CC BY
7
2019 Математика и механика № 58
УДК 514.76 М8С 53С15, 53С30, 53С25, 22Е25
Б01 10.17223/19988621/58/4
Н.К. Смоленцев
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ ПОЧТИ ПАРА-ЭРМИТОВЫ СТРУКТУРЫ НА НЕКОТОРЫХ ШЕСТИМЕРНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
Из 34 классов шестимерных нильпотентных групп Ли имеется пять групп, на которых не существует ни симплектических, ни комплексных структур. В данной работе на таких группах Ли О естественным образом определены почти комплексные и почти пара-комплексные структуры и соответствующие метрики, которые оказались полуплоскими псевдоримановыми.
Ключевые слова: нильмногообразия, шестимерные нильпотентные алгебры Ли, левоинвариантные пара-комплексные структуры, эйнштейновы многообразия, полуплоские структуры.
1. Введение
Левоинвариантная кэлерова структура на группе Ли О - это тройка (д, ю, I), состоящая из левоинвариантной римановой метрики д, левоинвариантной сим-плектической формы ю и ортогональной левоинвариантной комплексной структуры I, причем g(X,Y) = ю(Х,.Т7) для любых левоинвариантных векторных полей X и Y на О. Поэтому такую структуру на группе О можно задать парой (ю, I), где ю - симплектическая форма, а I- комплексная структура, согласованная с ю, т.е. такая, что ю(1Х,1Т) = ю(Х^. Если ю(Х,1Х) > 0, V X # 0, то получается кэлерова метрика, а если условие положительности не выполняется, то g(X,Y) = ю(Х!7) является псевдоримановой метрикой и тогда (д, ю, I) называется псевдокэлеровой структурой на группе Ли О. Классификация вещественных 6-мерных нильпотент-ных алгебр Ли, допускающих инвариантные комплексные структуры, получена в работе [1]. Показано, что только 18 классов допускают левоинвариантные комплексные структуры. Авторами [2] получена классификация симплектических структур на 6-мерных нильпотентных алгебрах Ли. Из 34 классов изоморфных связных односвязных шестимерных нильпотентных групп Ли только 26 классов допускают левоинвариантные симплектические структуры. Условие существования левоинвариантной положительно определенной кэлеровой метрики на группе Ли О накладывает серьезные ограничения на структуру ее алгебры Ли д. Например, в работе [3] показано, что такая алгебра Ли не может быть нильпотентной за исключением абелевого случая. Хотя нильпотентные группы Ли и нильмногооб-разия (за исключением тора) не допускают левоинвариантных кэлеровых метрик, но на таких многообразиях могут существовать левоинвариантные псевдоримано-вы кэлеровы метрики. В работе [4] показано, что 14 классов симплектических шестимерных нильпотентных групп Ли допускают согласованные комплексные структуры и, поэтому, определяют псевдокэлеровы метрики. Более полное исследование свойств кривизны таких псевдокэлеровых и почти псевдокэлеровых структур приведено в работах [5, 6].
Как уже упоминалось, 26 из 34 классов шестимерных нильпотентных групп Ли допускают левоинвариантные симплектические структуры. Из оставшихся восьми классов несимплектических групп Ли, пять групп Ли О' не допускают также и комплексных структур, Их алгебры Ли д' приведены ниже:
дь (0, 0, 0, 0, 12, 15+34). д2: (0, 0, 0, 12, 23, 14+35), д3: (0, 0, 0, 12, 13, 14+35), д4: (0, 0, 12, 13, 14, 34 -25), д5: (0, 0, 12, 13, 14+23, 34 -25). Здесь используется задание алгебры Ли д в виде т-ки чисел у, основанной на последовательности дифференциалов (0, 0, ёе3,..., ёет) базисных 1-форм, в которой используется сокращенная запись е' = е'ле как у. Например, запись (0, 0, 0, 0, 12, 34) обозначает алгебру Ли со структурными уравнениями: ёе1 = ёе2 = йеъ = 0, ёе4 = 0, ёе5 = е:ле2 и ёе6 = е3ле4.
В данной работе изучаются именно эти группы Ли. Целью работы является определение на рассматриваемых группах Ли новых левоинвариантных геометрических структур, компенсирующих, в некотором смысле, отсутствие симплек-тических и комплексных структур. На всех таких группах Ли О' любая левоинва-риантная замкнутая 2-форма ю является вырожденной. Предложены естественные способы ослабить требование замкнутости для сохранения невырожденности ю, причем так, что 3-форма ёю также является невырожденной и выполняется свойство ёю2 = юлёю = 0. В результате мы получаем совместимую [7] пару (ю,р), где в качестве 3-формы р выступает ёю, которая определяет полуплоскую структуру. Мы приводим явный вид соответствующих псевдо почти эрмитовых полуплоских и почти пара-псевдоэрмитовых полуплоских структур. Псевдориманова метрика является эйнштейновой. Показано, что на всех рассматриваемых группах Ли полуплоская структура рассматриваемого типа (ю,ёю) не определяет псевдоримано-ву метрику на О'х1 с группой голономии из особой некомпактной группы О2 . Данная работа является продолжением статьи [8].
Для любой нильпотентной группы Ли О с рациональными структурными константами существует дискретная подгруппа Г, такая, что М = Г \О - компактное многообразие, называемое нильмногообразием. Поэтому все результаты имеют место и для соответствующих шестимерных компактных нильмногообразий.
2. Предварительные сведения
Пусть О - вещественная нильпотентная группа Ли и д - ее алгебра Ли. Ниль-потентные группы Ли интересны тем, что из них можно образовать компактные нильмногообразия вида Г\О, где О - связная и односвязная нильпотентная группа Ли, а Г - кокомпактная дискретная подгруппа. При этом когомологии де Рама
изоморфны когомологиям алгебры Ли д: НР (Г / О) = Нр (§), р > 0. Кроме того,
на нильпотентных группах Ли (и нильмногообразиях) не существует левоинвари-натных положительно определенных кэлеровых метрик [3]. Однако могут существовать левоинвариантные псевдоримановы кэлеровы метрики [4].
2.1. Левоинвариантные геометрические структуры
Левоинвариантная почти комплексная структура на группе Ли О есть левоин-вариантное поле эндоморфизмов I: ТО — ТО касательного расслоения ТО, обладающее свойством I2 = -М. Поскольку I определяется линейным оператором I на алгебре Ли д = ТеО, то для простоты мы будем говорить, что I - это инвариантная почти комплексная структура на алгебре Ли д. Для того чтобы почти комплексная структура I определяла комплексную структуру на группе Ли О, необходимо и достаточно (по теореме Ньюлендера - Ниренберга, [9]) обращения в нуль тензора Нейенхейса:
[IX,Л] - [Х^ - I [IX,Г] - ^Х^ = 0, для любыхХ^ е д.
Левоинвариантная симплектическая структура на группе Ли О - это левоинва-риантная замкнутая невырожденная 2-форма ю. Она задается 2-формой м максимального ранга на алгебре Ли д. Замкнутость формы эквивалентна условию
ю([Х^,Г> - ю([Х,Ц^ + ю(^,ЦХ) = 0, УХ,^ е д. В этом случае алгебру Ли д и группу Ли О будем называть просто симплектиче-скими.
Левоинвариантная кэлерова структура на группе Ли О - это тройка (дДю), состоящая из левоинвариантной римановой метрики д, ортогональной левоинвари-антной комплексной структуры I и левоинвариантной симплектической формы, причем ю(Х^ ) = д^Х^ ), УХ^ е д. Такую структуру на группе Ли О можно задать парой (ю I), где ю - симплектическая форма, а I - комплексная структура, согласованная с ю, т.е. такая, что ю(Х, IY) = ю(Х^, УХ^ е д. Если ю(X,JY) > 0, УХ Ф 0, то получается кэлерова метрика ) = ю(Х! ), а если условие положительности не выполняется, то ) является псевдоримановой метрикой и тогда (дДю) называется псевдокэлеровой структурой на группе Ли О.
2.2. Конструкция Хитчина
Если 2-форма ю незамкнута, то можно рассматривать 3-форму с1ю. В работе [10] Хитчин определил понятие невырожденности (стабильности) для 3-форм р и построил линейный оператор Кр, квадрат которого пропорционален тождественному оператору М. Напомним его основные конструкции.
Пусть V - 6-мерное вещественное векторное пространство, ц - форма объема на V и Л3Р - 20-мерное линейное пространство кососимметрических полилинейных 3-форм на V. Для 3-формы р е Л3Р и вектора X 6 V возьмем внутреннее произведение 1хр е Л2V*. Тогда /урлр е Л5V*. Естественное спаривание внешним произведением V* ® л V —> Л6У* = Яц определяет изоморфизм А: Л5У* = V, и, используя это, мы определяем линейное преобразование Кр : V — V как
Кр(Х) = А(1ХрЛр).
Другими словами, 1Кр(Г)Ц = 1хрЛр.
Определим Х(р) е Я через след квадрата Кр, Х(р) = И Кр /6 . Форма р называется невырожденной (или стабильной), если Х(р) Ф 0. В работе [10] показано, что если Х(р) Ф 0, тогда
• Х(р) > 0 тогда и только тогда, когда р = а + р, где а, р - вещественные разложимые 3-формы и алр Ф 0;
• Х(р) < 0 тогда и только тогда, когда р = а + а, где а е Л3(Р®С) есть комплексная разложимая 3-форма и ала Ф 0 .
Линейное преобразование Кр обладает следующими свойствами: и Kр = 0 и Кр = Х(р)М . В случае Х(р) < 0 вещественная 3-форма р определяет структуру Jр
комплексного векторного пространства на векторном пространстве V следующим образом:
'р=тк) Кр,
а если Х(р) > 0, то 3-форма р определяет пара-комплексную структуру Jp, т.е.,
Jp2 = 1, Jp Ф 1 на векторном пространстве Vпо аналогичной формуле:
К .
Напомним, что структура почти произведения называется паракомплексной, если собственные подпространства имеют одинаковую размерность.
Элементы ОЦК)-орбиты 3-формы р, соответствующие Х(р) > 0, имеют стабилизатор 5Х(3,К)х5Х(3,К) в ОЬ+^ ). Элементы орбиты, соответствующей Х(р) < 0 имеют стабилизатор Ж(3, С) в ОЬ+^ ).
В обоих случаях для формы р определяется дуальная форма рл формулой рл = р. Если Х(р) > 0 и р = а + в, то рл = а - в, а если Х(р) < 0 и р = а + а, то
рл = '(а-а).
2.3. Специальные почти е - эрмитовы структуры
Пусть е = 1 или е = -1 и ie - символ, удовлетворяющий условию /е2 = е. Определим е-комплексные числа как Се = R[ie]. Мы будем использовать термин пара-комплексные числа для вещественной алгебры С1 = R©R. е-комплексная структура J на векторном пространстве V размерности n = 2m определяется как эндоморфизм, который удовлетворяет условию J2 = е!й и dimV+ = dimV = m для е = 1. Пара (VJ) называется е-комплексным векторным пространством. Стабилизатор е-комплексной структуры J в GL(V) называется е-комплексной общей линейной группой GL(VJ). В пара-комплексном случае V = V+©V~ и стабилизатор J есть пара-комплексная линейная группа GL(VJ) = GL(V+)© GL(V-) = GL(m,R)©GL(m,R). Подробнее о специальных е-эрмитовых структурах см. в [7]
е-эрмитова структура на векторном пространстве V есть пара (g,J), которая состоит из (псевдо)римановой метрики и эндоморфизма J, удовлетворяющего J2 = е/d, J*g = ^g. Невырожденная 2-форма ra(X,Y) = g(X,JY) называется фундаментальной 2-формой.
Определение 1. Специальная е-эрмитова структура (g, J, ю, р, ¥) на V есть е-эрмитова структура (g, J, ю) вместе с е-комплексной формой объема ¥ = р + i„ р , где рл = J*p.
Почти е-комплексное многообразие представляет собой многообразие М размерности n = 2m, наделенное почти е-комплексной структурой, которая определяется как почти комплексная структура, если е = -1, и почти пара-комплексная структура, если е = 1. Почти пара-комплексная структура на 2п-мерном многообразии M определяется полем J эндоморфизмов касательного расслоения TM, таких, что J2 = Id, причем ранги собственных распределений T±M : = ker(Id + P) равны. Почти пара-комплексная структура J называется интегрируемой, если распре-
деления TtM инволютивны. В этом случае I называется пара-комплексной структурой. Тензор Нийенхейса NJ определяется равенством
) = [Х^ + \iXJY] - - щ
для всех векторных полей X, Y на М. Как и в комплексном случае, пара-комплексная структура I интегрируема тогда и только тогда, когда NJ = 0.
Почти г-эрмитово многообразие есть многообразие М размерности п = 2т, наделенное почти г-эрмитовой структурой (д,1), которая состоит из (псевдо)рима-новой метрики и поля эндоморфизмов I, удовлетворяющего I2 = г1С, I д = - гд. Невырожденная 2-форма ю(Х^ = д(Х17) называется фундаментальной 2-формой.
Таким образом, почти пара-эрмитова структура состоит из нейтральной метрики и анти-ортогональной почти пара-комплексной структуры, д(1Х,1^ = -д(Х^. Если (д,1) - пара-кэлерова структура на М, то ю = является симплектической структурой. В работе [11] представлен обзор теории и подробно рассмотрены инвариантные пара-комплексные и пара-кэлеровы структуры на группах Ли.
Определение 2. Пара невырожденных форм (ю,р) е Л2(Р)хЛ3(Р) называется согласованной, если юлр = 0, и нормализованной, если р лр = 2ю3/3.
Каждая совместимая пара (ю,р) единственным образом определяет г-комп-лексную структуру 1р (т.е., 1р2 = г), такую, что ю(Х, IрY) = -ю(1ХЛ а также скалярное произведение д(ю,р)(Х^ = гю(Х, 1р^ (сигнатуры (3,3) для г = 1 и сигнатуры (2,4) или (4,2) для г = -1), и г-комплексную форму объема ¥ = р + /г рЛ типа (3,0) относительно 1р (где /г есть комплексная или пара-комплексная мнимая единица). Кроме того, стабилизатор пары (ю,р) относительно ОЬ(У) есть 8П(р,д) для г = -1 и 5Х(3,К) с £0(3,3) для г = 1. Поэтому пара (ю,р) для г = -1 определяет специальную псевдо почти эрмитову структуру, а если г = 1, то специальную почти пара-эрмитову структуру.
Определение 3. Специальное почти г-эрмитово шестимерное многообразие (М, ю, р) называется полуплоским, если
Ср = 0, с1ю2 = 0.
Полуплоские 8и(3)-структуры впервые были рассмотрены в [12] как естественный класс, на основе которого может быть получена параллельная О2-структура при помощи потока Хитчина. Название «полуплоская» связано с тем, что это исключает 21 из всех 42 размерностей для внутреннего кручения структуры. Полуплоские 8и(3)-структуры на шестимерных нильпотентных группах Ли изучались в [13].
В работе [12] Хитчин ввел следующие эволюционные уравнения для зависящей от времени пары стабильных форм (ю(/), р(/)) с начальной полуплоской
8и(3)-структурой (ю(0), р(0)) (см. также [7]):
5 С 5 л С л
— р = сю, — ю =ср , д/ д/
где ю" = ю2/2 и р" = 1р*р и рлр = 2ю3/3. Первое уравнение обеспечивает замкнутость 3-формы ф = юлС/+р, а второе - замкнутость Ходж-дуальной формы *ср на семимерном многообразии на Мх1, где I - некоторый интервал. Для компактного многообразия М Хитчин показал, что решение, определенное на некотором интервале I, задает риманову метрику на Мх1 с группой голономии из особой группы О2. В работе [7] этот результат был обобщен на специальные почти г-эрмитовы полуплоские шестимерные и некомпактные многообразия (М, ю, р). При этом, в случае, когда г-эрмитова метрика д не является положительно опре-
деленной, решение указанной системы на некотором интервале I определяет псевдориманову метрику на Мх1 с группой голономии из 02 . Напомним, что гладкое семимногообразие допускает 02- или 02 -структуру тогда и только тогда, когда существует стабильная 3-форма ф. Эта структура параллельна тогда и только тогда, когда ф замкнута и козамкнута, т.е. Сф = с!*ф = 0, где * обозначает оператор Ходжа относительно метрики, индуцированной 02 -структурой.
Замечание. В данной работе мы предполагаем, что внешнее произведение и внешний дифференциал определяются без нормирующего множителя. Тогда, в частности, СхлСу = Сх®Су - Су®Сх и ск\<ХХ) = Хц(У) - Уц(Х) - п(ЕХ,У]). Пусть V - связность Леви - Чивита, соответствующая (псевдо)римановой метрике g. Она определяется из шестичленной формулы [9], которая для левоинвариантных векторных полей Х,1,2 на группе Ли принимает вид 2g(VXY, 2) = g([X,Y],Z) + + g([ZX],Y) + g(X,[Z,Y]). Если Я(ХХ) = ^х, VY] - V[X,Y] - тензор кривизны, то для (псевдо)римановой метрики g тензор Риччи R/c(X,Y) определяется как свертка тензора кривизны по первому и по четвертому (верхнему) индексам.
3. Левоинвариантные почти £-эрмитовы структуры
В этом разделе мы рассмотрим группы Ли, которые не допускают ни симплек-тических, ни комплексных левоинвариантных структур. Будет показано, что они допускают невырожденные левоинвариантные 2-формы, внешние дифференциалы которых также являются невырожденными. Кроме того, они допускают полуплоские почти пара-комплексные структуры и эйнштейновы псевдоримановы метрики сигнатуры (3,3).
3.1. Группа Ли О1
Коммутационные соотношения: [еье2] = е5, [еье5] = е6, [е3,е4] = е6. Пусть ю = а^ле* - произвольная 2-форма. Оператор Хитчина КСю для общей формы ю имеет достаточно сложный вид, при этом КСю2 = а564 1С. Свойство юлСю = 0 выполняется при условиях
аз4 а5б + аз5 а4б — азб а45 = 0, а12 а5б — а15а2б + а1б а25 — а2за4б + а24 азб — а2б аз4 = 0.
Легко видеть, что форма ю является замкнутой только в том случае, когда
ю = е:л(а12е2+а13е3+а14е4+а15е5) + е2л(а23е3+а24е4+а25е5) + а34 е3ле4. Такая форма ю является вырожденной. Условия замкнутости ю включают, в частности, равенство нулю коэффициента а56, который определяет невырожденность с ю. Поэтому мы ослабим условия замкнутости формы ю тем, что будем считать а56 ф 0. Тогда обе формы ю и Сю являются невырожденными. Свойство юлСю = 0 выполняется в этом случае при а34 = 0 и а12 = 0. Форма ю является невырожденной при условии а56(а13а24 - а14а23) ф 0 и имеют место следующие выражения: ю = е:л (а13е3+а14е4+а15е5)+е2л(а23е3+а24е4+а25е5) + а56 е5ле6, р = Сю = -а56 е126 + а56 е345, ю2/2 = (-а13а24 + а14а23)е1234 +(-а13а25 + а15а23)е1235 + (-а14а25 + а15а24)е1245 + +а13а56 е1356 + а14а56 е1456 + а23а56 е2356 + а24а56 е2456. ю3 = 6(-а13а24а56 + а14а23а56)е123456. рл = /(р) = -а56 е126 -а56 е345, рлр = 2а562 е123456. Срл = С(/(Сю)) = 2а56 е1234.
Пара (ю,р) при р = do определяет полуплоскую структуру. Условие нормализации р лр = 2ю3/3 выполняется, если a56 = 2(-aj3a24 + ai4a23). Будем считать коэффициенты ay зависящими от времени t и рассмотрим уравнения Хитчина [7] для построения псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 , определенной 3-формой ф = юлdt+dю:
д д л л
— p = dю, — ю =dр , dt dt
где ю" = ю2/2 и р" = Jp*p. В нашем случае р = do. Поэтому из первого уравнения мы получаем a56 = cet. Из второго уравнения получаем, в частности, что a24a56, a23a56, a14a56, a13a56 являются константами. Поэтому, с точностью до констант, a13 = a24 = a23 = a14 = e-t. Получаем: -a13a24 + a14a23 = ae-2t, что делает невозможным выполнение второго уравнения и условия нормализации.
Таким образом, для рассматриваемого класса структур (ю,р) не существует псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 . В то же время, 3-форма ф = юлdt+dю на GxI является замкнутой, если a56 = cet.
Обратимся снова к оператору Хитчина. В нашем случае он имеет вид Kdo = a562 diag{+1, +1, -1, -1, -1, +1}.
Оператор J = Kdffl / a^6 задает почти пара-комплексную структуру, J2 = Id, обладающую свойством o(JX,JY) = -o(X,Y). Псевдориманова метрика g(X,Y) = = o(X,JY) сигнатуры (3,3) имеет вид
g = -2e:(a13e3+a14e4+a15e5) - 2e2(a23e3+a24e4+a25e5) + 2a56 e4e6. Прямые вычисления в системе Maple показывают, что при a15 = a25 = 0 данная метрика имеет диагональный оператор Риччи с двумя собственными значениями
RIC (g) = --^-- diag{-1,-1,-1,-1,+1, +1},
2(a13a24 a]4a23)
ее скалярная кривизна задается формулой
a56
R = --
a1 л a^ л ai л a^
3.2. Группа Ли О2
Коммутационные соотношения: [еье2] = е4, [е2,е3] = е5, [еье4] = е6, [е3,е5] = е6. Пусть ю = ауе'ле* - произвольная 2-форма. Оператор Хитчина КСю для общей формы ю имеет достаточно сложный вид. При этом, КСю2 = (а462- а562)21С. Легко видеть, что форма ю является замкнутой только в том случае, когда
ю = е1 л(а12е2+а13е3+а14е4+а15е5)+е2л(а23е3+а24е4+а25е5)+е3л(-а15е4+а35е5).
Такая форма ю является вырожденной. Условия замкнутости включают, в частности, равенство нулю коэффициентов а46 и а56, которые определяет невырожденность Сю. Поэтому мы ослабим условия замкнутости формы ю тем, что будем считать а46 Ф 0 и а56 Ф 0. Тогда обе формы ю и Сю являются невырожденными при а46 Ф а56. Свойство юлСю = 0 выполняется при условиях
— а12 а46+ а23 а56 = 0, — а\4 а56 + а\5 а46 = 0, — а^5 а56 — а35 а46 = 0
Сю = (а56 е1 - а46 е3)ле45 + (- а46е1 + а56 е3)ле26.
Функция X(d<a) оператора Хитчина для 3-формы do> имеет тот же вид
). Оператор J = Kdю /|a46 - a56 | задает почти паракомплексную
структуру, J2 = Id, обладающую свойством o>(JX,JY) = - ю(Х,У). Определим псевдориманову метрику g(X,Y) = ra(X,JY) сигнатуры (3,3). Прямые вычисления в системе Maple показывают, что данная метрика имеет следующую скалярную кривизну:
R = --
I 2 _ 2 I a46 a56
a13(a24 a56 a25a46)
В частном случае, когда один из параметров a46 и a56 равен нулю, ситуация становится более простой. Пусть, например, a56 = 0. Свойство raAdra = 0 выполняется при условиях: a12 = 0, a15 = 0, a35 = 0. Тогда 2-форма является невырожденной при условии a13a25a46 Ф 0 и мы имеем следующие выражения:
ю = eV(a13e3+a14e4)+e2A( a23e3+a24e4+a25e5) + a46 e4Ae6, dra = - a46e126 - a46 e345,
2 1235 1234 1245
ю/2 = -a13a25 e + (-a13a24 + a14a23)e -a14a25 e + +ai3a46 e + a23a46 e — a25a46 e , ю3 = 6a13a25a46 e123456, рл = J*(p) = -a46 e345+ a46 e126, рЛАр = 2a462 e123456, dp" = d/(da>) = -2a46 e1235.
Пара (ю,р) при p = dю определяет полуплоскую структуру. Условие нормализации р Ар = 2ю3/3 выполняется, если a46 = 2a13a25. Будем считать коэффициенты ap зависящими от времени t и рассмотрим уравнения Хитчина [7] для построения псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 , определенной 3-формой ф = ЮAdt+dю:
5 d д " d л
— p = dю, — ю =dр , dt dt
где ю" = ю2/2 и р" = Jp*p. В нашем случае р = dю. Поэтому из первого уравнения мы получаем a46 = ce'. Из второго уравнения получаем, в частности, что a13a46, a25a46 являются константами. Поэтому, с точностью до констант, a13 = a25 = e-t. Мы получаем a13a25 = ae-2t, что делает невозможным выполнение второго уравнения и условия нормализации.
Таким образом, для рассматриваемого класса структур (ю,р) не существует псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 . В то же время, 3-форма ф = ЮAdt+dю на GxI является замкнутой, если a46 = cet.
Псевдориманова метрика g(X,Y) = ю(X,JУ) в случае a56 = 0 имеет вид
g = -2e1(a13e3+a14e4+a15e5) - 2e2 (a23e3+a24e4+a25e5) + 2a46 e4e6.
Прямые вычисления в системе Maple показывают, что при a14 = a24 = 0 данная метрика имеет диагональный оператор Риччи с двумя собственными значениями:
RIC( g) = a46 diag{-1, -1, -1, +1, -1, +1}.
2a25al3
3.3. Группа Ли G3
Коммутационные соотношения: [еье2] = е4, [еье3] = е5, [еье4] = е6, [е3,е5] = e6. Пусть ю = а^ле* — произвольная 2-форма. Оператор Хитчина Kdm для общей формы ю имеет достаточно сложный вид. При этом Kdm2 = a464Id. Если X = а464 Ф 0 форма dra является невырожденной. Оператор J = KdoJa462 определяет на g левоин-вариантную почти пара-комплексную структуру. Легко видеть, что форма ю является замкнутой только в том случае, когда
ю = е1л(а12е2+а13е3+а14е4+а15е5) + е2л(а23е3+а24е4+а25е5) + е3л(а25е4+а35е5). Такая форма вырожденная и мы видим, в частности, что а46 = 0. Если мы ослабим условия замкнутости и будем считать, что а46 Ф 0, то обе формы ю и dю будут невырожденными и свойство юлdю = 0 выполняется при условии а12 = 0, а25 = 0, а35 = 0. Тогда форма ю невырождена, если а15а23а46 Ф 0, и мы получаем ю = е:л( а13е3+а14е4+а15е5) + е2л(а23е3+а24е4) + а46 е4ле6,
da = -а46(е126 + е345), ю2/2 = а15а23 е1235 + (-а13а24 + а14а23)е1234 + а15а24 е1245 + + а1за46 е — а^а46 е + а2за46 е , ю3 = —6а15а23а46 е123456, рл = J*(p) = — а46 е345+ а46 е126, р"лр = 2а462 е123456, dp" = d/(dtt)) = —2а46 е1235. Пара (ю,р) при p = dю определяет полуплоскую структуру. Условие нормализации p лр = 2ю3/3 выполняется, если а46 = —2 а15а23. Будем считать коэффициенты а^ зависящими от времени t и рассмотрим уравнения Хитчина [7] для построения псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 , определенной 3-формой ф = юлdt+dю:
д д л л
— p = dю, — ю =dр , dt dt
где ю" = ю2/2 и р" = Jp*p. В нашем случае р = dю. Поэтому из первого уравнения мы получаем а46 = се'. Из второго уравнения видим, в частности, что а15а46, а23а46 являются константами. Поэтому, с точностью до констант, а15 = а23 = е-'. Получаем а15а23 = ае-2, что делает невозможным выполнение второго уравнения и условия нормализации.
Таким образом, для рассматриваемого класса структур (ю,р) не существует
псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 . В то же время
3-форма ф = юлdt+dю на GxI является замкнутой, если а46 = cet.
Оператор Хитчина для 3-формы dю имеет диагональный вид, Kdm = diag{—а462,
2 2 2 2 2 2 —а46 , а46 , а46 , а46 , —а46 }. Оператор J = Kd ю / а46 задает почти пара-комплексную
структуру, J2 = Id, обладающую свойством ю^Х,Л) = — ю(Х,У). Определим псев-
дориманову метрику g(X,Y) = ю(X,JУ) сигнатуры (3,3). Она имеет вид
g = 2е:(а13е3+а14е4+а15е5) + 2а23 е2е3 + 2а24 е2е4 — 2а46 е4е6.
Прямые вычисления в системе Maple показывают, что при а14 = а24 = 0 данная
метрика имеет диагональный оператор Риччи с двумя собственными значениями:
а
RIC( g) = —diag{-1, -1, -1, +1, -1, +1}.
2а15 а23
3.4. Группа Ли G4
Коммутационные соотношения: [e1,e2] = e3, [e1,e3] = e4, [e1,e4] = e5, [e3,e4] = e6, [e2,e5] = -e6.. Пусть ю = ape'Ae1 - произвольная левоинвариантная невырожденная 2-форма. Для такой общей формы квадрат оператора Хитчина [6] для 3-формы do) имеет диагональный вид: Kdm = (a462 - 2a36a56)2Id. Поэтому 3-форма dю является невырожденной при a462 - 2a36a56 Ф 0. Форма ю является замкнутой только в том случае, когда она имеет вид
1 2 3 4 52 3 5 34
ю = e A(a12 e + a13 e + a14 e + a15 e ) + e A(a23 e - a34 e ) + a34 e Ae . Такая форма ю является вырожденной. Условия замкнутости включают, в частности, равенство нулю коэффициентов a46, a36 и a56, которое определяет невырожденность dю. Для сохранения невырожденности форм ю и dю при минимальном ослаблении свойства замкнутости ю, возможны два случая: a46 Ф 0 или a36 Ф 0 и a56 Ф 0. Однако, если a56 Ф 0, то простые вычисления показывают, что свойство a>Ada) = 0 несовместимо с невырожденностью ю. Поэтому рассмотрим случай, когда a46 Ф 0. Тогда Kdm = a464 Id. Кроме того, ЮAdю = 0 при условии a13 = 0 и a34 = 0. Тогда форма ю невырожденная при условии a23a15a46 Ф 0, а формы ю и dю принимают вид
ю = eV(a12 e2 + a14 e4+ a15 e5) - a23 e2Ae3+ a46 e4Ae6, dю = a46(-e136 + e245).
Оператор Kdm для 3-формы da> имеет диагональный вид, Kdm = diag{ -a462, a462,
2 2 2 2 2 -a46, a46, a46 , -a46 }. Определим оператор J = Kdю / a46, он задает почти пара-
комплексную структуру, J2 = Id, обладающую свойством ю(JX,JY) = -a>(X,Y). Мы имеем следующие выражения:
ю = eV(a12 e2 + a14 e4+ a15 e5) - a23 e2Ae3+ a46 e4Ae6, dю = p = a46(-e136 + e245), ю2/2 = a15a23 e1235 + a14a23 e1234 + a12a46 e1246 - a15a46 e1456 + a23a46 e2346, ю3 = -6a15a23a46 e123456,
„Л * ч , 136 , 245ч „Л 2 123456
p = J (p) = a46(e + e ), p Ap = 2a46 e , dp" = dJ* ^ю) = -2a46 e1235.
Таким образом, пара (ю,р) при р = da> определяет полуплоскую структуру. Отметим, что в работе [13] показано. что на данной группе Ли не существует полуплоских 8и(3)-структур. Условие нормализации р Ap = 2ю3/3 выполняется, если a46 = -2a15a23. Рассуждения, такие же как для других групп, показывают, что для пары (ю,р) при р = da> не удается построить методом потока Хитчина псевдорима-нову метрику на GxI с группой голономии из G2 . Однако 3-форма ф = ЮAdt+dю на GxI является замкнутой, если a46 = cet.
Определим псевдориманову метрику g(X,Y) = ю(X,JY). Она имеет сигнатуру (3,3) и следующий вид:
g = 2e:(a12e2+a14e4+a15e5) - 2a23 e2e3 - 2a46 e4e6. Прямые вычисления в системе Maple показывают, что при a14 = 0 данная метрика
имеет диагональный оператор Риччи с двумя собственными значениями:
a
RIC( g) =-^ diag{-1, -1, -1, +1, -1, +1}.
Заключение. На группах Ли О1 - О4 любая левоинвариантная замкнутая 2-форма ю является вырожденной. Можно ослабить требование замкнутости для сохранения невырожденности ю и ёю и выполнения свойства юлёю = 0. Оператор Хитчина Кёю, соответствующий 3-форме ёю, определяет почти пара-комплексную структуру 3. Псевдориманова метрика g(X,Y ) = ю(X,JY) зависит от 5 до 7 параметров, имеет сигнатуру (3,3) и при обращении в нуль нескольких параметров, оператор Риччи имеет диагональный вид с двумя собственными значениями. Пара (ю,р), где в качестве 3-формы р выступает ёю, является согласованной и номали-зованной. Пара-комплексная форма (3,0)-форма имеет вид ¥ = ёю +/Еёю , где /Е -паракомплексная единица. Таким образом, на группах Ли О1 - О4 естественным образом определены многопараметрические семейства почти пара-эрмитовых полуплоских структур с диагональным оператором Риччи с двумя собственными значениями. Для рассматриваемого класса структур (ю,р) не существует псевдо-римановой метрики на Ох/ с группой голономии из О2 . В то же время, 3-форма Ф = юлёt+ёю на Ох/ является замкнутой.
3.5. Группа Ли О5
Ненулевые коммутационные соотношения: [еье2] = е3, [еье3] = е4,, [е:,е4] = е5, [е2,е3] = е5, [е3,е4] = е6, [е2,е5] = -е6. Пусть ю = ауе'ле1 - произвольная левоинвариантная 2-форма. Для общей формы ю оператор Хитчина Кю имеет достаточно сложный вид и следующую функцию Х(ёю):
2 2 2 2 4
I = 4(а^б + 4а35а5б + 4а3б а56 - 4а3ба4б - 4а45а4ба5б)а5б+а4б .
Таким образом, вообще говоря, форма ёю является невырожденной. Легко видеть, что форма ю является замкнутой только в том случае, когда а16 = а26 =
= а36 = а35 = а45 = а46 = а56 = 0 и а34 = -а25, а24 = а15. Однако такая форма ю является вырожденной. Есть несколько естественных способов ослабить требование замкнутости формы ю, чтобы не потерять невырожденность ю и ёю.
Вариант 1. В том случае для невырожденности Кёю мы предполагаем нулевыми оба коэффициента а46 и а56. Тогда свойство юлёю = 0 выполняется при условии а15 = 0, а25 = 0 и а12 а56 = а13 а46, а23 = -а14. Форма ю является невырожденной при условии а14а56 Ф 0 и формы ю и ёю принимают вид
ю = е:л(а13а46/а56 е2 + а13 е3 + а14 е4) - а14 е2ле3 + а46 е4ле6 + а56 е5ле6, ёю = -а46 е136 + а46 е245 - а56 е146 - а56 е236 + а56 е345,
ю2/2 = -а142 е1234 + а13а462/а56 е1246+ а13а46 е1256 + а13а46 е1346 + + а13а56 е + а^а56 е — а14а46 е — а^а56 е ,
„3 г 2 123456
ю = -6а14 а56 е ,
Р = 3 (р) = а46 е136 + а56 е146 + а56 е236 + а46 е245+ а562/а46 е246 + а56 е345 + а563/а462 е346,
„л „ ") 2 1 23456
р лр = 2а46 е ,
Фл ") 1235 т 3/ 2 1236 т 1245 т 3/ 2 1246 , ~ 3/2 2345
= ё3 (ёю) = -2а46 е - 2а56 /а46 е - 2а56 е - 2а56 /а46 е + 2а56 /а46 е .
Пара (ю,р) при р = ёю определяет полуплоскую структуру. Отметим, что в работе [13] показано, что на данной группе Ли не существует полуплоских 8И(3)-структур. Условие нормализации р лр = 2ю3/3 выполняется, если а462 = -2а142а56. Будем считать коэффициенты а^ зависящими от времени / и рассмотрим уравнения Хитчина [7] для построения псевдоримановой метрики на Ох/ с группой голономии из О2, определенной 3-формой ф = юлё+ёю:
5 л 5 Л Л Л — р = Лю, — ю = Лр ,
д' д'
где ю" = ю2/2 и р" = Jp*p. В нашем случае р = Лю. Поэтому из первого уравнения мы получаем а46 = ее' и а56 = Ле'. Из второго уравнения мы получаем, в частности, что а14, а14а56 являются константами. Это противоречит выполнению второго уравнения и условию нормализации.
Таким образом, для рассматриваемого класса структур (ю,р) не существует псевдоримановой метрики на Ох! с группой голономии из 02 . Однако 3-форма Ф = юлЛ'+Лю на Ох! является замкнутой, если а46 = ее' и а56 = Ле'.
Функция Х(Лю) оператора Хитчина КЛю для 3-формы Лю принимает вид X = а464. Рассмотрим оператор J = Каю / . Он определяет левоинвариантную почти пара-
комплексную структуру J2 = !Л, обладающую свойством ю^Х,Л) = -ю(Х,У). Определим псевдориманову метрику g(X,Y) = ю(X,JY) сигнатуры (3,3). Она имеет вид
§ = 2е1(а13а46/а56 е2+а13е3+а14е4) + + 2е2(а13 е2 +(2а13а56 +а14а46)/а46 е3 + 2а14а56/а46 е4) +
3 2 3 2 2 4
+ 2е (а56(а13а56 +а14а46)/а46 е + 2а14а56 )/а46 е ) -
4 6 ^ 5 6 ^ 3/ 266
- 2а46 е е - 2а56 е е - 2а56 /а46 е е . Прямые вычисления тензора кривизны показывают, что данная метрика имеет скалярную кривизну
^ = -8а!4а46а56 - а46 + 8а13а576
I2 а6 14 46
Вариант 2. Возьмем форму ю в виде ю = ю0 + юс, где ю0 - общая замкнутая 2-форма и юс - невырожденная 2-форма на идеале С2д = К{е4,е5,е6}. Потребуем от формы ю выполнения свойства юлЛю = 0:
а25 = 0, а15 = 0, а12 а56 = а!3а46, а56 а23 + а14а56 = 0.
Тогда форма ю является невырожденной при условии а14а56 Ф 0. Формы ю и Лю принимают вид
ю = е:л( а13а46/а56 е2 + а13 е3 + а14 е4) - а14 е2ле3 + а45 е4ле5 + а46 е4ле6 + а56 е5ле6, Лю = а45 е234 - а45 е135 -а46 е136 + а46 е245 - а56 е146 - а56 е236 + а56 е345, ю2 = - 2а14а56 е2356 - а14(1+а464)/( а46а562)е2345 + а13(1+а464)/(2а563)е1245 +
, 4, 1246 ,1256 2346 2 1234 , 1356,
+ 2а13а46/а56е +2а13а46 е - 2а14а46 е - 2а14 е + 2а13а56 е + + 2а14а56 е1456+ 2а13а46 е1346 + а13(1+а464)/(2а46а562)е1345,
„3 г 2 123456
ю = -6а14 а56 е .
В этом случае функция Х(Лю) выражается формулой X = а464 -4а46а45а562 и может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Случай 1. Функция Х(Лю) принимает значение -1 при а45 = (а464 + 1)/(4а46а562). Тогда оператор J = КЛю определяет почти комплексную структуру, согласованную с ю. Прямые вычисления показывают:
ю2 = -2а142 е1234+ а13(1+а464)/(2а563)е1245+ 2а13а462/а56е1246 + + 2а13а46 е1256 + а13(1+а464)/(2а46а562)е1345 + 2а13а46 е1346 + 2а13а56 е1356 + + 2а14а56 е1456 - 2а14а56 е2356 - а14(1+а464)/(2а46а562)е2345 - 2а14а46 е2346 ,
„3 г 2 1 23456 " „ 123456
ю = -6а14 а56 е , р лр = 2е
В этом случае пара (<в,р) при р = da определяет полуплоскую структуру. Условие нормализации р лр = 2a3/3 выполняется, если a56 = —1/(2a142). Однако построить псевдориманову метрику на GxI с группой голономии из G2 не удается. Тем не менее 3-форма ф = o^dt+da на GxI является замкнутой.
Зададим псевдориманову метрику сигнатуры (2,4) по формуле g(X,Y) = a(X,JY). Прямые вычисления тензора кривизны в системе Maple показывают, что данная метрика имеет скалярную кривизну
8ai3aJ6 - 8ai4a46a56 -1 R =-2-.
a56 a14
Случай 2. Функция X(da) принимает значение +1 при a45 = (a464 - 1)/(4a46a562). Тогда оператор J = Kda определяет почти пара-комплексную структуру, согласованную с o и имеет такую же матрицу, что и у приведенной выше почти комплексной структуры J, где вместо a^6 +1 нужно подставить a^6 -1. При
a56 = -1/(2ai42) выполняется условие нормализации, пара (ш,р) при р = da определяет полуплоскую структуру. Однако построить псевдориманову метрику на GxI с группой голономии из G2 не удается. Можно только утверждать, что 3-форма ф = aлdt+da на GxI является замкнутой.
Соответствующая метрика g(X,Y) = a(XJY) - псевдориманова сигнатуры (3,3) и имеет такую же скалярную кривизну, что и в первом случае.
Выводы. На группе Ли G5 любая левоинвариантная замкнутая 2-форма a является вырожденной. Существует несколько способов ослабить требование замкнутости для сохранения невырожденности a, причем так, что 3-форма da является невырожденной и выполняется свойство aлda = 0. Согласованная пара (a,da) определяет либо почти комплексную структуру, либо почти пара-комплексную -в зависимости от выбора a. Ассоциированная метрика g(X,Y) = a(X,JdaY) - псевдориманова сигнатуры (2,4) или (3,3). Пара (a,da) определяет полуплоскую структуру. Отметим, что в работе [13] показано, что на данной группе Ли не существует полуплоских 8и(3)-структур. Таким образом, на группе Ли G5 естественным образом определены псевдо почти эрмитовы полуплоские и почти пара-эрмитовы полуплоские структуры, которые не являются эйнштейновыми. Для рассматриваемого класса структур (ш,р) не существует псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 . Однако 3-форма ф = aлdt+da на GxI является замкнутой.
Результаты работы были доложены на Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 140-летию Томского государственного университета и 70-летию механико-математического факультета ТГУ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Salamon S. Complex structures on nilpotent Lie algebras // J. Pure Appl. Algebra. 2001.
V. 157. P. 311-333. doi.org/10.1016/S0022-4049(00)00033-5.
2. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. Symplectic or contact structures on Lie groups // Diff.
Geom. Appl. 2004. V. 21. No. 1. P. 41-54. doi.org/10.1016/j.difgeo.2003.12.006.
3. Benson C., Gordon C.S. Kähler and symplectic structures on nilmanifolds // Topology. 1988.
V. 27. P. 513-518.
4. Cordero L.A., Fernández M., Ugarte L. Pseudo-Kähler metrics on six-dimensional nilpotent
Lie algebras // J. of Geom. and Phys. 2004. V. 50. P. 115-137. doi:10.1016/j.geomphys.
2003.12.003.
5. Смоленцев Н.К. Канонические псевдокэлеровы метрики на шестимерных нильпотент-ных группах Ли // Вестник КемГУ. 2011. № 3/1 (47). С. 155-168 (arXiv: 1310.5395 [math.DG]).
6. Smolentsev N.K. Canonical almost pseudo-Kähler structures on six-dimensional nilpotent Lie groups. 2013. arXiv: 1311.4248 [math.DG]. 26 p.
7. Cortés V., Leistner T., Schäfer L., Schulte-Hengesbach F. Half-flat structures and special holonomy // Proc. London Math. Soc. 2011. V. 102. No. 1. P. 113-158. DOI: 10.1112/plms/pdq012 (arXiv:0907.1222v1 [math.DG])
8. Smolentsev N.K. Left-invariant almost para-complex Einsteinian structures on six-dimensional nilpotent Lie groups // Science Evolution. 2017. V. 2. No. 2. P. 88-95.
9. Kobayashi S. and Nomizu K. Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 and 2. New York; London: Interscience Publ., 1963.
10. Hitchin N.J. The geometry of three-forms in six dimensions // J. Diff. Geom. 2000. V. 55. P. 547-576. doi:10.4310/jdg/1090341263.
11. Алексеевский Д.В.,Медори К., Томассини А. Однородные пара-кэлеровы многообразия Эйнштейна // УМН. 2009. Т. 64. Вып. 1(385). C. 3-50. DOI: https://doi.org/10.4213/ rm9262.
12. Hitchin N. Stable forms and special metrics // Global differential geometry: the mathematical legacy of Alfred Gray (Bilbao, 2000). P. 70-89. DOI: http://dx.doi.org/10.1090/conm/288. (arXiv:math/0107101v1 [math.DG]).
13. Conti D. Half-flat nilmanifolds // Math. Ann. 2011. V. 350(1). P. 155-168. (arXiv:0903.1175 [math.DG]).
Статья поступила 01.11.2018 г.
Smolentsev N.K. (2019) LEFT-INVARIANT ALMOST PARA-HERMITIAN STRUCTURES ON SOME SIX-DIMENSIONAL NILPOTENT LIE GROUPS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 58. pp. 41-55
DOI 10.17223/19988621/58/4
Keywords: nilmanifolds, six-dimensional nilpotent Lie algebras, left-invariant para-complex structures, Einstein manifolds, half-flat structures.
As is well known, there are 34 classes of isomorphic simply connected six-dimensional nilpotent Lie groups. Of these, only 26 classes admit left-invariant symplectic structures and only 18 classes admit left-invariant complex structures. There exist five six-dimensional nilpotent Lie groups G, which do not admit neither symplectic, nor complex structures and, therefore, can be neither almost pseudo-Kählerian, nor Hermitian. It is the Lie groups that are studied in this work. The aim of the paper is to define new left-invariant geometric structures on the Lie groups. If the left-invariant 2-form ю on such a Lie group is closed, then it is degenerate. Weakening the closedness requirement for left-invariant 2-forms ю, stable 2-forms ю are obtained. Their exterior differential dw is also stable in Hitchin sense. Therefore, the pair (ю, di») defines either an almost Hermitian or almost para-Hermitian structure on the group G. The corresponding pseudo-Riemannian metrics are Einstein for four of the five Lie groups under consideration. This gives new examples of multiparameter families of left-invariant Einstein pseudo-Riemannian metrics on six-dimensional nilmanifolds. On each of the Lie groups under consideration, compatible and normalized pairs of left-invariant forms (ю, p), where p = d», are obtained. They define semi-flat structures. The Hitchin flow on G x I is studied to construct a pseudo-Riemannian metric on G x I with a holonomy group from G2 and it is shown that there is nots solution in this class of left-invariant half-plane structures (ю, p). For structures (ю, p), only the 3-form closure property Ф = (BAdt + dw on GxI holds.
AMS Mathematical Subject Classification: 53C15, 53C30, 53C25, 22E25
SMOLENTSEV Nikolay Konstantinovich (Doctor of Physics and Mathematics, professor of
Fundamental Mathematics department of Kemerovo State University, Kemerovo, Russian
Federation). E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Salamon S. (2001) Complex structures on nilpotent Lie algebras. J. Pure Appl. Algebra. 157. pp. 311-333. doi.org/10.1016/S0022-4049(00)00033-5.
2. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. (2004) Symplectic or contact structures on Lie groups. Diff. Geom. Appl. 21(1). pp. 41-54. doi.org/10.1016/j.difgeo.2003.12.006.
3. Benson C., Gordon C.S. (1988) Kähler and symplectic structures on nilmanifolds // Topology. 27. pp. 513-518.
4. Cordero L.A., Fernández M., Ugarte L. (2004) Pseudo-Kähler metrics on six-dimensional nilpotent Lie algebras. J. of Geom. and Phys. 50. pp. 115-137. doi:10.1016/j.geomphys. 2003.12.003.
5. Smolentsev N.K. (2011) Kanonicheskie psevdokelerovy metriki na shestimernykh nil'potentnykh gruppakh Li (Canonical pseudo-Kähler metrics on six-dimensional nilpotent Lie groups). Vestn. Kemerovsk. Gos. Univ., Ser. Mat. 3/1(47). pp. 155-168. (In Russian), (arXiv:1310.5395 [math.DG]).
6. Smolentsev N.K. (2013) Canonical almost pseudo-Kähler structures on six-dimensional nilpotent Lie groups. arXiv: 1311.4248 [math.DG]. 26 p.
7. Cortés V., Leistner T., Schäfer L., Schulte-Hengesbach F. (2011) Half-flat structures and special holonomy. Proc. London Math. Soc. 102(1). pp. 113-158. DOI: 10.1112/plms/pdq012 (arXiv:0907.1222v1 [math.DG]).
8. Smolentsev N.K. (2017) Left-invariant almost para-complex Einsteinian structures on six-dimensional nilpotent Lie groups. Science Evolution. 2(2). pp. 88-95.
9. Kobayashi S. and Nomizu K. (1963) Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 and 2. New York; London: Interscience Publ.
10. Hitchin N.J. (2000) The geometry of three-forms in six dimensions // J. Diff. Geom. 55. pp. 547-576. doi:10.4310/jdg/1090341263.
11. Alekseevsky D.V., Medori C., Tomassini A. (2009) Homogeneous para-Kähler Einstein manifolds. Russian Mathematical Surveys. 64(1). pp. 1-43.
12. Hitchin N. Stable forms and special metrics. Global differential geometry: the mathematical legacy of Alfred Gray (Bilbao, 2000). pp. 70-89. DOI: http://dx.doi.org/10.1090/conm/288. (arXiv:math/0107101v1 math.DG]).
13. Conti D. (2011) Half-flat nilmanifolds. Math. Ann. 350(1). pp. 155-168. (arXiv:0903.1175 [math.DG]).
Received: November 1, 2018
