CC BY
11
УДК 514.75
А. В. Вялова
(Калининградский государственный технический университет)
Редукция центропроективной связности к групповой связности на точечно-плоскостной поверхности
В многомерном проективном пространстве проективная группа представлена в виде расслоения центро-проективных реперов, в котором задана центропроек-тивная связность. Рассмотрена точечно-плоскостная поверхность в проективном пространстве и ассоциированное с ней главное расслоение, в котором задана групповая связность. Показано, что объект центропроективной связности редуцируется к объекту групповой связности.
Ключевые слова: проективное пространство, расслоение центро-проективных реперов, центропроективная связность, точечно-плоскостная поверхность, групповая связность, редукция объекта связности.
В п-мерном проективном пространстве Рп рассмотрим главное расслоение центропроективных реперов Сп(п+1)(Рп), базой которого является проективное пространство Рп (точнее, область пространства Рп, описанная точкой А), а типовым слоем — центропроективная (коаффинная) группа Сп(п+1) = ОЛ (п) с ОР(п), действующая в любом центропроек-
тивном пространстве Р°, получающемся из пространства Рп при фиксации точки А. Структурные уравнения расслоения
Сп(п+1)(Рп) [1] имеют вид
Бю1 = ю1 лю,, = и:т ли,. (1)
Бю, = юК л юК + юк л , (2)
Фк ="51ю к-ЗКют. (3)
В главном расслоении Сп(п+1} (Рп) задана центропроективная
связность с помощью поля объекта связности П = {П,к, П п}. Компоненты объекта П удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям [1]:
ДП + ^ = П ^, ДП ы + П К Юк = П ж юк. (4)
В проективном пространстве Рп рассмотрим точечно-плоскостную поверхность Sh+Г, которую представим вырожденным многообразием [2] троек (A,Lh,Tm), причем точка А (А е Lh с Тт) и касательная плоскость Тт (т = h + г, п < т + описывают т-мерные семейства, а образующая Lh — г-мерное семейство.
Произведем разбиение значений индексов:
I = {и,а}: и,... = 1,т, а,... = т + 1,п;
и = {а,;}: а,... = 1,^ 1,... = h + 1,т. Поверхность Sh+Г задается уравнениями [3]
ша=о, иа =ла^, «а=л>;, иа=лаиа+ла< (5)
где совокупность функций Л1 = {Л;ч, Л" = лаа, ЛаJ} составляет фундаментальный объект 1-го порядка поверхности. Компоненты объекта Л' удовлетворяют соотношениям Л^] = 0 и системе дифференциальных уравнений [3]
АЛ" =Лаа;иии, АЛ, +Л-и'а -5^ = Л>\
ал^-л^ иа-Л>а =л^ ии, (6)
где тензорный оператор А действует следующим образом:
ал- = м- -л>ь-л>;+лН•
Утверждение. Фундаментальный объект первого порядка Л1 поверхности 8Ь+Г образует квазитензор, содержащий простейший и простой тензоры: (Л1, }, (Л1*, Л1, } .
С поверхностью 8Ь+Г ассоциировано главное расслоение 0(8Ь+Г), базой которого является сама поверхность, расслоенным пространством — проективная группа 0ГР(п), а типовым слоем — подгруппа стационарности тройки (Л,Ьь,Тш), причем ЖтО = п(п - т +1) + тг + И . Базисные формы ю1,ю1
удовлетворяют структурным уравнениям
ь
- ГА Л ь
Бю1 = юJ ли' (и. = ю.-Л'.ю1), Бю1 = ю люЬ + Ю1 лй,1.
.. ч .. .. ч 7' ь 1
Групповая связность Г в главном расслоении 0(БЬ+Г) задана с помощью поля объекта связности Г = (Г,и,ГЬи,. Г,и,Гш,Гаи,С,Г«и,О . Дифференциальные уравнения на компоненты объекта связности Г имеют вид [3]
АГЬС +юЬс = Г>\ АГЬ(1) -ГьХ +юЬ1 = г^июи,
АГ,ь + Г>с = Г,ьиюи, АГ,(1) + Г>ь -Г,ьюЬ = Г^Ю",
АГ|, + ю. = Г>и, АГ|(к)-Г>к +ю;к = Гкиюи,
АГ -гсьюс + Г ю, +ю,ь = г>\ АГИ +ГиЮи -ГыЙ1ь +Ю11 =ГИиЮи,
АГад + Гюи - Г,ю, +юу =Гииюи, (7)
АГ.. -Г>ь -Г,юь + Г.юк +ю, = Г.юи,
АГа, + СЮи + Га,Юр - Г11 Юа - ЦХ = ^и^ АГ Г) +Гию +Г рюр-Г.Ю -Г ю' -Г ю1 =Г - юи,
а(1) а1 и а1 р .1 а на а 11 сии '
АГ аь + Г;ьиа -Гаьии + Г рьир -5Ьи = Гаь ии,
аЬ аЬ 1 иЬ а аЬ р Ь а аЬи '
АГаГ) +Г.ша +Г рир -Гаии -Гаьиь =Га ии,
а(1) а1 ] а1 р и1 а аЬ 1 аш '
дга | ,-^а т-'а „и *га "Р'а^а , ..а т-'а „и АГра + Ира = ГраиИ , АГр(;) - ГраИ; + Ир. = Гр.иИ ,
АГ.а + ГааИр -Г^а^аи^
АГ1 (■) +Г ри1р - Г1 иа -Пик +ю' ■ =Г;. ии,
аО) а. р аа . к. а а. а..и '
где оператор А действует следующим образом:
АГа о = ас. -г' к и-Гр.иа+Гк ч,
а продолженные слоевые формы имеют вид
иЬс =-ЗЬИо -5Сиь, иЬ; =Л.ыИа + Л>а -5Ьи.,
иа = Л>. + Л<а1Иа , И.а = Лаа И'а ^^ И1. = ЛуИ а ,
и.к=л.ки-л>а-5'Ик -8кииа=л<, (8)
И;аь = Ль< ^Ьи, И .а = Л1а Иа , < = -Л>а ,
а *а ^А ^а^ а л а а л а,_. ^а^
ира = Л1а ^^р^ и р1 =-Ла1ир-Лчир-5ри;.
Представим дифференциальные уравнения (4) на компоненты объекта центропроективной связности П в подробном виде, соответствующем компонентам объекта групповой связности Г:
АП Ьс + ПЬХ + П Ьс< +иЬс = ПЬси1 + ПЬсХ,
ап Ь(.)+п ь.иа + Пь.иа - п Ьсис -зьи = пьш ии,
АП аЬ + Пиьии + П >а= П аЬ.и' + П АП а(.) + ПаьиЬ + Пи.ии + П>„ = Щи ии,
АП'а + П.аи- - ПЬаиЬ -5^ = П'аии\
АП1(к) + П.к< - Пакиа - П'аик -§1ик -§ки. = П;кииU,
АПаь + Пьиа + ПЬ< -ПСьиС -5Ьи. = Паьиии,
АП,. + Пкюк + П'ю' -П.юь -П>Ь = П.юи, АП1а - Пь,Юь + ПиаЮи + П'аЮа = ПииЮи,
АПад -Пчю1 -П1аю, + П;|Юи + П'Ю' = П.юи, АП'ь + П'ью, + П'ьюр -П"ьй" -5ьй' = П'ь1ю1 + П'ьсюс, АП' о + П+ П' 1юр -П>£ -П'ьюь = П'шюи, АП', - Пи,юи -5'ю, = П'аиюи,
(9)
р, А±иаш р ирш 1
а а
р(1) - Пи1Юр - Пр,с" " _
ап'(1) -п>и -пр,ю, - 5'ю. = пр.июи,
АПса + ПСаЮр - ^ай" = П'аьЮЬ + ПаaJЮJ, АП'(.) + П'.ЮР - Пщ< - ПсаЮ1 - 5'Юа = П'.июU, АПаа - Пиа+ П1 Юи + П'аЮр = Па,ьЮь + ПаalюI,
АПа(1) - Пи.Юи - ПааЮ1 + Пи1 Юи + ПС'Юр = ПшиЮU,
АП ь, = Паи юи, Апь, + П ь, ю'с = П ь,сЮс + П ь,.ю\
АП1. -П,ьюь + П'юС 5'юа = П,.июи, (10)
АПС - П'ьюь = ПСиЮи, АПС - Псюа - П'аЮа = П'июи,
где преобразованные пфаффовые производные имеют вид
ПЬс. = п ьа + П. ль + п СсЛ'ь. + Пь.Лс. + Пьс л:., 1ь.Л,с1 + П ьа Лс ,
Пь.с = пь.с + п ь.Лс. + п ьа Л П Ь..= пь.. + п к. Л.+ ПС. Л'. + пьс ли,
П ,Ы = П,ь1 + П.ь Л,1 + Псь Ла1 + П аД' + П асKí,
П ,'Ь = П ,'ь + П аД + П,с ^
ПаЧ = П., + ПыЛ1^ + П",Л", + П.«Л" , Пjab = + П".Л^Ь , П.ак = П,ак - ПhaЛь1 + П'аЛ] + П] Л^ +
jak ja bk аа jk jl ak ja ак '
1 + п1 Л1 + П1 Л" + П1 ла
jka jl ka ак ja ja ка?
Пл = П.к1 + п; Л^ + П'к л, + п'аЛ;,
—а —а ,
Пlhc = пfhc + па„л», п., = па, + п'ьЛ + Щлкч + пал,
а + па лк + па ла + па ла + па ла
IJh ^ 1 -'-.И 1V1J ^ 11aJi 1W vJh 5
П]к = П] + ] + ПЛЛljk, П.аЬ = П,.ь + П'аЛ'
П,а,= П,ч+ П аа J П Ik Л* + П.а Л*,
Па = П, + Па Лк. + П^Л' + П.« Л].,
ñijk = П.к + П'Л^к + П.аЛ«к, П'ь1 = П'ь, + П']АЫ + П'рЛР.,
п шЬ = п aih + Па]ЛЬ + П а ß^b , П aiJ = П aij + Па ßÄiJ,
П^ = П;. - П,. Л" - П^ Л]. + ] + П^,
"ah = П'аь - ЦаЛ", , Ща = П'ш + П^ - П-,Л] + П^ ,
пРч=па.- п-i л«- пк. лк + п^,
ñOaj = П'а -пьаал1,] + п'клк, + парЛ,
Пaja = П1уа + П"клка + ПlßÄja , Па,к = П'а]к - П1]Лак + ПlßÄjk , Пca. = П«ai + ПajÄai + ПaßÄai, Пaia = Пlia + Па,Лш + Пaß^a ,
Пaij = П'] + П'рЛ1], Пbа: = П^ - ^Л* ,
пbai=пьа, - п u. ла, + п ia л>, + па л1,, + п«,ля, + парЛ
Пbaj = П,а] - ПbaÄ, + Пка Л, + П'. А] + П,кÄ
Па«ь - П^ь + П1а,
П* - П^ - П^ А^к + П« А1* + П? А^к + ПааА^,
П -ь - П«ь - п« Аь + ПРАЬ,
П^ - П? - Пи-А? + Пк-Акч + П?+ П-а5, Щ - П« - Пк Ака + П«Аа + ПфА^а ,
Пк - П^к - П" Ак + П?Д + ПфА^к.
(11)
Поскольку {П?ь, ПЛ } — тензор, можно взять
Пь - 0, Пь - 0.
Сопоставляя дифференциальные уравнения (6) и (10) с учетом этих соотношений, положим
Па п? -а, п^-а^. (12)
Таким образом, часть компонент объекта центропроектив-ной связности П охвачена в случае точечно-плоскостной поверхности 8ь+г. Значит, объект П сокращается до объекта
П - {Па П П1 Па П П Па П? П1 }
11 V11Ьи 5 1%'1 V'1 ^и'11<ш'11<ш'1-1™ /'
который можно отождествить с объектом групповой связности Г. Последнее следует из сопоставлений дифференциальных уравнений (7) и (9) с учетом обозначений (8), охватов (12) и соотношений (11).
Теорема. Если в проективном пространстве Рп дана точечно-плоскостная поверхность 8ь+г, то объект центропро-ективной связности П, задающий связность в проективной группе, представленной как расслоение центропроективных реперов СП(П+1)(РП), редуцируется к объекту групповой связности
Г, задающему связность в главном расслоении г), ассо-
циированном с точечно-плоскостной поверхностью 8Ь+г.
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.
2. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. геом. семин. ВИНИТИ. М., 1969. Т. 2. С. 179—206.
3. Скрягина А.В. (Вялова А.В.) Объект кривизны на центрированной плоскостной поверхности // Доклады международного математического семинара: к 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета. Калининград, 2002. С. 152—159.
A. Vyalova
Reduction of centeredprojective connection to the group connection on a point-plane surface
In many-dimensional projective space the projective group as centeredprojective frame bundle, in which centeredprojective connection is given, is introduced. A point-plane surface and associated with it principle bundle, in which group connection is given, in the projective space is considered. It is shown, that the object of the centeredprojective connection to the object of group connection is reduced.
УДК 514.76
А. И. Егоров
(Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, г. Пенза)
Метрические пространства линейных и гиперплоскостных элементов (р +1) -й лакунарности основного случая
Рассматриваются максимально подвижные метрические пространства линейных и гиперплоскостных элементов различных лакунарностей основного случая. Эти пространства допускают группу движений Ог порядка
г = р(р +1) | р - р))п - р +1), где п >(р+1Хр+2). 2 2' 2
