] Форма Ф, задающая С2-структуру на М параллельна тогда, и только тогда, когда она замкнута и козамкнута:
dФ = 0 d* Ф = 0.
(2)
Заметим, что для компактного M условие (2) равносильно гармоничности Ф. Однако в некомпактном случае это вообще говоря не так. Также отметим здесь, что форма Ф0 = e1 ЛФ0 -*Ф0, где *
— оператор Ходжа в К7, задает Spin(7)-структуру на К8 с ортонормированным базисом {ei}i=oj1,2,..,7.
Важность римановых многообразий с группой голономии G2 в некоторых задачах математической физики связана со следующим утверждением.
Предложение б. [20] Пусть (M, g) — риманово 7-мерное многообразие и Hol(M) С G2. Тогда g — Риччи-плоская метрика, т. е. она удовлетворяет уравнению (1).
Исключительная группа голономии
Hol = Spin(7). Пусть {e% },i = 0,1..., 7 — орто-нормированный базис из І-форм на стандартном евклидовом пространстве К8. Как и ранее, обозначаем eijkl = e1 Л ej Л ek Л el и определим 4-форму Ф0 на К8 следующим образом:
Ф0
e0123 + e4567 + e0145 e2345 _ e0167 +
+e2367 + e0246 + e1346 _______ e0275 + e1357 +
+e0347 e1247 e0356
1256
Подгруппа в ОЬ(8), сохраняющая форму Ф0 совпадает с группой Брт(7). Это компактная односвязная простая 21-мерная группа Ли, двукратно накрывающая ортогональную группу БО(7). Группа Брги(7) сохраняет метрику
до = (е0)2 + (е1)2 + (е2)2 + (е3)2 +
+ (е4)2 + (е5)2 + (е6)2 + (е7)2
и ориентацию пространства К8.
Пусть М — ориентированное риманово 8-мерное многообразие. Говорят, что дифференциальная форма Ф G Л4М задает 5рт(7)-структуру на М, если в окрестности каждой точки p G М существует сохраняющая ориентацию изометрия фр : TpM ^ R8, такая, что фрФо = Ф|р. При этом форма Ф определяет единственную метрику дф, такую, что дФ(о, w) = д0(фри, фрад) для v,w G TpM [17,18]. Если форма Ф параллельна, то группа голономии риманова многообразия M редуцируется к подгруппе Spin(7) С SO(8). Как и в случае группы голономии G2 имеет место следующее предложение.
Предложение 7. [19] Форма Ф, задающая Spin(7)-структуру на многообразии М параллельна тогда и только тогда, когда она замкнута:
dФ = 0. (3)
Поскольку Ф самосопряжена относительно оператора Ходжа *, ее замкнутость равносильна козамкнутости и влечет гармоничность; однако обратное в некомпактном случае, вообще говоря, неверно.
Римановы многообразия с группой голономии Spin(7) также являются эйнштейновыми:
Предложение S. [20] Пусть (M, g) — риманово 8-мерное многообразие и Hol(M) С Spin(7). Тогда g — Риччи-плоская метрика, т. е. она удовлетворяет уравнению (1).
З. Геометрия З-сасакиевых многообразий
Существует ряд очень интересных геометрий, которые, сами не имея специальной голономии, являются тесно связанными с такими пространствами. Одной из таких геометрий посвящен данный раздел, используемый в дальнейшем для построения римановых метрик с группой голономии G2 и Spin(7). Более полные доказательства и дальнейшие ссылки по 3-сасакиевым многообразиям можно найти в [21].
Пусть M — гладкое замкнутое риманово многообразие размерности m с метрикой g. Конусом M над M будем называть многообразие К+ x M с метрикой g = dt2 +t2g.
Многообразие M называется сасакиевым, если группа голономии конуса M содержится в U (m+1) (в частности, m нечетно). Значит, на M существует параллельная комплексная структура J. Отождествим M с изометричным ему вложенным подмногообразием M x{1} С M и положим £ = J(dt). Векторное поле £ называется характеристическим полем сасакиева многообразия M. Характеристическая 1-форма п сасакиева многообра-
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
зия определяется соотношением
п(Х ) = д(Х,£),
для всех полей X на М.
Лемма 1. Поле £ является единичным векторным полем Киллинга на многообразии М.
Доказательство. То, что поле £ является единичным, сразу следует из определения. Пусть V и 'V — римановы связности в М и М. Непосредственно проверяется, что для любых векторных полей Х,У на М
VXУ = VxУ - Ьд(Х,У)ди
Vд1 X = Vхдг = 1х, Vatдг = 0.
Тогда для любого векторного поля X на М д^х£, X) = д^х£, X) = д^х£, X) =
= д(Л (V х дг),Х )= д(ЛХ,Х ) = 0.
Следовательно, поле £ — киллингово. Лемма доказана.
Если на многообразии М заданы три попарно ортогональные сасакиевы структуры, то М становится 3-сасакиевым. Более точно, многообразие М называется 3-сасакиевым, если метрика д на М ги-перкэлерова, т. е. ее группа голономии содержится в Бр() (в частности, т = 4п + 1,п > 1). Последнее означает, что на М существуют три параллельные комплексные структуры Л 1,Л2, Л3, удовлетворяющие соотношениям Л' Лг = -5г' +£г'к Лк. Как и в сасакиевом случае определяются характеристические поля £1 и 1-формы Пг-
£г = Лг(дг), Пг(Х)= д(Х,£г), г = 1, 2, 3,
для всех векторных полей Х на М.
Лемма 2. Поля ^ £2, £3 являются единичными попарно ортогональными векторными полями Киллинга на М, причем
V.*£' = £'к£к, [£г,£']=2£г'к£к.
Доказательство. То, что поля £г являются единичными, попарно ортогональными и киллин-говыми, сразу следует из определения и из предыдущей леммы. Далее:
% £' = V? £' + 6г' дг = Л' V.^ дг + 6г' дг =
= (Л' Лг + )дг = ег'к£к,
откуда немедленно следует:
[£г,£'] = V?£' -V#£г = 2£г'к£к.
Лемма доказана.
Поля £1,£2,£3 образуют подалгебру Ли яр(1) в алгебре инфинитезимальных изометрий. Следовательно, в группе всех изометрий содержится подгруппа либо Бр(1), либо БО(3), орбиты действия которой определяют трехмерное слоение Т. Из леммы следует, что каждый слой Т является вполне геодезическим трехмерным подмногообразием постоянной кривизны 1 .
Риманов орбифолд О называется кватернионно-кэлеровым, если в У-расслоении эндоморфизмов касательного пространства существует параллельное V-подрасслоение I размерности 3, локально порожденное почти комплексными структурами
I1,I2,13, удовлетворяющими соотношениям алгебры кватернионов, и расслоение I инвариантно относительно действия локальной униформизую-щей группы О.
Теорема 6. [21] Пусть М — замкнутое (4п + 3)-мерное 3-сасакиево многообразие с определенным как выше трехмерным слоением Т. Тогда на пространстве листов слоения Т существует структура 4п-мерного кватернионно-кэлерова ор-бифолда О, такая, что естественная проекция п : М ^ О является римановой субмерсией и главным V-расслоением со структурной группой $р(1) либо БО(3). Общий слой п изометричен либо Бр(1), либо БО(3).
Доказательство. Обозначим через V трехмерное подрасслоение в ТМ, порожденное характеристическими полями £1,£2,£3. Пусть ТМ = V ® Н
— ортогональное разложение относительно метрики д. Подрасслоение V будем назвать расслоением вертикальных векторов, а Н — расслоением горизонтальных векторов.
Пусть р Є М. Предположим, что стабилизатором точки р относительно действия Бр(1) является дискретная подгруппа Г в Бр(1), т. е. лист Тр, проходящий через точку р, изометричен £р(1)/Г. Положим
и = {ехрр(гХ)|Х Є Нр, \Х\ = 1,0 < г < є],
где є > 0 выбран настолько малым, что є < щ (М), Тр пересекает и ровно один раз в точке р, и каждый лист слоения Т пересекает и не более чем конечное число раз. Тогда и гомеоморфно М4", и на и действует изометриями группа Г по правилу:
7 Є Г : ехрр(гХ) ^ ехрр(гйр^(Х)).
Легко понять, что окрестность О, состоящая из листов, пересекающих и гомеоморфна и/Г, и система таких окрестностей, построенных по всем точкам р, задает униформизующий атлас на О.
Очевидно, что метрика д на М имеет вид:
3
д = ^2 п2 + g|н,
І=1
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
где д\н — ограничение метрики д на горизонтальное распределение. Рассмотрим проекцию п : М ^ О. Поскольку метрика д инвариантна относительно действия Бр(1), то существует такая ри-манова метрика до на орбифолде О, что для любой точки р Є М ограничение 3,пр : НрМ ^ Тпр О является изометрией; при этом 3,п*(до) = д\н. Таким образом проекция п становится римановой субмерсией, и каждому векторному полю У на О однозначно соответствует горизонтальное Бр(!)-инвариантное векторное поле X на М, такое, что с!п(Х) = У. Связность Леви — Чивита метрики до получается проектированием на Н связности Леви — Чивита метрики д. Далее, если X — горизонтальное векторное поле, то
д(ЛІ(Х),Є) = д(Х, £і^иЄ)=0.
Таким образом, операторы I 1,Л2, I3 на Н отображают горизонтальные векторы в горизонтальные и задают кватернионную структуру на орбифолде
О.
Определим 2-формы на М следующим образом:
иІ = йг)і + ^2 £і^иПі Л Пк, і = 1, 2, 3. і,к
Непосредственно проверяется, что для любых горизонтальных векторных полей X, У:
иі(Х,У) = 1(Хпі(У) - УПі(Х) - Пі([Х,У])) = = 2 Піі-Ух У + Уу Х ) = = 2(д(УхЄ, У) - д(УуЄ, Х)) = д(.Р(Х), У), Ші(Х,?)=0, иі(£і,Є)=0.
Таким образом, формы иі получаются опусканием индекса из ограничений операторов .Iі на Н. Далее:
Ь?Пі(Х) = ёд(Х,&) - д(?, Г,Х]) = = д(УеХ, ?) + д(Х, V??) - д(£і, [?, Х]) = = д(Ухё,?) + д(Х, V??) = = д(УхГди?) + +д(Х, VIідг) = = -д(Х, Iі£і)+ д(Х, IіС) = = 2д(Х, IіІідг) = 2д(Х, £цкЄ) = 2£цкПк(Х). Таким образом, Ь£і пі = 2£іік Пк .
Дифференцируя, получаем:
Ь^ dпі = 2£іік dпk.
Далее, пользуясь этим соотношением и условием Ь^г (т Л Пк) — Ь^ Пз Л Пк + Из Л Ь^ Пк мы получаем:
Ь£г ^з — 2£гзк ^к•
Таким образом, пространство форм, порожденных формами щ инвариантно относительно действия Бр(1), а это значит, что и пространство, порожденное операторами .Р\н, является Бр(1)-инвариантным и опускается на О. Итак, в расслоении ЕпА(ТО) определено трехмерное подпространство, локально порожденное почти комплексными структурами Г1, Л2, Г3.
Далее, для горизонтальных Х,У имеем:
П(УхГ)(У) — П(Ух(ГУ) - У(ЧхУ)) —
— Шх (Гу) - нГ(ЧхУ) —
— НУ(^хУ)) - НГ(ЧхУ) — 0.
Отсюда уже нетрудно вывести, что распределение этих подпространств параллельно вдоль О.
Доказательство утверждения про общий слой расслоения п можно найти в [21]. Теорема доказана.
Поле ^1 соответствует подгруппе Я1 в Бр(1) либо в БО(3). Таким образом, можно рассмотреть одномерное слоение Т' на М, порожденное полем ^1. Совершенно аналогично предыдущей теореме, можно доказать, что на пространстве слоев слоения Т' можно ввести структуру 6-мерного римано-ва орбифолда Е, согласованную с римановой субмерсией п' : М ^2. Известно, что метрика на Е является метрикой Кэлера — Эйнштейна [21]. Орбифолд 2 называется твисторным пространством многообразия М.
3-сасакиево многообразие М называется регулярным, если регулярным является 3-сасакиево слоение Т. В этом случае каждый слой Т диф-феоморфен либо Я3, либо ЯО(3) и орбифолды О и 2 являются многообразиями.
Теорема 7. [21] Если М — компактное регулярное 3-сасакиево многообразие размерности 7, то М изометрично одному из следующих однородных пространств:
Б7, ШР7, БП(3)/Т1Л,
где через Т1,1 обозначена окружность Б1 — {г € С\\г\ — 1}, вложенная в максимальный тор
Т2 С БП(3) следующим образом:
г 0 0 \
0 2 0 I .
0 0 г2 )
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
4. Конструкции римановых метрик с группами голономии Spin(7) и G2
4.1. Группа голономии Spin(7)
В этом разделе описываем общую конструкцию, которая позволяет строить метрики с группой голономии Spin(7) по заданному З-сасакиеву 7-мерному многообразию M. Идея состоит в следующем. Если выбрать 3-сасакиево многообразие M, то конус над M будет иметь группу голономии Sp(2) С Spin(7). Мы деформируем конусную метрику так, чтобы разрешить особенность в вершине конуса и получить метрику, группа голономии которой не станет больше, чем Spin(7). При этом за деформацию отвечают функции A1 (t) , A2 (t) , A3(t), B(t), зависящие от радиальной переменной t, меняющейся вдоль образующей конуса.
Более подробно, рассмотрим семимерное З-са-сакиево многообразие M с римановой метрикой g и соответствующее 3-сасакиево расслоение п ; M ^ O с общим слоем, диффеоморфным S3 либо SO(3), над кватернионно-кэлеровым орбифолдом
O. Как и ранее, через Z будем обозначать твистор-ное пространство 3-сасакиева многообразия M. С многообразием M свяжем два орбифолда M1 и M2, разрешающих конусную особенность M следующими двумя способами.
1. Рассмотрим стандартное действие на
R4 = H группы Sp(1), представленной единичными кватернионами, и соответствующее действие SO(3) = Sp(1)/Z2 на R4/Z2:
q Є Sp(1) і x Є H ^ qx Є H.
Пусть M1 — расслоенное пространство со слоем R4 либо R4/Z2, ассоциированное с главным расслоением п і M ^ O относительно рассмотренного действия. Таким образом, орбифолд O вложен в M1 в качестве нулевого слоя, а МД0 расслаивается на сферические сечения, диффеоморфные M. Пусть t = jxj, для x Є H. Очевидно, что при t ^ 0 каждый слой расслоения п коллапсирует в точку, а сферическое сечение п коллапсирует к нулевому слою O.
С другой стороны, очевидно, что существует диффеоморфизм
Ml\O^ M\м,
позволяющий разрешить конусную особенность {*} в M.
2. Пусть S ^ S1 — подгруппа в Sp(1) либо SO(3), интегрирующая поле Киллинга £1. Рассмотрим действие S на R2 = C:
еіф Є S ; z Є C ^ zeilp Є C.
Расслоение M ^ Z является главным со структурной группой S. Пусть M2 — расслоенное пространство со слоем R2, ассоциированное с
п' : М ^ Е. Таким образом, орбифолд Е вложен в М2 в качестве нулевого слоя, а М2\Е расслаивается на сферические сечения, диффеоморф-ные М. Аналогично предыдущему случаю положим Ь = |г|, где г € С. Тогда при Ь ^ 0 каждый слой расслоения п' коллапсирует в точку, а сферическое сечение коллапсирует к нулевому слою Е.
Как и ранее, очевиден диффеоморфизм, осуществляющий разрешение конусной особенности:
М2\Е ^ М\И.
Нам потребуется следующая модификация этой конструкции. Для любого натурального числа р существует очевидное вложение Zp С 5, причем Zp действует на М2 изометриями. Следовательно, корректно определен орбифолд M2/Zp, являющийся многообразием в точности тогда, когда многообразием является М2. Легко понять, что М2^р является расслоением со слоем С, ассоциированным с главным расслоением п' : М ^ Е при помощи действия
е*ф € в : г € С ^ гер € С.
Нетрудно понять, что M2/Zp разрешает конусную особенность схожим образом с М2: каждая окружность (укороченная «в р раз») коллапсиру-ет в точку.
В случае, если 3-сасакиево многообразие регулярно, то каждый слой п диффеоморфен либо в3 = вр(1), либо 50(3) и орбифолды О и Е являются гладкими многообразиями. И обратно, наличие «особого» слоя означает существование точек с нетривиальной униформизующей группой у пространств О и Е, а значит, и у пространств М1 и М2. Таким образом, учитывая теорему находим, что пространства М1 и М2 могут являться гладкими многообразиями только при М = в7, М =
= ЖР7 и М = ви(3)/Т1Д. В случае М = в7 оба пространства являются гладкими 8-мерными многообразиями. Если М = ЖР7 либо М = ви(3)/Т1,1, то общий слой равен 50(3) и многообразием является лишь соответствующее пространство М2.
Пользуясь обозначениями из раздела 3, рассмотрим на (0, то) х М следующую метрику:
3
д = аь2 + ^2 А^)2 п2 + В(г)2д1и, (4)
г=1
где функции А1(Ь), А2(Ь), А3(Ь) и В(Ь) определены на промежутке (0, то). Локально можно выбрать ортонормированную систему 1-форм П4,П5,Пб,П7, порождающую аннулятор вертикального подрас-слоения V так, что
о>1 = 2(п4 А П5 - П6 А П7),
^2 = 2(п4 А П6 - П7 А П5), из = 2(п4 А П7 - П5 А Пб).
Пусть & = щАщАщАпч = —1 и1Аи1 = — 8и2Аи2 =
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
= — 1 із Д шз — подъем формы объема
кватернионно-кэлерова орбифолда O.
Рассмотрим следующую 4-форму:
І
Ф = е Де1 Де Де +Б Q+2 Б (е Де1 —е Де^Ді^І
+ 2 Б2(е° Де2 —е3 Де1)Дш2 + І Б2(е° Де3 —е1 Де2)Дш3, где
е0 = dt,
е = Aini, i = 1, 2, З, еj = Бщ ,j = 4,..., Т.
Очевидно, что форма Ф определена глобально на М и локально совпадает с формой Ф0, задающей Spin(Т)-структуру на М.
Пользуясь очевидными тождествами
dm = і — 2пі+і Д Пі+2 , dii = 2d(ni+l Д Пі+2) =
= 2(ші+1 Д Пі+2 — Пі+1 Д шi+2),
i = І, 2, З mod З,
мы получаем следующие соотношения, замыкающие внешнюю алгебру рассмотренных форм:
Іе° = 0,
іЄ = Ае0 Д е1 + Аіші — . 2АЇ— еі+1 Д е1+2,
Ai 'її Ai+iAi+2 ’
i = І, 2, З mod З,
ІШі = -Аі+2Ші+1 Д е1+2 — АТ+1 еі+1 Д Ші+2,
i = І, 2, З mod З.
Из предложения 7, определенная нами Ярт(7)-структура не имеет кручения в точности тогда, когда форма Ф замкнута.
Следующее утверждение получается непосредственными вычислениями при помощи полученных выше соотношений алгебры форм.
Предложение 9. Условие (3) эквивалентно следующей нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
Л' = 2Al A1 — D2
A2
2Al + (А2-Аз)2-A2i
B2 + А2Аз ■ 2A2 + (Аз-Al)2-A2
B2
2Аз
л' = 2Аз +
А3 — R 2 +
г3
Б'
aia2 (Ai-A2)2
A
B2 ' AiA2
А1 +А2 + Аз B .
(5)
(2) Б(0) = 0,Б'(0)=0;
(3) функции А\(€), Аі(€), А3(ґ), Б(€) знакоопределены на промежутке (0, ж).
Предложение 11. В условиях предыдущей леммы, пусть р = 4 либо р = 2, в зависимости от того, изометричен общий слой М или Яр(1), или ЯО(3). Для того, чтобы метрика (4) продолжалась до гладкой метрики на М2/Ър, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
(1) А1(0) = 0, |А1(0)| =4;
(2) А2(0) = -Аз(0) = 0,А2(0) = А3(0);
(3) Б(0) = 0,Б'(0)=0;
(4) функции Аі(і), А2(і), А3(ґ), Б(€) знакоопределены на промежутке (0, ж).
Прежде чем формулировать общие результаты о решениях системы (5), выведем известные нам на данный момент точные решения этой системы. Если положить Аі = А2 = А3, то система (5) сводится к паре уравнений на функции А = А1 = А2 = А3, Б:
йА 2 А2 і
м ~ В2 — 1, йВ = _з А М ° В '
Введем новую переменную р:
=3 А сИ Б'
Тогда из второго уравнения ^ВВ = — 1, и мы можем считать, что Б(р) = —р. Следовательно, первое уравнение переписывается в виде:
а(А2) 4 А2 = 2
ар +з р з р
Последнее уравнение без труда решается, и мы получаем:
A2(p)=1 p2 1 -( p
Наконец, нормируя полученное решение заменой г = ^ мы получаем следующую метрику на М\ с группой голономии Ярт(7) [17]:
dr2
g =
1 — (r^)3
¥ +25 Г і1 — I ~J
Г0\ т
Метрика (4) при выполнении определенных граничных условий даст гладкую риманову метрику на Мі или М2. Следующие леммы, доказанные в [22] проясняют эти условия.
Предложение 10. Пусть Аі(Ь), і = 1,2,3, Б(Ґ) — Сх-гладкое на промежутке [0, ж) решение системы (5). Тогда метрика (4) продолжается до гладкой метрики на М1 в том, и только в том случае, когда выполнены следующие условия: (1) Аі(0) = А2(0) = Аз(0) = 0, |А1(0)| =
= 1А2(0)1 = 1А3(0)1 = 1;
2 9 2 і г я\н'
і=і
(6)
Отметим, что метрика (6) была первым примером полной метрики с группой голономии Ярін(7).
Далее, если положить А2 = Аз, то система (5) также поддается явному интегрированию в терминах гипергеометрических функций, и мы приходим к следующей метрике на Мі:
g -
vfdz2
4z(1 — z2 )(1 — z)(v — 2) (1 + z)v3
+
4(v — 2)zf , 2
(1 + z)v
(П2 + Пз) + f9|H, (Т)
з
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
где
у{г)
I г
2к^х г 1 5 2
-----^—г - 2г 2^\П, -; -; 1 - г2],
(1 - г2)1 2 11 2 4
1 + г 1 - г
ехр
Зг'
}(г')(1 — г'2)
к — константа интегрирования.
При к = 0 мы получаем следующую метрику на Мг, выражаемую в элементарных функциях:
д
(Г — Г»)2 г**+4г0 (Г + Г°)(Г —23Г0) ,? +
(г + го)(г - 3го) ™ ' "'и (г - Го)2
+ (г + го)(г - 3го)(п2 + Пз) + 2(г2 - т0)д\и- (8)
Метрики (7) и (8) были найдены в [23] для М = Б4.
Наконец, если положить А2 = —А3, то система (2.3) становится, вообще говоря, переопределенной. Если сложить второе и третье уравнения, то мы получим, что с необходимостью А2 = А3 = Б2. Положив для определенности А2 = —Б, Аз = Б, мы приходим к системе из двух уравнений:
ал, = 3А2л-4В2 М , В2 ’
ав = _ Ал аь в '
Как и ранее, делаем замену
Зг
Зі
Ал В ,
откуда находим В (г) = —г и получаем следующее уравнение для А?:
З(А?)2 „А?
Зг
+ 6-^ г
8г.
Последнее уравнение интегрируется, и мы приходим к следующей метрике на М.2/^р (где р = 4 или р = 2, в зависимости от общего слоя М), имеющую группу голономии Би(4) С Брт(7):
д =
1-(?)'
(1г г+г^1— (у) ) n2+г2(n?+nl)+г2g|w.
(9)
Насколько нам известно, эта метрика была впервые описана в [24,25].
Теорема 8. [22] Пусть М — 7-мерное компактное 3-сасакиево многообразие, и положим р = 2 или р = 4, в зависимости от того, равен общий слой 3-сасакиева слоения М либо 50(3), либо Бр(1). Тогда на орбифолде М.2/Ър существуют следующие полные регулярные римановы метрики д вида (4) с группой голономии Н С Бріп(7):
1) если А?(0) = 0, —А2(0) = Аз(0) = В(0) > 0, то метрика д имеет группу голономии БП(4) С Бріп(7) и совпадает с АК-метрикой (9);
2) для каждого набора начальных значений А?(0) =0, 0 < —А2(0) = Аз(0) < В(0) существует регулярная АЛК-метрика д с группой голономии Бріп(7). На бесконечности эти метрики
стремятся к произведению конуса над твистор-ным пространством Е и окружности Б1.
Более того, любая полная регулярная метрика на пространстве М.2/Ъч вида (4) с параллельной Бріп(7)-структурой, задаваемой формой Ф изометрична одной из указанных выше.
Теорема 9. [26] Пусть М — 7-мерное компактное 3-сасакиево многообразие. Тогда существует двупараметрическое семейство попарно негомотетичных римановых метрик на М? вида (4) с группой голономии, содержащейся в Бріп(7), удовлетворяющих начальным условиям:
А? (0)= А2(0) = Аз(0) = 0 ,
А? (0)= А2(0) = Аз(0) = —1,
В(0) > 0, В'(0) = 0.
Семейство метрик параметризуется тройкой чисел А3 < Л2 < А3 < 0, таких, что А2 +А2+А3=е2 для достаточно малого е > 0: для каждой такой тройки существует значение переменной і = і0, при котором траектория (А?,А2,А3) проходит через эту тройку, т. е.
Аі(іо) = А?, А2(іо) = А2, А3(іо) = А3.
При А? = А2 = А3 метрика (4) является полной римановой метрикой с группой голономии Бріп(7) и асимптотически ведет себя как конус над М; при А? = А2 = А3 мы также получаем семейство полных метрик с группой голономии Бріп(7), асимптотически ведущих себя как произведения конуса над твисторным пространством М и окружности постоянного радиуса. Наконец, в остальных случаях метрики полными не являются.
Любая другая полная регулярная метрика вида (4) с параллельной Бріп(7)-структурой, заданной формой Ф на М? совпадает с одной из метрик описанного семейства, с точностью до перестановок индексов переменных.
Полные метрики, о которых говорится в теореме описываются явным образом в (8).
Описанную конструкцию можно усложнить, если рассмотреть класс метрик, зависящих от пяти функциональных параметров. Более точно, пусть М = Би(3)/и(1)?і?і_2 — пространство Алоффа-Уоллаха со структурой 3-сасакиева 7-мерного многообразия. На М = М хМ+ рассмотрим риманову метрику следующего вида:
ЗЪ2 + А?(і)2^2 + А2(і)2 П2 + А3(і)2п3+
+В(і)2(п2 + П5) + с (і)2(п2 + П2) (10)
где і — координата на М+, {щ} — ортонормирован-ный корепер на М, согласованный с 3-сасакиевой структурой (подробности во втором параграфе). Конусную особенность (при і = 0) пространства М разрешим следующим образом: затянем на уровне {і = 0} каждую отвечающую ковектору П! окружность в точку. Полученное многообразие,
1
2
2
Вестник КемГУ № З/І 20ІІ Риманова геометрия
профакторизованное по Z2, диффеоморфно Н/Ъ2 — квадрату канонического комплексного линейного расслоения над пространством флагов в С3.
Теорема 10. [27] При 0 < а < 1 каждая ри-манова метрика из семейства
r4(r2-a2)(r2 + a2) dr2 + r8-2a4(r4-1)-1 n2
9а. r8 ^^(^-^-l
r2 (r2 - a2 )(r2 + а2)
n2+
+r2(n2 + n3) + (r + а )(n2 + n2)+
+(r2 - а2)(n5 + n7)
является полной гладкой римановой метрикой на H/Z2 с группой голономии SU(4). При а = О метрика да изометрична метрике Калаби [2S] с группой голономии SU(4); при а =1 метрика да изометрична метрике Калаби [2S] с группой голономии Sp(2) С SU(4) на T*CP2.
Отметим, что метрика дда в Теореме І при а = О и а =1 имеет форму, отличную от [28]; метрики Калаби в таком виде исследовались в [25] и [29]. Метрика да была также найдена в [ЗІ] при M = SU(3)/U(1) 1,1,—2 как частное решение системы уравнений для метрик с группой голономии Spin(7). В [ЗІ] метрика да была обобщена на случай произвольной размерности, кратной четырем.
4.2. Группа голономии G2
Пусть M — компактное семимерное 3-сасакиево многообразие с характеристическими полями С1 , С2 , С3 и характеристическими 1-формами n1,n2,n3. Рассмотрим, как описано в параграфе
1.2, главное расслоение п : M ^ O со структурной группой Sp(1) либо SO(3) над кватернионно-кэлеровым орбифолдом O, ассоциированным с M. В этом параграфе нас будет интересовать специальный случай, когда O дополнительно обладает кэлеровой структурой.
Поле С1 порождает локально свободное действие окружности S1 на M, и метрика на тви-сторном пространстве Z = M/S1 является метрикой Кэлера — Эйнштейна. Очевидно, что Z топологически представляет собой расслоенное пространство над O со слоем S2 = Sp(1)/S1 (либо S2 = SO(3)/S1), ассоциированное с п. Рассмотрим очевидное действие SO(3) на R3. Двулистное накрытие Sp(1) ^ SO(3) задает также действие Sp(1) на R3. Пусть теперь N — расслоенное пространство над O, со слоем R3, ассоциированное с п. Легко видеть, что O вложено в N в качестве нулевого, а Z вложено в N в качестве сферического сечения. Пространство N\O диффеоморфно произведению Z х (О, ж). В общей ситуации N является семимерным орбифолдом, однако, если M — регулярное 3-сасакиево пространство, то N — семимерное многообразие.
Локально выберем ортонормированную систему n4,n5,n6,nr, порождающую аннулятор верти-
кального подрасслоения V, так что
Ші = 2(П4 А П5 - П6 А П7),
Ш2 = 2(П4 А П6 - П7 А П5),
Ш3 = 2(П4 А П7 - П5 А П6),
где формы ші отвечают кватернионно-кэлеровой структуре на О. Ясно, что П2,Пз, ■ ■ ■ ,П7 является ортонормированным базисом в М, аннулирующим одномерное слоение, порожденное полем £!, поэтому можно рассмотреть метрику на (0, то) х Z следующего вида:
д = ^2+А(ь)2(п|+Пз)+б(ь)2(П4+П5)+с И^Пб+П2^
(11)
где функции А (і), Б (і) и С(і) определены на промежутке (0, то).
Мы предполагаем, что О является кэлеровым орбифолдом, поэтому на нем существует замкнутая кэлерова форма, которую можно поднять на Н и получить замкнутую форму ш. Локально, не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что
ш = 2(^4 А П5 + П6 А П7)■
Теперь положим:
е0 = Зі,
еі = Апі, і = 2, 3, е3 = Бгц,3 = 4, 5, ек = Сщ,к = 6, 7,
и рассмотрим следующие формы Фі и Ф2:
Фі = -e023 -
B2 + C2
4
-e0 Л u1 -BC
B2 C2
e0 Л
BC
+----— e Л u2-------------------— e Л Ш3,
2 2 2 2 Ф2 = C2B2n-B + C e23Л^1 -B----—
e23 Лш+
BC
02 BC 03
+ -у е А Ш2 + — еио А шз.
Очевидно, что формы Фі, Ф2 являются глобально определенными и не зависят от локального выбора Пі, при этом локально совпадают с формами Ф0 и *Ф0 (из раздела 2). Таким образом, форма Ф1 задает С2-структуру на N и однозначно определяет некоторую метрику, которая локально совпадает с (11). В соответствии с предложением 5 параллельность таким образом построенной ^-структуры равносильна уравнениям замкнутости и козамкну-тости (2).
Теорема 11. [32] Если О обладает кэлеро-вой структурой, то метрика (2.19) на N является гладкой метрикой с группой голономии С2, заданной формой Ф1 тогда и только тогда, когда функции А, Б, С, определенные на промежутке
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
[to, ж), удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
2A —B —C B2-BC-2A2
A'
B'- сл
C' = C2 —2A2—B2
(І2)
AB
с начальными условиями
(1) Л(Ьо) = 0, А'^о)! = 2;
(2) Е(1о),С(*о) = 0, Е'(1о) = С'(±о) = 0;
(3) функции А,Е,С знакоопределены на промежутке (Ьо, ж).
Система (12) имеет единственное решение, удовлетворяющее вышеприведенным условиям регулярности, и это решение отвечает следующей метрике с группой голономии С2:
dr2
д =
+ r2 ^ - r4) (П22 + Пз) +
+2r2 (nl + nl + Пб + n?) ' (13)
Проинтегрируем систему (12): (AB)' = -2C,
откуда
(AB)'
ABC
2
AB'
Сделаем замену переменной
dr = ABCdt,
тогда непосредственным интегрированием получаем:
А2Е2 = —4(г — г3),
где гз — константа интегрирования. Совершенно аналогично
А2С2 = —4(г - г2), Е2С2 = -8(г — Г').
Таким образом, метрика (11) определена при г € (—ж, шш{г1, Г2, гз}). Далее, условия регулярности означают, что А(Ьо) = 0, т. е. константы гз и Г2 равны, причем отвечают при замене переменной константе Ьо. Но это значит, что А2Е2 = А2 С2 при всех г, откуда получаем Е(г) = ±С(г). Непосредственно проверяется, что система (12) инвариантна при замене С ^ —С, Ь ^ —Ь, поэтому остается исследовать случай Е = С.
При Е = С система сводится к паре уравнений
A2
A' = 2 —г -1 , B' = —2 —
B2
A
B
решение которой дает метрику (13). Условия регулярности для этой метрики выполнены, и эта гладкая метрика была найдена впервые в [17] для случая М = БП(3)/Б1 и М = Б7 (отметим, что при В = С не обязательно требовать кэлеровости О). Теорема доказана.
В общем случае В = С система (12) также интегрируется [33], однако получающиеся решения не удовлетворяют условиям регулярности.
Литература
[1] Joyce, D. D. Compact 8-manifolds with holonomy Spin(7) / D. D. Joyce // Invent. Math.
- 1996. - Vol. 123. - P. 507 - 552.
[2] Joyce, D. Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy G2. I / D. Joyce // J. Differential Geometry. - 1996. - Vol. 43. - P. 291 - 328.
[3] Joyce, D. Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy G2. II / D. Joyce // J. Differential Geometry. - 1996. - Vol. 43. - P. 329 - 375.
[4] Joyce, D. D. A new construction of compact 8-manifolds with holonomy Spin(7) / D. D. Joyce // J. Differential Geom. - 1999. - Vol. 53. - P. 89 - 130.
[5] Kovalev, A. Twisted connected sums and special Riemannian holonomy / A. Kovalev // J. reine. angew. Math. - 2003. - Vol. 565. - P. 125 -160.
[6] Kovalev, A. Asymptotically cylindrical 7-manifolds of holonomy G2 with applications to compact irreducible G2-manifolds / A. Kovalev // Ann. Global Anal. Geom. - 2010. - Vol. 38. - P. 221
- 257.
[7] Clancy, R. New Examples of Compact Manifolds with Holonomy Spin(7) / Robert Clancy // arXiv:1012.3571v1 [math.DG]
[8] Borel, A. Groupes d’holonomie des varietes riemanniennes / A. Borel, A. Lichnerowicz // C. R. Acad. Sci. Paris. - 1952. - V. 234. P. 1835 - 1837.
[9] Wilking, B. On compact Riemannian manifolds with noncompact holonomy groups / B. Wilking // J. Diff. Geom. - 1999. - V. 52, no. 2.
- P. 223 - 257.
[10] De Rham, G. Sur la reductibilite d’un espace de Riemann / G. De Rham // Comm. Math. Helv. -1952. - V. 26. - P. 328 - 344.
[11] Ambrose, W. A Theorem on holonomy / W. Ambrose, I. M. Singer // Trans. Amer. Math. Soc. - 1953. - V. 75, no. 3. - P. 428 - 443.
[12] Berger, M. Sur les groupes d’holonomie des varietes a connexion affine et des varietes Riemanniennes / M. Berger // Bull. Soc. Math. France. - 1955. - V. 83. - P. 279 - 330.
[13] Newlander, A. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds / A. Newlander, L. Nirenberg // Ann. of Math. - 1957. - Vol. 65.
- P. 391 - 404.
[14] Iwamoto, H. On the structure of Riemannian spaces whose holonomy fix a null system / H. Iwamoto // Tohoku Math. J. - 1950. - Vol. 1.
- P. 109 - 135.
[15] Salamon, S. M. Quaternionic Kaler manifolds / S. M. Salamon // Inventiones mathematicae. - 1982. - Vol. 67. - P. 143 - 171.
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
[16] Salamon, S. M. Quaternion-Kaler geometry / S. M. Salamon // In C. LeBrun and M. Wang, editors, Essays on Einstein manifolds. - Vol. V of Surveys in Differential Geometry. - International Press. - 2000. P. 83 - 122.
[17] Bryant, R. L. On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy / R. L. Bryant, S. L. Salamon // Duke Math. J. - 1989.
- Vol. 58, no. 3. - P. 829 - 850.
[18] Joyce, D. Compact manifolds with special holonomy / D. Joyce. - Oxford Science Publications, 2000.
[19] Gray, A. Weak holonomy groups / A. Gray // Math. Z. - 1971. - Vol. 123. - P. 290 - 300.
[20] Алексеевский, Д. В. Римановы многообразия с необычными группами голономии / Д. В. Алексеевский // Функциональный анализ и его приложения. - 1968. - Т. 2, № 2. - С. 1 - 10.
[21] Boyer, C. 3-Sasakian manifolds / C. Boyer, K. Galicki // Surveys in differential geometry: essays on Einstein manifolds. Surv. Differ. Geom. - VI, Int. Press. - Boston: MA, 1999. - P. 123 - 184.
[22] Базайкин, Я. В. О новых примерах полных некомпактных метрик с группой голономии Spin(7) / Я. В. Базайкин // Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48, № 1. - С. 11-32.
[23] Cvetic, M. New Complete Non-compact Spin(7) Manifolds / M. Cvetic, G. W. Gibbons, H. Lu, C. N. Pope // Nucl. Phys. B. - 2002. - Vol. 620, no. 1-2. - P. 29 - 54.
[24] Berard-Bergery, L. Sur de nouvelles varietes riemanniennes d’Einstein / L. Berard-Bergery // Publications de l’Institut E. Cartan. - 1982. - no. 4 (Nancy). - P. 1 - 60.
[25] Page, D. Inhomogeneous Einstein metrics on complex line bundles / D. Page, C. Pope // Classical and Quantum Gravity. - 1987. - Vol. 4. - P. 213 -
225.
[26] Базайкин, Я. В. Некомпактные римановы пространства с группой голономии Spin(7) и
3-сасакиевы многообразия / Я. В. Базайкин // Геометрия, топология и математическая физика. I. Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова. Труды МИАН. - 2008. - Т. 263. - С. 6 - 17.
[27] Базайкин, Я. В. Spin(7)-структуры на комплексных линейных расслоениях и явные ри-мановы метрики с группой голономии SU(4) / Я. В. Базайкин, Е. Г. Малькович // Математический сборник. - 2011. - Т. 202, № 4. - С. 3 - 30.
[28] Calabi, E. Metriques kahleriennes et fibres holomorphes / E. Calabi // Ann. Ecol. Norm. Sup. -1979. - Vol. 12. - P. 269 - 294.
[29] Cvetic, M. Hyper-Kahler Calabi Metrics, L2 Harmonic Forms, Resolved M2-branes, and AdS4/CFT3 Correspondence / M. Cvetic, G.W. Gibbons, H. Lu, C.N. Pope // Nucl. Phys. B. - 2001. - Vol 617. - P. 151 - 197.
[30] Kanno, H. On Spin(7) holonomy metric based on SU(3)/U(1):II / H. Kanno, Y. Yasui // J. Geom. Phys. - 2002. - Vol. 43. - P. 310 - 326.
[31] Малькович, Е. Г. О новых явных римано-вых метриках с группой голономии SU(2(n + 1))/ Е. Г. Малькович // Сибирский математический журнал. - 2011. - Т. 52, № 1. - С. 95 -- 99.
[32] Базайкин, Я. В. Метрики с группой голономии G2, связанные с 3-сасакиевым многообразием / Я. В. Базайкин, Е. Г. Малькович // Сибирский математический журнал. - 2008. - Т. 49, № 1. -С. 3-7.
[33] Cvetic, M. Cohomogeneity One Manifolds of Spin(7) and G(2) Holonomy / M. Cvetic, G. W. Gibbons, H. Lu, C. N. Pope // Phys. Rev. D. - 2002. - Vol. 65, no. 10. - 29 p.
