CC BY
8
А. В. Вялова
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.
2. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. геом. семин. ВИНИТИ. М., 1969. Т. 2. С. 179—206.
3. Скрягина А.В. (Вялова А.В.) Объект кривизны на центрированной плоскостной поверхности // Доклады международного математического семинара: к 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета. Калининград, 2002. С. 152—159.
A. Vyalova
Reduction of centeredprojective connection to the group connection on a point-plane surface
In many-dimensional projective space the projective group as centeredprojective frame bundle, in which centeredprojective connection is given, is introduced. A point-plane surface and associated with it principle bundle, in which group connection is given, in the projective space is considered. It is shown, that the object of the centeredprojective connection to the object of group connection is reduced.
УДК 514.76
А. И. Егоров
(Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, г. Пенза)
Метрические пространства линейных и гиперплоскостных элементов (р +1) -й лакунарности основного случая
Рассматриваются максимально подвижные метрические пространства линейныи и гиперплоскостных элементов различных лакунарностей основного случая. Эти пространства допускают группу движений Ог порядка
г = р(р +1) | ( - р))п - Р +1), где п >)р + 1]рр + 2) . 2 2' 2
Ключевые слова: группа движений, максимально подвижные метрические пространства, лакунарность, основной случай.
В работе находятся все максимально подвижные метрические пространства линейных и гиперплоскостных элементов определенной метрики различных лакунарностей основного случая. Метрика в них задается невырожденным симметриче-0 ^ ским тензором gij (x,y) типа (0,2) (тензором giJ (x,u) типа (2,0))
нулевого измерения однородности относительно y и u. Максимально подвижные метрические пространства (p +1) -й лакунарности в основном случае допускают группы движений Gr порядка
r = p(p +1) + (П - p)(n - p + 1) 2 2 '
Исследования ведутся в локальном аспекте. Используются обозначения и понятия, введенные в работе [1].
1. Задача сводится к интегрированию систем дифференциальных уравнений инвариантности для группы движений Gr, являющейся прямым произведением двух групп ( G1 , G2 ) движений римановых пространств постоянной кривизны измерений p и n - p. Интегрируя эти системы, находим:
g * (x, y)=D-2 [8Лъ (v)+yaybr-W2 (v)] ,
0 _L _L
g*(x, y)= ДЛУ2-y2*% (v)yay\ (1)
0
g* (x, y) = D- (v) + уУу->5 (v) ] ,
где
Dj = 1 + ^a},D2 = 1 + 4a2, (k},K2 e R), v = y2D21!y1D22 ,
а
Ч = 2ха 7 -У0 ,а2 =2Xя , г2 .у1 , (а,Ь = 1,...,р; 1,ц = р +1,...,п), (I = 1,2,3,4,5), фг — произвольные дифференцируемые функции от у — такие, что
det
, (х,У)
* 0.
Полученные здесь составляющие метрического тензора
о
gij (х,у) (1) могут быть записаны также в следующей инвариантной тензорной форме:
>
, (х,у) = ф (у)Аи + ф4 (у)Б,, + ф5 (у)Б-%Б., + +ф2 (у) А-1 АгА, +фз (у)(АБ)-2 (Б, + А,В),
(2)
где
71
72, 7 = В = ^4, ФАу) = 1 фАу)
А = -ит, Б = у = -= 2 Б? В] А Г1в\
'2
2
ф» = \Фа(у), (А = 1,4), (° = 2,3,5),(и, = 1,2,...,п).
2. В случае пространств gnу (gij (х,у) — необязательно
нулевой степени однородности относительно ук) для рассматриваемых выше групп движений Ог компоненты метри-
ческого тензора g форме вид
Хх,у)
имеют в инвариантной тензорной
, (х,у) = щ (А,Б)Аф, + щ (А,Б)В,, + щ (А,Б)Б,Б, (А, Б )АА, + ¥з (А, Б )(А,Б, + А,Б, ) или в рассматриваемой системе координат
(3)
' Х/л
(х,у) = В- (Л, Б) + у>2 (Л, Б)В-уауь ] ,
(х, у) = ВГ2 В-2уъ (Л, Б) уауХ,
(х, у) = В-2 [^4 (Л, Б) + В"2^ (Л, Б) уХул ]
(4)
где
у3(Л,Б) = 2¥5(Л,Б), (3 = 1,4),
¥а(Л, Б) = 4¥а(Л, Б), (<г = 2,3,5).
Структуры метрических тензоров gij (х,у) (2), (4) следуют
соответственно из структур (1), (3).
Все выше приведенные метрические пространства линейных элементов допускают группы движений Ог порядка
г = Р(Р + 0 + (п - Р) (п - Р +1
где
2
п >
2
(р + 1) (Р + 2)
2
и, следовательно, являются максимально подвижными пространствами (р +1) -й лакунарности основного случая.
Нетрудно убедиться, что метрическое пространство гипер-
н
плоскостных элементов gnu с метрическим тензором
аЬ
Х/л
(х и) = В12 [3аЬ/1 (®) + иаиъУъ/2 (((] ,
(x, и ) = В1 В27З2742 /з ((( UaUХ, (5)
(x, и) = В22 \3хм/4 ((О) + и Xй/У-1/5 ((( ] ,
где
н
н
н
0
0
0
7з = 2 и2, 74 = 2
и, , с =
74 В2 7з
также допускает группу движений Ог порядка
г = Р(Р + 1) + (п - р)(п - р + 1)
2
2
н
В случае пространств gnu для рассматриваемых групп Ог
g ' (х,и) будут вида (5), но /1 - /5 зависят уже от двух аргументов:
й =7з В:2, 02 =74 В22. 3. Рассмотрим далее максимально подвижные метрические пространства векторных плотностей (р +1) -й лакунарности
основного случая. В этом пункте мы считаем, что и (и') — векторная плотность веса 1. Интегрируя уравнения инвариантности метрического тензора, получим, что в нашем случае
g 1 (х, и ) = В1
К1 (и , V )АаЬ + К2 (и, V )
и и
71
g 1я(х, и) = В- В-^г?г?Къ (и, V)
иаи
(6)
g , (х, и ) = В2
и яи "
К 4 (и, V )АЛМ + К 5 (и, V ) —
. 72
g 1 ( х, и )= В1-:
М1 (^ А + М 2 ^ )-
71
g :л(х, и ) = вг1 в;1 у^мз ^)
а 1
и и ,
g , (х, и )= В2
М 4 ^ Ам+ М 5 ^ )-
(7)
и
где Ке (ы,у); Ме (р) — произвольные дифференцируемые функции от указанных аргументов, причем (е = 1, 2, 3, 4, 5),
u = у 11+K2 a V = у21 1 + K a1
2 wn,
1 + K- a 4
ii k2
•I 1+ —L a2 4 2
-2(1-wn1)
-2(1-wn2)
У D
t = у = 2ua2 , y2 = 2u* , det
У2 D1
(x,u)
* 0:
det
(x,u)
0, (j,k = 1,2,...,n).
Список литературы
1. Егоров А. И., Егоров И. П., Егорова Л. И. Приводимые и полуприводимые метрические пространства линейных элементов и их место в теории движений // Межвуз. сб. науч. тр. Пенза, 1991. С. 38—62.
A. Egorov
Metric spaces of linear and hyperplane elements of (p +1) -th lacunarity of basic case
We considered maximally moving metric spaces of various lacunari-ties of basic case. These spaces admit a group of motions Gr of order
r = p(p + 1) + (n - p)(n - p +1)
2 2 ,
(p + 1)(p + 2)
where n > ^--.
