Связность Картана в обобщенном лагранжевом пространстве со специальной метрикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

IZVESTIA

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO

PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA

IMENI V.G. BELINSKOGO

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

ПГПУ

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

№26 2011

УДК: 514.76

Сурина О. П. — Связность Картана в обобщенном лагранжевом пространстве со специальной метрикой // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 244—247. — Получено явное выражение коэффициентов связности Картана обобщенного лагранжева пространства со специальной метрикой.

Ключевые слова: обобщенное лагранжево пространство, связность Картана

Surina O. P. — Cartan connection in generalized Lagrangian space with the special metric // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 244—247. — Obvious expression of factors of Cartan connection in generalized Lagrangian space with the special metric is received.

Keywords: generalized Lagrangian space, Cartan connection

Введение. В 1983 году в работе [8] Watanabe S., Ikeda S., Ikeda F. выделили класс обобщенных финслеровых пространств, метрика в которых определяется с помощью тензорного поля финслерова типа

где Yij (x) - метрический тензор риманова пространства, а a(x, у) - скалярная функция на его касательном расслоении, однородная нулевой степени по координатам касательного вектора у. В 1984 году Ikeda S. в заметке [9] "О финслеровых метрических структурах гравитационного поля а затем и в работе [10] 1988 года "Теория поля в финслеровых пространствах"предложил при построении теории поля в качестве модельных рассматривать пространства с метрикой (*), при этом функция a(x, у) не обязательно должна иметь какую либо однородность по у. Так в работе [11] 1992 года Miron R., Watanabe S., "бобщенная теория гравитации и электромагнитные пля в пространстве с метрикой e2a(x,y)Yij(x)"рассматривается случай а = ^Yps'ypys.

В совместной с В.И. Паньженским статье автора [12] исследовались пространства с метрикой (*), считая, что а является произвольной функцией аргумента ypsypys. В частности, в работе было установлено, что усеченная связность Картана совпадает со связностью Леви-Чивита римановой метрики yij (x).

В данной работе мы исследуем более широкий класс пространств чем в работе [12], умножая метрический тензор на произвольную функцию ^ = f(x) базисного многообразия. Получено явное выражение коэффициентов усеченной связности Картана, которая является нелинейной связностью первого порядка финслерова типа.

9ij (x,y) = e2a(x’y)Yij (x),

(*)

1. Пусть M - гладкое n - мерное многообразие, TM - касательное расслоение над M, п : TM ^ M

- каноническая проекция, х ^ (хг) - локальные координаты на M, z = (х,у) ^ (хі,уі) - естественные локальные координаты на TM (i,j,... = 1, n).

Многообразие M называют обобщенным лагранжевым пространством Ln, если на M задано симметрическое невырожденное тензорное поле g финслерова типа - метрический тензор пространства. Компоненты gij (х, у) этого поля являются гладкими функциями локальных координат касательного расслоения TM. Если функции gij (х,у) являются однородными нулевой степени по координатам касательного вектора у, то имеем обобщенное финслерово пространство. Если на TM существует функция F порождающая g : gij = ofjF,diF = дут, то Ln является лагранжевым пространством, а если эта функция однородна второй степени по координатам вектора у, то Ln есть финслерово пространство.

2. Каноническая проекция п : TM ^ M индуцирует над TM векторное расслоение n*(TM) =

U Tn(z)M, которое называется финслеровым расслоением. Множество гладких сечений из TM в п* (TM)

zeTM

обозначим через Secn*(TM). Каждое такое сечение X : TM ^ n*(TM) есть финслерово векторное поле. Локальный базис di = -¡Хт векторных полей на M. является локальным базисом и финслеровых векторных полей: X = £і(х,у)Зі. Финслерово векторное поле у : z = (х, у) ^ (х,у) называется фундаментальным:

у = уіді.

Финслерова связность на M определяется отображением

V : SecT(TM) х Seen* (TM) ^ Secn*(TM),

которое каждому векторному полю X на TM и финслерову векторному полю Y ставит в соответствие финслерово векторное поле Z = VXY (ковариантная производная от у вдоль X). Требуется чтобы отображение V обладало известными свойствами определения линейной связности по Кошулю.

Пусть на TM задана инфинитезимальная связность, т.е. распределение H : z ^ Hz горизонтальных площадок и Si = di — Hkdk - локальный базис векторных полей этого распределения. Если (Fj,Cj) -коэффициенты связности V, определяемые разложениями

Vi = V¿idj = Fkjdk, Vi = V¿.dj = Ckjdk,

то потребовав, чтобы Fk = Fji, Ck = Ck и V X g = 0, для всех X Є SecT (TM), получим

Fk = 1 gsk (Si gsj + Sj gis — ) (i)

Cij = 2 gSk (digsj + dj gis — dsgij ) (2)

3. Векторное поле X на TM называется горизонтальным, если Vху = 0, где у = уіді - фундамен-

тальное финслерово векторное поле. Если отображение ставящее каждой точке z Є TM множество всех горизонтальных векторов в этой точке является инфинитезимальной связностью, то связность V называется регулярной. Регулярная связность порождает инфинитезимальную связность с коэффициентами Fk0 = F^p. Если исходная инфинитезимальная связность совпадает с инфинитезимальной связностью, порожденной регулярной финслеровой связностью, то такая связность называется связностью Картана. Связность Картана будем обозначать символом V*, а её коэффициенты - rj. В этом случае Si = ді — Г*д dk и задача вычисления коэффициентов связности Картана сводится к исследованию алгебраической системы уравнений (1). Для того, чтобы система (1) имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы матрица

Hkm = sk sm + 2 gkpdi gsp^sm + 2 g^^™ — 2 gkmдlgsiУS (3)

была невырожденной [13]. Для явного выражения коэффициентов связности Картана необходимо иметь матрицу обратную к Hj^m, что существенным образом затрудняет решение задачи.

4. Рассмотрим обобщенное лагранжево пространство Ьп с метрическим тензором

2а

9іі = ¥ • е Ъ]

(4)

где ¥ = ср(х) - функция на М, а = а (и) - функция аргумента и = 2^р3уруе, Ъз = Ъз (х) - компоненты риманова метрического тензора. Естественно возникает задача вычисления коэффициентов связности Картана для обобщенного лагранжева пространства с метрикой (4). Тензорная часть связности V* в соответствии с формулой (2) примет следующий вид

Сї = а' • (бЦ 1ргУР + 6* 1ріур - у к1ц )

(5)

Для получения явного выражения коэффициентов Г** связности Картана V* исследуем условие ковари-антного постоянства метрического тензора в связности V*. В локальных координатах условие обращения в нуль горизонтальной ковариантной производной от метрического тензора имеет вид

V * 9ъі — дкдіі Г ккодр9ъз Г *р 9рз Г ккр 9ър = О

Коэффициенты связности V* представим в виде

Г* к г к + тк

іі іі Тіі’

(6)

(7)

где Гкі - коэффициенты связности Леви-Чивита римановой метрики (х), а Ті = Ті (х,у) - некоторый

тензор финслерова типа. Для метрики (4) имеем

дк9іі = дк¥ • р2аІіі + ¥е2аа'дкЪ0 • Ііі + ¥е2адкЩ (8)

дрЯіі = ¥е2а • 2а'іро • (9)

Подставляя (7),(8),(9) в (6), получим

дк ¥ • е2а Ні + ¥&2а а'дк Юо • Нц + ¥е2 дк ~{ц - (Гр0 + Тр0)¥е2а • 2а' ^р0 • Щ --(Гкі + Ткі)¥е2а1рі - (Гкі + Ткі)¥е2аЪр = 0

дк¥Иі - Тко¥2а'ір0 • Ні - Ткі¥1рі - трі¥Нр+ +¥{(дкЪз - Грі1рі - ГріЪр) + а>Ъз(дк!оо - 2гроЪо)} = 0

(10)

Выражение в фигурных скобках равно нулю, так как ковариантная производная от риманова метрического тензора в связности Леви-Чивита обращается в нуль. Поэтому имеем

а'ПоЪо • Ііі + \(Тїг1рз + Пі Ър) =

Равенство (11) умножим на у1у3. В результате получим

а'юоТро1р0 + 2(Тр07р0 + ТроЪо) = ^¥¥^00’

откуда

Теперь (13) подставим в (11):

Тк0^р0

д к¥Ю0

2¥(1 + а'700)

(11)

(12)

(13)

' д к¥100 , 1,гтр , гтр ч _ дк¥

1ііа 2¥(1 + а'І00) + 2( кі1рі + кі 1ір') = 2.,п 1іі

2¥

или

или

^ + Ц, Y,r) = 2£j (14)

Циклируя (14) по i,j,k, получим еще два равенства

^ Ypk + Пк j (15)

j + jkp) = (Щ

Складывая (14) и (15) и вычитая (16), получим

TkiYpj = la>Yoo) {dkVYij + diVYki — djVYki}, (17)

откуда

! Yjjl

Tki = 2V(1 + a'Yoo) {dkVYij + diVYki — djvYki} (18)

Таким образом получаем окончательный ответ:

Yp k

r*j = Tij + 2<V(1 + 0'Yoo) {diVYpj + djVYip — dpVYij} (19)

Замечание. Естественно мы должны наложить условие: 1 + o'Yoo = 0 или 1 + 2uo' = 0, откуда о =

— ^ ln и + с. Если о = — ^ ln и + с, то gij = ‘1^eypyj и лагранжиан F = 2gijyiyj = ve2c ассоциированного

лагранжева пространства вырождается: F = 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Watanabe S.,Ikeda S. and Ikeda F. On a metrical Finsler connections of generalized Finsler metric gij = e2<j(x,y)Yij(x) // Tensor.- 1983.-40.p.97-102.

2. Ikeda S. On the Finslerian metrical structures of the gravitational field // An. sti. Univ.Iasi. - 1984, Sec 1a, 30, N4. - p.35-38.

3. Ikeda S. Theory of Fields in Finsler Spaces // Semin. mec. Univ. Timisoara. - 1988, N 8. - p.1-43.

4. Miron R.,Watanabe S. Geometric theory of gravitations and electronics fields in the metric e2a(x,y)Yj(x).// Mem. Sec. sti. ser.4/ Acad. RSR - 1992(1994)-15,N1.-p.9-23.

5. Паньженский В.И.,Сурина О.П. Об одном классе обобщенных лагранжевых пространств// Движение в обобщенных пространствах. Межвузовский сборник научных трудов. Пенза, 2002 г. с 183-189.

6. Паньженский В.И. Инфинитезимальные автоморфизмы метрических структур финслерова типа// Итоги науки и техники. М. 2009. Т. 123. с.81-109.