CC BY
9
= (("Y"f) - ("Y ("X"f ))(0) = = (["X, "Y]"f )(0) = ["X, "Y](0) af(0), если a Ф b , то получаем также верное равенство.
Список литературы
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 1.
M. Glebova
Continuation of vector fields from smooth manifold in their direct product
Construction of continuations of vector fields from smooth manifolds in direct product of these smooth manifold is described.
УДК 514.76
А. И. Егоров
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского
О некоторых свойствах максимально подвижного пространства Т общей теории относительности
Рассматривается пространство Т общей теории относительности, допускающее полную группу движений максимально порядка G6. В этом пространстве находятся ковари-
антно постоянные тензорные поля Е', а^,Ь^ .
Ключевые слова: группа движений, ковариантно постоянные тензорные поля.
В работе рассматриваются свойства максимально подвижного пространства T общей теории относительности. Метрика такого пространства имеет вид
ds2 = 2dxldx2 + sin2 xldxi + sh2xldx4 (1)
в некоторой системе координат. Это пространство приведено впервые профессором А. З. Петровым [1].
1. Непосредственным подсчетом нетрудно убедиться, что
R = 0 ( R9=I( x) ge, X( x ) = o),
Rijtí,8= 0, T)k = A'Bjk + CDjk + K'Mjk, RPkl = S1S jSkl + S2V'jVkl, где A' = 82, Ck =83, Kj =84, (i, j, k = 1, 2, 3, 4),
s1 =±1, s2 = ±1, s13 = sin x1, v14 = shx1,
B33 = -1sin2 x1, B44 = -2 sh 2 x1, D13 =ctgxl, M14 =cthx1,
остальные A', C', D, Bjk, Djk,Mjk, s j, vkl равны нулю.
Следовательно, мы приходим к следующему выводу:
Теорема 1. Пространство (1) общей теории относительности является эйнштейновым и симметрическим пространством V4 (x).
2. Выясним, существуют ли в пространстве (1) векторные поля £ = (x)J, которые являются ковариантно-постоян-
ными относительно символов Кристоффеля второго рода. Таким образом, наша задача найти такие векторные поля £ = fé' (x', x2, x3, x4)}, чтобы ковариантная производная £ j равнялась нулю:
8£'
£', =—+rj Г = o.
,j 8xj j
При ^ j =1, 2, 3, 4 получим систему из 16 дифференциальных уравнений в частных производных. Нетривиальные уравнения системы следующие:
да2 1 . . 1 3
—г---sin2х • а = 0,
дх3 2
да- - - Их1 • а4 = 0, да- + егяХ • а3 = 0, дх4 2 дх1 ^
да3 1 1 „ —г + сГрх1 • а1 = 0, дх3
да4 да4
—- + сгих1 • а4 = 0, —- + сгих1 • а1 = 0. дх1 дх4
Общее решение этой системы имеет вид
Е = 0,Е = а,Е3 = 0,Е4 = 0}, где аеЯ.
Получим искомое изотропное векторное поле Е :
#={0,а,0,0}. (2)
Теорема 2. В рассматриваемом пространстве Т (существуют одно изотропное независимое векторное поле Е, кова-риантная производная от которого равна нулю. Общий вид такого поля (2).
3. Выясним, существуют ли в пространстве Эйнштейна (1) два раза ковариантные симметрические тензорные поля а^ (х1,х2,х3,х4) , которые являются ковариантно-постоянными относительно символов Кристоффеля второго рода. Итак, наша задача найти такие тензорные поля а ^ ( х1, х2, х3, х4) , чтобы ковариантная производная ау к = 0 : да„
а „ к =
,к дх'
- Г1а^ - Г1а * = 0 (ал = ак/) .
При ', ] = 1,2, 3,4 получим систему из 40 дифференциальных уравнений в частных производных. Подставляя в эту
систему найденные ранее значения символов Кристоффе-ля, получим:
да„ , даи , , да12 ,
11 - 2а1Ъ^х = 0 —4- - 2а14акх1 = 0 —^ - а23 = 0
дх3 да
дх4 да,
дх3
■ - а24с?кх1 = 0 —^ - а^а^х = 0 дх , дх ,
да,3 , , , да,3 ,
—— - а33Мях л— а,281и2х = 0 —3— а34Мкх = 0
дх3 33 6 2 12 , дх4 34 ,
да,4 , да,4 ,
- а14 акх1 = 0 —^ - а34 с^х1 = 0
дх4 14 , дх3 34 6 ,
да 1 1 1 да23 1
—4- - а44 +- а12 к х = 0 —г - а 23 = 0
дх 2 , дх ,
да23 1 . . 1 да24 , 1
—+ — а 22 81И 2 х = 0 —^ - а2,е1кх = 0 дх3 2 22 , дх1 24 ,
да
дх да
+ а„8т2х1 = 0 +1 а22як 2х1 = 0
3 23 4 22
дх4 2
13 - 2а33с?§х1 = 0 1 - а34 (ctgx1 + акх1) = 0
дх дх
? :
да34 1 1 да34 1 1
—+ — а81и2х = 0 —3г + — а23як2х = 0
дх3 2 24 дх4 2 23
? ?
да 44 ■ - 2а 44 Мкх1 = 0 д 444 + а24 як2 х1 = 0
дх1
дх4
Общее решения этой системы можно записать в виде матрицы
(
(а,)
«11 «12 0 0
«12 0 0 0
0 0 «12 81и2 х1 0
0 0 0 «12 як
; «11, «12 е Я. (3)
Итак, мы доказали следующую теорему:
Теорема 3. В пространстве Эйнштейна (1) существует целое семейство тензорных полей а.. (а ^ = а. ), ковариантная
производная от которых равна нулю.
Замечание. С помощью преобразования системы координат по формулам
Х1 = Х1 х2 = а11 Х11 + 1 Х21 х' = 1 Х'1 х< . 1 -1 ' 2а и а' Г ' .1а
где а12 > 0, det
8x'
ф 0, тензорное поле a. (3) перейдет в
8Х '
тензорное поле g . (x) (штрихи у g .. (x) опускаем).
Следовательно, постоянную ап всегда можно обратить в нуль, а постоянную а12 > 0 всегда можно обратить в единицу в формулах (7) за счет выбора новой системы координат.
4. Выясним теперь, существует ли в пространстве Эйнштейна два раза ковариантные тензорные поля bj (x1, x2, x3, x4), являющиеся ковариантно-постоянными относительно символов Кристоффеля второго рода.
Итак, нужно найти тензорные поля b.. (x1, x2, x3, x4), чтобы ковариантная производная от них равнялась нулю 8b..
b.., = —. - Г°,Ь . - Fa,b. = 0 (b.. Ф b. ).
При г, J = 1,2,3,4 получим систему из 64 дифференциальных уравнений в частных производных:
8b 8b
—Ц- - b31ctgx1 - b13ctgx1 = 0, —Ц- - bA1cthxl - b14cthx1 = 0, 8x 8x
^ - b32 ctgx1 = 0, - b42cthx1 = 0, - buctgxl = 0,
8x3 32 8x4 42 8x 1
"8т-b33ctgxl +1 b12 sin2x1 = 0, ^-b43cthxl = 0,
8x3 2 8x4
8b,, , , , „ 8b,
f - b14cthx1 = 0, - b34ctgx1 = 0,
8x1 14 ' 8x3 34
-8bf - b44cthx1 +1 b12sh2x1 = 0, -8b^ - b23ctgx1 = 0, 8x4 2 8x3
8b 8b
- b cthx1 = 0, - b23 ctgx1 = 0,
8x4 24 ' 8x1 23 S '
-8b^ +1 b22 sin 2x1 = 0, ^ - b24cthx1 = 0, 8x3 2 22 8x1 24
^ +1 b22sh2x1 = 0, ^ -b31ctgx1 = 0, 8x4 2 22 ' ñx1 31 S
^T - b33ctgx1 + 1 b21 sin 2x1 = 0 ^ - b34ctgx1 = 0
8x3 2 8x4
^ - b32cthx1 = 0, +1 b22sh2x1 = 0,
8x1 32 8x3 2 22
b33
- 2b33ctgx1 = 0, +1 b23 sin 2x1 +1 b32 sin 2x1 = 0,
8x1 33 8x3 2 23 2 32
-8b3f - b34 (ctgx1 + cthx1) = 0, +1 b24 sin 2x1 = 0, 8x1 v ' 8x 2
^ +1 b32sh2x1 = 0, - b41cthx1 = 0, 8x4 2 32 ' 8x1 41 '
^ - b43ctgx1 = 0, ^ - b44ctgx1 + 1bnsh2x1 = 0, 8x3 8x4 2
8b 8b —f - b42 cthx1 = 0, ^ - 2b44cthx1 = 0, 8x1 42 8x1 44
-8b^ +1 b22sh2x1 = 0, - b43 (ctgx1 + cthx1) = 0, 8x 4 2 22 8x3
^ +1 b42 sin 2x1 = 0, +1 b23sh2x1 = 0, 8x3 2 42 8x4 2 23
■8b4r +1 b24 sh2 x1 +1 b42 sh2 x1 = 0.
8x4 2 24 2 42
Общее решение этой системы можно записать в виде матрицы
«11 «12 с2 ЭШ X с^Ы
«12 0 0 0
-с2 8Ш X1 0 «12 8Ш2 X1 0
-с^НХ 0 0 «12 sН2 X1
1 Л
(4)
где «п, «12, с1, с2 — производные постоянные. Итак, мы приходим к следующему выводу: Теорема 4. В пространстве Эйнштейна (1) существует семейство тензорных полей
Ь.к, (Ь.к ФЬ,. в общем случае),
таких, что
Ь .,к = 0, (Л к, / = 1, 2, 3,4).
Замечание. Составляющие тензорного поля Ь, (4) можно
принять за составляющие метрического тензорного поля нового пространства общей теории относительности с кручением ПФ 0:
(
= 2(Ь- -.Ф 0, (п, )
о о
- с2 8Ш X1 - с, sНx1
0 с2 8Ш X1 с^Нх1 Л
о 0 0
0 0 0
Пространства Т с кручением допускают полную группу движений Ог максимального порядка г = 6. Очевидно, что
=2 ((.к+Ьк.),
Ь.к = Я+П.к.
Составляющие (х)} образуют сопутствующее метрическое
тензорное поле в пространстве Т .
Рассматриваемое эйнштейново пространство Т (1) можно обобщить на п -мерный случай (п > 4) двумя способами.
1. Первый способ:
ds2 = 2dxldx2 + sin2 x1dx3' + sh2xldx42 + e2dx5' +... + endx" . (5)
2. Второй способ:
ds2 = 2dx1dx2 + sin2 x1 +sh2 x
e3dx3 +... + ekdxk 1 +
(6)
ek+1dxk+12 +... + endx"2 ],(=±1).
Пространство (5) допускает полную группу движений Ог порядка
г (п - 2)(п - 3) + 5 2 .
Пространство (6) допускает полную группу гомотетиче-ских движений Ог порядка
(k -1)( k - 2) (n - k)(n - k +1) ---1---+1
r = n +2 2
Эти приведенные пространства будут рассмотрены в следующих работах автора.
Список литературы
1. Петров А. З. Новые методы в общей теории относительности. М., 1966.
A. Egorov
About some properties of maximally moving space T of general theory of relativity
The space T of general theory of relativity with full group of motions of maximum order G6 is considered. In this space there are covari-
antly constant tensor fields ,a ^,b.
