О специальном классе метрических пространств векторных элементов с непотенциальной метрикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 147, кн. 1 Физико-математические науки 2005

УДК 514.16

О СПЕЦИАЛЬНОМ КЛАССЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ ВЕКТОРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С НЕПОТЕНЦИАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ

А. И. Егоров

Аннотация

В работе вводятся локальные поверхности вращения пространства ПБ„,у. Рассматриваются свойства этих пространств.

В работе [1] В.И. Паньженский ввел локально конические пространства Кп в

классе пространств дП,у ■ Используя методику введения пространств Кп, вводим локальные поверхности вращения пространства ПВпу в классе более общих мет-

н н

рических пространств векторных элементов дп у [2]. Пространства дп,у характеризуются тем, что метрический тензор д^и (х,у) не обязательно однородный нулевой степени относительно координат уа [2]. Пусть имеем трехмерное евклидово пространство с декартовыми координатами (х,у, г). Далее, пусть г = /(у) - уравнение кривой в плоскости (^ОУ) и эта кривая вращается вокруг оси OZ. Уравнение образованной поверхности вращения имеет следующий вид:

г = /(±л/х2 +г/2) (1)

ИЛИ

г2 = ¥(х2 + у2),

где /2{±л/х2 + у2) Л= <р(х2 + у2).

Радиус-вектор любой точки поверхности вращения однозначно определяет ортогональную проекцию на плоскость ХОУ. Уравнение (1) можно записать в параметрическом виде:

г2 = у(и2 + V2), х = и, у = V,

где и, V параметры. Индуцированная метрика этой поверхности вращения имеет

ВИД

¿а2 = ¿и2 + ¿V2 + ф(и2 + v2)(udu + vdv )2, (2)

/2

¥ ¿в/ ,

где — = ф. В п-мерном случае имеем метрику п-мерной поверхности:

¥

¿а2 = {¿и1 )2 + {¿и2)2 + ■ ■ ■ + (¿ип )2 +

+ф({и1) + {и2) + ■ ■ ■ + (ип)2 )(и1 ¿и1 + u2dи2 + ■ ■ ■ + ^¿ип)2. (3)

Метрика (2) поверхности вращения есть метрика плоскости XОУ или ее обла-

сти с выделенной точкой О, зависящая от компонент вектора, исходящего из этой точки. В общем случае метрика (3) есть метрика центроаффинного пространства или его области, зависящая от компонент вектора, исходящего из точки О.

Определение 1. Локальным пространством ПВ2у поверхности вращения называется двухмерное гладкое многообразие Х2, в каждом касательном пространстве TxX которого задана метрика пространства поверхности вращения, гладким образом зависящая от x, x £ Х2.

Пусть (хг) - локальные координаты на Х2, (хг ,yi) - локальные, естественные координаты на TX, тогда метрика пространства ПВ2,У имеет следующий вид:

ds2 = bj(x)dx1 dxj + 'ф(Ъц (х)угyj,x)(bij(х)угdxj)2,

где bj (x) - метрический тензор риманова пространства Vn (x). Компоненты метрического тензора gij (x,y) пространства ПВ2 у имеют следующую структуру:

9jk (x, у) = bjk (x) + ф(bij (x)yiyj, x)bjp (x)bks (x)ypys (4)

ИЛИ

gjk (x,y) = Fj. k + ф(2F,x)F.j F. k, (5)

ГД6

F = ^bij{x)ylyJ, F.k = bkp(x)yp, F.i.j = b^(x), Ъц{х)угу3 = 2F.

Отсюда находим, что

gjk■ i =2ф2F(2F,x) • FjF.kF.i + ф^^)^.j.iF.k + F.jF.k■ i), (6)

ИЛИ

gjk.i = 2ф2f(bij (x)ylyj)bjp(x)bks (x)bir (x)ypysyr+

+Ф(Ьij (x)ylyj ,x)[bji (x)bkp(x) + bjp(x)bki (x)]yp. (7)

Если в (4) положить

22 a2 a2

М1ч,Шу’.х) = ./.(2 F,„) = — = <»>

то получим результаты работы [1]. Все рассуждения распространяются на n-

мерный случай (i,j = 1,2,... ,n). Далее рассмотрим некоторые свойства введенных выше пространств ПВпу. Введем в рассмотрение тензор

Sjki = gjk. i gji. k = 1, 2j . . . ,n).

Для пространств (5) имеем

Sjki = ф(2F,x)(F■j.iF.k — F.j.kF.i). (9)

Если тензор Sjki = 0, то тензop F.j.k — вырожденный. Поэтому приходим к следу-

ющим выводам.

Теорема 1. Метрика локального пространства поверхности вращения является непотенциальной.

Теорема 2. Для пространств ПВп,У тензор Bki = gok.i — goi.k = 0, то есть gok. i = goi. k (тензор gok. i симметричный).

Справедливость теоремы 2 вытекает из структуры тензора док• г:

9ок• г = [4ф2^Х)Р + ф(2Г,х)]Г^к^г + 2Гф(2Г,х)Г^к• г (10)

ИЛИ

док• г = [2ф2^(Ьго (х)угу3 ,х)Ъ^ (х)угу3 + ф(Ъ3 (х)угу3 ,х)]Ькз (х)у8Ън(х)уг+

+ф(Ъ3 (х)угу3 , х)Ъг3 (х)у%у3 ЪЫ (х) . (11)

Нетрудно убедиться, что

дгк (х,у)= Ъгк (х)+ ауг ук, (12)

где

____________Ф(Ь^(х)угу3 ,х)_________

а [1 + ф(Ъц(х)у*уЗ,х) ■ Ъц(х)у*уз]

ИЛИ

_ ф( 2.Р»

(X —-------------------

[1 + 2ф(2Г, х)Р]

Итак, мы убедились в справедливости следующего вывода.

Теорема 3. Тензор дгк(х,у) пространства ПВп,у имеет структуру (12), а тензоры д^к• г, док• г имеют структуры (7), (11) соответственно.

Метрический тензор д3(у) [г,] = 1,2,... ,и) касательного риманова простран-

дг3 (х, у)

По определению пространства ПВпу в каждой его точке базы Хп касается одно и тоже риманово пространство, метрика которого есть метрика поверхности вращения. Поэтому приходим к следующему выводу.

Теорема 4. Касательное риманово пространство Уп(х) локального пространства ПВп,у поверхности вращения является субпроективным пространством.

Для любого метрического пространства ПВпу можно ввести ассоциированную обобщенную финслерову структуру

$(х,у) = ^Яч(х,у)угу3, (13)

которая предполагается невырожденной. В случае введенной нами метрики пространства ПВп у имеем

Ф(х,у) = ^ + 2ф(2Р,х)Р2 (14)

ИЛИ

$(х,у) = ^Ь^(х)угу3 + ^ф(Ьгз(х)угу3) ■ (Ъы(х)уку1)2. (15)

н

Метрическая функция (15) определяет пространство Еп,у [2].

Для того чтобы пространство ПВп у допускало группу движений Ог максимального порядка г = п(п + 1)/2, необходимо и достаточно, чтобы ф не зависело от второго аргумента (х) и Ъг3 (х) были компонентами метрического тензора ри-

Уп (х)

пространств ПВп у скалярный квадрат (ц, п) касательного вектора ц пространства ПВп,у можно представить в виде

(п,п) = \\п,п\\ + ф(\\у,у\\), \\п,у\\2, (16)

где || , || — скалярное произведение относительно римановой метрики постоянной кривизны с метрическим тензором bj (x). Формула (16) представляет собой инвариантную форму записи. В пространствах дп,у можно ввести тензор Tki (x,y). Он называется тензором нефинслеровости и равен по определению

гр def , ,1

kl Qol-k \ Qok-l \ ^ 9 оо- к-1'

Нетрудно убедиться, что

goo• i =4[2F2ф2f(2F,x) + F^(2F,x)]F• i, (17)

goo • k • i = CF^ k • i + DF• k F• i, (18)

где

Если

то

C d= 8F2ф2f(2F,x) +4^(2F,x)F,

D d= 24F^'2f(2F,x) + 16F2ф'2Р (2F,x) + 4^(2F,x).

goo ■ l = 0>

2F^'2 F (2F,x) + ф(2F,x) = 0,

и, следовательно,

деР,г) = 2іги см

2Р ЬуЫу'-цз

Итак, мы убедились в справедливости следующего вывода.

Теорема 5. Если тензор д00• і = 0, то пространство ПВп,у есть локально коническое пространство Кп.

Для введенных нами пространств ПВпу тензор нефинслеровости Ты имеет следующую специальную структуру:

Ты = АТ • ы F• і + BF• к • і, (19)

где

А = 4[5ф'2р(2Т,х)Т + ф(2Т, х) + 2Т2ф'^Р(2Т,х)],

В = 2[3Тф(2Т,х) + 2Т 2ф2 р (2Т,х)].

Если тензор нефинслеровости Ты1 = 0, а В = 0, то тензор Ты• 1 вырожденный, что невозможно. Условие В = 0 означает, что

,ыи {ф{bij{x)yiyj,x)^Jb¡£!ф^

Теорема 6. Тензор нефинслеровости Ты1 (х, у) пространства ПВп,у необходимо имеет структуру (19).

Замечание 1. Если тензор

П = дг • дгц• ы = 0,

то пространство ПВпу есть пространство Кп. Справедливость этого утверждения вытекает из структуры тензора Пы:

= 2(2ф2Р(2Р,х)Р + ф(2Р,х)) к (1 + 2Рф(2Р, х)) 'к'

Summary

A.I. Egorov. On a special class of metric spaces, of a vector elements with non-potential metric.

In the article we regard the local spaces rotation surfaces. Some properties of these spaces are considered.

Литература

1. Панъженский В.И. О группах изометрий метрических пространств линейных элементов. - Деп. в ВИНИТИ, 1981. - № 1939-81.

2. Егоров А.И., Егоров И.П., Егорова Л.И. Приводимые и полуприводимые метрические пространства линейных элементов и их место в теории движений // Межвузовский сб. научн. трудов. - Пенза, 1991. - С. 38-62.

Поступила в редакцию 02.12.04

Егоров Андрей Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Пензенского государственного педагогического университета.