CC BY
11
Н. Н. Дондукова
2. Кириченко В. Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии // Изв. АН СССР. Сер. «Матем.» 1984. Т. 48, № 4. С. 711—734.
3. Дондукова Н. Н. Контактно-геодезические преобразования структурных тензоров почти контактных многообразий // Деп. в ВИНИТИ. М., 2005.
N. Dondukova
Special contact 2-geodesic transformations of almost contact metric structures
A special form of contact 2-geodesic transformations of almost contact metric manifolds is introduced. The structural tensors of almost contact metric manifolds is investigated and the invariant of the special contact 2-geodesic transformation is finded.
УДК 514.76
А. И. Егоров
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского
О некоторых свойствах максимально подвижного риманова пространства У4
Рассматривается риманово пространство У4 с группой движений О 8. В этом максимально подвижном пространстве находятся ковариантно постоянные тензорные поля.
Ключевые слова: группа движений, ковариантно постоянное векторное поле, риманово пространство.
© Егоров А. И., 2014
В этой работе рассматриваются некоторые свойства одного риманова пространства V4 нулевой сигнатуры с группой движений максимального порядка. Метрика такого пространства V 4 в некоторой локальной системе координат имеет следующий вид:
\2
йъ2 = 2йххйх3 + 2йх2dx4 +(х4 )2 (йх3 )2 .
(1)
Это риманово пространство V 4 впервые рассматривалось профессором И. П. Егоровым в его монографии [1].
Метрическое тензорное поле gij для риманова пространства V 4 (1) имеет вид
(0 0 1 01
0 0 0 1
1 0 X 42 0
V 0 1 0 0,
(■, ] = 1,2,3,4), <Ы»gJ * 0.
1. В римановом пространстве V 4 (1) сначала решается вопрос о существовании ковариантно постоянных независимых векторных полей . Система из шестнадцати уравнений в частных производных первого порядка, определяющая ковариантно постоянные векторные поля, имеет следующий вид:
где
= — + Г1£° = 0
Г1 = Г1 = Г2 = х 4 1 34 - 1 43 - 1 33 - х ,
(2)
(3)
остальные составляющие Г^ равны нулю. (Ввиду громоздкости записи уравнений систему (2) не выписываем.)
Условия интегрируемости рассматриваемой системы имеют вид
= 0; = 0.
Интегрируя эту систему уравнений, получим, что к'=
где \х1 ,а2 }с Я, или
к = а'; к2 = а2; к = 0; к4 = о},
к = а'; а2; 0; о}. (4)
Найденное векторное поле к изотропное и оно содержит два независимых векторных поля
к = {'; 0; 0; 0}, к = {0; 1; 0; 0}. (5)
' 2
Следовательно, мы приходим к следующему выводу:
Теорема 1. В максимально подвижном римановом пространстве V4 (1) всегда существует точно два независимых ковариантно постоянных изотропных векторных поля (5).
2. Рассмотрим далее некоторые свойства тензора кривизны Щке риманова пространства V4 (1).
Составляющие объекта аффинной связности Г'^ (3) могут быть также записаны в следующем виде:
где
Г = АВ]к + ВС]к,
А' = 5; В' = 52; В34 = х4; С33 = х4,
остальные Вд, С]к равны нулю. Нетрудно убедиться, что составляющие тензора кривизны Я']ке риманова пространства V 4 (1) имеют структуру
Куке =£-£'] -£ке , •(е = ±1) , (6)
где
1) 8у,к - 0; '8 ке - -8 ек ,
2) 8ке - АкВе - АеВк (простой бивектор),
3) 82 - 0 (нильпотентный бивектор, то есть 8 ■ 8р - 0),
где
834 - -843 - -1, А3 - -1, В4 - 1, К3434 - 1
остальные 8,-. - 0; А, - 0,
в - 0
Куке - 0 •
Таким образом, имеет место следующий вывод. Теорема 2. Тензор кривизны риманова пространства
V4 (1) необходимо имеет структуру (6).
3. Выясним теперь, существуют ли в пространстве с метрикой (1) тензорные поля а, (х1, х2, х3, х4 ), чтобы ковари-антная производная а, к равнялась нулю:
да,,
ачЛ -
дх
к -Пащ -Г^аш- 0.
При ,, ,, к - 1, 2, 3, 4 получим систему из сорока дифференциальных уравнений в частных производных, в которой 10 неизвестных а , . Ввиду громоздкости записи уравнений систему
не выписываем. Решение этой системы можно представить в виде матрицы
( 0
(а а
0
а
24
0 ^
0 0 0 а24 0 (х4 ) а24 + с1
а
24
а
ч 0 а 24 где {а24, а34, а44, С1 } с К , (аа - а- ).
34
а
44
(7)
Решение системы представляет собой семейство ковари-антных тензорных полей, зависящих от произвольных постоянных #24, <^34, #44 ■
Итак, доказали следующую теорему:
Теорема 3. В пространстве с заданной метрикой существует целое семейство ковариантно-постоянных тензорных полей а у, ковариантная производная от которых равна нулю.
Возникает вопрос: так как метрическое тензорное поле gj]■ — ковариантно постоянное (то есть gj]-k = 0), то можно ли полученное тензорное поле а у привести к метрическому? Оказывается, можно.
Чтобы проверить, совпадает ли метрическое тензорное поле ) с тензором (а^), решается алгебраическая система второй
степени из 16 уравнений с 16 неизвестными. Рассмотрение ограничивается случаем, когда формулы перехода имеют вид
X'= С1 ■ х1 + С (/, у = 14).
Найдена система координат, с помощью которой из (ау) можно получить метрическое тензорное поле ^) (то
gj¡ И=а-','(х')):
есть
с
с4 с4
0
1
С4 ' а24
0 0
- С ' С3
2а24
3
-С3 'а
34
а
24
д/а24
' С 4
4
- С 'а
44
2а
24
С4 С4
где С4 — любое, С3 =
-у/а
С 4 '
24 ' 4
С
Ф 0.
0
1
0
0
1
4. Выясним теперь, существуют ли в пространстве V 4 с заданной метрикой два раза ковариантные тензорные поля Ьу (х1, х2, х3, х4 ), являющиеся ковариантно-постоянными относительно символов Кристофеля второго рода, причем Ь у Ф Ь^ (в общем случае), то есть тензорные поля не симметрические.
Итак, нужно найти такие тензорные поля Ь у (х1, х2, х3, х4 ), чтобы ковариантная производная от них равнялась нулю:
Ь и -г0 = 0.
При /, у, к = 1, 2, 3, 4 получим систему из шестидесяти четырех дифференциальных уравнений в частных производных с шестнадцатью неизвестными Ьу . Уравнения не выписываем,
так как они очень громоздкие.
Решение данной системы аналогично решению предыдущей системы. Оно представляет собой семейство ковариантно-постоянных тензорных полей, зависящих от четырех произвольных постоянных. Данное решение можно записать в виде матрицы
Аз Р14
А23 А24
(Ьу)= А24 -А23 (((х4)2)/2)13 +А24) + С ((х4)2)/2 А14--((х4)2)/2 А14 + С А44
где
{А13 , А14, А23, А24, А44, с1, с2, с3
} Я .
5. Докажем теперь, что рассматриваемое пространство V4 , определяемое метрикой (1), является эйнштейновым и симметрическим пространством.
( 0 0
0 0
А24 -А23
-А14 А13
, (8)
Для этого находим тензор Риччи по формуле Я = Я°а . Получим, что Яу = 0, то есть риманово пространство V 4 эйнштейново, так как Щ = ж gi]■, где ж = 0.
Применяя ковариантное дифференцирование к тензору кривизны Римана первого рода, получим
Я = _ я ро _ Я ро _ Я ро _ Я ро = о
1кг]ке,8 ~ ло]к^ ¿8 ]8 ^уЫ1 к8 ^гуко1 18 ~
В этой формуле 1024 равенств и все они нулевые, то есть пространство с заданной метрикой симметрическое.
Замечание 1. Составляющие тензорного поля Ь ]к (8) можно принять за составляющие нового метрического тензорного поля обобщенного риманова пространства V 4 с кручением О.Ф 0:
II 2 | 1 Ь]к _ Ьк]
Г 0 0 82
0 0 023
_82 _ 023 0
014
_82
"014 + 83
_0
14
82
_ X
014 _8з
(9)
где
8 = 013 +024 . 8 = 013 024 . 8 = С2 С3 . 8 = С2 + С3
2
2
2
2
Обобщенное риманово пространство V 4 с кручением допускает полную группу движений Ог максимального порядка г = 8 . Очевидно, что в нашем случае
2
4
X
2
2
0
2
(0 0 51 0 ^
(к у
0 0 0
51 0 х42 51 + С1 5 4
0 5,
(10)
где
«к =
5, =
Р,3 +Р24
54 =
C2 + Сз
Р44 )
g]k = 2 ( + к у
2 (- ькз у V=g]k+^, bJk=g]k+^.
Составляющие ^)| образуют сопутствующее метрическое тензорное поле в пространстве V 4.
Замечание 2. Рассматриваемое в работе риманово пространство V4 (1) можно обобщить на п -мерный случай следующим образом (п > 4):
ds2 = 2dx1dx3 + 2dx2dx4 +(ж4 )dx3 + e5dxi + е6dx6 +... + е^" , (11)
(=±1), (а = 5,6,...,п) .
Риманово пространство Vn (11) допускает полную группу гомотетических движений Ог порядка
(п -1)(п - 2)
г = ■
• + 6, п > 4.
(Если п = 4 , то г = 9 .)
Замечание 3. За счет выбора новой системы координат в формулах (10) постоянную 51 можно обратить в 1, а постоянные 54, Р44, С1 — в нуль, а следовательно, тензорное поле gу приводится к виду (1).
2
2
Список литературы
1. Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности. Казань, 1965.
A. Egorov
About properties of maximum mobility of Riemannian space V 4
This article describes the Riemannian space with a group of motions G8. Covariantly constant tensor fields are found in this maximally mobile space.
УДК 513.7
Б. В. Заятуев
Бурятский государственный университет, г. Улан-Удэ
О келеровой структуре на четырехмерном касательном расслоении
Показан способ построения одной келеровой структуры на касательном расслоении над двумерным ориентируемым ри-мановым многообразием, имеющим знакоопределенную гауссову кривизну. Используется инвариантное исчисление Кошуля и понятия вертикального и горизонтального лифтов [1].
Ключевые слова: гауссова кривизна, касательное расслоение, келерова структура, горизонтальный и вертикальный лифты.
© Заятуев Б. В., 2014
