Построение клетки и клеточного псевдориманова пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.3

В.А. Игошин

ПОСТРОЕНИЕ КЛЕТКИ И КЛЕТОЧНОГО ПСЕВДОРИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Работа является продолжением предыдущей статьи автора. Осуществлено построение клетки и клеточного пространства. Глобальное строение изучаемых пространств напоминает, в частности, двойную спираль ДНК; при других условиях возможно глобальное устройство пространства в виде «параллельных» Вселенных.

Ключевые слова: псевдориманово пространство, особые точки, клетка, шифр клетки, тороидные и ци-линдроидные пространства, формулы стыковки, геликоиды.

1. геликоиды. клетка

Далее сохранены обозначения, принятые в [1].

Пусть р0 - особая точка Г-поля А на ^-многообразии М. Фиксируем в р0 ортонор-

мированный репер е0. Реперу е0 соответствуют нормальные координаты а' в зоне 2 (р0). Имеем четыре «элементарных звена»:

1 ёе/ 1 /-ч

21(р0 )== {а е 2(р0 ): а1 >0, а >0} («правое верхнее»),

ёе/ 1

2 2( Ро)= {а е 2 (ро): а1 ^0, а >0} («левое верхнее»),

о 1 О

23(ро )== {а е 2(р0 ): а1 ^0, а ^0} («левое нижнее»),

* ёе/ 1 /-ч

2 4( р0 )^{а е 2 (р0 ): а1 >0, а ^0} («правое нижнее»).

ёе/

Каждое звено 2а (р0 ) (а = 1, 2, 3, 4) имеет две грани: грань ({а е 2а (р0)

ёе/ г.

: а1 = 0}, ортогональную е1 , и 2а^ (р0) == {а е 2а (р0): а2 = 0}, ортогональную е .

Назовем ^-многообразие М цилиндроидным, если все особенности относятся только к типу II (или только к типу II'), и тороидным, если все особые точки принадлежат типу III.

В тороидном случае паре векторов е0 и е0 репера е? в особой точке р0 сопоставим

л°маную геодезическую (контур) 'е1 ,е2) =(р4к' р^к+1' р4к+2> р^к+3>"0(е е ) (к = 0 1

4 1' 2'

2, ...) следующим образом. Соседние вершины рг и рг + 1 ломаной являются соседними особыми точками Г-поля. Пусть первые г звеньев уже построены. Будем обозначать далее

через (р ,...,р ) геодезическую ломаную из этих г звеньев и через еГ векторы орто-

? Г (б1' е2)

нормированного репера в точке рг, полученного параллельным переносом векторов е®

вдоль ломаной (р0, ...ре у Положим г = 4к. Отрезок плюс-геодезической у Ак :[0, с^к]

1' 2 е2

^М с начальным значением (р е4к), соединяющий точку р., с ее «правым плюс-

4к, 1 4к

© Игошин В.А., 2012.

соседом» р4к+1, будет (4к+1)-ым звеном контура Г+ (ро,е\,е2) • Минус-геодезическая у 1 :

е2

[0, с4к+1] ^ М -(4к + 2)-ое звено с вершинами в особых точках р^+1 и р4к+2. Плюс-

геодезическая У 4к+2:[0,с+к+2] ^ М (4к + з)-ое звено с началом р4к+2и концом р4к+3. Ми-"1

e

нус-геодезическая у : [0, с+к+3] ^ М (4к + 4)-ое звено с вершинами р4к+3и р4к+4.

е2

Определение контура Г+ (р0, е, ) этим завершено.

Рассмотрим объединение элементарных звеньев ^еС 21 (Ро)и22(р+^)

и 23(р+2) и %4(р+з)• Так, мы получаем первый «виток» Ж+1, затем №+2 ^ (р4)

О О /I 1

и22(р^)и23(р6)и24(р7) - второй, №+3 — третий и т.д. Объединение Н+(ро) = и №

г

назовем плюс-правым верхним 8-геликоидом. Аналогично контуру Г+ (р0, е, е2 ) определен контур Г-(р0,е2,е1) =(р 4к,р 4к 1, р 4к 2, р-4к-3,...) (к = 0,+1,+2,...) • Особенность р-4к-1 — «верхний минус-сосед» особой точки р_4к, особенность р_4к_2 — «правый плюс-сосед» Р_4^_1, особенность р_4к_3 — «нижний минус-сосед» р_4к_2, особенность р_4к_4 — «левый плюс-сосед» р-4к-3• Строим витки № к ^е[21(р 4к)и24(р 4к 1)и23(р 4к 2) и22(р 4к 3) (к = 1, 2, •••) и составляем из них минус-правый верхний S-геликоид:

1 де[ 1 Се/ 1 1

Н1 (ро) == и № Объединение Н (р0) —Н (р0) ПН_(р0) назовем правым верх-

г+ + -

ним ^-геликоидом, а особенности р+г — его вершинами (или узлами); р^ — «центр»

л 2 Се/ о _

Нлро)- Далее определяем: Н (р0)—Бушр,ео )Н (р0) — левый верхний 8-геликоид,

о Се/ ^ ^ * а о

Н 3( ро^вуш(ро, е2)Н 2( ро) — левый нижний 8-геликоид, Н 4(ро) = Буш^, е^)Н 3(ро)

п 1 4

= Буш(ро,е2)Н1(ро) — правый нижний 8-геликоид. Объединение С(рои На(ро)

а = 1

назовем 8-клеткой.

Замечание. 8-геликоиды Н+ (р0) - (плюс- и минус-) части S-геликоидов На(р0) (при

а = 2, 3, 4) определяются очевидным образом.

Итак, мы определили 8-клетку в тороидном случае.

Займемся теперь цилиндроидным. Для определенности будем считать, что все особенности относятся к типу (II). Контур (р0,е) состоит из двух звеньев: плюс-

геодезической у 0 : [о,с(о,+1) ] ^ М, соединяющей точку р0 с ее правым плюс-соседом осо-е1 '

бенностью р+1, и минус-геодезической - луча у : [о,^М с началом в точке р+ь Контур

e

+1 2

Г (р0, e, e2 ) вырождается в минус-геодезическую - луч у : [0,+то] ^ M с началом в р0.

e2

1 def , г. 1 def , , def

Имеем ^-геликоиды: Н+(р0) =Z 1(р0) U 2 2(р+1), Н_\р0) =21(р0) , Н 1(р0)=

1 о 1 о о det л о def

Н+^) UH^) = Z WU22(р+1); H2(Ро)= sym(p0,el)Hl(p()), H3^) d=sym(po,ei)

У , def о __, у def

H2(ро) 'H4(Р0)=sУm(Р0'е1)НЧро) =^т(ро'е2),Н1ро)- Полагаяр+1 = sУm(Ро'е1 )р+г

def 4 л л гу * гу

определяем, наконец, ¿-клетку C(p0)= и Hа(р0) = 2(р0)и22(р+1)и21(р+1)и24(р+1).

а = 1

Далее наряду с термином ¿-многообразие используется термин ¿'-клеточное многообразие. 2. Типы тороидных клеток. Классификационная теорема

к 1

Объединение и (к >0), состоящее из к витков Жг ¿-геликоида Н 1(ро), назовем: г = 1

циклом, если рА, = р ; полным циклом, если, кроме того, е4к = е?(1 = 1, ..., п = dimM).

4к ? I I

Символами Е1(4к) и £1(4к) будем обозначать цикл и полный цикл, соответственно.

Замечание. Мыслимый случай = р0 легко устраняется для s = 1, 3. Случай же

s = 2 требует дополнительного анализа и в этой работе исключен из рассмотрения.

Предложение. Если S-геликоид Н1(ро) допускает цикл Е ( ), то либо е4к=е?, либо

е4к = -е ? (/= 1, ..., п). г г

Докажем сначала, что 8уш(р0,е?) (/ = 1, ..., п) задается одной и той же матрицей как в

базисе е?, так и в базисе е4к. При/ = 3, ..., п это видно из формул стыковки А+(- ) при/ = 1, 2

- следует из ¿3. Действительно, возьмем, к примеру, Бут(ро,е0). Согласно ¿3, имеем: $+ р = р любого целого г > 0; т.е. Бут (р4г+1, е14г+1) 8уш(р 4г, е4) =

4г 4г +1 р4г + 3 р4г + 2

Буш (р4г+2, е4г+2) Бут (р4г +3, е4г+3). Опять-таки из формул стыковки вытекает, что Бут(р4г+1,е14г+1) = Бут(р4г+2, е^г+2) и 8ут(р4г+3, е^3) = Буш (р4г+4, е^+4). Следовательно, Буш (р 4г, е^ ) = Буш (р4г+4, е^4). Отсюда получаем: Буш (р?, е?) = Буш (р 4к, е^к ). Аналогично Буш (ро, е?) = Буш(р 4к, е4 ).

Итак, упомянутые в начале доказательства матрицы совпадают, что равносильно со-

отношениям: е

: е4к = е е0(е, = ±1, 1 = 1, ..., п). 1 1 1 к 1 ' ' ' '

Можно проверить, что А = А , причем как А , так и А — матрицы одного и того

? 4к ? 4к

же собственного вращения р пространства М „ . Поэтому А Т = ТА где Т — матрица пе-

0 р0 0 4к

рехода от базиса е? к базису е4к . Отсюда следу-

ет:

(^а0shаQ^ 8кап ^ап

V ? ?

(е1 ? ^ (^ ? Vchа0shа0Л

? е0 ? е 0 shаr< 2 / V 2/V ? ?

и е^=е^.Совершенно аналогично показывается, что е. = е и при 1 = 3,., п.

Резюмируя изложенное, приходим (в тороидном случае) к следующей классификационной теореме, в которой случай цикла, состоящего из полуцелого числа витков, исключен из рассмотрения.

Теорема 1. Для каждой особенности р0 Р-поля А в А-полном псевдоримановом клеточном многообразии (М, dS2) клетка С(ро) либо ациклична (бесконечна), либо S-геликоид Н1(ро) допускает цикл Ъ1(4к) СН Чр0) с наименьшим числом k (> 0) витков, причем возникают две возможности:

1) клетка состоит из четырех S-геликоидов Н(ро) = Ъа(4к), а = 1, 2, 3, 4 (при

из четырех Ь-геликоидов Н (ро) = Ъ , а = 1, 2, 3, 4 (при этом

е4к = для всех 1=\,...,п); г г

2) клетка представляет собой пару Ь-геликоидов:

я\(Ро) = н 3( Ро) = = Ё3^ = ^ и Н 2(ро)=Н 4(р0)=Ъ2(8к)=Ъ4(8к) = ъ2(4к )и = ъ4(4к),

(при этом е4к = -е0 для всех г = 1,..., п).

3. Шифры ^-геликоидов и ^-клетки (тороидный случай)

Договоримся далее всюду называть зоной (особой точки Г-поля А (М, dS2)), подзоной, элементарным звеном, S-геликоидом и S-клеткой соответствующие объекты, наделенные индуцированной метрикой (- сужением метрики dS2) и Г-полем (- сужением А ).

Под шифром какого-либо объекта (S-геликоида или S-клетки) будем понимать его краткое (символическое) описание, эквивалентное (изоморфное) самому объекту. При этом эквивалентность означает возможность синтеза (см. далее п. 3) объекта по его шифру. Так, например: шифр S-геликоида состоит их перечня элементарных звеньев с указанием порядка их соединения и описания связей между звеньями; шифр S-клетки - из шифров S-геликоидов, ее составляющих, и связей между ними.

Переходя непосредственно к шифрам, начнем с перечней звеньев, составляющих S-

геликоиды На (р0 ) ( а = 1, 2, 3, 4). При этом ограничимся наиболее сложным случаем клет-

1 о 2 4

ки, состоящей из двух циклических геликоидов Н\(р0) =Н3(Ро) и Н (р0) = Н (р0) (см.

14 т^ 1 Uej 2 / ч 1 3 UeJ / ч 2

теорему 1). Введем обозначения: p — p ,p = sym(pQ,e^)p , p = sym(p0,e2)P2 и

4 def ,,

Р4 = вуш(р0, в\) р3 (г е 2).

Звенья Н + (р0) : (21(р0),...,2\(Р4г),22(р4г+\), г3(р4г+2), 24(р4г+3),...,г\(р8к)); звенья Н2+(р0): (22(р^),...,22(р1г), 21(р4[г+1), 24рг+2), 23рг+3), ...,22(Р&)); звенья Н\(р0) : (23(р^),...,23(р^г), 24(р3г+:), 21(р4г+2), 22(р3г+3), ..., 23(р8^)); звенья Н^(ро) :

(2 4 ( р4 ),...2 4 (р4 ), 23(р4г+1), 22(р4г+2), 2 \( р4г+3),..., 24(р4 )) (г = 0, \, 2, 2£-\).

Перечни звеньев S-геликоидов На (р0) получаются из перечней (р0) обращением порядка записи в них элементарных звеньев.

Прежде чем заняться выявлением «связей», напомним, что в каждой из точек ра (а =

г

\, 2, 3, 4; ге2) фиксирован ортонормированный репер е(а 'г), а в соответствующих зонах

2(ра) - нормальные координаты а1( ; на подзонах 2 (ра) - полярные координаты

(а, г),

¿аг и а*' , определены пары нечетных периодических с полупериодом с(а'г) функций /(а'г) а(а' г)) = Шр(а' г)Ш(а' г), где р(аг) (е = ±1) - функции теоремы 1.

ее ее е

Имеем «связи»:

(1)

для е Д Г е Я и целых г >0. При этом с(а,±2г) = с(а,±(2г +1)), с(а,±(2г +1)) = с(а,±(2г + 2)). Переходим далее к шифру клетки.

Имеем «связи»: р0 = ра (а= 2, 3, 4), р1 = р^ , р^ = р^ , = р ^ , р^ = р ^.

Далее, с одной стороны, -р2 = Буш (р0,е1)р1 , с другой -р* = £+ р2 . Пользуясь

Г ' р1 ро

соображениями, аналогичными методу «наложения» элементарной геометрии, получаем:

р1 = £ + р2. Согласно ¿3, £ + = £ + . Следовательно, р2 = р\ и, поскольку векторы

р12 р0 р2 р3 р1р0 33

(2,3) (1,3) 2 1

е> ' ' и еу ' - по построению получаются параллельными переносами из точек р£ и р^

соответствующих векторов е;(2'2) и е^2 , а последние соответствуют друг другу по то в

^ = р 2

3 у3 ,(2,3) _ (1,3)

ТТя тт^^ „2 = „ Л2,4)=„(1,4)

результате параллельного переноса их в точку р^ = р^ получим одни и те же значения е. в

этой точке: е( , ' = е( , '. Далее, р| = р4, е( , ) = е( , ). Итерация (на первом ее шаге рольр0 играет р1 = р^) дает связи:

р4г+3= Р4Г+З, е?М +3)= еГ+3),

Р2Г - Р4Г • «Г>- «Г>.

Очевидно, что совпадение точек ра = р^ означает также совпадение зон 2(ра) = = 2 (рв) (вместе с заданными на них метриками и Г-полями). Отсюда следует совпадение

функций /(а'г) = /(в'г). Договоримся далее связи, записанные двумя равенствами ра = р^

ее г г

и е^'г) = г^, обозначать тождеством: 2(ра) =2(р^). Таким образом, полученные ранее в результате итерации связи принимают вид:

2^ +3) - 2<+3)'2(р4г) - 2(Р4Г)• (2) Аналогично получаются связи:

2 ( р4Г ) =2 (р2.), 2 (р^+р =2 (Р42г+1) , (3)

2 (р4г) =2 (р\г), 2 (р^+3) =2 (р4 г+3) , (4)

2 (р4г) =2 {р\г), 2 (р4г+1) =2 (р^+р, (5)

причем 0 < г < 2k - 1. Для г < 0 получаются совершенно аналогичные формулы (2)-(5), ко-

торые выписывать не будем. Если (^ п - d) - сигнатура нашего клеточного пространства, то S + = id при d > \, S" = id при п - d > \.

В случае произвольных тороидных S-клеток имеют место также связи:

(6)

5 + (z (p2r+1 ))- z (p4r+1),

2

4 r +2

5 + (г (p. s + (г (

5- (г (p4 r+2

s" (г (

s- (г (p4

p4r+

p4r +2

) - г (p1 ),

) 4r + 2h

)- г (pt+2)( r e г),

- г (p4 ),

VM r + 2h

- г (p3 ),

VM r + 2h

- г(p4r + 3) ( r e г)•

(7)

Выпишем, наконец, связи, обусловленные цикличностью (размерность любая): 2(р1к) = 2(р0), 2(р%) = 2(рак-г) (а=1, 2, 3, 4;г=0, ..., 8*),

г(p\k) - г(po) etk =

г(p^,) - г(ph e(1,4k+r) = -e(3,r)

г (p4k+r) - г (pr )> ei

ц J3,4k+r)=Jlr)

(8)

г (p2k+r)- г (pr ), ei 4

4 , S2,4k+r) = -e(4r)

I2(р4к+г) ^ 2(рг4) е\4Ак+Г) - -е(2'Г), где 1 = \,...,п;г = 0,...,4к.

Из связей (\)-(7) следует, что в двумерном случае узлы клетки С(р0) естественно делятся на внутренние ра (при любом целом г ) и граничные (остальные); из последних выделяются угловые ра (4г + 2)( г > 0). Грани также делятся на внутренние (сходящиеся к р^)

и внешние (сходящиеся к ра (4г + 2)).

Границу клетки С(р0) можно представить в виде объединения ЕгС(р0) = ЕгО и ЕгО и ЕгВ и ЕгЕ,

def -з 1 (2 3) 1 9 4.

где «правая граница» ЕгБ = и {2\3(р4г+2) и2\ , \р4г+\)и2\2(Р4г+2)};

„(1,4) ,2

e Z

«левая граница» FrG= U {Z4(p4r+2) UZ:(1'4)p(2r+1) UZ11(p4r+2)},

r£ Z

def л о (3 4) 1

«верхняя граница» FrF= U {Z2 (p4r+2) U Z\ (p4r+3) U Z2 (p4r+2)};

r e Z

def

и «нижняя граница» ЕгВ= и {22(р4г+2)и22\,2)(р4г+3)и22(Р4г+2)} .

г£ 2

(2 3) ^ 2 3

Замечание. 2У ' ' ^2 и2 и т.д. Напомним также, что 2а (а = \, 2, 3, 4; г = \,2) грань звена 2а, ортогональная вектору е -.

>

4. Построение клетки и клеточного псевдориманова многообразия.

Теорема существования

4.1. Построение клетки

Так же, как при выписывании шифров, и здесь ограничимся случаем тороидной клет-

13 2 4

ки с двумя циклическими геликоидами H (p0) =H (p0) и H (p0) =H (p0) (случаем

наиболее сложным и интересным).

Пусть Е - псевдоевклидово пространство сигнатуры (d, п - d) (0 < d < n = dim E), в, -

~ ^ 2 ^ 2 ^ ортонормированный репер в E, причем е 2 = 1, е 2 = -1 и p - фиксированная точка из Е. Рассмотрим счетный набор троек (E",е(а'r)р^), а = 1, 2, 3, 4; r е Z. Для каждой тройки определены нормальные а0^а r) и полярные ), а*а r) координаты. С помощью двух четных периодических (с полупериодом с[""г)) функций [>!'"г) определены абстрактные зоны - многообразия 1(рг) = 1+1(рУ){}Сопр? UZ ^pf XConp? ={аеЕ? : <а,а >=0}, Z (p" = {а е Е? : 0 < (4a'r))2 = e<a, a>< (c^) )2}) вместе с псевдоримановой метрикой dS и Г-полем А на Z(pa ): A'j = Фв 1.

Известным нам образом мы представляем зону Z (pa) как объединение четырех элементарных звеньев Zв (рГ) (Р = 1, 2, 3, 4).

Начинаем построение абстрактного (пока) S-геликоида H 1(р0) по его шифру, который записывается так же, как и шифр «натуральный». Не выписывая здесь шифра H 1(p0),

будем отличать его от шифра «натурального» H 1( p0) лишь употреблением значка «о1», который подчеркивает специфику принятой сейчас точки зрении.

Обозначим через Z (ра) содержащую вектор e(а'r) компоненту связности открыто-

e. i

го множества 2(ра) \Соп ра . В порядке, предусмотренном шифром, составим 21(р4г) и 22 (р4г+1). Формулы стыковки , в которых а и а' относятся к 21(р4г) и 22 (р4г+1), представляют собою изометрию Ф^1—4г + 1 - 2е (р4г) — П21(р4г) 2_е (р4г+1) П22(р4г+1).

Предполагается, что функции /(а'г) = &р(а'г) / &(а'г) соответствуют шифру Н1. Аналогично имеем изометрии:

ф+г + 1 - 4г + 2:2е (р4г+1)П22^,р4г+1) - 2 е (р4г+2) П^^^ 2 2

Ф+,(1+)2 - 4г + 3: 2-е (р4г+2)П 2 3 (р4г+2) - 2е ^г«)П ^ + 3)'

1 1

Ф+г(1+3 - 4г + 4 ' 2-е ^+3)П24(^1+3) - 2е ^+4)П ^ + 4). 2 2

Наконец, строим геликоид Н как результат трех последовательных факторизаций.

w def 2k -1 w

Во-первых, несвязное псевдориманово многообразие (с краем) dL U {Z 1(p\r)

г = О

и22(Р4г+1)и23(р4г+2)и24(р4г+3)и21(р4г+4)} факторизуем по изометриям Ф+(|).

Во-вторых, получая неполный цикл Ъ1(4к), осуществляем факторизацию (см. связи (С)) : 2{р\к) =2( р0), ё4к = е0.

В-третьих, замыкая полный цикл ^\(8к), факторизуем результат (предыдущих двух факторизаций) изометрией (см. связи (С)): 2(р\к) =2(р\). В итоге получаем связное псев-

^ 2к - \ ^ ^ ^ дориманово многообразие с краем Н\ = и {2\(р4г)и22(р4г+\)и23(р4г+2)

г = 0

и24(р4г+3)и2\(Р4г+4)}, где через 2ЧР4г), ..., 21(р4г+4) обозначены полученные в результате указанных факторизаций классы эквивалентности с представителями

1 1 гу О ^ Л

2 (р4г), . ., 2 (р4г+4), соответственно. Аналогично строим Н^, Н3, Н4. После этого переходим к построению абстрактной (пока) клетки С (р0), , предполагая, что функции

f (а>г) = г)/ &(а'г) подобраны в соответствии с шифром С(р0) , который (если пренебречь значком «о1») совпадает с шифром «натуральной» клетки С (р0). Факторизуем объ-

4

единение и На по связям (В \) - (В 4) (а в надлежащих случаях еще по связям (В 5), (В б) и

а = \

по связям (С) (тем, которые еще не использованы). Обозначим через На(Р0) результат факторизации На по связям (В) и (С); заметим, что в силу связей 2(раг) = 2(ра г): На (р0) = На (Р0) = На (р0). В результате получаем связное псевдорима-

~ Ле/ 4

ново многообразие (вообще говоря, с краем): С(р0) == и На (р0) , которое имеет тот же

а = \

шифр, что и клетка С (р0) в рассматриваемом нами случае: Н\(Р0) = Н3(р0) = ^к) =£3(8к).я2^ = Н4= |;2(8к) = |;4(8к)

Следует отметить, что в силу связей (А ), (В) и (С) каждая из симметрий: $уш(раг Л)

: 2(Р4г) - 2(Р1) (а = \, 2, 3, 4), зуш^, е\) = зуш^Л): 2(3,4)(Р4г+3) — 2^^^

и Буш ( р4г+3, е\) = Буш (р4г+3, е\): 2 (\,2)(р4г+3) — 2 (\,2)(р4г+3) допускает единственное продолжение на всю клетку С ( р ) , которое будем обозначать так же, как и соответствующую исходную симметрию; при этом:

зуЧ^ ^) = 8ут(р4г, е4) = 8ут(р4г+3, е4) (9)

дляа = \, 2, 3, 4 и г <2 .

11 л л * (3, 4) ^ *

Замечание. р4г=р4г ,р4г+3 = р2г+3 р\г+3 = р4г+3. 2 = 23 и 24 и тд

42. Построение клеточного многообразия

Представим себе множество идентичных экземпляров клетки с центрами р(/,т) (/, т е Ъ). Каждая клетка дважды ориентирована - имеет правую, левую, верхнюю и

нижнюю границы. В двумерном случае правую границу клетки С(/,т) = С(р(/+1,т)) склеим с левой границей клетки С , верхнюю границу клетки С - с нижней границей С(1,т+\)(/,т <=2); при этом склеиваем точки границ, имеющие одинаковые нормальные координаты (которые определены вместе с базисом еа,г^ в вершине каждого звена). В результате получаем псевдориманово многообразие (М = и С(/,т), 2), состоящее из склеен-

/,т <2

ных клеток, за которыми мы сохраняем их исходные обозначения. (Числа I и т играют роль целочисленных «декартовых» координат клетки С(/,т) в М ).

На М определено (векторное) Г-поле А: А^ = §щё р(а'г). Само (М, Ш£2) - А-полно.

Естественное (каноническое) отображение произвольной клетки С^, ^ на (идентич-

„(/ , т ) „+ (/ , / ) „— (т , т )

ную!) клетку С ) обозначим через £ 12 £ 12 (при этом точки переходят в го-

мологичные им точки). При фиксированных разностях I = ¡2 - ¡1 и т = т2 - т1 всевозможные

„+ (/ , / ) „— (т , т ) „,. „

£ 12 £ 12 определяют некоторое отображение £ £ т : М — М, являющееся дви-

+ /„-т( (/1,/1 +/) „- (т1,т1 + т\ , „(',, т.)

> £ (р)-£ 11 £ 11 (р), если С 1 1

жением, следующим образом: р — £+'£'т (р)—£ 11 £ 1 1 (р), если клетка, содержащая (наперед заданную) точку р е М . Отображение £ + /£ т будем обозна-

„I . „_ „ , Ше/ „ „ Ше/ „

чать через £ при т = 0 и через £ т при I = 0. Положим также £ == £ 1 и ^ 1. Оче-

видно: £+'£ т= (£+)' х(£ )т= (£ )т х(£+)¡. Итак, множество 0={(£+/ х(£ )т :

гу

¡,т е 2} является абелевой группой движений псевдориманова пространства (М, Ш£2) .

„(I , т )

Пусть далее р - центр произвольной клетки С 0 0 (мы опускаем индексы ¡ и то в обозначении центра) и р = sym( ро, е1). Нетрудно распространить р на все многообра-

„(I + ¡,т) „ (' + ¡,т) зие М . Для любой клетки С 0 = Ср 0 ) полагаем

р|С"о + 'т>= дат^ + 1т),е1))х(£+) 21

С('0

('„ + С») (10)

Необходимо отметить, что одновременно распространяются на все М и соотношения (9).

„(/ , т )

Пусть, далее, рг - соответствующая вершина (особенность) клетки С ? ? . Каждая

,_, о ^ о

из симметрий sym(р^,е1) = sym(p;|г+1'е1),sym(р|г+2,е1) и sym(р4г+2,е1) преобразует со-

„(/ — 1, т ) „(' , т ) седние клетки С ? ? и С 0 0 друг в друга, причем

^у^р2, е1) = ^т^^ е1) = , е1) (11)

для а = 1,2 и г е 2.

ше 1

Если положить р Бутр',е), то очевидно (наложение!):

ф' = ф-(Б+)

(/0-l,m0). (12)

С

Равенство (12) распространяет ф на все многообразие М. Аналогично определяется ф' = Буш (р\,^ ), причем

БушС р}, е1) = вупт( р4г+1, е1) = вупт( р4г+2, е1) (13)

для а = 1,4 и г <2 .

Остается описать движение в М, определенное известным нам образом парой плюс-соседних особенностей р р0:

I г\

Б =Буш(р0, е1) Бушр2, е}). (14)

Из(10)и(11) следует

Б += Б+. (15)

Соотношения (9), (11), (13) и (15) показывают, что движение Б +, определенное парой плюс-соседних особенностей, не зависит от этой пары в пределах наперед заданной клетки

~ (I , т )

С 0 0 . Отсюда следует, что требование £3 выполнено для построенного нами псевдорима-

нова пространства применительно к £+. Аналогично оно проверяется и для Б .

Выполнение требования £1 следует из условий, в соответствии с которыми подбирались функции р^' г) [1]. Требование же £3 выполнено очевидным образом. Итак, доказана

Теорема 1. Описанным ранее методом может быть построено клеточное тороид-ное двумерное псевдориманово многообразие с клетками любого из типов, перечисленных в классификационной теореме п. 2; при этом наименьшее число (к) витков, составляющих (в циклическом случае) цикл, можно задавать произвольным образом.

Замечание 1. В случае п > 2 (по крайней мере) одна из 8-псевдосфер связна, что приводит к значительным упрощениям в построении из клеток клеточного многообразия. Если, например, связна (- 1)-псевдосфера (т.е. та, которая лежит в минус-области), то в клетке С (Ро ) верхняя и нижняя границы совпадают:

^С(Р0) = С(Р0) (1б)

и остается (в случае сигнатуры вида (1, п - 1)) один бесконечный ряд клеток Сх (х е 2), центры которых рX лежат на одной геодезической. При этом группа О Б-движений зависит от одной образующей. В наиболее типичном для многомерных пространств случае сигнатуры (й,, п - d) при d > 1 и п - d > 1, кроме (16), имеет место и Рг^С^ ^ = у В

этом случае S-клеточное псевдориманово пространство состоит из одной клетки (одноклеточно!), а группа О тривиальна.

Теорема 2. Могут быть построены клеточные тороидные псевдоримановы многообразия произвольной размерности и сигнатуры с клетками любого из типов, перечисленных в классификационной теореме п. 2; при этом число (к) витков, составляющих цикл, можно считать произвольным.

Доказательство при п(= М) > 2 нетрудно провести, используя замечание 1. Замечание 2. При доказательстве теоремы 1 построено клеточное многообразие со

свободной группой О Б-движений, зависящих от двух образующих S+ и Б .

Теорема 3 (существования). Существуют три перечисленных в классификационной теореме п. 2, непустых класса клеточных тороидных псевдоримановых многообразий заданной размерности и сигнатуры; число (к) витков, образующих цикл, может быть произвольным.

Для доказательства достаточно подобрать функции рг) (е = ±1; а = 1, 2, 3, 4; г е 2), обладающие свойствами, описанными в теореме 3 статьи [1], и удовлетворяющие соответствующим шифрам. Таковыми являются (в тороидном случае), например, функции рР£""г), ( \ Се/

для которых Сре"'г) Ш = еsdt при любых а = 1, 2, 3, 4 и г е 2, где ^^ - эллиптическая

е

функция Якоби (одна из двенадцати), соответствующая параметру m = 1(sdte = sd(te

1

I»•

Другим примером такого рода являются функции р^2' r) = esd2te. Заметим, что первый пример соответствует (в аналитическом случае) комплексной функции полюса F(z), приведенной в [11].

Замечание. Случай цикла, состоящего из полуцелого числа витков, исключен из рассмотрения в теореме 3.

4.3. Клеточные пространства постоянной кривизны

Пусть М - многообразие постоянной кривизны К ^ 0 с индефинитной метрикой сигнатуры (d, n - d). В окрестности каждой точки p еM определено Г-поле А, траектории которых лежат на геодезических, проходящих через p, и которое может быть представлено уравнением Вейнгартена р^ = — KpS^ . Предположим, что A определено на М и в целом представлено таким уравнением. Тогда М - клеточное многообразие с особенностями второго типа (цилиндроидное). В самом деле, уравнение Вейнгартена вдоль траекторий А приобретает вид d2р^/dt2 = — еКр ^ (е = ±1). Отсюда при К > 0 следует: р+1 = cosV Kt р р 1

= cWKt при K < 0: р = cW — Kt р = cosVKt (равенства с точностью до скаляр-1 +1 +1 — 1 — 1

ного множителя). Мы видим, что при еК <0 у p нет «s-соседей», но имеются «-^-соседи». В общем случае (при d > 1 и n - d = 1) М одноклеточно, но в случае d = 1 (или n - d = 1) мно-гоклеточность возможна, если К < 0 (или К > 0).

Последнее имеет место, например, для пространства де Ситтера 2-го рода (К < 0), которое состоит из бесконечного множества клеток, каждая из которых является пульсацией (или «вспышкой») трехмерного пространства Лобачевского. Пространство же 1-го рода де Ситтера (К > 0) одноклеточно; двум особенностям этой клетки соответствуют две трехмерные сферы, монотонно расширяющиеся в «прошлое» и «будущее», разумеется, особенности здесь, в отличие от модели Фридмана, являются лишь особенностями Г-поля.

Библиографический список

1. Игошин, В.А. Клеточная структура псевдориманова пространства с геодезическим полем одномерных направлений // Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева / НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - Нижний Новгород, 2011.

2. Шапиро, Я.Л. О геодезических полях многомерных направлений // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32. № 4. С. 237-239.

3. Шапиро, Я.Л. Геодезические поля направлений и проективные системы путей // Математический сборник, 1955. Т. 36. Вып. 1. С. 125-148.

4. Кручкович, Г.И. О движениях в полуприводимых римановых пространствах // Успехи математических наук. 1957. Т. 12. № 6. С. 149-156.

5. Каган, В.Ф. Субпроективные пространства / В.Ф. Каган. - М.: Физматгиз, 1961. - 220 с.

6. Levi-Civita, Т. Sulle Trasformazioni delle equazioni dinamiche // Ann. Mat. Pura ed appl. - Milano, ser. 2. 1896. V. 24. P. 255-300.

7. Шапиро, Я.Л. Геодезическое поле направлений в целом // Известия вузов. Математика. 1970. № 4. С. 103-111.

8. Картан, Э. Геометрия римановых пространств / Э. Картан. - М. - Л.: ОНТИ, 1930.

9. Schur, F. Uber den Zusammenhang der Raume constanten Krumnungsmasses mit den projectiven Räumen // Math.Ann. 1886. T. 27. P. 537-567.

10. Солодовников, A.C. Полюсы псевдоримановых пространств / A.C. Солодовников, H.P. Ка-мышанский // Известия АН СССР, Сер. Математика. 1975. Т. 39. № 5. С. 1093-1129.

11. Камышанский, Н.Р. Полуприводимые аналитические пространства «в целом» / Н.Р. Камышан-ский, А.С. Солодовников // Успехи математических наук. 1980. Т. 35. № 5. С. 3-51.

12. Maebashi, Т. Vector fields and space forms // J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. 1960. № 15. P. 62-92.

13. Ishihara, S. On Riemannian manifolds admiting a concircular transformation / S. Ishihara, Y. Tashiro // Math. J. Okayama Univ. 1959. № 9. P. 19-47.

14. Tashiro, Y. Complete Riemannian manifolds and some vector fields // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. V. 117. № 5. P. 251-275.

15. Yano, K. Concircular geometry. I, II, III, IV, V - Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1940. V. 16. PP. 195200, 354-360, 442-448, 505-511; ibid. 1942. V. 18. P. 446-451.

16. Bianchi, L. Lexioni di Geometrie differentiele. V. II, part II. - Pisa, 1903.

17. Игошин, B.A. Особые точки геодезического ноля / В.А. Игошин, Я.Л. Шапиро // Известия вузов. Математика. 1984. № 9. С. 79-82.

18. Игошин, В.А. Геодезическое поле с особенностями и клеточное многообразие / В.А. Игошин, Я.Л. Шапиро // Известия вузов. Математика. 1984. № 11. С. 74-77.

19. Бессе, А. Многообразия с замкнутыми геодезическими / А. Бессе. - М.: Мир, 1981. - 315 с.

Дата поступления в редакцию 06.07.2012

V.A. Igoshin

CONSTRUCTION OF THE CAGE AND CELLULAR PSEUDORIEMANNIAN SPACE

The Nizhni Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev

Metodology: Methods as local and global differential geometry are applied. Purpose: Work is continuation of the research begun in previous article of the author.

Findings and originality/ value: At some assumptions construction both the cage, and cellular pseudoriemannian spaces is carried out. The global structure of studied spaces reminds, in particular, a double spiral of DNA; under other conditions probably global device of space in the form of the "parallel" Universes.

Researsch implications: It is proved, for example, that spaces of constant curvature K possess cellular structure. The last takes place for de Sitter space the second sorts (K □ 0), which consists of infinite set of cages, each of which is a pulsation (or "flash") Lobachevsky's three-dimensional space. De Sitter space of the first sort (K > 0) consists of one cage; to two features of this cage there correspond two three-dimensional spheres monotonously extending in "past" and "future" (certainly, features here, unlike Freedman model, are only features of the geodesic field).

Key words: a geodesic field directions, singular point, a cage, the cage code number, torus-like and cilinder-like spaces.