CC BY
22
УДК 514.76
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ ПСЕВДОКЕЛЕРОВЫ СТРУКТУРЫ НА НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЕ ЛИ ТИПА М1
Н. К. Смоленцев
В работе [3] найдены левоинвариантные комплексные структуры на шестимерной группе Ли О1 с алгеброй Ли типа М1 (по классификации Морозова). В работе [2] показано, что группа Ли О1 является симплектической. В данной работе найдены левоинвариантные псевдокелеровы структуры на группе Ли О1 и исследованы их свойства кривизны. Показано, что соответствующие метрики образуют 6 параметрическое семейство неплоских Риччи-плоских метрик. Они дают новые примеры неплоских левоинвариантных эйнштейновых псевдори-мановых метрик на шестимерных нильпотентных группах Ли.
1. Группа Ли Єї. По классификации Морозова [5] существует 22 неразложимых неизоморфных вещественных нильпотентных шестимерных алгебры Ли, обозначаемых символами МІ - М22. Рассмотрим шестимерную группу Ли ОІ, которая имеет алгебру Ли М1, определенную следующими коммутационными соотношениями: [ЕЬЕ2] = Е4, [Е2, Е3] = Е6, [Е2, Е4] = Е5. Таким образом, алгебра Ли имеет всего три ненулевые структурные константы: С'14г = І, С^3 = І, С24 = І. Данная алгебра Ли имеет двумерный центр 2, образованный векторами Е5, Е6. Общий элемент X = х1Е1 + х2Е2 + хъЕ3 + х4Е4 + х5Е5 + х6Е6 алгебры Ли может быть представлен матрицей X порядка 6, первые две строки которой имеют вид (0, х2, х1, х5, - х4, х6), (0, 0, 0, х4, х1, х3), а остальные строки - нулевые. Общий элемент соответствующей группы Ли О1 имеет вид g = М + X, где М - единичная матрица.
В работе [2] показано, что группа Ли О1 является симплектической. Она имеет три левоинвариантные симплектические структуры, которые задаются 2-формами:
О = —0і А 04 +02 Л. @5 + $з А 06 ,
Сй2 =0І А 04 + @2 А @5 + @3 А @6 , о3 =0І А 06 + 02 А 05 + 03 А 04 ,
где вх, в2,въ,в4, в5, в6 - 1-формы, двойственные базису {Е1, Е2, Е3, Е4, Е5, Е6} алгебры Ли М1.
В работе [3] показано, что группа Ли 01 имеет 10-и параметрическое семейство левоинвариантных комплексных структур, которые определяются следующим оператором 3 почти комплексной структуры на алгебре Ли М1:
(
Т =
У11 - У +1 0 У 21 0 0 0
У 21 -Уіі 0 0 0 0
Т 31 Т 32 У33 у33 +1 У 43 0 0
У 41 У42 У43 -у33 0 0
У 51 Т 52 У53 У 54 -у33 У 43
У 61 Т 62 -У 54 Т 64 у33 +1 У 43 У33
Т 31 = (У33 - -Уіі)У4і - У42У21
У 43
(У33 ! +Уі1)У42У21 + (у121 + 1)у 41
\
У43У2І
(у33 + 1)у53 + 2у 54у 43у 33
т (Уі1 -У33)УЬ3УМ -УыУчь') ,
52 +
У43У2І
, У53У42 У54У4І + УУ
У«
У21
(У33 + УпУ41 +^42^21)^54^43 + 53У 41 - ^51^43)(^3^ + 1) + (У33 + Уіі)У6іУІ3
У43У2І
(1)
32
при условии, что у43у21 ^ 0 . Из выражения (1) сразу следует , что центр 2 алгебры Ли инвариантен относительно оператора комплексной структуры т.
Напомним, что почти комплексная структура J является интегрируемой (комплексной) [1], если ее тензор Нейенхейса:
N(X, У) = 2([ТХ, ТУ] - [X, У] - Т[X, ТУ] - Т[ТХ, У]) обращается в нуль. В случае левоинвариантой почти комплексной структуры Т на группе Ли тензор Ней-енхейса легко выражается через структурные константы алгебры Ли:
= 2(Т ск — -к —
V ^ г J 1с гJ
- - - -- - - - сс ).
(2)
2. Комплексные структуры на группе Ли Є1, ассоциированные с симплектическими формами. Почти комплексная структура Т называется ассоциированной с симплектической формой т, если т(JX,JУ) = т^У) для любых элементов X,Yє М1. В этом случае 2-форма
Е&,Г) = (3)
является симметричной и поэтому определяет на псевдориманову метрику на группе Ли О1.
Если 3 - интегрируемая почти комплексная структура, то тройка ^ , 3, т) определяет левоинвариантную (псевдо)келерову структуру на группе О!. Выделим из семейства (1) те комплексные структуры на О1, которые ассоциированы с сим-плектической структурой на М1. Учитывая, что 32 = -1, условие ассоциированности удобно представить в форме:
ю(3Х,У) + юХЛ) = 0. (4)
Рассмотрим сначала формы:
О = —Оі А 04 +02 А 05 + $з А 0^ и
Сй2 =01 А 04 + 02 А 05 + 03 А 06 .
Оператор 3, удовлетворяющий условию (4),
^4 В'
имеет блочный вид: 3 =
где блоки обла-
дают некоторыми свойствами симметрии. В частности, блок В имеет вид для первой и второй форм, соответственно:
■"Г 31 315 6 31
В = — 315 Ч4 6 32
V- 316 6 32 6 3 33
( ¥11
В2 =
л
V 316
3а =
¥іі +1
¥43
¥42 ¥п + ¥42 + 2¥п¥аз¥п
¥42з
¥41
¥51
¥61
32 26
— ¥43
— ¥11
¥41
¥42
32
32 336 У 0
0
— ¥11
¥43
¥42
Тогда для комплексной структуры (1) мы имеем 334 = - ¥33 +1 = -316 = 0 - в случае формы а>1 и
¥43
334 = - ¥33 +1 = 316 = 0 - в случае формы ю2, что
¥43
невозможно. Поэтому комплексных структур на 0-[, ассоциированных с симплектическими структурами
ю1 и ю2, - нет.
Рассмотрим третью симплектическую форму а3 =вх лв6 +в2 лв5 +в3 лв4. Оператор 3, удовлетворяющий условию (4), имеет блочный вид:
( А В Л
3 = I ~ I, где блоки обладают некоторыми
^ В)
свойствами симметрии. А именно: блок А - произвольный, блоки В и С - симметричные относительно побочной диагонали, блок В = -А*. Учитывая эти симметрии, получаем следующий вид комплексной структуры, ассоциированной с симплек-тической формой ю3:
¥51 ¥41
0 0 0
0 0 0
¥п +1 0 0
¥43
¥11 0 0
— ¥41 ¥11 ¥43
+ ¥42 + 2¥41¥4з¥11 ¥п +1 -¥1
¥42з ¥43
(5)
^ ^ 2 .2 2,2,2 2 22 7-2 _ 2¥„¥43¥42¥41 — 2¥п¥4з¥51 +¥42¥11 + ¥42 + ¥4з¥41 — ¥ 43¥ 61 где 3 5 = 2
(¥11 + 1)¥ 43
ва метрика g3(Х,У) = ю(Х,3У) имеет следующую матрицу:
. Соответствующая псевдоримано-
gJ =
¥61
¥51
¥41
¥ 42¥11 + ¥ 42 + 2¥41¥43¥11 ¥42з ¥121 +1 ¥43 — ¥11
¥51 ¥41 ¥42 ¥11 + ¥42 + 2¥41¥43¥11 ¥11 +1 — ¥11
2
¥423 ¥43
g 22 ¥42 -¥41 ¥11 ¥43
¥42 ¥43 ¥11 0 0
— ¥41 ¥11 ¥121 +1 0 0
¥43
¥11 0 0 0 0
¥43 0 0 0 0
(6)
где g 22 =
п, П, 2 , 2 2, 2 , 2 2 22
2¥и¥4з¥42¥41 — 2¥п¥4з¥51 +¥42¥и + ¥42 +¥4з¥41 — ¥ 43¥ 61
(¥11 + 1)¥ 43
параметрическое семейство псевдокелеровых метрик на группе О1.
. Таким образом, мы получили 7-и
2
Из выражения (6) сразу следует, что центр 2 алгебры Ли лежит в изотропном конусе и ортогонален подпространству {Е3, Е4}. Отметим также, что на подпространстве {Е3, Е4} метрический тензор положительно определен при любых значениях параметров.
Хорошо известно, что левоинвариантная почти комплексная структура 3 является биинвариантной, если 3-аёх = айусЗ для любого вектора X из алгебры Ли. Легко видеть, что ассоциированные комплексные структуры (6) не являются биинвариантными.
3. Кривизна псевдокелеровых метрик на Є1.
Найдем тензоры кривизны и Риччи данной псевдо-римановой метрики (6). Хорошо известно, что компоненты римановой связности 1у левоинвариантной метрики на группе Ли и тензора кривизны Щк
выражаются через структурные константы. Для выбранного ранее базиса {Еь Е2, Е3, Е4, Е5, Е6} алгебры Ли М1 имеем VЕ Еу _ ГкЕк . Компоненты связности г] находим из шестичленной формулы [1],
которая для левоинвариантных векторных полей Х,1,2 на группе Ли принимает вид:
2 я (V хГ, г) = я ([ х, г ], г) +
+я ([2, х ], г)+я (х ,[2, г ]).
Используя структурные константы С£ в базисе {Е,} алгебры Ли получаем:
,кп (СРя + СРя + СР,
1
ГП = -Е* (С?Ерк + С^Р] + ср-Ер). (7)
Тензор кривизны определяется равенством
Я(Х, У)2 = VХ—У2 -VУ VХ2 -У[х,У]г , где Х,У,2 -
левоинвариантные векторные поля на группе Ли. В базисе {£,} имеем:
= Я (Е , Е] к =
= —Е1 —Е,Ек — Е Е] — Е,Е к — V[Е1 ,Е] ] Е к =
(8)
_ Г* Гр Р _ Г* Гр Р _срг* г
х І^ ]к^.і х ]Рх Ік^ї ^І] х рк^.і'
яї ___ г ї г р __ Г ї г р __С р Г ї
^І]к А Ір^ jk ур Ік ^ І] А рк •
Тензор Риччи определяется как свертка тензора кривизны по первому и по четвертому (верхнему)
индексам: ЯІс]к _ ЯІ]к1 . Скалярная кривизна определяется как свертка тензора Риччи X _ Я/кК<С ;к
Будем рассматривать также (псевдо)риманов скалярный квадрат тензора кривизны:
МЯ _ яір&Іг 8і,КІкЯґрГ5 . (9)
Прямыми вычислениями в системе Маріє по формулам (5) - (9) получаем следующие свойства.
Свойства псевдокелеровой структуры на группе Ли Є1.
Комплексная структура 3т вместе с симплек-тической структурой
а3 _в1 лв6 +в2 лв5 + в3 лв4 и квадратичной
формой Ят образуют псевдокелерову структуру сигнатуры (-,-,+,+,+,+) на группе Ли О1. Центр 2 алгебры Ли М1 инвариантен относительно оператора комплексной структуры 3т ,он лежит в изотропном конусе и ортогонален подпространству {Е3, Е4}. На подпространстве {Е3, Е4} метрический тензор положительно определен при любых значениях параметров. Псевдориманова норма тензора кривизны равна нулю при любых значениях параметров, МЯ(я3) = 0. Тензор кривизны ЯІ]Ь
имеет, с точностью до симметрий, одну ненуле-
вую компоненту Я1212 _
¥п +1
¥43
. Тензор Риччи яв-
ляется нулевым при любых значениях параметров, ЯІс(яз) = °.
Известно [4], что если левоинвариантная рима-нова метрика на унимодулярной разрешимой группе Ли О эйнштейнова, то эта метрика плоская. Построенные метрики показывают, что данное утверждение не верно для левоинвариантных псевдори-мановых метрик на шестимерных нильпотентных группах Ли.
4. Некоторые классы псевдокелеровых метрик на Є1.
Общая псевдокелерова метрика (6) зависит от шести параметров ¥11, ¥43, ¥41, ¥42, ¥51, ¥б1, с одним условием: ¥43 ^ °.
Рассмотрим два частных класса метрик. Пусть сначала ¥41 _ °,¥42 _ °,¥5і _ °,¥6і _ ° . Тогда получаем следующие выражения комплексной структуры и ассоциированной метрики:
(
Яз _
° ° ° ° ¥121 +1 ¥43 А _ ¥11
° ° ° ° ¥11 ¥43
° ° ¥43 ¥11 ° °
° ° ¥11 ¥п +1 ¥43 ° °
¥п +1 ¥43 ¥11 ° ° ° °
_ ¥11 ¥43 ° ° ° °,
¥11 -¥43 0 0 0 0
¥П +1 ¥43 — ¥11 0 0 0 0
0 0 -¥11 ¥П +1 ¥43 0 0
0 0 ¥43 ¥11 0 0
0 0 0 0 ¥11 ¥43
0 0 0 0 ¥п +1 ¥43 -¥11
. (11)
Легко видеть, что метрический тензор имеет сигнатуру (-,-,+,+,+,+) при ¥43 > 0 и сигнатуру (+,+,-,-,-,-) при ¥43 < 0 . Оператор Зт комплексной структуры имеет следующие голоморфные площадки: {Еь £2}, {Ез, £4}, Е Еб}.
Другой класс псевдокелеровых метрик получается при ¥11 = 0,¥43 = 1;
gj =
¥61 ¥51 ¥41 ¥42 -1 0'
¥51 22 ¥ 42 +¥41 ¥61 ¥42 -¥41 0 1
¥41 ¥42 1 0 0 0
¥42 -¥41 0 1 0 0
-1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0,
(12)
J» =
' 0 — 1 0 0 0 0'
1 0 0 0 0 0
— ¥42 ¥41 0 —1 0 0
¥41 ¥42 1 0 0 0
¥51 ¥ 42 + ¥41 — ¥61 ¥42 —¥41 0 1
V ¥61 ¥51 ¥41 ¥42 —1
. (13)
Легко видеть, что метрический тензор имеет сигнатуру (-,-,+,+,+,+) при любых значениях параметров ¥41, У42 ,¥51, Уб1 . Отметим также, что эти параметры не влияют на тензор кривизны.
Литература
1. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. / Ш. Кобаяси, К. Намидзу. - М.: Наука, 1981. - 416 с.
2. Khakimdjanov, Y. Symplectic or contact structures on Lie Groups / Y. Khakimdianov, M. Goze, A. Medina // Preprint // Эл. вариант. - Режим доступа: http://arxiv.org/abs/math.DG/0205290.
3. Magnin, L. Complex Structures on Indecomposable б-dimensional Nilpotent Real Lie Algebras / L. Magnin // Preprint // Эл. вариант. - Режим доступа: http://www.u-bourgogne.fr/monge/l.magnin.
4. Miatello, Dotti I. Ricci curvature of left-invariant metrics on solvable unimodular Lie groups // Math. Zeit. - 1982. - V. 180. - P. 257 - 263.
5. Морозов, В. В. Классификация нильпотент-ных алгебр Ли шестого порядка [Текст] / В. В. Морозов // Изв. вузов. Сер. «Математика». - 1958. -№ 4. - С. 161 - 174.
J
а
