Клеточная структура псевдориманова пространства с геодезическим полем одномерных направлений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.3

В.А. Игошин

КЛЕТОЧНАЯ СТРУКТУРА ПСЕВДОРИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА С ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПОЛЕМ ОДНОМЕРНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Исследуются псевдоримановы пространства, допускающие геодезические поля одномерных направлений с особыми точками. При некоторых предположениях доказано, что такие многообразия имеют клеточную структуру, сложность которой - в отличие от тополо-гических клеток - сосредоточена уже в самой клетке. Глобальное строение изучаемых прост-ранств напоминает, в частности, двойную спираль ДНК; при других условиях возможно глобальное устройство пространства в виде «параллельных» Вселенных.

Ключевые слова: псевдориманово пространство, геодезическое поле, особые точки, клетки, тороидные и цилиндроидные пространства.

Геодезическое поле да-мерных направлений, или - на более современном языке - геодезическое распределение А размерности т на аффинно-связном многообразии Ä1 введено в работах [1 и 2] следующим образом. Предположим, что А полностью интегрируемо и у -произвольная геодезическая (не лежащая на каком-либо интегральном многообразии распределения А). Если подмногообразие, полученное объединением интегральных многообразий распределения А, пересекающих у, вполне геодезично, то распределение А называется геодезическим. Заметим: 1) наличие особенностей распределения А не исключено; 2) определение имеет смысл лишь при n > т + 1. В [1, 2] получен ряд условий, необходимых и достаточных для геодезичности распределения. В частности, в случае (псевдо)риманова многообразия (М dS ) дополнительное по ортого-нальности к (невырожденному) геодезическому распределению А распределение А1 также вполне интегрируемо, и в классе «адаптированных» координатных систем:

dS2 = qab(xc)dxadxb + е2Т(х } Щ (xk)dxldxJ , (1)

с k

где a, b, c = 1, ... m; i, j, k = m+ 1, ... n; х и х - координаты на интегральных многообразиях распределения А и А1 соответственно; Т - некоторая функция, a dSq = H^dx'dxJ - некоторая

(п - да)-мерная метрика. Наоборот, касательные пространства к координатным многообразиям х = const в случае (1) образуют геодезическое распределение. Метрика (1) названа в [3] полуприводимой. Если dSQ постоянной кривизны, то мы получаем обобщенные субпроективные пространства В.Ф. Кагана [4].

Трудно перечислить геометрические построения, которые так или иначе приводят к геодезическому распределению. Наиболее значительным примером подобного рода является тот факт, что проблема геодезического отображения Т. Леви-Чивиты [5] в случае отображения на пространство низшей размерности полностью решается в аффинно-связном и римановом случае теорией геодезического поля направлений (см. [6], где это доказано неявно - т.е. без указания на связь с проблемой Т. Леви-Чивиты). Другой пример: пространство-время Шварцшильда в общей теории относительности (ОТО) допускает двухмерное геодезическое распределение, и метрика

имеет вид (1) при m = 2 и dSQ - постоянной положительной кривизны.

В случае одномерного геодезического распределения метрика принимает вид (1) при m = 1. Если к тому же dSq постоянной кривизны, то этот случай известен в ОТО под назва-

© Игошин В.А., 2012.

нием метрики Робертсона-Уокера. К нему принадлежит, в частности, метрика Фридмана расширяющейся Вселенной.

Назовем далее точку р пространства (М dS2) точкой Шура, если любая двумерная поверхность, геодезическая в р (см. [7]), является вполне геодезической. Э. Картан приводит «замечательную теорему» Ф. Шура, относящуюся к свойствам таких точек [7, с. 117 и 8]. Вполне очевидно, что геодезические, проходящие через точку Шура, являются при dimМ > 2 траекториями одномерного геодезического распределения, причем сама точка Шура является его особой точкой. Можно показать [7], что точка Шура совпадает с точкой свободной подвижности - точкой, которую оставляет неподвижной группа движений (в некоторой ее окрестности), зависящая от п(п - 1)/2 параметров (n = dim М). Если эта группа является подгруппой группы движений (аналитического) пространства М в целом, то такая точка названа в [9, 10] полюсом (риманова М). При этом предположено, что полная группа движений М также зависит от n(n - 1)/2 параметров. Таким образом, «полюсное» многообразие допускает одномерное геодезическое распределение (см. также лемму 2 из [10]).

Обозначим через V связность Т. Леви-Чивиты метрики dS1. Поле одномерных направлений на М будет (см. [1, 2]) геодезическим (коротко - Г-полем), если и только если произвольная точка p £M обладает окрестностью V, в пределах которой это поле может быть задано векторным полем А, удовлетворяющим условию

Vx А = Ф^ (2)

при любом векторном поле ^и некоторой функции Ф на V.

Все рассматриваемые в работе объекты предполагаются гладкими.

Заметим, что при dim M = 2, когда геометрическое определение Г-поля теряет смысл, под Г-полем мы понимаем поле, удовлетворяющее условию (2).

Из (2) в случае односвязности V следует, что А = grad р для некоторой функции р : V -R, и (2) принимает вид

Vx grad р = ФХ. (3)

Особые точки Г-поля А, определяемого градиентом функции р : M - R, в собственно римановом случае исследовались в [11, 13], где такое скалярное поле р и векторное А = grad р названы в связи с [14] конциркулярными. Особенности оказались точками Шура -точками свободной подвижности - полюсами. При Ф = - кр +с (к и с - константы) уравнение (3) исследовалось Вейнгартеном (см., например, [15]).

Предположим далее: 1) Г-поле глобально (на всем М) определено векторным полем, которое, как и само Г-поле, договоримся обозначать буквой А; 2) Г-поле А в целом (на всем М) удовлетворяет условию

VxА = ФХ. (4)

Таким образом, мы будем иметь дело с многозначным скалярным конциркулярным

полем.

Настоящее исследование представляет собой достаточно подробное изложение результатов, анонсированных в кратких сообщениях [16, 17]. Доказательства ряда результатов не приводятся из-за ограничений на объем статьи.

В целом работа наиболее близка к исследованиям А.С. Солодовникова и Н.Р. Камы-шанского по аналитическим псевдоримановым пространствам с полюсами (см. [9, 10]). При наличии Г-поля с особыми точками и некоторых дополнительных предположений - наиболее существенным из которых является полюсный характер особенностей - далее исследуется глобальное строение (гладких) псевдоримановых пространств. Доказано, что такие пространства составлены из конгруэнтных «клеток». В отличие от известной топологической конструкции сложность структуры, включая и топологию, сосредоточена здесь и в самой клетке. Получена частичная классификация клеточных многообразий.

1. Особые точки геодезического поля

1.1. Полярные координаты. Метрика псевдориманова пространства с Г-полем (в нормальной окрестности особой точки)

гу

Пусть (М,dS ) - псевдориманово пространство. Фиксируем ортонормированный репер ej касательного пространства Mp в какой-либо точке p еM (< ei,е > = s S,где е. =1

i ij i

при i = 1, ... d; s. = - 1 при i = d + 1, ..., n = dimM). Этот репер индуцирует нормальные координаты а в любой нормальной окрестности V(p) точки р. Будем далее отождествлять V(p) с соответствующей ей по диффеоморфизму ехр| нормальной окрестностью из Mp. «Изотроп-

def _ j

ный конус» Conp =={a = (a ) е V(p): < a,a > = 0 } точки р вместе с двумя открытыми мно-def

жествами Ve(p) — {a е V(p) : s < a, a >>= 0} образует разбиение окрестности V(p) : V(p) = V^(p)UConpUV.^p) (e = ± 1).

Пусть Q - (открытое) множество точек (а* = (a*j), t) е Rn+1(a* е Rn =Mp,t е R), для

* def ^

которых E(a ,t) == a * t е V(p). Обозначим через Ss (s = ± 1) «е-псевдосферу» в Mp, т.е.

* * def ;{;

подмногообразие, определенное уравнением < a , a > = и . Положим QU == {(a*, t ) е Q

: a е S , t > 0}. Сужение отображения Е на Qs является диффеоморфизмом Qs на Vs (p). В связи с этим координаты aU', t точки (a*, te) е Q называются далее полярными

координатами точки ag = (a* ) = S (a*, te ) е V (p).

* _, * Пусть р - особая точка Г-поля A и a* е SU. Обозначим через xs (ae, ts) отнесенную к

лонгальному параметру ts геодезическую с начальным значением (p, ae); de = a ite - ее уравнение в пределах Vs (p). Равенство

tu

Н< -k

Pe(a*, tu) = J< A(xu(a*, tu)),dxu/dtu >dtu + с (5)

0

*

определяет некоторую функцию переменных a* и ts , которая при надлежащем выборе константы с является выражением в полярных координатах на Ve (p) функции р из соотношения (3), заданной на односвязной области V (p)(grad р =

Ре (< ) = P(a' ) V (p)=Pe (а*е' te )• (6)

2

Кривую в псевдоримановом пространстве (М, dS )назовем (см. также [9, 10]): плюс-

2 2 2 кривой, если вдоль нее dS >0; минус-кривой, если dS <0; изотропной, если dS =0.

Вдоль любой кривой x(t) на V(p) имеем:

dp/dt =< grad р, dx/dt >. (7)

Для траектории x(t) поля gradр, отнесенной к лонгальному параметру t, отсюда получаем:

d2p/dt2 = вФ, (8)

где s = 1 для плюс-траекторий; s = - 1 для минус-траекторий и s = 0 для изотропных.

2

Точку р псевдориманова пространства (М, dS ) мы называем полюсом, если любое

движение псевдоевклидова пространства (Mp, dSp) является дифференциалом некоторой

2

изометрии пространства (М, dS ).

Это определение полностью согласуется с определением из [9, 10]. Всюду далее считаем выполненным следующее условие:

Si. Каждая особая точки р Г-поля А в пространстве (М dS2) является полюсом; причем в пределах любой нормальной окрестности V(р) своей особой точки р Г-поле А совпаду

дает с Г-полем, ортогональным орбитам группы движений (М, dS ), оставляющих точку р на месте.

Замечание. На V (Р) орбиты упомянутой группы определяются уравнением tE = const.

Из Si следует, что сужение dS\ метрики dS2 на V (Р) имеет в полярных координатах

вид:

dSl = 8 dte2 + f (tE )d6e2 , (9)

n

2 ** 2 __I

где f - четная функция, d&2 = 2i (da* ) - метрика на «s-псевдосфере» H . Сопоставляя

i=1

кристоффели, полученные, с одной стороны, через тензор формы dS2 и, с другой, из усло-

2 2

вия (3), находим, что f8 = c (dp8/dt8) (c = const) . Далее, сравнивая коэффициенты Тейлора 2 2

функций f8 = c (dp8/dt8) и замечая (аналогично тому, как это сделано, например, в [9, 10]),

что коэффициент при t2 в формуле Тейлора для f равен 1, мы приходим, учитывая (8), к 2 2

выводу: c Ф (p) = 1. Таким образом,

dS82 = 8dt2 +—1—(dp8 /dt8 )2 de2 • (10)

Ф2( Р)

Попутно установлено, что

Ф(р) Ф 0 (11)

для каждой особой точки р Г-поля.

1.2. Зона особой точки Г-поля

Если о1 (i = 1,... n = dimM) - локальные координаты в окрестности особой точки р Г-поля А, то из (4) следует: дЛ1 / dxj = Ф(р) Ъ, что делает очевидным (см. (11)) Предложение 1. Особые точки Г-поля изолированы.

Линеаризованное в окрестности своей особой точки р уравнение dx/dz = А(х) имеет вид dx'/dx = Ф (р)х'. С помощью теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости доказывается предложение 2.

Предложение 2. Каждая особая точка р Г-поля А является асимптотически устойчивым положением равновесия (при т - ) да, если Ф(р) < (>)0.

Рассматривая (4) вдоль траекторий х(т) поля А, т.е. полагая X = А(х(т)) = dx/dt, получаем третье предложение.

2

Предложение 3. Каждая траектория х(т) Г-поля А в пространстве (М, dS )является

2

также геодезической метрики dS2.

2

Это делает понятным определение: пространство (М, dS ) с Г -полем А назовем A-полным, если неограниченно продолжаются геодезические, определяемые траекториями А.

Предложения 2 и 3 приводят к теореме 1.

Теорема 1. Пусть р - особая точка Г-поля А в псевдоримановом пространстве (М dS2). Тогда система траекторий А, заполняющих произвольную проколотую (без р) нормальную окрестность Vточки р совпадает с совокупностью лежащих в V геодезических метрики dS , входящих в р.

Назовем зоной особой точки р Г-поля А в пространстве (М, dS ) и обозначим через Z(p) множество точек всех тех траекторий A, для каждой их которых р является предельной точкой.

Из предложения 2, теоремы 1 и гладкости Г-поля A выводится лемма 1.

Лемма 1. Зона Z(p) особой точки р является открытым и линейно связным в М множеством, содержащим любую нормальную окрестность точки р.

Имеет место также лемма 2.

Лемма 2. В зоне Z(p) особой тачки р Г-поля А в псевдоримановом пространстве

2 2 (М, dS ) экспоненциальное отображение ехрр метрики dS не имеет критических значений.

Непосредственным следствием лемм 1 и 2 является теорема 2.

Теорема 2. Зона Z(p) особой точки р Г-поля А на многообразии (М, dS )является максимальной нормальной окрестностью точки р.

Эта теорема позволяет все относящиеся к окрестности V(p) переформулировать для Z(p) простой заменой V на Z.

Далее из условия (3) следует, что grad Ф = a grad р, и теорема 1 (вместе с (7)) показывает, что имеет место лемма 3.

Лемма 3. Каждая гиперповерхность, ортогональная Г-полю А = grad р, является множеством уровня функции Ф (и, равным образом, р). В частности, «изотропный конус» Соп р произвольной особой точки р Г-поля А является связной частью некоторого множества уровня функции Ф .

Лемма 3 приводит к предложениям 4 и 5.

Предложение 4. На изотропных геодезических, проходящих через особую точку р Г-поля А, нет других особых точек.

Предложение 5. «Изотропный конус» Соп р особой точки р Г-поля A в A-полном

псевдоримановом пространстве (М, dS )является гомеоморфным образом при экспоненциальном отображении изотропного конуса касательного псевдоевклидова пространства (Mp, dS 2p).

1.3. Необходимые условия особой точки Г-поля

Функция ре из (5) в пределах связной компоненты «s-псевдосферы» Е от

*

ае е Е не зависит, поскольку t = const - уравнение поверхностей уровня для ре . Ясно, что

2 2

dpe / dte - нечетная функция лонгального параметра te, так как (dpe / dte ) = 0 и (dp,; / dte )|0 = = еФ( p) Ф0.

Согласуя нашу терминологию с [9, 10], назовем особые точки р и q Г-поля А (плюс- или минус-) соседними, если они соединены (плюс-, или минус-) геодезическим отрезком, не содержащим других особенностей. Будем различать также четыре типа особых точек р Г-поля: (I) р не имеет соседних особенностей; (II) р имеет плюс-соседнюю особенность, но не имеет

минус-соседней; (II') р имеет минус-соседнюю особенность, но не имеет плюс-соседней; (III) р имеет и плюс- и минус-соседнюю особенности.

Обозначая через с8 ближайший справа к t8 = 0 нуль функции dpe / dte, заметим, что

точки ± р8 = о8 (¿е = ±с8) являются особыми точками Г-поля, 8 -соседними с р = ог (¿е = 0) . При этом с8 не зависит от геодезической о8 при изменении ее начального вектора а* в пределах Е . Из следует, что функция р8 четна относительно значений t8, кратных с8. Отсюда вытекает, что р8 - четная периодическая с периодом 2с8 функция, определенная на всей числовой прямой (предполагается, что (М, dS )А-полно).

Лемма 4. Пусть р8 (^) = ^=0^^ + 08 (1^) — формула Тейлора для гладкой четной функции ре (к - произвольным образом фиксированное натуральное число). Тогда условия

+1 = 0 Ь8 = 8аЬ (а = 0, 1, 2, ...; Ъ2а - константы, от е не зависящие) необходимы и до-

2а 2 а

статочны для того, чтобы ре (^) при ^ = 8 1^=18 (а8 )2 сужением на 2е(р) гладкой функции

р(а'), заданной на 2(р).

Доказательство необходимости проводится индукцией по к. Достаточность очевидна.

(8)

Заметим, что в нашем случае (Г-поле = Р; см. также (8)): Ь^ = 8^ =

=2р8 = {8 2)ф( р)) Таким образом, доказана одна из основных теорем.

Теорема 3. Для каждой особой точки р Г-поля А в А-полном псевдоримановом пространстве (М, dS ) равенством (5) определены на всей числовой прямой такие две функции Р8 ) (8 = ±1), что:

1) р8 четные функции; dр8 /dt8 обращаются в нуль при тех и лишь при тех значениях tе, при которых точка хе (^) геодезической х8 из (5) является особой точкой А;

2) если р - особая точка типа (/), то dр8 / dt8 = 0 (е = ±1) лишь при 4 = 0; если р — точка типа (II) (или (II), то dр8 / dt8 = 0 также лишь при 4 = 0, а р_8 - периодическая функция с некоторым периодом 2с_е и dр_8/dt= 0 лишь при t_е = тс_е (т - любое целое), где е = - 1 в случае

типа (II) (или е = 1 в случае типа (II)); если р - точка типа (III), то ре (е = ±1) - периодическая функция с некоторым периодом 2се и dр8Ш8 =0 лишь при tе = тсе (т - любое целое);

3) коэффициенты Тейлора Ъ^функции ре (е = ±1) таковы, что Ье^ =0, а Ъ2а (а = 0, 1,...) связаны соотношением Ъ^ = еаЪ^а (константы Ъ^а от е не зависят), при

этом Ь0 = р8 {0), Ь(8) = (8 /2)Ф(р);

2

4) метрика dS в пределах подзоны 28(р) имеет вид:

ds¡2 = 8^2 +[^р8 ш8 )2 /Ф2(рда2 .

* 2

где ^Э2 = ¡е^а*1) метрика на «е-псевдосфере» Е .

Эта теорема является собирательным аналогом ряда теорем из [9] и [10].

Теорема 4. Пусть р8 :Я ^ Я(е = ±1) - две функции, обладающие указанными в пунктах 1)-3)теоремы 3 свойствами. Тогда существует псевдориманово пространство (М, dS2) наперед заданной размерности п и сигнатуры п - d) и такая функция р на М,

что А = grad р - Г-поле на М с одной особой точкой р eM, причем: 1) М = Z (p);

2) ре совпадает с функциями, определенными равенством (5); 3 ) Г-поле А удовлетворяет требованию S1.

Замечание 1. Речь, разумеется, идет о свойствах, сохраняющих свой смысл в отсут-

2

ствии Г-поля А вместе с пространством (М, dS ). Замечание 2. Говорят, что

(M , dS 2) имеет сигнатуру (d, n - d), если в любой точке

2

р eM форма dS приводится к нормальному виду, в котором d коэффициентов равны 1 и n - d равны -1 .

2

Псевдориманово пространство (М, dS ) теоремы 4 с Г-полем А = grad р назовем абстрактной зоной (соответствующей набору однозначно ее определяющих данных).

2. Клетка. Клеточное многообразие. Шифр клетки 2.1. Соседние особые точки. Формулы стыковки

2

Пусть А - Г-поле в A-полном псевдоримановом пространстве (М, dS ), удовлетворяющее условию Si (см. п. 1). В особой точке p0 Г-поля А фиксируем ортонормированный репер e0(1 = 1, ...и = dimM), причем d векторов, включая e0, единичных, и п - d векторов,

включая e0, мнимоединичных: < e0,e0 >= е 5 (в- = 1 для dзначений i, включая i = 1; в- = -1

2 1 j 1 j

для n - d значений i, включая i = 2).

Введем обозначения: pmiA(t ) - периодическая функция из теоремы 3 §1, сгп Л -

(0,е) (0,е) (0 е)

ее полупериод, у (i^ - отнесенная к лонгальному параметру t(0е) геодезическая с

начальным значением (р0 >е°) • Плюс-соседнюю для р0 особенность р+\—у 0(с(0+1)) назо-

е1 '

вем особенностью справа от р0; аналогично: р(с^ ^) - особенностью сверху от р0. Обозначая далее через е1 результат параллельного переноса вектора е0 в точку

p+1 вдоль геодезической у Q , будем писать: ej(

ео e1

У q)р + ¡е. . Согласно результатам п. 1, опре-

делены зоны Z(po) и Z(p+1), нормальные координаты а на Z(po) и ai на Z(p+1) соответствую-

0 1 2

щие реперам ег° и е-. Метрика в пределах Z8(po) и Z8(p+1) имеет (в понятных обозначениях) вид:

dS 2 = edt2 +-1-(do / df )2 d92 (на Ze (pn)),

(0,е) (0,е) ^) (0,е) dt(0,е) (0,е) ( е(p°)),

2 2 1 2 2

dS(+1,e) = edt(+1,e) -(dp(+i е)/dt(+1,e)) d6(0,e) (на Ze(p+1 »

ф (p+ 1

Для полярных t(0 +1) и t(+1 +1) одной и той же точки p ^Z+1(p.) П Z +1(p+1) имеем: t(0,+1) +1(+1, +1) = с(0,+1) = с(+1,+1) . Отсюда: (dp(0,+1)/di(0,+1))(i) = (dp(+1, +1)/ di(+1, +1))(c(0,+1) - i).

Следовательно, —г-02)+^ = —;-dЭ2+1 +1) для р е г+1(р0)П 2+1(р+1). Та-

Ф2(Р0) Ф (Р+1) ( ' ' +1

* * *

ким образом, имеем диффеоморфизм у : Е Е^+1 : а ^ а* = у/ +а )—:

d 2 2 2 ^ Уа*|р+1, который является гомотетией: ¿0(+1, +1) = Я 0) (X = Ф(р+1)/Ф(р0))

Гомотетия у+ переводит геодезические в геодезические. С другой стороны, геодезическими на Е+1 являются сечения Е+1 двухмерными плоскостями (проходящими через нулевые элементы). Итак, у+ «переводит» двухмерные плоскости (лежащие в 2+1(р0)) в двухмерные плоскости (лежащие в 2+1(^+1)).

Векторы е^ и е^ определяют вполне геодезический двухмерный «листок» (е^, е^ ),

лежащий в 2(р0). В 2(р+1) также имеем вполне геодезический «листок» (е^, е^ ). Эти два

листка совпадают на 2+1 (р0 ) П 2+1 (р+1)-

* def

Пусть а еЕ(0'+1) и точка p(t(0,+1)) = Та* (t(0,+1)) е2+1(р0) П 2+1(р+1) (0 < ^^ <Тогда р(^0+1р обладает двумя наборами нормальных координат: а1 - относи-

0 I 1 тг * 0 0

тельно репера е и а относительно е.. Если а лежит, например, в плоскости е°, е° и

* * , *

р^+г^ = ехРр0а, то а = ^0+1)а . Если же р^а+гР = ехРр+1 аи а1=у(а), то

аг = ^+1+1) > 0) . Нужно далее различать два случая: 10. Х(= Ф{р + 1)/Ф(р0)) = -1 ,

20. Л^ -1 . Первый всегда имеет место при d > 1, второй же возможен лишь при d = 1 (^ - число единичных векторов репера е®).

Рассмотрим сначала 10. Обозначим нормальные координаты на 2(р+1), соответствую-

111 1" 1" V 1" 1'

щие реперу (-е^, е^, ...,е^) через а (а = а , а =а для 1 = 2,..., п). Тогда а*1 = а1, где

*1 * 1 1 1 ТТ

а - компоненты а относительно (-е^, е^, ...,е^). Получаем:

t Г С ^ ...... С(0,+1)

i" (+1,+1) i a = ——-—- a =

t(0,+1)

(a)

2

J

ai . (Л+)

Таковы переходные функции на пересечении 2+1 (р0) П £ р+р для построенных ранее карт (2 (р0 ), а1) и (2 (р+1), а1 ) в случае 10.

Аналогично выглядят функции перехода на пересечении 2 1(р0) П 2 р ^ для очевидным образом строящихся карт (2(р0), а1) и (2(р 1),а ) в случае 10 (т.е. при Ф(р0) = = - Ф () ). Это всегда имеет место при п - d > 1. Их мы не выписываем, но присваиваем им обозначение (А-). Формулы {а+) и (А-) мы называем формулами стыковки (в случае 10). В случае 20 функции перехода задаются (формулами стыковки):

а (С(0,+1) *(0,+1)) („ \

=

с

(0,+1) х

V '(0,+1) у

1

а 5ИАа

зИа

(А+ )

где ¡" = 2, ..., п; ¿(0,+^ = (а1 )2'а = Аге^—а—.

^(0,+1)

Для минус-соседних особенностей р и (р_1) в случае 20 (Л = Ф(р0 )/Ф(р_:) *-1) функции перехода задаются аналогичными формулами (А—). Этот случай возможен только при п - ё = 1.

2.2. 8-многообразие. 8-движения

*

Пусть р^ и р* - особенности Г-поля А. Если 2р)П2(р ) *0, то, как следует из

изложенного, ри р* - (плюс- или минус-) соседние особенности.

Рассмотрим множество, являющееся объединением зон всех особенностей. Связную компоненту этого (открытого) подмногообразия в М обозначим через М0 и назовем Б-

многообразием (М0 открыто в М ). Пусть р е М; выделим множество { р* } «достижимых» особенностей р * требованием: каждая точка р * может быть соединена с р0 ломаной геодезической р0ру.. рк_^р* и где р и ря + ^(а = 0, 1, ...,£ 1;р^=р*) - соседние особенности. «Накроем» все р* зонами 2 (р ). Получим открытое М* Пусть р е ЕгМ* в М , тогда

р е 2 (р**) при некотором р ** е М0 и 2 (р**)[| 2 (р *) *0 для некоторого р е М* . Из из*

ложенного следует, что р ** и (вместе с ней) р е М* . Итак, доказаны предложения 1 и 2.

Предложение 1. Каждая особенность ¿-многообразия достижима. Предложение 2. Пусть два движения ф и ф* ¿-многообразия М0 совпадают на открытом множестве некоторой зоны 2(р*) (р* еМ0) . Тогда ф = ф*.

В самом деле, ф(ф*) 1 = ¡ё на этом открытом множестве. Соединяя это множество геодезическими с точкой р * , мы приходим к выводу, что ф(ф*) 1 = ¡ё на всей зоне 2(р*). Из предложения 1 теперь следует, что ф (ф *) 1 = ¡ё на всем М .

Определим далее £-движения ¿-многообразия. Пусть р и q - особенности, причем

р+1 - справа от р^, q - справа от р+1. Если ф0 = вуш(р0> е°0) - симметрия М0 (как мы будем

говорить) относительно (р0,е°0): фо(е0) = е0,ф0(е0) = е0для 1 = 2, ..., п; ф = Буш(р+1> е^) -

1 + ёе/

симметрия относительно (р+уе^), то имеем движение £ == ф ф0 :М0 ^М0. Ясно, что

Б+ (р0) = q . Как следует из формул стыковки А+2) : £+ е0 = е1 . Поэтому Б+ в соответствующих нормальных координатах а1 на 2(р0). и Ъ1 на 2имеет вид: Ъ1 = а1.

С другой стороны, если eq - ортонормированный репер в q, полученный парал-

0 * * 1 0 —

лельным переносом вдоль геодезической уу0 репера е. и а = а е. е е^ ^причем плюс-

^ d

геодезическая у проходит через ^(уа*(2С(0,+1)) = д), то (Ъ* 7«(2С(0,+1) = ( уа* )да и

Ъ* = а* (Ъ*=Ъ*!е?)

Тем самым (с учетом предложения 2) доказано следующее предложение. Предложение 3. Движение S + оставляет инвариантной любую геодезическую у ^

и, следовательно, не зависит от выбора е0. Кроме того, S + = id в том и только в том случае, когда (д =)$+(р0) = щ.

Можно показать, что при S + (р0 ) = р0 все плюс-геодезические точки р0 периодические.

В силу предложения 3 движение S + однозначно определено упорядоченной парой плюс-соседних особенностей р0 и р+1; таким образом, $ + = . Пара тех же особенно-

стей, но взятая в другом порядке (р+^рд) , определяет движение Sp р = (Spop ).

Таким образом, каждая неупорядоченная пара плюс-соседних особенностей ро, р+1 определяет пару взаимно обратных движений $+ор+1 и $р+1ро

Аналогично каждая неупорядоченная пара минус-соседних особенностей р , р

определяет пару взаимно обратных движений ($рр 1) и р .

Далее мы примем еще два (наряду с упрощающих предположения: $2. Все особые точки Г-поля А на $-многообразии М относятся либо только к типу II (либо II"), либо к типу III (см. п. 1).

$з. Пара взаимно обратных движений S±q и S±p, определяемая (неупорядоченной)

парой плюс- (или минус-) соседних особенностей р и д, не зависит от выбора последних. Кроме того, если р, д и р", д " - такие две пары плюс- (или минус-) соседних особенностей, что S ±г, = S ± ,, причем р и р, минус- (или плюс-) соседние, то особенности д и д"лежат по

рч р ч

одну сторону от гиперплоскости (вполне геодезической (п - 1 )-мерной поверхности), проходящей через произвольную рр"-геодезическую в области 2(р) П 2(р').

Лемма 1. Пусть р и д - плюс-соседние особенности, и - соответствующая им пара движений. Для каждой особенности р* существует такая плюс-соседняя особенность д*, что S+p*q* = S.

Аналогичная лемма имеет место для минус-соседних особых точек. Таким образом, определены движения S + и ^+)_ (произвольной парой плюс-соседних особенностей), а также S и ^_)_ (минус-соседними особенностями). Лемма 1 приводит к предложению 4.

Предложение 4. S+S _ = S _ S+.

Итак, композиции (£+)к $ )1 (к, I е 2) образуют абелеву группу движений $-многообразия М. Элементы этой группы будем называть $-движениями.

Замечание 1. В случае особых точек типа (II) считаем S = id; типа (II' ) - = id. Замечание 2. Если ^ п - d) - сигнатура $-многообразия (М, dS ), то - как следует из

предложения 3 - при d > 1 необходимо: S = id при п - d > 1: S _ = id (п = Шш М). Таким образом, при п > 3 и типичном случае (т.е. при d > 1 и п - d > 1) группа G $-движений тривиальна. При

этом все неизотропные геодезические особой точки pQ являются периодическими.

Итак, при n > 3 («типичное») S-многообразие обладает свойством, аналогичным свойству SCm из [18].

Библиографический список

1. Шапиро, Я.Л. О геодезических полях многомерных направлений // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32. № 4. С. 237-239.

2. Шапиро, Я.Л. Геодезические поля направлений и проективные системы // Матем. сб. 1955. Т. 36. Вып. 1. С. 125-148.

3. Кручкович, Г.И. О движениях в полуприводимых римановых пространствах // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 6. С. 149-156.

4. Каган, В.Ф. Субпроективные пространства / В.Ф. Каган. - М.: Физматгиз, 1961. - 220 с.

5. Levi-Civita, Т. Sulle Trasformazioni delle equazioni dinamiche vita // Ann. Mat. Pura ed appl. -Milano, ser. 2. 1896. V. 24. P. 255-300.

6. Шапиро, Я.Л. Геодезическое поле направлений в целом / Я.Л. Шапиро // Изв. ВУЗов. Матем. 1970. № 4. С. 103-111.

7. Картан, Э. Геометрия римановых пространств / Э. Картан. - М., Л.: ОНТИ, 1930.

8. Schur, F. Uber den Zusammenhang der Raume constanten Krumnungsmasses mit den projectiven Raumen // Math.Ann. 1886. T. 27. P. 537-567.

9. Солодовников, A.C. Полюсы псевдоримановых пространств / A.C. Солодовников, H.P. Ка-мышанский // Изв. АН СССР, Сер. Матем. 1975. Т. 39. № 5. С. 1093-1129.

10. Камышанский, Н.Р. Полуприводимые аналитические пространства «в целом» / Н.Р. Камы-шанский, А.С. Солодовников // Успехи матем. наук. 1980. Т. 35. № 5. С. 3-51.

11.Maebashi, Т. Vector fields and space forms // J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. 1960. № 15. P. 62-92. 12.Ishihara, S. On Riemannian manifolds admiting a concircular transformation / S. Ishihara, Y. Ta-

shiro // Math. J. Okayama Univ. 1959. № 9. P. 19-47.

13.Tashiro, Y. Complete Riemannian manifolds and some vector fields // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. V. 117. № 5. P. 251-275.

14.Yano, K. Concircular geometry. I, II, III, IV, V - Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1940. V. 16. PP. 195-200, 354-360, 442-448, 505-511; ibid.1942. V. 18. P.446-451.

15.Bianchi, L. Lexioni di Geometrie differentiele. V. II, part II. - Pisa, 1903.

16.Игошин, B.A. Особые точки геодезического ноля / В.А. Игошин, Я.Л. Шапиро // Изв. ВУЗов. Матем. 1984. № 9. С. 79-82.

17.Игошин, В.А. Геодезическое поле с особенностями и клеточное многообразие / В.А. Игошин, Я.Л. Шапиро // Изв. ВУЗов. Матем. 1984. № 11. С. 74-77.

18.Бессе, А. Многообразия с замкнутыми геодезическими / А. Бессе. - М.: Мир, 1981. - 315 с.

Дата поступления в редакцию 07.02.2012

V.A.Igoshin

CELLULAR STRUCTURE OF PSEUDORIEMANNIAN SPACE WITH THE GEODESIC FIELD OF ONE-DIMENSIONAL DIRECTIONS

The Nizhni Novgorod state technical university n.a. R.Y. Alexeev

Are investigated psudoriemannian spaces admitting geodesics fields of one-dimensional directions with singular points. At some assumptions it is proved, that such varieties have the cellular structure, which complexity - unlike topological cages - is concentrated already in the cage. The global structure of studied spaces reminds, in particular, a double spiral of DNA; under other conditions probably global device of space in the form of the "parallel" Universes.

Key words: pseudoriemannian space, a geodesic field, singular points, cages, torus-like and cylinder-like spaces.