CC BY
12
УДК 512.54
Уравнения Эйнштейна на четырехмерном многообразии конформной связности без кручения
Леонид Н. Кривоносов
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
Минина, 24, Н.Новгород, 603950 Россия
Вячеслав А. Лукьянов*
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева Павловского, 1а, Нижегородская область, Заволжье, 606520
Россия
Получена 25.09.2011, окончательный вариант 29.01.2012, принята к печати 29.03.2012 Устранен главный дефект уравнений Эйнштейна — негеометричность их правой части. Доказана их конформная инвариантность. Введено ключевое понятие равнодуального тензора, оказавшееся в тесной связи как с уравнениями Эйнштейна, так и с уравнениями Янга-Миллса. Получен критерий равнодуальности основного аффинора многообразия конформной связности без кручения. Найдено разложение основного аффинора на сумму равнодуальных, конформно инвариантных и неприводимых слагаемых. Обобщена алгебраическая классификация А.З.Петрова. Дано новое вариационное обоснование уравнений Эйнштейна, и выяснена их геометрическая природа. Указан геометрический смысл калибровочных преобразований нормализации и перенормировки.
Ключевые слова: уравнения Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса, уравнения Максвелла, многообразие конформной связности с кручением и без кручения, оператор Ходжа.
Введение
Как известно, А.Эйнштейн считал существенным недостатком своих уравнений
Rij - öRnij = Tij (!)
тот факт, что левая часть имеет четкое геометрическое происхождение, а правая часть введена из физических соображений (см., например, [1, с. 14]). В [2] уравнения Эйнштейна были получены на 4-мерном многообразии конформной связности без кручения в форме
Кп - 1ППЦ = ь(гз) (2)
как составная часть системы уравнений Янга-Миллса. Здесь Ъ^ — коэффициенты разложения пфаффовых форм по базисным пфаффовым формам из1
= Ь^ ^, (3)
щ — стандартный тензор Минковского сигнатуры (—+ + +), Ь(^) = Ъ^ + bji. Чтобы из (2) получить стандартный вид (1) уравнений Эйнштейна, следует положить
Т^ = ь(^) - 2Ъщ, (4)
*[email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved
где Ь = пг7Ьщ, а К = 6Ь. Индексы г,] во всех формулах пробегают значения от 1 до 4. Пфаффовы формы сг, иг являются элементами матрицы конформной связности
П =
/ (0 с1 с1 0 с2 с12 с3 с133 с4 с144 0 с1 \
с2 с12 0 — с23 — с24 — с2
с3 с13 с23 0 — с34 — с3
с4 с14 с24 с34 0 — с4
V 0 с1 —с2 —с3 —с4 —с00 /
(5)
которая, будучи заданной на каждой карте некоторого атласа, определяет структуру многообразия конформной связности. Дг7- есть тензор Риччи квадратичной формы угловой метрики
ф = щ иги7. (6)
Таким образом, обе части уравнений Эйнштейна в форме (2) вычисляются через матрицу связности П и потому имеют геометрическую природу.
Четырехмерные многообразия конформной связности без кручения, на которых для каждой карты некоторого атласа выполняются равенство с0 =0 и уравнения Эйнштейна в форме (2), будем называть конформными многообразиями Эйнштейна. В статье [3] применяется сходный термин "конформное пространство Эйнштейна", но он означает совсем другое, а именно: псевдориманово многообразие, в котором метрика конформна метрике Эйнштейна. Обычные пространства Эйнштейна, в которых выполняются равенства
(7)
являются псевдоримановыми многообразиями.
На любом четырехмерном многообразии конформной связности определен оператор Ходжа *, который действует на внешние 2-формы по правилу
в
1 г а о — аг 7 с Л с
2 7
в
4£% аы иг Л с7 = 1 а*7 сг Л и7
1
-аго * с
(сг Л.
где
ы го
¡:к1тпп 31234 ЧтгЧп] ,
3ы234п _ четырехместный символ Кронекера. Иначе говоря,
7
1 £Ып
2 £го аы.
(8)
(9)
Этой формулой задано действие оператора Ходжа на дважды ковариантный кососиммет-рический тензор аы (или на кососимметрическую тензорную плотность веса (—2) , каковую на самом деле образуют коэффициенты конформно инвариантной внешней 2-формы. Эта же формула определяет действие оператора Ходжа на ковариантную двухвалентную ко-сосимметрическую плотность любого другого веса. Поскольку свойства оператора Ходжа от веса тензорной плотности не зависят, а нам нужны только тензорные плотности веса (—2) , то мы для краткости будем говорить о действии оператора Ходжа на тензор.) Если у кососимметрического тензора аг7- поднять один индекс с помощью п7
аЫ = Пкгаго,
то получим кососимметрический аффинор (пгкакк = — 'щкак). Тогда действие (9) оператора Ходжа заменится его действием на кососимметрический аффинор по формуле
1
(аЫ)
_£кт ап 2 £7п ат.
(10)
7
*
Легко проверить, что формулы (9) и (10) дают одно и то же. Формулы (8) задают оператор Ходжа в неголономном ортонормированном базисе. В голономном базисе квадратичная форма угловой метрики (6) записывается в виде ф = д^¿хгйх°, а оператор Ходжа в
виде е^ = 1_д-тгд-пз, где д = det (д^) . Величины е^ образуют полноправный четы-
ы-д
рехвалентный тензор, который инвариантен относительно преобразования перенормировки угловой метрики. Но формулы (8) намного проще и удобнее, поэтому мы предпочитаем работать в неголономном базисе.
Пусть тензор а^тп кососимметричен как по первой паре индексов г], так и по второй тп. Тогда преобразование Ходжа (9) можно производить как по первой паре индексов, так и по второй. Результат обозначим соответственно = \екаытп, а*?тп = 2£тпапк1.
Если выполняется равенство
а1]тп, (11)
тогда тензор а^тп будем называть равнодуальным. Тензор *а*?тп называем дважды дуальным к тензору а^тп. Так как *2 = то условие равнодуальности (11) равносильно
а1]тп = -аЦтп. (12)
Если компонентами кососимметрического аффинора а? (т.е. 'ЦысС"? = —Пзга\) являются внешние 2-формы, то формулу (10) следует рассматривать как действие оператора Ходжа на левую пару индексов тензора а?тп, коэффициентов формы а? = 2а1тпшт Л шп. Поэтому условие равнодуальности (11) запишется в виде
= 1 еЦ а1к. (13)
В первом разделе данной статьи описывается техника работы с оператором Ходжа; приводится удобная форма условия равнодуальности и формула для дважды дуального тензора; вычисляется дважды дуальный тензор для произведения Кулкарни-Номидзу о атп в случаях кососимметрического и симметрического тензора ащп; вычисляется дважды дуальный тензор для тензора Римана и основного аффинора Ф? многообразия конформной связности без кручения, доказывается критерий равнодуальности этих тензоров; определяется обобщенное конформное многообразие Эйнштейна.
Во втором разделе вычисляются разложения основного аффинора Ф? на равнодуаль-ные неприводимые слагаемые как в случае конформного многообразия Эйнштейна, так и в случае обобщенного конформного многообразия Эйнштейна.
В третьем разделе алгебраическая классификация А.З. Петрова пространств Эйнштейна обобщается на случай конформных многообразий Эйнштейна и обобщенных конформных многообразий Эйнштейна.
В четвертом разделе уравнения Эйнштейна (2) выводятся из вариационного принципа; устанавливается, что, по аналогии с электромагнитным полем, в основе которого лежит 1-параметрическая группа калибровочных преобразований перенормировки угловой метрики, в основе гравитационного поля (и уравнений Эйнштейна) лежит 4-параметрическая калибровочная группа преобразований нормализации. Выяснена также роль уравнений Эйнштейна с космологической константой.
В пятом разделе дается геометрическое истолкование преобразований перенормировки и нормализации.
а
1. Равнодуальные и дважды дуальные тензоры
С оператором Ходжа удобнее всего работать, используя собирательные индексы
12
34
13 42
14 23
3, 6.
Тогда тензор а^тп, кососимметричный как по первой паре индексов, так и по второй, запишется в виде квадратной матрицы А шестого порядка. Например, а122з —► «16 & А. Эту матрицу целесообразно разбить на 4 квадратных блока из матриц 3-го порядка X У
А
и V
. Так как, согласно (8),
„34 _ 1 „12 _ -1>
„24 _ 1 „13 _ 1
„23 _ 1 „14 _ -1,
14
„23
1,
13
„24
1,
12
„34
1,
0 —Е
сам опера-
, где Е
тор Ходжа в собирательных индексах задается матрицей вида [*] _ , „ _
Е0
единичная матрица 3-го порядка, 0 — нулевая матрица 3-го порядка. Действие оператора Ходжа на правую пару индексов тензора а^тп сводится к умножению матрицы А слева на матрицу [*]:
гутп
А [*]_
X У и V
0
Е
-Е 0
У -X V -и
Действие оператора Ходжа на левую пару индексов тензора а^тп сводится к умножению транспонированной матрицы [*]Т слева на матрицу А:
Мт А _
0Е Е0
X У и V
и V -X -У
Условие равнодуальности тензора aijmn равносильно равенству
У -X V -и
и V -X -У
Итак, равнодуальность тензора а^тп равносильна тому, что его матрица имеет вид
А _( X УЛ (14)
Дважды дуальный тензор *а*тп имеет следующую матрицу:
Мт А м_
V -и -У X
(15)
Пусть а^- и е^ — любые два двухвалентных тензора. Произведением Кулкарни-Номидзу этих тензоров называется 4-валентный тензор вида а^- о еш
апгт.сгп .
aimcjn + ajncim aincjm
Тензор а^ о етп кососимметричен как по паре индексов у, так и по паре
Нам понадобятся только тензоры вида п^ о атп. Матрица такого тензора
ных индексах имеет вид
а11 - а22 -а23 -а24 0 а14 -а13
-а32 а11 - а33 -а34 —а14 0 а12
-а42 -а43 а11 - а44 а13 -а12 0
0 -а41 а31 азз + а44 -а32 -а42
а41 0 -а21 -а23 а22 + а44 -а43
-а31 а21 0 -а24 -а34 а22 + азз
*
*
а
Отсюда следует
Предложение 1. пгц ° атп = 0 тогда и только тогда, когда атп = 0.
Из (16) также видно, что в случае кососимметричности тензора атп выполняются равенства (14). Получили
Предложение 2. Если тензор атп кососимметричен, то тензор пц °атп равнодуален.
Чтобы произвести вычисления в случае симметрического тензора агц, введем еще один оператор, действующий на множестве симметрических двухвалентных ковариантных тензоров Оц ац — ^ а'Пгц, где а = пгц ац. Очевидно, что
ац агц , пгц пгц. (17)
Матрица тензора пгц ° атп в собирательных индексах имеет вид
( азз + а44 —а23 —а24 0 а14 —а13
—аз2 а-22 + а44 —а34 —а14 0 а12
—а42 —а43 а22 + азз а13 —а12 0
0 —а41 а31 а11 — а22 —а32 —а42
а41 0 —а21 —а23 а11 — а33 —а43
\ —аз1 а21 0 —а24 —а34 а11 — а44
эту матрицу с матрицей (16), получим с помощью (15)
Предложение 3. Если тензор атп симметричен, то тензором, дважды дуальным к тензору пц ° атп, будет тензор пц ° атп, т.е.
* (пгц ° атп)* = пгц ° о-тп. (18)
Применим эти предложения для вычисления тензора, дважды дуального к тензору Ри-мана Кгцтп. Как известно, тензор Вейля конформной кривизны имеет следующее выражение:
Д 1
Сгцтп Дгцтп + "6 (пгппцт пгтпцп) + 2 (пгтДцп пгпДцт + пцпДгт пцтДгп) . С помощью произведения Кулкарни-Номидзу это выражение запишется в виде
1 Д
Сгцтп Дгцтп + 2пгц ° Дтп 12пгц ° птп. (19)
Как известно из алгебраической классификации А.З. Петрова, тензор Вейля имеет матрицу вида (14), и потому он равнодуален. Применяя к обеим парам индексов равенства (19)
оператор Ходжа и формулы (12), (18) и (17), получим Сгцтп — * Щцтп + 5 пгц ° Дтп + н
12 пгц ° птп .
Складывая два последних равенства, получим
—гцтп Дгцтп пгц ° Втп^ (20)
где Вгц = Дц — 4Епц. Формула (20) имеется в [1, с. 203]. Внешние 2-формы
фц = ¿и] + Л ш? + шг Л Шц + пгтпцп^т Л шп, (21)
составляющие часть матрицы
/ оо Ф Ф1 Ф2 Фз Ф4 0 \
Ф1 0 Ф2 Ф3 Ф4 Ф
Ф2 Ф1 0 —Ф2 —Ф2 -Ф2
Ф3 Ф1 Ф2 0 —Ф3 —Фз
Ф4 Ф1 Ф2 Ф3 0 -Ф4
V 0 Ф1 -Ф2 —Ф3 -Ф4 Ф0 —Фо /
Ф
кривизны многообразия конформной связности, удовлетворяют условию кососимметричности ПкгФ1^ = —П^гФ^, но при наличии кручения (Ф® = 0) не образуют геометрического объекта. При отсутствии кручения они образуют аффинор, который будем называть основным аффинором, а его компоненты Ф*т„ — основным тензором. Равенство (21) можно записать в виде
Ф®3'шп Rijmn + (22)
где Я^тп — компоненты тензора римановой кривизны угловой метрики (6), иначе говоря,
коэффициенты внешней 2-формы Щк (¿^ + Л Ц) = 1 К^тпш'т Л шп, а — коэффи-
циенты внешней 2-формы цг] (шк Л Шj + r|kmVjn^m Л о>п) = 1 Б^тпшт Л шп. Учитывая (3),
Sijmn nimbjn ninbjm + VjnЬ®т njmЬin nij ◦ Ьтп. (23)
Выделяя у тензора Ьтп симметрическую и кососимметрическую части, запишем (23) в виде
(24)
<? = 1 Ь 1 Ь
Sijmn 2 nij ° Ь(тп) + 2 nij ° Ь[тп].
В силу предложения 2 второе слагаемое справа является равнодуальным тензором, т.е.
* (Щ ◦ Ь[тп]У = — Щ ◦ Ь[тп] .
Для первого слагаемого (24) в силу предложения 3 мы умеем вычислять дважды дуальный тензор. Итак, из (20) и (22) *Ф*-тп = —Щтп — Щ ◦ Втп + 1 щ ◦ ь(тп) — 1Щ ◦ Ь[тп]. Исключим Я^тп с помощью (22) и (24):
*Ф
1
1
щтп Ф^тп + ◦ [ Ь(тп) 2 ЬПтп Ятп тп
В [2, с. 439] была доказана основная формула
1
= 2 ^ ФР,
(25)
(26)
на которой базировались все результаты этой статьи. В силу (13) это означает, что аффинор Ф] равнодуален. Формула (26) была доказана с использованием уравнений Янга-Миллса. Однако уравнения Янга-Миллса использовались не в полном объеме. Как показано в [2], уравнения Янга-Миллса на четырехмерном многообразии конформной связности без кручения распадаются на 3 группы: уравнения Эйнштейна, уравнения Максвелла и уравнения движения вещества. Для доказательства (26) использовались только уравнения Эйнштейна (2). Следовательно, аффинор Ф] является равнодуальным в любом конформном многообразии Эйнштейна. Но условие (26) может выполняться и в более общем случае. Из формул (12), (25) и предложения 1 следует
Теорема 1. Для того чтобы основной аффинор Ф] четырехмерного многообразия конформной связности без кручения был равнодуален, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись обобщенные уравнения Эйнштейна
Так как из (23) имеем пт (п? ◦ 6шп) = = —26?ш — 6п?ш, то, свертывая (22) с
Пт, получим
ф. <=/ п«пф.. = д. -26- -6п- (28)
Еще раз свертывая с найдем
йе/
^ п^ш = Д — 66. (29)
Подставляя из (28) в (27) и используя (29), придем к
фш + 6 [¿ш] = 4 ^¿ш- (30)
Это другая форма записи уравнений (27).
Аналогично, уравнения (2) записываются в виде
фш + 6уш] =0- (31)
Свертывая последнее равенство с получим ^ = 0, и потому из (31) вытекает (30), но не наоборот.
Так как и 2-форма Ф0 = 26[?]<^ Л и аффинор Ф^, инвариантны и относительно преобразований нормализации, и относительно преобразований перенормировки [2, с. 445], то и уравнения Эйнштейна (31), и обобщенные уравнения Эйнштейна (30) конформно инвариантны.
Заметим, что обобщенные уравнения Эйнштейна (27) — это не что иное, как уравнения Эйнштейна с космологическим членом, т.к. (27) можно записать в виде
Д? — 1+ Л^ = 6(?) — 26^-, (32)
где Л = 4Л Так как справа стоит тензор энергии импульса (см. формулу (4)), то это стандартная форма уравнений Эйнштейна с космологическим членом. Но Л в нашем случае не константа, поэтому сохраняющейся величиной является не тензор 6(?) — 26г/г?, а тензор
в некоторой окрестности данной точки многообразия ее можно подходящей заменой координат привести к 1 или —1, следовательно, локально уравнения (27) в точности становятся уравнениями Эйнштейна с космологической постоянной.
Если на каждой карте некоторого атласа четырехмерного многообразия конформной
6(?) — 26^«? — Лп?- Величина Л — это не скаляр, а скалярная плотность веса ^ . Поэтому
связности без кручения выполняется равенство =0 и уравнения (27), мы будем называть такое многообразие обобщенным конформным многообразием Эйнштейна. Различие между конформным многообразием Эйнштейна и обобщенным конформным многообразием Эйнштейна состоит лишь в том, что на первом скалярная плотность ^ = 0, а на втором ^ = 0.
Из формул (20) и предложения 1 очевидно вытекает
Теорема 2. Тензор Римана Д?шп псевдориманова многообразия равнодуален тогда и только тогда, когда выполняются уравнения
1
4'
Эта теорема хорошо известна (см., например, [4, с. 136], утверждение 3.20). Она приведена
только для контраста с утверждением Теоремы 1: в то время как уравнения (2) и (27) не эквивалентны, уравнения (7) и (33) означают одно и то же, а именно, что псевдориманово многообразие эйнштейново.
Д? — т Дп«? = 0- (33)
2. Разложение тензора ФуТОП на неприводимые слагаемые 2.1. Конформное многообразие Эйнштейна
Подставим выражение для Rij из уравнений Эйнштейна (2) Rij = Ь(^) + ^Rnij в формулу
(19). Cijmn Rijmn + ^◦ Ь(тп).
Теперь выразим отсюда и подставим его в (22), а вместо В^тп подставим его
выражение по формуле (24). В итоге получим
Ф
iJшn Сщтп + 2 nij ◦ Ь[тп] •
(34)
Оба слагаемых в правой части равнодуальны, конформно инвариантны и неприводимы в том смысле, что их уже нельзя разбить на равнодуальные слагаемые, им не коллинеарные. Пусть матрицы тензоров, входящих в разложение (34), имеют, соответственно, вид
М N N -М
X У У -X
и V V -и
Уравнение (34) равносильно двум матричным равенствам.
М = X + и, N = У + V.
(35)
Так как тензор Вейля обладает, как известно, свойствами С
0 СЦтп + С
iJшn
= С
тт^
iJmn
imnJ
+ = 0, то это приводит к тому, что блоки X и У являются сим-
метрическими матрицами с нулевыми следами.
Обозначим 2-е слагаемое в правой части равенства (34) за Qijmn. В подробной записи оно имеет вид
Qi
1
^ (^гтЬ[?п] + ^'пЬ[^т] Щп^^т] 'Пjm^[in]^ .
2
(36)
Из этой формулы легко усмотреть, что Qijmn = —Qmnij. Это равносильно кососимметричности блоков и и V. Для этих блоков легко указать их явный вид (см. формулу (16)).
и
V :
0
2 Ь[23]
\ - 2Ь[42]
- 2 Ь[14] V 2Ь[13]
- 2 Ь[23]
2 Ь[34]
2 Ь[14]
2 Ь[42] 2 Ь[34]
2 Ь[13] 2 Ь[12]
(37)
-1 ь
2 ь[12]
0
Так как все матрицы, стоящие в правой части равенств (35), имеют нулевые следы, то матрицы М и N тоже имеют нулевые следы. Итак, равенства (35) представляют собой разложение левых частей на симметрическую и кососимметрическую составляющие, X У А {и V
а матрицы
частями матрицы
У -X
М N N -М
V -и
являются симметрической и кососимметрической
0
0
0
0
2.2. Обобщенное конформное многообразие Эйнштейна
Перейдем теперь к отысканию разложения тензора Ф]тп на равнодуальные неприводимые слагаемые в обобщенном конформном многообразии Эйнштейна. Для этого в формулу (19) подставим вместо Ятп его выражение из обобщенных уравнений Эйнштейна (27) Ятп =
Ь(тп) + 4 -Н-Лтп ^ Ьптп.
Получим С^тп = Яг?тп + 2Щ ◦ Ь(тп) + 24 (К - Щ щ о Птп. Теперь отсюда выражаем Я]тп, а для Б1?тп берем выражение (24) и подставляем это в (22). В итоге получим
Фг?тп Сг?тп + ^г]тп 24 (К 6Ь) ° Птп. (38)
Здесь все три слагаемых равнодуальны, конформно инвариантны и неприводимы.
2.3. Многообразие конформной связности без кручения
Из формул (24), (22) и (19) получается формула разложения основного тензора Ф]тп многообразия конформной связности без кручения на неприводимые инвариантные слагаемые
1 Л 1, „1
1 2 V 1 2 4 ) (39)
+ 2Пг] о Ь[тп] - 24 (К - 6Ь) Щ о Птп.
В этом разложении только 2-е слагаемое не является равнодуальным. Учитывая формулу Пгп (щ о атп) = -2а?т - агцт, а = г/гпагп, и то, что пгпСг?тп = 0, путем свертки (39) с г/т получим другое инвариантное неприводимое разложение
Ф]т = (-Ь^т) + Щт + Ь^ш - 4 Щ]^ - Ь[]т] + 4 (К - 6Ь) Щт.
Здесь первое слагаемое есть бесследовая симметрическая часть тензора Фзт, второе слагаемое — его кососимметрическая часть, третье слагаемое — скалярная часть.
3. Обобщение алгебраической классификации А.З.Петрова на конформные и обобщенные конформные многообразия Эйнштейна
В векторном пространстве внешних 2-форм четырехмерного многообразия конформной связности имеется метрический тензор
(40)
матрица которого в собирательных индексах имеет блочный вид ^ ^ ° ^ ' где Е —
единичная матрица 3-го порядка. Если на этом многообразии имеется равнодуальный тензор а]тп, то для его матрицы, записанной, согласно (14), в собирательных индексах М N \
N М I , можно составить характеристическое уравнение
М + ХЕ N N -M-ХE
Теми же элементарными преобразованиями, как в [5, с. 112], приведем это уравнение к виду
M + iN + AE 0
0 M - iN + AE
где i — мнимая единица. Не играет роли, что в [5] матрицы M и N были симметричными, а в нашем случае нет. Поскольку матричные блоки M + iN + AE и M — iN + AE комплексно сопряжены, достаточно исследовать лишь канонические виды одного блока. Как известно, A-матрица M+iN+AE 3-го порядка может иметь 6 канонических видов, которым присвоены обозначения I, D, O, II, N, III. Первые три вида образуют тип T\, характеризующийся наличием трех линейно независимых комплексных собственных векторов у матрицы M+iN. У подтипа I все три собственных числа различны, у подтипа D одно из собственных чисел имеет кратность 2, у подтипа O есть только одно собственное число кратности 3. Следующие два вида II и N образуют тип T2, характеризующийся наличием двух линейно независимых собственных векторов. У подтипа II одно из двух собственных чисел имеет кратность 2, у подтипа N имеется лишь одно собственное число кратности 3. Третий тип T3 состоит лишь из одного собственного вектора и одного собственного числа кратности 3. Подробно об этом см. [1, с. 167-168]. Каждое собственное число является инвариантом. Поэтому максимально возможное число вещественных инвариантов, которое может дать равнодуальный тензор, равно 6. Если след матрицы M + iN равен нулю, то число комплексных инвариантов будет 2 для подтипа I, 1 — для подтипов D и II, 0 — для подтипов O, N, III.
В случае конформного многообразия Эйнштейна, как показано выше, имеются три рав-нодуальных тензора ^ijmn, Cijmn и Qijmn = 2(j °b[mn], связанные соотношением (34).
(На самом деле это тензорные плотности веса , а их собственные числа являют-
( 1 ^
ся скалярными плотностями веса I — ^ I , но мы для краткости называем их тензорами, а
алгебраические комбинации их собственных чисел — инвариантами.) Конформные многообразия Эйнштейна можно классифицировать по подтипам каждого из этих равнодуальных тензоров. Каждый из первых двух тензоров может иметь любой из указанных 6 подтипов, причем подтипы этих тензоров могут быть неодинаковыми.
Для третьего тензора Qijmn, отвечающая ему в собирательных индексах матрица U + iV кососимметрична, поэтому A-матрица U + iV + AE может иметь только два подтипа: I и III (см. [1, с. 191]).
Для подтипа I имеется один комплексный инвариант J, который легко вычисляется из вида (37) матриц U и V J = 44 ((b[i2])2 + (b[i3])2 + (b[i4])2 — (b[23])2 — (b[42])2 — (&[34])2) +
2 (b[i2]b[34] + b[i3]b[42] + b[i4]b[23]) d=f Ji + 2iJ2, а характеристическое уравнение для нее |U + iV + AE| = 0 имеет вид A (A2 — J) = 0. Подтип III получается при J = 0.
Формула (36) показывает, что тензор Qijmn зависит только от bj, поэтому последняя классификация фактически основывается на тензоре bj. Более детальная классификация возникает, если вместо A-матрицы U + iV + AE проклассифицировать вещественную
2'
I 1. II /I nw >11 II 1\<1_\ I . 'V. III П Л ИЛ Mi л I 1 | Л1 I I, I Л i [ ' l [ /\ l > I I | Л i l\. UUVII V | Л1 I 1,1*1 | Л n><
A-матрицу ^2b[ij] — An j . Ее канонические формы указаны в [1, с. 207]
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
V 0 0 0 A4 — JiA2 — (J2)2 )
при J2 = 0,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 Л 0
V 0 0 0 Л (Л2 — 3) /
при 32 = 0.
При 3\ =0 обе формы характеризуются наличием четырех линейно независимых комплексных собственных векторов, а при 3\ = 32 =0 первая форма невозможна, а вторая характеризуется наличием двух линейно независимых собственных векторов. Итак, классификация Л-матрицы и + гУ + ЛЕ дает лишь две возможности, а классификация матрицы 1
2Ь[ij] — Лг\ц! — три, при этом вещественные инварианты одни и те же: и 32. Однако это
различие кажущееся. Достаточно для Л-матрицы и+гУ+ЛЕ считать за различные два подтипа типа I, в первом из которых ненулевые собственные числа комплексные, а во втором — вещественные. Этим будет достигнуто полное соответствие между тремя возможностями обеих классификаций.
Итак, при Ь[^] = 0 число возможных видов конформных многообразий Эйнштейна велико, но не более 6 х 6 х 3 = 108. Число вещественных инвариантов тоже значительно больше, чем в псевдоримановом многообразии Эйнштейна, а именно, максимальное число скалярных плотностей равно 4 + 4 + 2 = 10, следовательно, инвариантов 9. (В псевдоримановом многообразии Эйнштейна число инвариантов ^ 4.)
В случае Ь^] = 0 (т.е. при Ф° = 0) многообразие конформной связности без кручения названо Картаном нормальным [6, с. 175]. При выполнении на каждой карте некоторого атласа уравнений Эйнштейна (2) будем называть его нормальным многообразием Эйнштейна. В статье [7] применяется термин "нормальная конформная связность Картана". Наш термин "нормальное многообразие Эйнштейна" эквивалентен понятию конформного многообразия с нормальной конформной связностью Картана.
Классификация нормальных многообразий Эйнштейна упрощается и сводится лишь к шести подтипам Л-матрицы X + гУ + ЛЕ, отвечающей в собирательных индексах тензору Вейля С^тп. Геометрия нормальных многообразий Эйнштейна полностью определяется заданием на каждой карте некоторого атласа квадратичной формы угловой метрики (6). При этом в точках пересечения двух карт квадратичные формы этих карт будут отличаться множителем. Для двух пересекающихся карт этот множитель можно свести к единице путем комбинированного калибровочного преобразования перенормировки и преобразования нормализации, но для трех попарно пересекающихся локальных карт этого сделать уже нельзя. Единого метрического тензора на всем нормальном многообразии Эйнштейна в общем случае не существует. Обсуждаемая в данном пункте классификация многообразий конформной связности по подтипам равнодуального тензора имеет локальный характер, так как в разных областях нормального многообразия Эйнштейна тензор Вейля может иметь разные подтипы.
Что касается обобщенных конформных многообразий Эйнштейна, то последний член в
правой части равенства (38) можно в силу (40) и (29) записать в виде — — Fr|ijmn, т.е. он лишь множителем отличается от метрического тензора щтп. Если к матрице линейного оператора прибавить скалярную матрицу, то новая матрица имеет ту же каноническую структуру, что и старая. Поэтому классификации, основанные на разложениях (38) и (34), одинаковы.
Аналогична ситуация в псевдоримановых многообразиях. Так как при выполнении уравнений (7) в римановом многообразии тензоры римановой кривизны и конформной кривизны связаны соотношением С^тп = Я^тп + — Яп^тп, то каноническая структура тензоров
С^тп и Щтп в этом случае одинакова. Следовательно, можно обойтись лишь классификацией Петрова общих псевдоримановых многообразий по 6 подтипам тензора Вейля Cijmn,
т.е. в случае выполнения условия (7) нет необходимости привлекать для этой цели тензор Римана Кг7тп.
Если в обобщенном конформном многообразии Эйнштейна на каждой карте некоторого атласа выполняется условие 67 = 0, то такое многообразие мы будем называть обобщенным нормальным многообразием Эйнштейна. В этом случае формула (38) примет вид Фцтп =
Сг7тп 12 ■'Чг^тп.
Отсюда тензоры Фгутп и Сг^тп имеют одну и ту же каноническую структуру, поэтому вся классификация исчерпывается шестью подтипами Петрова тензора Вейля Сг^тп. Но для задания обобщенного нормального многообразия Эйнштейна нужно на каждой карте некоторого атласа кроме квадратичной формы угловой метрики задать еще скалярную
плотность ■ веса ( — 2
4. Вариационное обоснование уравнений Эйнштейна и Максвелла в пространстве конформной связности без кручения
Уравнения (27) возникли у нас естественным путем как условия равнодуальности для тензора Фгутп. Но как быть с уравнениями (2)? Пока они появились у нас как часть уравнений Янга-Миллса. Уравнения Янга-Миллса на многообразии конформной связности с кручением тоже естественны, т.к. они являются уравнениями экстремалей единственно возможного функционала действия — функционала Янга-Миллса
I ^ У Ьт (*Ф Л Ф) (41)
(см. [6]). Но на многообразии конформной связности без кручения имеется большой выбор возможностей для функционала действия, т.к. из конформной инвариантности внешней 2-формы Ф0 и основного аффинора Ф7 вытекает конформная инвариантность следующих внешних 4-форм: Ф0 Л Ф0, *Ф0 Л Ф0, Ф7 Л Ф7, *Ф7 Л Ф7,Ьт (*Ф Л Ф) = 2 * Ф0 Л Ф0 +
*Ф7 Л Ф7.
7 г
Кроме того, инвариантное разложение (39) дает еще несколько инвариантных 4-форм. Но мы все же примем за функционал действия функционал Янга-Миллса (41). В [8] вычислена его вариация
31 = 2 У Ьт (3П Л В * Ф), (42)
где В * Ф = й * Ф + П Л*Ф — *Ф Л П.
Допустим, что вариации подвергаются не все компоненты матрицы связности (5), а только пфаффовы формы иг. Тогда формула (42) примет вид
31 = 4 У (3иг Л В * Фг) .
Поэтому равенство 31 = 0 равносильно В * Фг = 0. Но на многообразии конформной связ-
>0 Л иг — *Ф7
ности без кручения имеют место равенства В * Фг = *Ф0 Л сг — *Ф7 Л с7, следовательно,
*Ф0 Л сг — *Ф7 Л с7 =0.
Как показано в [2], последние уравнения равносильны уравнениям Ф7т + 67т] = 0, которые, в свою очередь, как показано в разделе 1 данной статьи, представляют собой другую форму записи уравнений Эйнштейна (2). Вариации пфаффовых форм сг, совместимые с
алгебраической структурой матрицы связности (5), могут быть описаны в конечном виде через 4 параметра А®:
— Ай ск,
С® = С® + А®С® — АшПгй С С® = с® + ¿А« — АкС®к + А®С° — А®АкСк + -ПшПАшАпПгйск -
=
С® = С®,
(43)
Эти преобразования мы назвали в [2] преобразованиями нормализации. Обоснование этого термина будет дано в следующем разделе. В данной точке многообразия выполняются равенства с® = 0- Поэтому эти формулы примут вид ¿с° = 0, ¿с® = 0, ¿с® = 0, ¿с® = ¿А®-
Итак, преобразование нормализации в данной точке многообразия действительно дает лишь вариации пфаффовых форм с®, оставляя остальные компоненты матрицы связности неизменными. Таким образом, природа уравнений Эйнштейна (2) связана с наличием калибровочной группы преобразований нормализации.
Если из всех компонент матрицы связности О подвергнуть вариации только одну пфаффову форму ср, то формула (42) примет вид
¿I = 4 У (¿сО Л В * Ф0) -
Поэтому равенство ¿I = 0 равносильно равенству В * Ф° = 0- Записывая это уравнение и тождество Бианки ВФ° = 0 через обычный дифференциал вместо ковариантного, приходим к системе уравнений Максвелла
¿Ф° — Ф® Л с® =0,
°° ® • (44)
а * Ф° — *Ф® л С® = 0 у '
в форме, которая нужна была Дираку в его работе о магнитном монополе [9, с. 255-283].
°°
(Для существования монополя необходимо, чтобы было ¿Ф° =0, а в обычных уравнени-
ях Максвелла ¿Ф° = 0-) Вариации пфаффовой формы , совместимые с алгебраической структурой матрицы связности (5), могут быть заданы в конечном виде с помощью одного параметра А:
= + С® = АС®,
° 1 А - . (45)
~ 7 7
сс® = А^®, С® = С -
Такое преобразование мы называем преобразованием перенормировки. В данной точке многообразия с® = 0, и потому ¿с° = —, ¿с® = ¿с® = ¿с® = 0, т.е. преобразование пере-
А®
нормировки в данной точке многообразия действительно приводит лишь к вариации одной "8,
пфаффовой формы с оставляя остальные элементы матрицы связности О неизменными. Таким образом, природа обобщенных уравнений Максвелла (44) связана с существованием калибровочной группы преобразований перенормировки.
Пусть теперь из всех компонент матрицы связности вариации подвергаются только пфаффовы формы с® - Тогда формула (42) принимает вид
¿I = 2 у (¿с? Л В * Ф®') -
Поэтому равенство ¿I = 0 равносильно равенствам
В * Ф® = V * Ф® + с® Л *Ф® — п7пП®ш * Фш Л С" = 0- (46)
Вариации пфаффовых форм (, совместимые с алгебраической структурой матрицы связности, могут быть заданы в конечном виде.
,0 _ ,.,0 ,.i — \г ,.к
= лк шк, LVi = Ак шк,
Ак dAk + Ак шт лт
(47)
где Ак — компоненты матрицы лоренцевых преобразований, Ак — компоненты обратной матрицы (см. [6]). Преобразования (43), (45) и (47) образуют общую калибровочную группу, т.е. группу стационарности многообразия конформной связности. Экстремали общей калибровочной группы удовлетворяют одновременно уравнениям (2), (44) и (46). Но, как показано в [2], эта система уравнений равносильна системе уравнений Эйнштейна (2) и обычным уравнениям Максвелла = 0, d * Ф0 = 0.
А что будет, если мы к уравнениям (44) и (46) вместо уравнений Эйнштейна (2) присоединим обобщенные уравнения Эйнштейна (27)? В этом случае возьмем от обеих частей
(27) ковариантную производную по - 4 щ = Ь^д. - 2ь^Пь.
Свертывая это равенство с Г)1к и пользуясь известным тождеством г)1к —¿л к = 2 , получим
П%;)|к = ^ + ^ Ь|Ь . (48)
Как показано в [2], из уравнений (44) и (46) вытекает dФ0 = 0, d * Ф0 = 0, поэтому второе уравнение (44) сводится к *Фi Л ( =0.
Записывая это уравнение в компонентах, получим (см. [2], формула 47)
(ьь - 2п1к- 1 Ц1кь[ij]|k =°.
Но последнее слагаемое — это утроенные компоненты внешней 2-формы d* Ф0, поэтому они
равны нулю. Выражение в скобках в силу (48) имеет вид ( - — ^ , поэтому ^ = 0, т.е.
1
F = const.
Итак, система уравнений (27), (44) и (46) сводится к системе из обычных уравнений Максвелла dФ0 = 0, d * Ф° = 0 и обобщенному уравнению Эйнштейна в форме (32), где Л — уже настоящая глобальная космологическая константа. В случае Л = 0 уравнения Янга-Миллса выполняться не могут.
0
5. Геометрический смысл преобразований нормализации и перенормировки
Задание матрицы связности (5) на каждой карте некоторого атласа определяет всю структуру многообразия конформной связности М, и любой результат может быть выражен через эту матрицу и вычисляемую из нее матрицу кривизны Ф. Поэтому нет никакой логической необходимости в применении каких-либо дополнительных конструкций. Однако развитию нашей интуиции значительно больше благоприятствует представление многообразия конформной связности размерности п в виде базы расслоенного пространства, если взять в качестве слоя (п + 1)-мерное проективное пространство с фиксированной в нем квадрикой (как это делал Картан в [6]). В нашем случае, когда п = 4 и мы желаем, чтобы угловая метрика (6) имела сигнатуру (—+ ++), эта квадрика в проективных координатах должна записываться в виде
(X, X) = - (х1 )2 + (Х2)2 + (Х3)2 + (Х4)2 + 2x0x5 = 0. (49)
Здесь X = (ж°,ж1,ж2, хз, Х4, Х5) — точка 5-мерного проективного пространства, а символом (X, У) обозначено скалярное произведение, порождаемое билинейной формой, полярной квадрике (49):
(X, У) = —Х1У1 + Х2У2 + хзУз + Х4У4 + Х°У5 + Х5У°. Данную точку многообразия М мы считаем совпадающей с точкой Xо = (1,0, 0, 0, 0,0) квадрики (49). Кроме того, проективную касательную плоскость к квадрике (49) в точке Xо мы считаем за касательную плоскость многообразия М. Выберем в каждой точке квадрики (49) проективный репер {Хо, Х1, Х2, Хз, Х4, Х5} и потребуем, чтобы он удовлетворял условиям ортогональности:
(Xо,Xо) = (X5,X5)=0, (Xо,X5) = 1,
(Xо,Xi) = (X5,Xi)=0, (Xi,Xj )= щ, ( )
г, 2 = 1, 2, 3, 4. Уравнения инфинитезимальных перемещений этого репера в проективном пространстве имеют вид
dXо = Хоао + Xiai + Х5а§,
dXi = Хоа. + Хка* + Х5а5, (51)
dX5 = Xо а5о + Х.а5 + X5a|. Условия ортогональности (50) приводят к следующим соотношениям между инфинитези-мальными коэффициентами: ао + а 5 = 0, а5о = а5 = 0, а5 + г]^а = 0, а^г+ а.1 = 0, airljk + а:,jг]ij = 0. Это как раз те алгебраические соотношения, которые имеют место в матрице связности (5).
Система уравнений (51) в проективных координатах вполне интегрируема, но если мы подставим вместо инфинитезимальных коэффициентов элементы матрицы связности (5), то полученная система уравнений
dXо = Xоw0 + Xiшi, dXi = XоLJi + Xk и* — X5 г: , (52)
dX5 = —Xirij и: — X5 ^о
уже не будет вполне интегрируемой. Она будет описывать инфинитезимальный закон перемещения сопутствующего репера из проективного слоя вдоль многообразия М.
Касательная проективная четырехмерная плоскость, задаваемая точками Xо, XI, X2, Xз, X4, одна и та же и для квадрики (49), и для многообразия М. 3-мерная проективная плоскость, определяемая точками XI, X2, Xз, X4, лежащая в касательной плоскости и не содержащая точку X0, называется, согласно А.П.Нордену, нормалью 2-го рода, а прямая X0X5 — нормалью 1-го рода. Поверхность проективного пространства называется нормализованной, если в каждой точке выбраны нормали 1-го и 2-го рода [10, с. 198]. Для квадрики (49) нормализация достигается лишь выбором нормали 2-го рода, т.к. из условий ортогональности (50) выбор точки X5 однозначно определен выбором нормали 2-го рода.
Если плоскость XlX2XзX4 является другой нормалью 2-го рода, то точки Xi на этой плоскости можно задать в виде
Х. = Xi + ЛiXо. (53)
Но при этом из условий ортогональности однозначно определится и точка Х5:
Х5 = Х5 — Л: Хг — 2 ЛгЛ: Хо. (54)
Формулы перехода (53) и (54) от нормализации, определяемой точками Хг, к нормализации, определяемой точками Хг, мы называем преобразованием нормализации. Из уравнений инфинитезимальных перемещений (52) легко увидеть, что формулы (53) и (54) равносильны формулам (43).
Точка в проективном пространстве определяется своими проективными координатами с точностью до множителя. Если мы сделаем замену
Х0 = ХХо, (55)
то точки Хо и Хо есть одно и то же. Но для сохранения условия ортогональности (Хо, Х5) = 1 необходимо положить
Х5 = Х Х5. (56)
Формулы (55) и (56) мы называем преобразованием перенормировки. Из уравнений (52) легко проверить, что эти формулы эквивалентны формулам (45).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 09-01-00717).
Список литературы
[1] Ю.С.Владимиров, Геометрофизика, М., БИНОМ, 2010.
[2] Л.Н.Кривоносов, В.А.Лукьянов, Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна и Максвелла, Журнал СФУ. Математика и физика, 2(2009), № 4, 432-448.
[3] C.N.Kozameh, E.T.Newman, K.P.Tod, Conformal Einstein Spaces, Gen. Rel. Grav., 17(1985), 343.
[4] А.Бессе, Многообразия Эйнштейна, т. I, М., Мир, 1990.
[5] А.З.Петров, Новые методы в общей теории относительности, М., Наука, 1966.
[6] Э.Картан, Пространства аффинной, проективной и конформной связности, Издательство Казанского университета, 1962.
[7] M.Korzynski, J.Lewandowski, The Normal Conformal Cartan Connection and the Bach Tensor, Class. Quant. Grav., 20(2003), 3745-3764.
[8] В.А.Лукьянов, Уравнения Янга-Миллса на 4-мерных многообразиях конформной связности, Изв. вузов. Матем., 2009, №3, 67-72.
[9] П.А.М.Дирак, К созданию квантовой теории поля, М., Наука, 1990. [10] А.П.Норден, Пространства аффинной связности, М.-Л., 1950.
Einstein's Equations on a 4-manifold of Conformal Torsion-Free Connection.
Leonid N. Krivonosov Vyacheslav A. Luk'yanov
The main defect of Einstein equations — non geometrical right part — is eliminated. The key concept of equidual tensor is introduced. It appeared to be in a close relation both with Einstein's equations, and with Yang-Mills equations. The criterion of equidual basic affinor of conformal connection manifold without torsion is received. Decomposition of the basic affinor into a sum of equidual, conformally invariant and, irreducible summands is found. A.Z.Petrov's algebraic classification is generalized. Einstein equations are given a new variational foundation and their geometrical nature is found. Geometric sense of acceleration and dilatation gauge transformations is specified.
Keywords: Einstein equations, Yang-Mills equations, Hodge operator, Maxwell's equations, manifold of conformal connection with torsion and without torsion.
